Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

2 Raízes de Equações Algébricas Achar a raiz de uma unção signiica achar um número tal que 0 Algumas unções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de diícil solução (algumas unções transcendentes, por eemplo ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 4, por eemplo, sendo necessário a solução por métodos numéricos Passos para a solução numérica Achar um intervalo echado [a,b] que contenha somente uma solução Reinar a raiz até o grau de eatidão requerido

3 Isolamento de raízes Se uma unção contínua assume valores de sinais opostos entre o intervalo [a,b], então a unção possui pelo menos uma raiz neste intervalo Teorema do valor médio Se a derivada da unção preservar o sinal dentro do intervalo, ou seja, se a unção or estritamente crescente ou estritamente decrescente, a raiz será única Pode-se estimar o intervalo [a,b] pelo esboço do gráico da unção ou pela construção de tabelas para análise da variação do sinal da unção

4 Isolamento de raízes por esboço do gráico Dada a unção, o ponto 0 é eatamente o ponto onde a unção cruza o eio y a 0 b

5 Caso a unção ( seja complea, podemos tentar escrevê-la na orma Supondo 0 teremos g ( ξ h( ξ = 0 g( ξ = h( ξ Dessa orma, podemos traçar os gráicos das unções e e o ponto de interseção destes irá nos ornecer a raiz da unção y h( ξ g(

6 E 1: trace o gráico e determine um intervalo que contenha raízes de 2 Quadro

7 Solução E 1 2 g 2 Raiz no intervalo [0,5; 1,5]

8 Eercício 1: trace o gráico e determine um intervalo que contenha raízes das seguintes unções: 1 log

9 Critérios de parada Procedimentos iterativos Para quando atingir um determinado critério Eistem vários tipo de critérios de parada Analise do valor da unção: ( < δ Erro absoluto: i i i < δ Erro relativo: Limites do intervalo: Número de iterações i i i i b < δ a 2 < δ

10 Método da bisseção Seja uma unção contínua no intervalo [a,b] e 0, dividindo o intervalo ao meio, obtém-se 0. Caso ( 0 = 0, ξ = 0 Caso contrário, Se ( a ( 0 < 0 então a raiz está no intervalo [a, ] Se então a raiz está no intervalo [ 0 ( 0 ( b < 0,b] Divide-se novamente o intervalo obtendo e assim sucessivamente até a precisão desejada 1 0

11 y a 1 0 b Convergência Chamando os intervalos de a 1,b 1,a 2,b 2,...,a n,b n então: Se então b n b n a n a b2 n + 1 a n ε ε = b a n 2 + 1

12 E 2: Achar a raiz da equação ( = 3 10 no intervalo [2,3] com o erro absoluto δ < 0, 1 Quadro

13 Solução E 2: ( = 3 10 δ < 0, 1 Raiz de em [2,3] com ( 2 (3 = 2 17 < 0 = (2 + 3 / 2 = 2,5 (2,5 = 0 OK! 5,62 1 = (2 + 2,5 / 2 = 2,25 (2,25 = 1,39 2 = (2 + 2,25 / 2 = 2,125 (2,125 = 0,40 3 = (2, ,25 / 2 = 2,1875 (2,1875 = ε = 2,18 2,12 = 0,46 0,06

14 Eercício 2: Calcular a raiz de ln com o erro relativo 0,1 Eercício 3: Utilize o método da bisseção para calcular 5.

15 Solução Eercício 2: intervalo da raiz [0,5; 1] em torno de 0,65 Solução Eercício 3: achar a raiz de

16 Eercício 4: Utilize os intervalos calculados no Eercício 1 para cada uma das unções e calcule uma raiz aproimada, utilizando o método da bisseção 1 log Eercício 5: uma gamela (barril serrado ao meio ao longa da altura de comprimento e secção transversal semicircular com raio, cheia de água até uma distancia do topo tem volume dado por: 0.5. Suponha que 10, 1 e 12.4 e calcule a proundidade da água na gamela.

17 O método sempre converge para uma solução O esorço computacional do método da bisseção cresce demasiadamente quando se aumenta a eatidão da raiz desejada Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método das cordas ou o método de Newton, por eemplo

18 Algoritmo Bisseção Entrada: intervalo [a,b], tolerância e número máimo de iterações N cont=0 enquanto (b-a/2 > e cont<n raiz = a + (b-a/2; //o mesmo que (a+b/2, mas com menos erro se (a*(raiz<0 b = raiz senao a = raiz im_se cont = cont+1; im_enquanto Saída( Apos, i, iteracoes, o intervalo inal é [,a,,, b, ]

19 Método das cordas È semelhante ao método da bisseção A derivada segunda do método,, deve ter sinal constante no intervalo O intervalo [a,b] não é dividido ao meio, mas sim em partes proporcionais a razão ( a/ ( b Apenas um dos valores do intervalo é atualizado, gerando uma sequencia de de intervalos, (ou,, onde são aproimações da raíz da equação

20 ( ( ( ( 0 b a b a a a = ( ( ( ( 0 a b b a b b + = ( ( ( ( 1 c c n n n n n = + Eistem duas possibilidades: Podemos substituir essas duas equações pela equação onde c é um ponto da unção onde esta tem o mesmo sinal de sua derivada segunda ( 0 ( ( > c c

21 E: Achar a raiz da equação ( = 3 10 no intervalo [2,3] com o critério de parada de análise do valor da unção 0,1 Quadro

22 Solução ( = 3 10 ''( = 6 Escolha do ponto c Não é o ponto c OK! Então c=3 e 2 (2 2 0 = 2 (2 3 = 2 ( 1 = 2,11 (2,11 = 0,74 (2 ( = 2,11 (2,11 (2,11 (2,11 3 (3 0,74 = 2,11 ( 0,89 = 2,15 (2,15 = 0,07 17,74 Podemos ver que o método das cordas converge bem mais rápido que o método da bisseção 0,1 Continua <0,1 Parou!

23 Eercício: Ache uma aproimação da raiz da unção 2 no intervalo [0.5; 1.5] com um erro absoluto de 0.01

24 Algoritmo Cordas Entrada: intervalo [a,b], tolerância e número máimo de iterações N se (a* (a>0 rn = b; //raiznova c=a; senão rn = a; c=b; im_se ra=c; //raizantiga cont=1 enquanto rn - ra / rn > e cont<n ra=rn; rn = ra - (ra/((ra - (c*(ra - c; cont = cont + 1; im_enquanto Saída( Apos, i, iteracoes, a raiz calculada oi,rn

25 Método de Newton Supondo uma aproimação 0 para a raiz de, no ponto 0, 0 passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de em 0. Esta reta tangente corta o eio na coordenada 1,deinindo por sua vez, o ponto 1, 1 Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eio em 2. Esta nova coordenada deine outro ponto 2, 2 que repete todo o processo 0, 1, são aproimações cada vez melhores para a raiz da unção

26 Pela igura temos que Já que podemos concluir tan( ( θ = ( ( 1 i i i i = + tan( ( ( tan( 1 1 θ θ i i i i i i = = + + Eige o conhecimento da derivada segunda da unção

27 Usando a ormula de Taylor (em torno de 2! Se or suicientemente próimo da raiz da unção,, então podemos desconsiderar os termos, 1 0 Uma aproimação para a raiz será dada por (chamando esta aproimação de

28 Convergência Caso se escolha 0 de orma que 1 saia do intervalo, o método poderá não convergir. Caso ( e ( sejam não nulas e preservem o sinal no intervalo e 0 seja tal que 0 ( > ( 0 a convergência é garantida (se as derivadas não tiverem sinal constante, o método pode ou não convergir. E: Ache a raiz da equação ln para o erro relativo 0,001 (ou seja: 0 Quadro

29 Se Então 1 1 ( = 2 + ( = 2 Plotando o Gráico, podemos ver que a raiz está próima de 0,5. Podemos azer 0,5? 0 0,5 pois 2 ( = + (0,65 2 = 0,65 = (0,65 ( 0,5 (0,5 = 0,44 3,5 = 1,54 > 0 (0,5 0,44 1 = 0,5 = 0,5 = (0,5 3 0,65 ln( 0,65 0,65 0,65 0,65 = 0 0,65 0,5 0,65 < 0,01 = 0.23 Parou! > 0,01 Continua

30 Eercício: Ache uma aproimação da raiz da unção 10 2 com um erro absoluto de 0.01

31 Algoritmo Newton Entrada:, tolerância e número máimo de iterações N se 0 saida( convergencia não garantida. Abortando senão rn= ; //raiz nova cont=1 aça ra=rn; //raiz antiga = raiz nova rn = ra - (ra/ (ra; i = i+1; enquanto rn - ra / rn > e cont < N Saída( Apos, i, iteracoes, a raiz calculada oi,rn im_se

32 Método da Secante Uma modiicação do método de Newton que substitui o a derivada da unção pela equação ( i = ( i 1 ( i i 1 i

33 Substituindo o novo valor da derivada na ormula de Newton, a órmula do método da secante ica da seguinte maneira São necessários dois pontos iniciais( i e i-1 Semelhante ao método das cordas, mas agora o ponto não é mais io E: Determine a raiz da unção com erro absoluto de 0.05

34 Solução Intervalo com uma raiz: 0 1 e , portanto eiste uma raiz no intervalo [0,1] Continua Parou!

35 Algoritmo Secante Entrada:,, tolerância e número máimo de iterações N se 0 saida( convergencia não garantida. Abortando senão ra2= ; ra1= ; //raiz antiga 1 e 2 cont=1 aça rn = ra1 - (ra1(ra2-ra1/((ra2-(ra1; ra2=ra1; ra1=rn; cont = cont+1; enquanto rn ra1 / rn > e cont < N Saída( Apos, i, iteracoes, a raiz calculada oi,rn im_se

36 Eercício: Considere a série 1, que converge para 1 1. a Para calcular o valor de que leva a série a convergir para o valor 1.5 podemos utilizar quais métodos? Escolha um e calcule com erro absoluto menor que 0,01. Quais tipos de erro estamos cometendo neste calculo? b Utilizando a ormula echada, veriique que podemos utilizar o método de Newton no intervalo [0; 0,99] e o utilize para calcular novamente o valor de com a mesma precisão. c Compare o esorço e os resultados obtidos em a e b com o valor real.

37 Comparação entre os métodos O método da bisseção é bastante simples por não eigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta O método das cordas eige que o sinal da derivada segunda permaneça constante no intervalo, porém, se o ponto inicial c estiver suicientemente próimo da raiz ( ( c < 10 o método apresenta uma convergência bem mais rápida que o método da bisseção O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém eige o conhecimento da derivada analítica da unção em questão O método da Secante é menos rápido que o de Newton, porém não eige o conhecimento da derivada analítica da unção em questão