5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.

Transcrição

1 Capítulo V: Derivação tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ) ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então (ver o teorema de encaie de ites). 5.7 Aplicações da derivada ao estudo das unções. Pontos críticos e intervalos de monotonia: Deinição: Seja uma unção e c. Diz-se que ( c) D é um etremo relativo de se em c ocorre uma máimo ou um mínimo (rever deinições página ). Por eemplo, a unção representada ao lado tem: máimos em c' e c' ' mínimos em d', d' ' e d' ''. Note que os dois últimos pontos assinalados no gráico da unção são simultaneamente máimos e mínimos.

2 Capítulo V: Derivação Teorema: Seja uma unção que tem um etremo relativo em c D (i.e., () c é um máimo ou um mínimo local) então ou '( c) 0 ou não eiste '() c. Como consequência do teorema anterior resulta que os pontos candidatos a etremos relativos de uma unção encontram-se entre os zeros da unção derivada e/ou os pontos do domínio de que não admitem derivada. A estes pontos chamámos pontos críticos. Obs.: ' ( c ) 0 signiica que a tangente ao gráico de em c é horizontal, situação que ocorre em d', c' e c' '; ' ( c ) não eistir signiica que as semi-tangentes ao gráico de em c têm declives distintos, como acontece em d' ' e d' ''. Nota: O recíproco deste teorema é also, isto é, pelo acto de '( c) 0 não se pode concluir que (c) seja um etremo. Por eemplo, ( ) tem derivada '( ), e '(0) 0, e no entanto (0) não é máimo nem mínimo de. Conclusão: nem todo o ponto crítico é um etremo.

3 Capítulo V: Derivação Corolário do teorema de Lagrange: Monotonia Seja uma unção derivável no intervalo ] a,, então: se '( ) > 0 para todo ] a, se '( ) < 0 para todo ] a, se '( ) 0 para todo ] a,, então é estritamente crescente;, então é estritamente decrescente;, então é constante. Como decidir se um ponto crítico é máimo ou mínimo relativo? Critério da ª derivada para classiicação de etremos: Seja uma unção contínua em c ] a, e derivável em ],\{ c } um ponto crítico de e ' passa de positiva para negativa em ' passa de negativa para positiva em ' ( ) > 0 ou ' ( ) < 0 para todo ] a,, então ( c) a. Se c é c, então ( c) é máimo relativo; c, então ( c) é mínimo relativo; não é etremo relativo. Critério da ª derivada para classiicação de etremos: Seja uma unção derivável em ] a,, com c ] a,, e '( c) 0 : se ''( c) < 0 então tem um máimo relativo em c relativo) se ''( c) > 0 então tem um mínimo relativo em c relativo). ( () c ( () c é máimo é mínimo

4 Capítulo V: Derivação Este pode ser compreendido quando analisarmos a concavidade da unção, de que alaremos em seguida. Eercício: Determine os etremos relativos e indique os intervalos de monotonia das seguintes unções: a) ( ) log( + ), se, se < 0 0 b) g( ) / c) h( ) ( 8 ) Resolução de c): D h IR e h é contínua, pois é o produto de unções contínuas ( é uma unção irracional e 8 é uma unção polinomial) Note que se eistir algum ponto onde a unção seja descontínua então ele deve ser considerado como ponto crítico. Cálculo da primeira derivada: ' ( ) ; 8 h ( ) Pontos críticos: 0 porque 0 Dh mas 0 Dh' pois h '( ) Sinal de h ' + n.d h n.d. não deinida

5 Capítulo V: Derivação 4 Etremos relativos: Máimos relativos: h ( ) ; Mínimos relativos: não tem; Note que ( 0) h não é um etremo pois à volta de 0, h ' não muda de sinal; alternativamente, podemos utilizar o teste da ª derivada para concluir que em ocorre um máimo pois: h'' ( ) h' h'' ( ) 4 9 ( + 4) ( ) 0 5 < 0 h ( ) é um máimo Intervalos de monotonia: h é crescente se ],[ ; h é decrescente se ],+ [. Quais os pontos que se devem considerar na elaboração do quadro para o estudo da monotonia de uma unção? Devem ser considerados os seguintes pontos: pontos críticos, i.e. pontos tais que '( ) 0 ou pontos onde não eiste ( ) ' ; pontos de descontinuidades de e no caso do domínio ser um intervalo ou união de intervalos há que considerar os etremos desses intervalos.

6 Capítulo V: Derivação 5 Pontos inleões e concavidades: Vimos que o sinal de dá-nos inormação sobre a monotonia da unção. Analogamente, podemos estudar o sinal de para determinar a monotonia de. Assim, se é duas vezes derivável no intervalo ] a, e se ''( ) 0 para todo ] a, se ''( ) 0 para todo ] a,, então é crescente;, então é decrescente. Ora, geometricamente, ser crescente signiica que à medida que cresce o declive da recta tangente a aumenta e que o gráico da unção (à volta do ponto ) ica acima de cada tangente (ver igura ao lado). De orma análoga, ser decrescente signiica que à medida que cresce o declive da recta tangente a diminui e que o gráico da unção (à volta de ) ica abaio de cada tangente (ver igura ao lado). Deinição: Seja uma unção, diz-se que c D é um ponto de inleão se muda a concavidade à volta de c. Teorema: Seja uma unção que tem um ponto de inleão em ou não eiste ''() c. c D então ou ''() c 0

7 Capítulo V: Derivação 6 Como consequência do teorema anterior resulta que os pontos candidatos a pontos de inleão de uma unção encontram-se entre os zeros da segunda derivada da unção e/ou os pontos do domínio de que não admitem segunda derivada. Nota: O recíproco deste teorema é also, isto é, pelo acto de ''( c) 0 não se pode concluir que c é um ponto de inleão. Por eemplo, 4 ( ) tem segunda derivada '' ( ), e ''(0) 0, e no entanto 0 não é ponto de inleão (porque à volta de 0, não muda a concavidade) conorme se pode ver na igura ao lado. Teorema (teste da concavidade) Seja uma unção duas vezes derivável em ] a,. Se ''( ) > 0 para todo ] a, Se ''( ) < 0 para todo ] a,, então tem concavidade voltada para cima;, então tem concavidade voltada para baio. Podemos agora compreender o Critério da ª derivada para classiicação dos etremos atrás enunciado: se temos () c 0 e se () c > 0 (a tangente em c é horizontal), (a concavidade é voltada para cima) então () c é um mínimo (ver igura ao lado).

8 Capítulo V: Derivação 7 se temos () c 0 se () c < 0 (a tangente em c é horizontal), e (a concavidade é voltada para baio) então () c é um máimo (ver igura ao lado). Eercício: Determine os pontos de inleão e a concavidade das seguintes unções: a) ( ) / (5 + ) b) ( ) + + c) 4 g ( ) d) h ( ) ( + )( ) Resolução da alínea a): D IR e é contínua pois é o produto de unções contínuas ( é uma unção irracional e 5 + é uma unção polinomial) Note que se eistir algum ponto onde a unção seja descontínua então ele deve ser considerado como ponto crítico. Cálculo da primeira derivada: ' ( ) ( 5 + ) Embora não seja pedido no enunciado do eercício, vamos azer o estudo dos pontos críticos, etremos relativos e intervalos de monotonia. Pontos críticos: 0 porque 0 D mas 0 D ' pois '( ) 0

9 Capítulo V: Derivação 8 Sinal de ' n.d + n.d. não deinida Etremos relativos: Máimos relativos: ( ) ; Mínimos relativos: ( 0). Obs. importante! Apesar de não eistir derivada em 0, é contínua em 0 e muda de sinal em torno de 0 e portanto pelo critério da ª derivada para classiicação de etremos (página ) podemos concluir que ( 0) é um mínimo relativo. Muita atenção!!! se não osse contínua em 0 mas 0 D ter-se-ia que analisar os ites laterais para poder concluir se eistia ou não etremo nesse ponto. Intervalos de Monotonia: estritamente crescente: se ],[ e se ] 0,+ [ estritamente decrescente: ],0[. Cálculo da segunda derivada: ''( ) 0 4 / 9 Candidatos a pontos de inleão: 0 porque 0 D mas 0 D ' pois ''() 0 Sinal de 0 + '' - n.d I I U

10 Capítulo V: Derivação 9 Pontos de inleão: (note que: o ponto de inleão é o valor da abcissa ao contrário dos etremos que se reerem ao valor da ordenada.) Obs. importante! Apesar de 0 não ser zero da ª derivada poderia ser ponto de inleão, bastaria que à sua volta o sinal de mudasse. Sentido da concavidade: tem concavidade voltada para baio: se ],[ tem concavidade voltada para cima: se ], + [. Quais os pontos que se devem considerar na elaboração do quadro para o estudo das concavidades de uma unção? Devem ser considerados os seguintes pontos: pontos candidatos a pontos de inleão, i.e. pontos D pontos onde não eiste '( ) ' ; pontos de descontinuidades de e ou tais que ''( ) 0 no caso do domínio ser um intervalo ou união de intervalos há que considerar os etremos desses intervalos.

11 Capítulo V: Derivação 0 Assímptotas: Seja uma unção real de variável real. Ideia intuitiva de assímptota: Uma recta é uma assímptota de uma unção se o seu gráico se aproima indeinidamente dessa recta e no ite conunde-se com a própria recta. Consideremos a unção deinida por ( ) representação gráica é: +, cuja Esta unção não está deinida em 0. O que é que acontece quando se aproima de zero? À medida que se aproima de zero, quer pela direita quer pela esquerda, os correspondentes valores de ( ) eplodem, isto é, crescem sem ite. Podemos então escrever: ( ) 0 + se 0 + se 0 Neste caso, dizemos que a recta 0 é uma assímptota vertical do gráico de. Como determinar as equações das assímptotas verticais do gráico de uma unção? Para identiicar os pontos onde eventualmente o gráico admite uma assímptota determina-se: D ; os pontos a D onde a unção é descontínua; no caso do domínio ser um intervalo ou união de intervalos devem-se considerar os pontos etremos que tais que a D ;

12 Capítulo V: Derivação ( ) e ( ) a quando azem sentido. + a Se algum destes ites or ±, a recta a diz-se uma assímptota vertical do gráico de (unilateral ou bilateral conorme eista um ou dois ites laterais ininitos, respectivamente). Eercício: Determine, caso eistam, as assímptotas verticais dos gráicos das seguintes unções: a) ( ) Resolução: D IR : > 0,, +. { } ] [ ] [ é continua porque é quociente entre uma unção polinomial e uma unção irracional. Pontos onde podem eistir assímptotas verticais: e. ( ) e ( ) + + e são duas assímptotas verticais do gráico de. e Resolução: D IR\ 0. b) ( ) {} é contínua porque é dierença e quociente de unções contínuas (eponencial, constante e polinomial). Pontos onde podem eistir assímptotas verticais: 0 0 ( ) 0 e (pela Regra de Cauchy) 0 não é assímptota vertical do gráico de. o gráico de não tem assímptotas verticais.

13 Capítulo V: Derivação c) ( ) ln Resolução: D ( 4 ) se se 0 < 0 { IR : ( 4 > 0 0) ( 0 < 0) } { IR : ( < < 0) ( 0 < 0) } { IR : 0 < < 0} ],[ é continua em todo o seu domínio ecepto em 0: Para > 0, é continua porque é composta de unções contínuas (logarítmica com polinomial). Para < 0, é continua porque é uma unção racional. Para 0, ( ) ln( + 4) ln( 4) é descontinua em ( ), logo Pontos onde podem eistir assímptotas verticais: 0 e. (Eercício ) Assímptotas não verticais: Consideremos as unções representadas graicamente: ( ) g( ) + Quando + o gráico da unção aproima-se da recta y 0. Quando o gráico da unção aproima-se da recta y 0. Dizemos que a recta y 0 é uma assímptota horizontal (bilateral).

14 Capítulo V: Derivação No caso da unção g, quando ± o gráico da unção g aproima-se da recta y. Note-se que g( ) e 0 quando ± A eistência de assímptotas não verticais (horizontais e oblíquas) depende do comportamento da unção quando + e quando. Se a recta y m + b é uma assímptota não vertical do gráico da unção, quando +, é porque o gráico da unção se aproima cada vez mais da recta quando +. (De modo inteiramente análogo se diria quando ). Suponhamos que +. Temos que + [ ( ) ( m + b) ] 0 Desta epressão vamos determinar as constantes m e b.. Determinação de m : [ ( ) ( m + b) ] 0 + Dividindo por vem: + Logo, ( ) ( m + b) ( ) m + ( ) ( ) m + m m 0 ( ) b 0 Determinação de b : + [ ( ) ( m + b) ] 0 ( ( ) m) b b ( ( ) m) Logo, b ( ( ) m) No caso em que, procedendo do modo análogo concluímos que:

15 Capítulo V: Derivação 4 Notas: ( ) m b ( ( ) m) A eistência de assímptotas não verticais (horizontais ou oblíquas) pressupõe que as epressões ( ) e ( ) tenham sentido, isto é, que o domínio da unção + contenha um intervalo iitado do tipo ], a[ e/ou ],+ [ Se m 0 então a assímptota, a eistir, é horizontal. a. Se m ou não eistir, então o gráico da unção não tem assímptotas não verticais. Se b ou não eistir, então o gráico da unção não tem assímptotas Em geral, é mais ácil determinar as assímptotas horizontais do que as oblíquas, pelo que há vantagem em começar por veriicar se uma unção tem assímptotas horizontais: b ( ), e caso este ite seja inito conclui-se que a (única) ± assímptota não vertical é y b. Se uma unção tem uma assímptota horizontal quando + então não pode ter simultaneamente uma oblíqua quando +. Porquê? Uma unção pode ter uma assímptota horizontal e outra oblíqua desde que uma seja quando + e outra quando. O gráico de uma unção pode intersectar no máimo uma vez uma assímptota vertical (caso em que a unção é descontinua num ponto mas está deinida nesse ponto). O gráico de uma unção pode intersectar mais do que uma vez uma assímptota não vertical. Por eemplo, consideremos a unção deinida por ( ) 5 sen 0 ( ) + cuja representação gráica é: se se 0 0

16 Capítulo V: Derivação 5 Veriique que a recta y é uma assímptota oblíqua ao gráico de. Eercício: Determine, caso eistam, as assímptotas não verticais dos gráicos das seguintes unções: a) ( ) Resolução: D,, +. ] [ ] [ Assímptotas horizontais: + + Note que nos dois ites anteriores não se consegue levantar as indeterminações aplicando a Regra de Cauchy (eperimente!). y é uma assímptota horizontal do gráico de quando + e y é uma assímptota horizontal do gráico de quando. b) ( ) e Resolução: {} 0 D IR\. Assímptotas horizontais: + e e + + e 0 (Re gra de Cauchy) y 0 é uma assímptota horizontal do gráico de quando e o gráico de não tem assímptotas horizontais quando +.

17 Capítulo V: Derivação 6 Assimptotas oblíquas: m ( ) e e e + o gráico de não admite assímptotas oblíquas quando +. c) ( ) ln Resolução: ( 4 ) ] [ D,. se se 0 < 0 Neste caso não az sentido veriicar se a unção tem assímptotas oblíquas quando +. Assímptotas horizontais quando ( ) 0 : y 0 é uma assímptotas horizontal do gráico de.