Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x,

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1 Elementos de Cálculo Dierencial Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma unção. Supona que uma variável y seja dada como uma unção de uma outra variável, y ( ). Por eemplo, a variável y pode ser o tamano de uma população e a variável pode ser o tempo; ou y pode ser a concentração de uma enzima e é novamente o tempo. Nem sempre a variável independente é o tempo. Por eemplo, ela pode ser a temperatura de um dado ambiente ou a distância medida a partir de um ponto de reerência. Sem nos importarmos com o que y e representam biologicamente ou isicamente, podemos pensar nelas e na unção como entidades matemáticas.

2 Se representarmos a unção y () em um gráico, podemos deinir a taa de variação de y quando varia de para como, y y y ( ) ( ). Veja a igura a seguir, reproduzida da aula anterior, só que agora escrita em termos de y e. Da igura, vemos que a taa de variação y é igual à inclinação da reta R que une os pontos (y, ) e (y, ), deinida por tg θ.

3 A idéia central do cálculo dierencial está em passar dessa taa de variação que requer o conecimento do valor da unção em dois pontos para a taa de variação instantânea, calculada em um dado ponto da unção. Veja o gráico a seguir, também retirado da aula anterior, só que escrito em termos das variáveis e y. Do deseno vemos que, à medida que 0, a reta R tende para a reta tangente à curva y() no ponto.

4 A inclinação da reta tangente à unção y() no ponto é camada de derivada de y em relação a no ponto, dy d lim y. Quando o limite deinido pela equação acima eiste (eistem casos em que ele não eiste), dizemos que a unção y () é dierenciável em. Eistem diversas maneiras simbólicas dierentes de se denotar a derivada de uma unção. Dependendo do livro que você vena a consultar você poderá ver uma ou outra, mas todas são equivalentes. As mais comuns são: y (lê-se y lina), ( ), d/d. Também é muito comum se representar a derivada de uma unção que depende do tempo y(t) em relação a t por um ponto acima da unção: y (lê-se y ponto).

5 Até aqui, o que vimos é o que já avia sido apresentado na aula anterior. A derivada de uma unção y () em um dado ponto é igual à inclinação da reta tangente à unção no ponto (calculada como tg θ, onde θ é o ângulo eito pela reta tangente com a orizontal). Essa deinição que é a visão geométrica da derivada é muito útil quando se tem condições de desenar o gráico da unção (). Mas nem sempre isso é possível, ou desejável, como no caso do item (b) do eercício 5 da aula 0. Em tais casos, é desejável poder calcular o valor da derivada analiticamente ao invés de geometricamente. Para azermos o cálculo analítico de uma derivada, temos que usar a deinição, dy d lim y Portanto, temos que ser capazes de calcular o limite acima..

6 Para entender como isso pode ser eito, é mais ácil reescrever a deinição substituindo por e por. Neste caso, (veja a igura abaio). Camamos de incremento em. Ele pode ser positivo (isto é, estar à direita de ), ou negativo (isto é, estar à esquerda de ). O valor de y () no ponto é igual a ( ), de maneira que y ( ) (). Então, podemos escrever, y ( ) ( ), e a derivada de y () no ponto ica sendo dada por,

7 dy d '( ) lim 0 ( ) ( ). O número obtido a partir da equação acima é igual à inclinação da reta tangente à unção y () no ponto. Para se calcular o limite acima, deve-se manter a variável constante, mas azer ir para zero. Porém, não se pode azer isso diretamente na equação acima, pois azendo 0 nela obtemos, ( 0) e isso não tem signiicado. ( ) ( ) ( ) , Na realidade, nem sempre é ácil calcular o limite acima e um pouco de engenosidade matemática é necessário. Vamos mostrar alguns eemplos de cálculos de derivadas para unções em que esse cálculo não é muito diícil. Depois, vamos apenas dar os resultados do cálculo da derivada para outras unções mais complicadas.

8 Eemplo. Calcule a derivada da unção y ( ) a b, onde a e b são constantes, em um ponto qualquer. Para calcular a derivada, precisamos primeiro calcular, Então, ( ) dy d ( ) [ a( ) b] ( a b) '( ) lim 0 ( ) a ( ) lim a 0 a. a. Portanto, a derivada de uma unção linear cujo coeiciente angular é a é igual ao próprio coeiciente angular a. Note que isso az sentido, de acordo com a interpretação geométrica da derivada, pois a reta tangente à unção linear é a própria unção e a sua inclinação é dada pelo seu coeiciente angular. Este eemplo nos permite deduzir um caso particular, que é o da derivada de uma unção constante, y ( ) b. Eemplo. Calcule a derivada da unção onde b é uma constante, em um ponto qualquer. y ( ) b,

9 dy d '( ) lim 0 ( ) ( ) 0 lim 0 0. Uma unção constante y b é uma reta paralela ao eio-; portanto, o seu coeiciente angular (a sua inclinação) é nulo. É por isso que a sua derivada é zero. Eemplo. Calcule a derivada da unção quadrática y ( ) em um ponto qualquer. Para calcular a derivada, precisamos primeiro calcular, ( ) ( ) ( ). Então, dy d '( ) lim 0 ( ). Portanto, a derivada de uma unção quadrática, y, num dado ponto é igual a vezes esse valor de. Este caso é interessante, porque mostra que a derivada de uma unção () pode ser, ela mesma, uma unção de.

10 No caso, a derivada da unção quadrática y é a unção linear g. A partir da órmula acima, podemos calcular a derivada da unção y em alguns pontos, por eemplo: 0, ± e ±. Em 0: y (0).0 0. Em : y ().. Em : y ().(). Em : y (). 4. Em : y ().() 4. Essas derivadas podem ser vistas geometricamente no gráico da unção y dado a seguir. O gráico mostra as retas tangentes à unção nos pontos ± e ±. A reta tangente à unção y no ponto 0 é o próprio eio-. Note que quanto mais distante ica da origem, mais inclinada ica a curva.

11 Do lado direito da origem, temos inclinações positivas e, do lado esquerdo, temos inclinações negativas. O gráico abaio mostra a unção derivada de y, g().

12 Note que a derivada é positiva para > 0 e é negativa para < 0. Em 0, a derivada é nula. Eemplo. Calcule a derivada da unção cúbica em um ponto qualquer. ) ( y Para calcular a derivada, precisamos primeiro calcular, ( ). ) ( ) ( ) ( ) ( Então, ( ). lim ) '( 0 d dy Portanto, a derivada de uma unção cúbica, y, num dado ponto é igual a vezes esse valor de ao quadrado. Eemplo 4. Calcule a derivada da unção potência em um ponto qualquer, para n sendo um número real qualquer, positivo ou negativo. n y ) (

13 Este é um eemplo de uma unção cuja derivada não é tão ácil de ser calculada. No entanto, eistem métodos que nos permitem obter o resultado. Eles não serão dados aqui, o que nos importa em biologia é saber o resultado. Se y () n, onde n é um número real qualquer, inteiro ou racionário, positivo ou negativo, então a derivada de y em qualquer ponto é, dy d '( ) n Esta é uma órmula tão importante que é melor você memorizá-la. Para ajudar, vamos calcular as seguintes derivadas como eercício: y 5. y () 5 4. y -7. y () 7-8 7/ 8. y -. y () - /. y /. y (). y /. y ().. n.

14 Nem toda unção possui derivada em todos os pontos do seu domínio. Vejamos o seguinte caso. Eemplo 5. Calcule a derivada da unção módulo y ( ) no ponto 0. Um ato que não oi mencionado anteriormente, porque não oi necessário, é que o limite de uma unção quando o incremento 0 pela direita de pode ter um valor dierente do limite da unção quando 0 pela esquerda de. No caso da unção módulo, quando 0 pela direita de 0: (0 ) (0) 0 0 lim lim lim lim > > > > 0 0 Já quando 0 pela esquerda de 0: (0 ) (0) 0 0 lim lim lim lim < < < < 0 0

15 Para que a derivada da unção y em 0 eistisse, seria necessário que o limite osse único, independentemente de como nos aproimamos de 0, pela direita ou pela esquerda. Porém, neste caso isso não acontece: quando nos aproimamos pela direita, o limite vale ; quando nos aproimamos pela esquerda, o limite vale. Portanto, a unção y não possui derivada em 0. O gráico da unção módulo está dado abaio. Observe que, na origem, o gráico de y orma um bico. Em um caso assim, não se pode determinar a tangente à curva no ponto do bico ( 0). Portanto, a unção não possui derivada nesse ponto.

16 Note que a derivada da unção módulo eiste para qualquer outro ponto 0. Nesses pontos, a unção módulo é uma unção linear (lina reta) e a sua derivada (veja o eercício ) é uma constante igual ao coeiciente angular da reta, que nesse caso é para > 0 e para < 0. Portanto, a derivada de y é uma unção descontínua na origem. Ela vale à direita de 0 e vale à esquerda de 0, pulando bruscamente de um valor para outro quando cruzamos o ponto 0. Veja o gráico da derivada de y dado abaio.

17 Compare este gráico com o gráico da derivada da unção y, g(), dado algumas páginas acima. Note que a derivada de y também muda de sinal quando passa pela origem, mas essa mudança não é abrupta. Ele é descrita por uma unção contínua, g(). E a derivada de y eiste em 0. Ela vale (0).0 0. Quando a derivada de uma unção y () eiste em todos os pontos do seu domínio, isto é, quando a derivada varia continuamente de um ponto para outro, dizemos que a unção y () é suave. Quando a derivada de uma unção y () não eiste em um dado ponto, isto é, quando a unção derivada é descontínua no ponto, dizemos que a unção y () não é suave em. Em geral, isso pode ser detectado visualmente observando o gráico de y (). Se ele tiver um bico em algum ponto, ele não terá derivada nesse ponto.

18 Eiste um outro caso em que uma unção y () não possui derivada em um dado ponto. É o caso em que a própria unção y () é descontínua no ponto. Veja a igura abaio, que mostra uma unção contínua em todos os pontos (gráico da esquerda) e uma unção descontínua em um ponto (gráico da direita). No ponto a unção mostrada à direita é descontínua e, portanto, não possui derivada. À esquerda de, a derivada da unção tem um valor constante; à direita de, a derivada tem um outro valor constante, mas dierente do primeiro. E a transição de um valor para o outro não é contínua. O que vimos nestes últimos eemplos pode ser sintetizado na rase:

19 Dierenciabilidade implica em continuidade, mas continuidade não implica em dierenciabilidade. Ou seja, se uma unção y () é dierenciável num dado ponto, ela necessariamente deve ser contínua nesse ponto. Um eemplo é a unção do gráico à esquerda na igura anterior. Por outro lado, o ato de uma unção ser contínua num dado ponto não é garantia de que a derivada da unção eista em. Um eemplo é a unção módulo, y. Ela é contínua em 0, mas não possui derivada nesse ponto. Em geral, qualquer unção que tena um bico em um dado ponto é contínua no ponto, mas não tem derivada nele. Estamos alando sobre unções contínuas sem ter dado uma deinição de continuidade. Não vamos dar uma deinição matematicamente rigorosa aqui, mas apenas uma que espera-se vá ajudá-los a entender a idéia de continuidade:

20 Uma unção contínua é aquela cujo gráico pode, em princípio, ser traçado à mão sem que seja preciso levantar a ponta da caneta ou lápis do papel. Vamos agora dar, sem demonstração, as órmulas para as derivadas de algumas combinações de unções que serão encontradas muitas vezes ao longo deste curso e de outros que vocês izerem. Vamos supor que as unções () e g() tenam derivadas conecidas e iguais, respectivamente, a () e g (). a) Derivada de uma constante vezes uma unção: d ( c. ( ) ) d d ( ) c. d b) Derivada da soma de duas unções: d [ ( ) g( ) ] d d ( ) dg( ). d d c) Derivada do produto de duas unções: d [ ( ). g( ) ] d d ( ) dg( ). g( ) ( ).. d d

21 d) Derivada de uma unção composta (unção de unção): Seja a unção composta ( g( )). dy d y Então, d dg dg. d Esta órmula é conecida como regra da cadeia. e) Derivada do quociente de duas unções:. d ( ) g( ) d [ '( ). g( ) ( ). g'( ) ] ( g( ) ). ) Derivadas de unções trigonométricas: d(sen d ) cos. d(cos d ) sen. d(tg ) d cos. d(cotg ) d sen g) Derivada das unções eponencial e logarítmica (na base e): ( e ) e. d d d ( ln ) d..