Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Disciplina: Cálculo Dierencial e Integral I Pro. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL red@mat.upb.br Curso de Matemática UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle Site da UFPBVIRTUAL Site do curso Teleone UFPBVIRTUAL Carga orária: 6 oras Créditos: 4 Ementa Limites, Continuidade e Derivadas. Descrição Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenam cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde oram apresentados aos conteúdos das unções: polinomiais, eponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalando em grupo e utilizando como erramenta a plataorma Moodle. Objetivos Ao inal do curso, espera-se que o aluno esteja abilitado para: Compreender, aplicar o conceito de ites e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma unção real e dominar suas principais propriedades; Construir modelos para resolver problemas envolvendo unções de uma variável real e suas derivadas; Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 6

2 Conteúdo Unidade I Limites Noção Intuitiva Deinição Propriedades dos Limites Limites Laterais Cálculo de Limites Limites no Ininito Limites Ininitos Propriedades dos Limites Ininitos Limites Fundamentais Unidade II Continuidade Continuidade em um ponto Teste de Continuidade Propriedades de Funções Contínuas Composta de Funções Contínuas Teorema do Valor Intermediário: Unidade III Derivada A Derivada de uma Função num Ponto A Reta Tangente Continuidade de Funções Deriváveis Derivadas Laterais Regras de Derivação Derivada das Funções Elementares do Cálculo Regras de L Hospital Derivação de Função Composta Derivada da Função Inversa A Derivada de uma Função na Forma Implícita 6

3 Unidade I Limites. Situando a Temática O conceito de Limite de uma unção realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Dierencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é undamental. Além disso, para compreender esta teoria será preciso que você tena domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem deinidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de cegada, denominado Contra- Domínio. Mais precisamente, : A B é unção A,! y B. Os conjuntos A e B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da unção. O elemento denomina-se a imagem do elemento pela unção. Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você oi apresentado aos conteúdos das unções: polinomiais, eponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de ites. O objetivo desta unidade é dar uma deinição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas reerentes a ites de unções. Tais resultados propriedades e teoremas serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns eemplos ou eercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas reerências bibliográicas. Uma justiicativa para a omissão das demonstrações é tornar o teto conciso. Este teto complementa-se na plataorma MOODLE, onde estão as listas de eercícios e atividades relacionadas com o teto. Os eercícios são parte undamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de eercícios. 6

4 Problematizando a Temática Limite na vida prática Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de ite:. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$,7, então o valor pago por dólares estabiliza em torno de R$ 7,. Logo, podemos alar que o ite valor pago por dólares é igual a R$ 7,, quando o valor pago por dólar tende a R$,7. Podemos representar tal situação por:,7. Imagine uma placa metálica quadrada que se epande uniormemente por estar sendo aquecida. Se representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 7 A. Evidentemente, quando se aproima de, a área da placa A se aproima de 9. Epressamos essa situação simbolicamente por. Suponamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador or calcado para baio em torno de cm, então a velocidade se manterá próimo aos 6 Km/. Logo, podemos dizer que o ite velocidade instantânea do automóvel é igual a 6 Km/, quando o acelerador tender a cm para baio. Matematicamente escrevemos tal situação por v onde v é a velocidade instantânea do automóvel e é a medida em 9 6, centímetros do deslocamento do pedal do acelerador. 4. Outra aplicação interessante do ite de uma unção é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em queda livre sob a ação da gravidade. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: Noção Intuitiva Deinição Propriedades dos Limites Limites Laterais Cálculo de Limites 64

5 Limites no Ininito Limites Ininitos Propriedades dos Limites Ininitos Limites Fundamentais. Conecendo a Temática. Limites.. Noção Intuitiva Estudaremos o comportamento de uma unção nas proimidades de um ponto. Para iar idéias, consideremos a unção : R \ {}R deinida por: Ao analisar o comportamento desta unção nas vizinanças do ponto, ponto este que não pertence ao domínio de, constatamos que esta unção se aproima rapidamente do valor L, quando os valores de se aproimam de, tanto por valores de < à esquerda de como por valores > à direita de. Do ponto de vista numérico, a tabela abaio mostra o comportamento da unção, para valores à esquerda e à direita de. TABELA Pela esquerda de Pela direita de, 5, 8, 9, 99, 999, 5,,,,, 5, 8, 9, 99, 999, 5,,,, Neste caso, dizemos L é o ite da unção quando se aproima de, o que denotaremos por: 65

6 .. Deinição Inormal de Limite Seja deinida em um intervalo aberto em torno de eceto talvez em. Se ica arbitrariamente próimo de L, para todos os valores de suicientemente próimos de, dizemos que tem ite L quando tende a e escrevemos L Essa deinição é inormal porque as epressões arbitrariamente próimo e suicientemente próimos são imprecisas; seu signiicado depende do conteto. Para um metalúrgico que abrica um pistão, próimo pode signiicar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáias distantes, próimo pode signiicar alguns milares de anos-luz. Entretanto, a deinição é suicientemente clara para permitir o reconecimento e a avaliação dos ites de várias unções especíicas. Eemplo : O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Deinida em Com eeito, consideremos as seguintes unções: a, b, g, c Note que g Veja Figura. sem que eista, com g e Figura : Funções do Eemplo. 66

7 Eemplo : Os Limites Podem Não Eistir De ato: discutamos o comportamento quando das seguintes unções:, a A unção de salto unitário deinida por U,, b A unção g,, c A unção sen, > Soluções: < a A unção de salto unitário U não tem ite quando porque seus valores saltam em. Para valores negativos de arbitrariamente próimos de zero, U. Para valores positivos de, arbitrariamente próimos de zero, U. Não á um único valor de L do qual U se aproime quando Figura a. b A unção cresce demais para ter um ite: g não tem um valor ite quando porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando e não se mantém próimo de nenum valor real Figura b. c A unção oscila demais para ter um ite: não tem ite quando porque os valores da unção oscilam entre e em cada intervalo aberto que contém. Os valores não se mantêm próimos de nenum número quando Figura c. Figura : Funções do Eemplo. 67

8 .. Deinição Formal de Limite Deinição:Seja uma deinida em um intervalo aberto em torno de, eceto possivelmente em. Dizemos que tem ite L quando e escrevemos L, se, para cada número ε >, eistir um número correspondente δ > tal que para todos os valores de, < < δ L < ε. Graicamente temos: Eemplo: Testando a Deinição Mostre que Solução: sejam, e L na deinição de ite. Para qualquer ε >, precisamos encontrar um δ > adequado δ δ ε, isto é, o número real δ depende do número real ε ornecido, tal que se e está a uma distância menor do que δ de, ou seja, se < < δ, então está a uma distância menor do que ε de L, isto é, < ε. Encontraremos δ ao resolvermos a inequação: 68

9 < ε.daí, basta escoler δ ε e veriica-se que...4 Propriedades dos Limites Muitas unções do Cálculo podem ser obtidas como somas, dierenças, produtos, quocientes e potências de unções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simpliicar as unções mais elaboradas. Teorema.: Unicidade do Limite: O ite de uma unção, quando eiste, é único, isto é, Se L e M, então L M Teorema.: Se L, M, e k são números reais e L e g M então:. Regra da Soma: O ite da soma de duas unções é a soma de seus ites, isto é, g L M. Regra da Dierença: O ite da dierença de duas unções é a dierença de seus ites, isto é, g L M. Regra do Produto: O ite do produto de duas unções é o produto de seus ites, isto é, g L M 4. Regra da Multiplicação por Constante: O ite de uma constante multiplicada pela unção é a constante multiplicada pelo ite da unção, isto é, Em particular, k k L k k 69

10 7 5. Regra do Quociente: O ite do quociente de duas unções é o quociente de seus ites, desde que o ite do denominador seja dierente de zero, isto é, M,. M L g 6. Regra da Potenciação: O ite de uma potência racional de uma unção é a potência do ite da unção, desde que a última seja um número real, isto é, Se r e s são números inteiros e s, então s r s r L desde que s r L seja um número real. Eemplo: Usando as Regras do Limite, calcule 5 Solução: Observação: A Regra da Soma que vale para duas unções, também vale para um número inito de unções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui ite, então o ite da soma de todas as parcelas não eistirá. Veriique esta airmação. Observação: O Teorema. só é válido se ambas as unções e g possuírem ites. Veriique esta airmação.

11 Teorema. Teorema do Sanduíce: Se valem as desigualdades g para todo em um intervalo aberto contendo, eceto talvez em e se L, então g L Deinição: Dizemos que uma unção é itada quando eiste uma constante C > tal que C, para todo D, onde D representa o Domínio da unção. Corolário.: Se é uma unção itada e g é uma unção tal que g, então g, mesmo que não eista. Eemplo: Mostre que sen Solução: Como sen, e, conclui-se, pelo Corolário., que sen..5 Limites Laterais Deinição. Seja uma unção deinida em um intervalo aberto,b, onde < b. Dizemos que um número L é o ite à direita da unção quando tende para, e escrevemos L se, para todo ε >, eiste um δ > tal que L < ε sempre que < δ. < Notação: com > 7

12 Deinição. Seja uma unção deinida em um intervalo aberto, c, onde c <. Dizemos que um número L é o ite à esquerda da unção quando tende para, e escrevemos L se, para todo ε >, eiste um δ > tal que L < ε sempre que δ < <. Observação: Os Teoremas.,. e. continuam válidos quando substituímos por ou. Notação: com < Eemplo: Seja,, Como,, > < conclui-se que e Teorema.4. Se é uma unção deinida em um intervalo aberto contendo, eceto possivelmente no ponto, então L se, e somente se, L e L. Eemplo: Utilizando o Teorema.4 Como e, conclui-se, do eemplo anterior, que não eiste. 7

13 ..6 Cálculo de Limites Antes de apresentar eemplos de cálculos de ites, vamos alar um pouco sobre epressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as epressões:,, -,,,, São indeterminadas. O que signiica isto? Eemplo: Veriicando a indeterminação. a Sejam e g. Temos que g e g b Sejam e g. Temos que g e neste caso, g Analisaremos, agora, alguns eemplos de cálculo de ites onde os artiícios algébricos são necessários: são casos de unções racionais em que o ite do denominador é zero num determinado ponto e o ite do numerador também é zero neste mesmo ponto. Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo. 7

14 74 Eemplo: Calcule 4 Solução: Eemplo: Calcule Solução: Para este eemplo usaremos o artiício da racionalização do numerador da unção. Segue então,..7 Limites no Ininito O símbolo não representa nenum número real. Usamos para descrever o comportamento de uma unção quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os ites initos. Por eemplo, a unção é deinida para qualquer valor de Figura. Quando vai se tornando cada vez maior, se torna próimo de zero. Podemos sintetizar esse ato dizendo tem ite quando ±.

15 Figura : Gráico de y Deinição. Seja uma unção deinida em um intervalo aberto a,. Escrevemos, L ε >, M > ; > M L < ε. Analogamente, Deinição. Seja uma unção deinida em um intervalo aberto,b. Escrevemos, L ε >, N < ; < N L < ε. Deinição. A reta y b é uma assíntota orizontal do gráico da unção y Se ou b b Teorema.5. Se n é um número inteiro positivo, então a n b n c K K,onde K é uma constante ± Observação: Os Teoremas.,. e. continuam válidos quando substituímos por ou. 75

16 76 Eemplo: Usando as propriedades de ites, calcule 4 Solução: Limites Ininitos Deinição: Seja uma unção deinida num intervalo aberto contendo, eceto, possivelmente, em. Dizemos que, > > δ M ; M > < < δ Deinição: Seja uma unção deinida num intervalo aberto contendo, eceto, possivelmente, em. Dizemos que, > > δ N ; N < < < δ

17 Deinição. A reta é uma assíntota vertical do gráico da unção y se ± ou ±. Eemplo: Encontre as assíntotas do gráico da unção 8 4 Veja igura 4. Solução: Estamos interessados no comportamento do gráico quando ± e quando ±, onde o denominador é zero. Observe que é uma unção par de, isto é,, para todo ±. Neste caso, o gráico de é simétrico em relação ao eio y. O comportamento quando ± assíntota orizontal.. Como ±, tem-se que a reta y é uma O comportamento quando ±. Uma vez que é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria, e, a reta, também é uma assíntota vertical. 8 Figura 4: Gráico de y 4 77

18 Observação: A tabela abaio nos dá um resumo dos atos principais válidos para os ites ininitos, onde podemos ter,,, ou. g simbolicamente ± ± g ± ± ± ± g? k ± g 4 k ± g 5 g 6 g 7 k > g 8 k < g 9 ± g é indeterminação ± k ± k k, k >? k ± g k ± k, k < ± é indeterminação ± ± g? ± ± é indeterminação k > g k, k > g 4 k > g k, k > 5 g 6 g? é indeterminação 5 Eemplo: Determinar 4 Solução: Neste caso, temos uma indeterminação artiício de cálculo. Escrevemos,. Para determinar o ite usamos o seguinte

19 ..9 Limites Fundamentais Teorema.6. a sen, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é, , b e c a ln a a >, a Eemplo: Calcule sen sen Solução: sen sen sen sen sen sen Neste eemplo, sen Analogamente, senu u u. sen, onde u e u quando. sen sen e 4. Avaliando o que oi construído Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de ites de unções, oi apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos eemplos, usando as propriedades, alguns ites de unções. Porém, ique certo, ainda á muito que aprender dentro de tema. No Moodle... 79

20 Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Dierencial I na plataorma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompane. Aguardo você no MOODLE! 5. Reerências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Tomas, George B., CÁLCULO, Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 8

21 Unidade II Continuidade. Situando a Temática Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráico de uma unção cujos valores oram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da unção em todos os instantes em que não medimos Figura 5. Fazendo isso, supomos que estamos trabalando com uma unção contínua, uma unção cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. Qualquer unção cujo gráico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um eemplo de unção contínua. Mas uma unção pode ser contínua e seu gráico se compor de dois pedaços distintos. Veriique esta airmação. Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade. Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: Continuidade em um ponto Teste de Continuidade Propriedades de Funções Contínuas Composta de Funções Contínuas Teorema do Valor Intermediário 8

22 . Problematizando a Temática As unções contínuas são usadas para acar o ponto em que um planeta mais se aproima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as unções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos ísicos ocorrem de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os ísicos descobriram, em 9, que a luz vem em partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em reqüências distintas Figura 6. Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em unção do grande uso de unções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática quanto teoricamente. Figura 6. Conecendo a Temática.. Continuidade em um Ponto Deinição. Seja I R um intervalo. Uma unção : I R é contínua em um ponto a I quando a a 8

23 Considerações sobre a Deinição a Quando não é contínua em um ponto a, dizemos que é descontínua em a e que a é um ponto de descontinuidade de ; b contínua à esquerda no ponto c contínua à direita no ponto a quando a a ; a quando a a. Eemplo: Uma unção com Descontinuidade de Salto, < A unção Salto Unitário deinida por U é contínua à direita em, mas não, é contínua à esquerda nem contínua aí Veja Figura a. Ela apresenta descontinuidade de salto em. Continuidade Deinição. Seja I R um intervalo. Uma unção : I R é contínua quando é contínua em todo ponto a I Eemplo: Identiicando Funções Contínuas A unção Figura é contínua em todo.. Propriedades de Funções Contínuas. Teorema.: Se e g são unções contínuas em a, então as seguintes combinações são contínuas em a.. Soma: g. Dierença: g. Produto: g 4. Constantes Múltiplas: k, para qualquer número k 5. Quociente: g, desde que g a 8

24 .4. Composta de Funções Contínuas. Teorema.4. Se é contínua em a e g em b a, então a composta go é contínua em a, isto é, g g g a a a Eemplo: Usando as propriedades de unções contínuas, conclua que a unção é contínua em Solução: Sejam e g. Daí, go g. Sendo e g g, tem-se que g g.5. Teorema do Valor Intermediário Teorema.5..Seja : [ a, b] R uma unção contínua em um intervalo ecado [ b] a y b, então y para algum c em [ b] c a,. a, tal que 84

25 Eemplo: Aplicando o Teorema.5 Eiste algum número real que somado a seja eatamente igual ao seu cubo? Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. Com eeito, seja este tal número que deve satisazer a equação ou, equivalentemente,. Portanto, estamos procurando um zero da unção contínua Veja Figura 7 abaio. Esta unção muda de sinal no intervalo [,] deve eistir um ponto c entre e tal que c, pois < < 5, logo Figura 7 Ampliando o seu Conecimento Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta orizontal y d cruzando o eio y entre os números a e b cruzará a curva a, b, y pelo menos uma vez no intervalo [ ] desde que seja contínua em [ a, b]. 85

26 4. Avaliando o que oi construído Dialogando e Construindo Conecimento No Moodle... Vá à plataorma MOODLE e dedique-se à resolução das tareas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das unções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataorma e procurar resolver os eercícios nela proposta. Dialogando e Construindo Conecimento Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tena sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de diiculdade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco. 5. Reerências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, 987. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Tomas, George B., CÁLCULO. Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 86

27 Unidade III Derivadas. Situando a Temática No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Ininitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de d e dy para designar os ininitésimos em e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conecido oje como Cálculo Dierencial. A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Dierencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por eemplo, as derivadas são muito usadas em Engenaria, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento s st, onde t representa o tempo, para eplicar o uncionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para ora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições. A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do mundo das derivadas. Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: A Derivada de uma Função num Ponto A Reta Tangente Continuidade de Funções Deriváveis Derivadas Laterais Regras de Derivação Derivada das Funções Elementares do Cálculo Regras de L Hospital Derivação de Função Composta Derivada da Função Inversa A Derivada de uma Função na Forma Implícita 87

28 . Problematizando a Temática Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva y no ponto P, y, onde y Para solucionarmos este problema precisamos deinir o conceito de derivada de uma unção num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que envolvem derivadas.. Conecendo a Temática. A Derivada de uma Função Deinição. A derivada de uma unção y em relação à variável é a unção cujo valor em é, desde que este ite eista. Considerações sobre a Deinição: a O domínio de é o conjunto de pontos no domínio de para o qual o ite eiste. Ele pode ser o mesmo domínio de ou menor; b Se eiste para um determinado valor de, dizemos que é derivável em ; Calculando a partir da Deinição de Derivada Passo. Escreva epressões para e Passo. Desenvolva e simpliique o quociente Passo. Usando o quociente simpliicado, encontre Eemplo: Aplicando a Deinição calculando o ite 88

29 Encontre a derivada de y para >. Solução: Passo : e Passo : Passo : o Veja Figura 8 a e 8b Figura 8 Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma unção y. Além de, as notações mais comuns são: i y lê-se y lina. Esta notação oi dada por Newton dy ii d lê-se dyd. Esta notação oi dada por Leibniz 89

30 .. A Reta Tangente Deinição. Dada uma curva de equação y, seja P, y um ponto sobre ela, ou seja, y. A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeiciente angular m T é dado pela epressão m T, quando este ite eiste. Assim, m T. Eemplo: Determine a equação da reta tangente à curva y em 4 Solução: Do Eemplo., vimos que Logo, o coeiciente angular da reta tangente a esta curva em 4 é dado por m T A reta tangente passa pelo ponto P 4, e tem como equação y 4 y 4 4 Figura 9 9

31 9. Continuidade de Funções Deriváveis Teorema.. Se é derivável em, então é contínua. Corolário.. Se não é contínua em, então não é derivável em Observação: Nem toda unção contínua é derivável. Vejamos a seguir Eemplo: A unção, é contínua em mas não é derivável aí, pois > e que não eiste e, portanto, não é derivável neste ponto. Prova: Como eiste, devemos mostrar que ou, equivalentemente, que. Com eeito, se, então Assim,

32 .4 Derivadas Laterais Deinição Se a unção y está deinida em,então a derivada à direita de em, denotada por, é deinida por, caso este ite eista. Analogamente, a derivada à esquerda de em, denotada por, é deinida por desde que este ite eista., Considerações sobre a Deinição: a Uma unção é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto eistem e são iguais; b Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda eistem e são dierentes em um ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráico da unção y. Neste caso, não é derivável em ; c Se uma das derivadas laterais não eiste em um ponto, então não será derivável em. Eemplo: A unção não é derivável em, embora seja contínua aí Solução: À direita da origem > d d d d 9

33 À esquerda da origem <, e d d d d e Como, tem-se que não é derivável Veja Figura. Figura 9

34 .5 Regras de Derivação Teorema.5. Se e g são unções deriváveis em, então as seguintes combinações são deriváveis em. Soma: g ; e g g. Dierença: g ; e g g. Produto: g e g g g ; 4. Quociente g e g g, desde que g ; g [ g ] 5. Constantes Múltiplas: k e k k, para todo número real k. No Moodle... Olá pessoal, visite a plataorma MOODLE e resolva os seguintes eercícios: i Prove o Teorema.5 Regras de Derivação ii Mostre que d d n n iii Mostre que C n Derivada da Potência d d, onde n é um número real, onde C é uma constante. 94

35 95 Eemplo: Aplicando as regras de derivação Determine as derivadas das seguintes unções: a b 5 g c 4 d y Solução: a [ ] [ b 5 5 g c 4 4

36 d y [ ].6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo Nesta seção apresentaremos as derivadas das unções elementares: eponencial, logarítmica e trigonométricas. Função e Derivada e ln, > sen cos 4 cos sen 5 tg sec 6 cot g cos sec 7 sec sec tg 8 cos sec cos sec cot g 96

37 Eemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes unções: a y sen b y tg e c y ln d y sec cos Solução: a y sen cos b y tg e tg e sec e c y ln ln ln ln ln d y sec cos sec tg cos sen sec tg cos sen 97

38 .7. Regras de L Hospital Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo método é dado pelas Regras de L Hospital dadas a seguir. ou. Esse Teorema.7.Regras de L ospital: Sejam eceto, possivelmente, em um ponto e g unções deriváveis num intervalo aberto I, a I. Suponamos que g, a em I. i Se a g a e L, g a então a g a g L ii Se a g a e L, g a então a g a g L Considerações sobre o Teorema.7: i Se g e L, então L a a a g g a e assim sucessivamente... ii Se g e L, então a a a g L e assim sucessivamente... g a Eemplo: Determine os seguintes ites: a b 6 sen e e 98

39 c e 4 Solução: Aplicando as Regras de L ospital, temos 6 5 a 5 sen cos sen b e e e e e e e e e e c Observação: As Regras de L ospital são válidas para ites laterais e ites no ininito..8. Derivação de Função Composta Consideremos duas unções e g onde u g. Para todo tal que g está no domínio de, podemos escrever y u g, isto é, podemos considerar a unção composta o g g. Por eemplo, uma unção tal como 7 composta das unções y u u e u 5 g Ver Figura.9 Tomas página 8 Teorema.8. A Regra da Cadeia 7 y 5 pode ser vista como a Se u é derivável no ponto u g e g é derivável em, então a unção composta o g g è derivável em e o g g g u u Na notação de Leibniz, se y u e u g, então dy d dy du, du d onde dy é calculado em u g. du 99

40 Eemplo: Dada a unção y 5 7 dy, determinar. d Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever Assim, pela Regra da Cadeia, 7 y u u, onde u 5 g dy d dy du du d 7u Eemplo: Dada a unção dy y e sen cos, determinar d Solução: Sejam u, v e w cos. Assim, podemos escrever y e u senv w Assim, pela Regra da Cadeia, u y e sen cos e senv w u e senv w e u cosv v w w e.9. Derivada da Função Inversa u e cos cos sen cos sencos Teorema.9. Derivada da Função Inversa Seja y uma unção deinida em um intervalo aberto a, b. Suponamos que Admita uma unção inversa gy contínua. Se eiste e é dierente de zero para qualquer ponto a, b, então g é derivável e vale g y ou g y g

41 Prova: Sendo g, tem-se que g, para todo a, b e usando a Regra da Cadeia, conclui-se g g Eemplo.9: Seja y, >. Determine g, onde g. Solução : g y y y Veriique!. Daí, g y y. y Em particular, g 4 Solução : Pelo Teorema.8, Em particular, Assim, g y g y g Derivada da Função Implícita.9.. Função na Forma Implícita Dizemos que a unção y é deinida implicitamente pela equação F, y se ao substituirmos y por nesta equação obtemos uma identidade, isto é, F,. Eemplo: A equação y deine implicitamente a unção y.

42 De ato, substituindo y na equação y, obtemos a identidade..9.. A Derivada de uma Função na Forma Implícita Suponamos que a equação F, y deine implicitamente uma unção derivável y. Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y sem eplicitar y. Eemplo: Sabendo que y é deinida implicitamente pela equação y y y, determinar y. Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à e supondo que y é derivável, obtém-se: y y y c y y y c y yy 6y y y Isolando y na última igualdade, temos y y y 6y Em particular, o ponto P, está na curva y e aí, y, E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por y y

43 se Co nto cime Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transormar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente unções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou eperiências realizadas, a procurar determinar a órmula ou unção que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais unções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de acilitar o estudo de curvas já conecidas permitiu a criação de novas curvas, imagens geométricas de unções deinidas por relações entre variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas unções que Fermat deu conta das itações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reormular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráico num dado ponto. Esta diiculdade icou conecida na História da Matemática como o Problema da Tangente. Ampliando o seu Conecimento Ampliando Fermat notou que, para certas unções nos pontos onde a curva assumia valores etremos, a tangente ao gráico devia ser uma reta orizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos P, com valor assumido no outro ponto Q, próimo de P, a dierença entre e era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de, dierença das abcisssas de Q e P. Assim, o problema de determinar etremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat o verdadeiro inventor do Cálculo Dierencial. Contudo, Fermat não dispuna de notação apropriada e o conceito de ite não estava ainda claramente deinido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Dierencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de d e dy, para designar os ininitésimos em e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conecido oje como Cálculo Ininitesimal

44 4. Avaliando o que oi construído No Moodle... Na plataorma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Dierencial e Integral I, você poderá testar seus conecimentos a respeito do tema Derivadas. Dedique-se à resolução das tareas relacionadas a este assunto. Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá! Dialogando e Construindo Conecimento Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataorma MOODLE, aça as tareas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tena sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de diiculdade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco. 5.Reerências. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5 a Edição, Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6 a Edição Tomas, George B., CÁLCULO, Vol., Editora Pearson Education do Brasil, a Edição,. 4