Limite e Continuidade

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Limite e Continuidade"

Transcrição

1 Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de uma função real. Limites Seja f : R! R uma função de nida or 2 +, isto é, f) = 2 +. O grá co de f é uma reta que interceta o eio dos y no onto 0; ) e interceta o eio dos no onto ; 0) con ra Figura ). 2 Figura : Grá co da função f) = 2 +. Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 f) 2 2; 8 2; 98 2; 998 2; 9998 e ; 5 ; ; 0 ; 00 ; 000 f) 4 3; 2 3; 02 3; 002 3; 0002 :

2 2 Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de, notação!, tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 3. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 3 quando se aroima de, neste caso usamos a seguinte simbologia: f) = 3: Mais geralmente, temos a seguinte de nição. De nição 0. Seja f uma função qualquer. Se f aroima-se de uma constante L, quando se aroima de um número 0 tanto ela esquerda quanto ela direita, dizemos que f tende ao ite L. Neste caso, escreveremos f) = L:! 0 O número real L é chamado de ite de f no onto 0 con ra Figura abaio). A notação! 0 signi ca que está muito róimo de 0 mas 6= 0. Figura 2: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Eemlo 0.2 Se f) = c é a função constante, então f) = c:! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 3 abaio), temos que o ite de f é igual a c, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c.

3 3 Figura 3: Grá co da função f) = c. Eemlo 0.3 Se f) = é a função identidade, então f) = 0 :! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 4), Figura 4: Grá co função f) =. temos que o ite de f é igual a 0, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c. Eemlo 0.4 Se f é a função de nida or + se ; f) = se > ; então f) não eiste.

4 4 Figura 5: Grá co da função f) = + se ; se > : Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 5), temos que o ite de f é igual a quando se aroima de ela direita e é igual a 2 quando se aroima de ela esquerda. Assim, o ite de f não eiste no onto 0 =, ois ele deende de como se aroima de 0 =. Proriedade 0.5 Proriedades do ite de uma função) Sejam f, g funções quaisquer e c uma constante. Se!0 f) = L e!0 g) = M, então:.!0 f + g)) = L + M; 2.!0 f g)) = L M; 3.!0 cf)) = cl; 4.!0 fg)) = LM; 5.!0 f )) = L, com M 6= 0; g M 6.!0 jf)j = jlj ; 7.!0 [f)] n = L n, 8 n 2 Z e L 6= 0; Eemlo 0.6 Calcular o ite!0 a + b). Solução. Pelos Eemlos acima e as Proriedades e 3, temos que a + b) = a) + b = a + b = a 0 + b:! 0!0!0!0 Mais geralmente, a n n + + a + a 0 ) = a n n a 0 + a 0 :! 0

5 5 Eemlo 0.7 Calcular o ite : Solução. Pelas Proriedades e o Eemlo anterior, temos que = ) 3 + 2) = 4 5 : Mais geralmente, se b m m b 0 + b 0 6= 0. Eemlo 0.8 Calcular o ite a n n + + a + a 0 = a n n a 0 + a 0! 0 b m m + + b + b 0 b m m b 0 + b 0! : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois! =!2 2 4)! ) = 0 0 ; o que é uma forma indeterminada. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que! : 2 4 = 2) + 2) e = 2) ) = 2) + 2)!2 2) ) = + 2)!2 ) =!2 + 2)!2 ) = 4 = 4; ois! 2 signi ca que 2) 6= 0. Note que, esse eemlo mostra que, ara uma função ter ite L quando tende 0, não é necessário que seja de nida em 0. Eemlo 0.9 Calcular o ite 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ;

6 6 o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que 3 : 3 = ) ) 3 = ) ) ) = ) = + + = 3; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, Eemlo 0.0 Calcular o ite n = n: 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como fazendo a = 3 e b =, que 3 : a 3 b 3 = a b)a 2 + ab + b 2 ) = = 3 ) ); ou ainda; 3 = : Portanto, 3 = ) ) = = ) = = 3 ; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, n = n :

7 Observação 0. Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) g) não eiste. 7 Eemlo 0.2 Mostrar que não eiste Solução. Como temos, ela Observação anterior, que ) = 3 6= 0 e 2 ) = 0 não eiste. Eemlo 0.3 Mostrar que não eiste s ) 2 Solução. Como temos, elo Observação, que não eiste. + 3) = 4 6= 0 e )2 = 0 s ) 2

8 8 De nição Formal de Limite Formalmente, dizemos que f) = L;! 0 se dado um número real " > 0, arbitrariamente equeno, eiste em corresondência um > 0 tal que 8 2 R; 0 < j 0 j < ) jf) Lj < ": Figura 6: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Uma vez que j 0 j é a distância de a 0 e jf) Lj é a distância de f) a L, e como " ode ser arbitrariamente equeno, a de nição de ite ode ser escrita em alavras da seguinte forma:!0 f) = L signi ca que a distância entre f) e L ca arbitrariamente equena tomando-se a distância de a a su cientemente equena mais não 0). Ou ainda,!0 f) = L signi ca que os valores de f) odem ser tornados tão róimos de L quanto desejarmos, tomando-se su cientemente róimo de a mas não igual a a). Eemlo 0.4 Mostrar, usando a de nição formal de ite, que 2 3) =!2 Solução. Devemos mostrar que, ara todo " > 0, dado arbitrariamente, odemos encontrar um > 0 tal que 2 R; 0 < j 2j < ) j2 3) j < ": Na resolução deste tio de desigualdade odemos, em geral, obter > 0 desenvolvendo a a rmação envolvendo ". De fato, j2 3) j = j2 4j = 2 j 2j < " ) j 2j < " 2 :

9 9 Assim, dado " > 0, eiste " 2 tal que 0 < j 2j < ) j2 3) j < "; ois j 2j < ) j 2j < " 2 ) 2 j 2j < " ) j2 3) j = 2 j 2j < ": Limites Laterais Seja f : R f0g! R a função de nida or se > 0; f) = + se < 0: O grá co de f é mostrado na Figura 7. Figura 7: Grá co da função f) = se > 0; + se < 0: e Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; ; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 0 ela esquerda, notação! 0, f) se aroima de e quando se aroima de 0 ela direita, notação! 0 +, f) se aroima de. Logo,!0 f) = e f) = :!0 +

10 0 As notações f) = L e f) = L! 0! + 0 signi ca que: f aroima-se do ite L, quando se aroima ela esquerda e ela direita de 0 resectivamente. O número real L é chamado de ite lateral à esquerda ou a direita) de f con ra Figura 8). Figura 8: Grá co da função f. Observação 0.5!0 f) = L se, e somente se,! 0 f) = f) = L;! + 0 ou seja, o ite de uma função em um onto só eiste, se os ites laterais eistirem e forem iguais. Essa observação garante que todas as roriedades de ite continuam válidas ara ites laterais. Eemlo 0.6 Seja f a função de nida or se ; f) = 2 se > : Determinar! f) e! + f). Solução. Como! signi ca que <, logo f) = e, elas roriedades de ites que, ela Observação anterior, continuam válidas ara ites laterais), obtemos! 5 + 5) = 5 ) + 5 = 0: Como! + signi ca que >, temos que f) = :

11 Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 2! =! + 2 )! ) = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que Note que : 2 = ) + ) e = + ) + 3) 2! = ) + )! + + ) + 3) =! = :! f) 6= f):! + Portanto,! f) não eiste. Eemlo 0.7 Seja f uma função de nida or Determine se ossível,!0 f) = jj : f), f) e f):!0 +!0 Solução. A função f não é de nida em = 0, ois f) = j0j = 0 o que é uma 0 0 indeterminação. Observe que! 0 +, então > 0, logo jj = e assim, f) = =. Portanto, f) = :!0 + Por outro lado,! 0, então < 0, logo jj = e assim f) = modo,!0 f) = : =. Deste Como f) 6= f), temos que f) não eiste.!0 +!0!0 Eemlo 0.8 Seja f uma função de nida or 8 >< 3 se < f) = 4 se = >: 2 + se > Determine se ossível, Solução. Se! f), f) e f): + então <, assim f) = + f) = : 3 ) = 2. Por outro lado, se! + então >, assim 2 + ) = 2. Como f) = f), + + temos que f) = 2:

12 2 Limites In nitos e no In nito Seja f : R f2g! R a função de nida or O grá co de f é mostrado na Figura 9. f) = 3 2) 2 : Figura 9: Grá co da função f) = 3 2) 2. Vamos considerar as tabelas f) e f) : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 2 tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) cresce sem ite. Neste caso, dizemos que f) tende ao in nito +) quando se aroima de 2, em símbolos A notação f) = +:!2 f) = + ou f) =! 0!0 signi ca que: f cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente quando se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f tem ite in nito ou, equivalentemente, o ite de f quando se aroima de 0 não eiste. Eemlo 0.9 Mostrar que ) 4 = +: Solução. Pelo grá co de f) = ) 4 con ra Figura 0), temos que o ite de f tende ao in nito no onto 0 =. Pois a medida que se aroima de tanto ela esquerda quanto ela direita f) cresce sem ite.

13 3 Figura 0: Grá co da função f) = ) 4. Eemlo 0.20 Encontre 3 e! 3 : Solução. Quando torna-se muito grande 3 também ca muito grande. Por eemlo: 0 3 = = = : Na realidade, odemos fazer 3 tão grande quanto quisermos tomando grande o su - ciente. Portanto odemos escrever 3 = : Analogamente, quando é muito grande em módulo), orém negativo, 3 também o é. Assim,! 3 = : De nição 0.2 A reta = 0 é uma assíntota vertical do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.!0 f) = ou!0 f) = +. 2.! + 0 f) = ou! + 0 f) = +. Observação 0.22 Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) + ou!0 f) g) = Geralmente,, isto é, o ite não eiste. n n + + a + a 0 )!+ =!+ n a n + a n + + a n + a 0 n ) n = ; g) =

14 4 ois, n + a n!+ + + a n + a 0 n ) = a n n e!+ n = onde a n > 0 ou a n < 0. Se n 2 N é ímar, então Eemlo 0.23 Encontre a n n + + a + a 0 ) =!! 2 ) : Solução. Seria errado escrever! 2 ) =! 2 =. As! roriedades de ite não odem ser alicadas ara ites in nitos, ois não é um número não odemos de nir! 2 = ) =! ois, como e! com seu roduto.! Agora, seja f : R! R a função de nida or O grá co de f) é mostrado na Figura. ). Contudo, odemos escrever! )! = ; ) tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece f) = 2 : Figura : Grá co da função f) = 2. Vamos considerar as tabelas 0 00 :000 0:000 00:000 f) e 0 00 :000 0:000 00:000 f)

15 Pelas tabelas, notamos que, quando cresce sem ite tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 0 quando cresce decresce) sem ite, em símbolos A notação!+ 2 = 0 ou f) = L ou!+! 2 = 0: f) = L! signi ca que: f) tem ite L quando cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente. Neste caso, dizemos que f tem ite no in nito. De nição 0.24 A reta y = L é uma assíntota horizontal do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.! f) = L; 2.!+ f) = L. Observação 0.25 Sejam K 2 R e r 2 Q, r > 0. Então K!+ = 0 e r K! = 0: r Podemos, também, considerar o caso em que tanto como f) cresça ou decresça sem ite. Neste caso, denotaremos or f)!+ = + ou f) =!+ ; f) = :! f) = + ou! Além disso, se g) = L, L 6= 0 e f) =, então f) g) =. n =. Eemlo 0.26 Calcule Solução. Para calcular o ite no in nito de uma função racional, rimeiro dividimos o numerador e o denominador ela maior otência de que ocorre no denominador. Nesse caso a maior otência de no denominador e 2. Logo, = De modo similar, temos que Geralmente, = = = = = 3 5 2! = a n n + + a + a 0 ) = a n + a n!+!+ + + a n + a 0 n ) = a n n onde a n > 0 ou a n < 0. 5

16 6 Eemlo 0.27 Calcular, se eistir, o ite! : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois! =! )! ) = ; o que é uma indeterminação. Pela observação anterior, temos que! =! = + ) ! ) 2 2 = 2!+ + ) 2! ) = = 2 : 2 Eemlo 0.28 Calcular, se eistir, o ite! : Solução. Como a maior otência de no denominador é o rorio, temos:! =! =! = 0: De modo similar, temos que! = 0: Eemlo 0.29 Calcular, se eistir, o ite! : Solução.! =!+ = =!+ q q!+ +!+ 2!+ +!+ =!+ = = q + 2 ) +

17 Teorema 0.30 Teorema do Confronto, do sanduíche ou do imrensamento) Suonhamos que f) h) g) ara todo em um intervalo aberto contendo a, eceto ossivelmente ara o rorio a. Se!a f) = L =!a g) então!a = L: Prova. A demonstração desse teorema ode ser encontrada em tetos mais avançados. 7 Eemlo 0.3 Sabendo que!0 sen não eiste, mostre que!0 2 sen = 0. Solução. Observe inicialmente que não odemos usar 2 sen =!0 or que sen não eiste:no entanto, sabemos que!0 sen ; assim, multilicando a última desigualdade or 2, obtemos 2 2 sen 2 :!0 2 sen!0 Por outro lado, como 2 =!0!0 2 ) = 0, concluimos elo teorema do confronto que!0 2 sen = 0: Continuidade Vamos considerar a função f : R! R de nida or 2 4 se 6= 2; 2 f) = 4 se = 2: Note que:. f2) = 4, isto é, f é de nida no onto 0 = 2; 2.!2 f) =! =!2 + 2) = 4, isto é,!2 f) eiste; 3.!2 f) = 4 = f2). De nição 0.32 Sejam f uma função e 0 2 R ado. Dizemos que f é contínua em 0 se as seguintes condições são satisfeitas:. f 0 ) eiste, isto é, f está de nida no onto 0 ;

18 8 2.!0 f) eiste, isto é,!0 f) é um número real; 3.!0 f) = f 0 ). Observação 0.33 Sejam f uma função e 0 2 X = Dom f um intervalo aberto:. Se f é contínua em 0, então f) = f ):! 0!0 2. Dizemos que f é contínua em X se f é continua em todos os ontos de X. Intuitivamente, f é contínua em X se o grá co de f ode ser traçado, comletamente, sem tirarmos o láis do ael. Se elo menos uma das condições da de nição de função contínua f em 0 não for satisfeita, dizemos que f é descontínua em 0. Neste caso, temos os seguintes tios descontinuidade:. O onto 0 é uma descontinuidade removível de f se f 0 ) não está de nido e!0 f) eistir ou! 0 f) 6= f 0 ): Porque odemos removê-la de nindo adequadamente o valor f 0 ). 2. O onto 0 é uma descontinuidade tio salto de f se os ites laterais eistirem e são diferentes, isto é,! 0 f) 6= f):! O onto 0 é uma descontinuidade essencial de f se f) = ou f) = :! 0! + 0 Eemlo 0.34 Determinar se a função f) = 4 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. Neste tio de roblema, devemos rimeiro encontrar o domínio da função f. É fácil veri car que Dom f = R fg. Como 0 = 2 2 Dom f, odemos falar da continuidade ou não de f em 0 = 2. f2) = 24 2 = 5;

19 9 isto é, f está de nida no onto 0 = 2; isto é,!2 f) eiste; 4 f) =!2!2 = 24 2 = 5; f) = 5 = f2):!2 Portanto, f é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.35 Determinar se a função f) = é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f2g. Como 0 = 2 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 2, isto é, f não está de nida no onto 0 = 2 con ra Figura 2). Figura 2: Grá co da função f) = Neste caso, devemos dizer o tio de descontinuidade de f. 2 2!2 2 =!2 2) + ) 2 =!2 + ) = 3: Assim, 0 = 2 é uma descontinuidade removível de f, ois f não está de nida no onto 0 = 2, no entanto,!2 f) eiste. Note que, a função g : R! R de nida or f) se 6= 2; g) = 3 se = 2; é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.36 Determinar se a função se 6= ; f) = 2 se = é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.

20 20 Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) = = + 2) ) = + 2) = 3: Como f) 6= f) temos que f é descontínua em 0 = con ra Figura 3). Figura 3: Grá co da função f) = se 6= ; 2 se = : Assim, 0 = é uma descontinuidade removível de f, ois, aesar de f estar de nida no onto 0 =, f) 6= f). Note que, função g : R! R de nida or f) se 6= ; g) = 3 se = ; é contínua em 0 =. Eemlo 0.37 Determinar se a função f) = + 3 se < ; + 2 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) =. Por outro lado, e f) = + 3) = 2 f) = ) = Como f) = 2 6= = + f) temos que f) não eiste e, assim, f é descontínua em 0 = con ra Figura ). Portanto, 0 = é uma descontinuidade tio salto de f, ois, f) 6= + f):

21 2 Eemlo 0.38 Determinar se a função f) = é contínua em 0 = 0. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f0g. Como 0 = 0 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 0, isto é, f não está de nida no onto 0 = 0. Note que,!0 f) =!0 = e f) =!0 +!0 + = +: Portanto, 0 = 0 é uma descontinuidade essencial de f. Proriedade 0.39 Sejam f; g : X R! R duas funções. Se f e g são contínuas em 0 2 X, então:. f + g é contínua em 0 2 X; 2. f g é contínua em 0 2 X; 3. cf, onde c é uma constante, é contínua em 0 2 X; 4. fg é contínua em 0 2 X; 5. f, com g g 0) 6= 0, é contínua em 0 2 X; 6. jfj é contínua em 0 2 X.

22 22 Prova. Vamos rovar aenas o item. Como f e g são contínuas em 0 2 X temos que f) = f 0 ) e! 0 Logo, ela Proriedade de ites, obtemos g) = g 0 ):!0 f + g)) = [f) + g)] = f) + g)! 0!0!0!0 = f 0 ) + g 0 ) = f + g) 0 ): Portanto, f + g é contínua em 0 2 X. Teorema 0.40 Sejam f : X! R e g : Y! R duas funções, com Im f Y. Se f é contínua em 0 2 X e g é contínua em y 0 = f 0 ) 2 Y, então gf é contínua em 0 2 X. Prova. Como f e g são contínuas em 0 e y 0, resectivamente, temos que Assim, f) = f 0 ) e! 0 gy) = gy 0 ) = gf 0 )): y!y0! 0 g f)) =!0 gf)) = g!0 f)) = gf 0 )) = g f) 0 ): Portanto, g f é contínua em 0 2 X. Note que, se f) = a n n + + a + a 0, então f é contínua em todo R. Também, se então f é contínua em todo R, onde ]a; b[ e f) = a n n + + a + a 0 b m m + + b + b 0 ; b m m + + b + b 0 6= 0: Seja f : [a; b]! R uma função. Dizemos que f é contínua em [a; b] se f é contínua em f) = fa) e!a +!b f) = fb): Eemlo 0.4 Mostrar que a função f : [ 3; 3]! R de nida ela regra f) = 9 2 é contínua. Solução. Observe que ara todo 3 < a < 3 ou seja, a 2 ]a; b[) temos que f) = 9 2 = 9 a 2 = fa);!a!a logo ara todo a 2 ]a; b[ a função f é contínua. Além disso, f) =! ) = 0 = f 3) e! 3 +!3 f) =!3 9 2 ) = 0 = f3): Assim, f é contínua em [ 3; 3].

23 Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa a Lista de Eercícios. Determinar, se eistir, os ites abaio: a ) 25 g) 3 00!2 a 2 )! 5 a 3 ) a) b) c) d) e) f) h)! i)!3 2 ) 3 +8 q) r)! t 9 8) j)!4 t!9 3 s) t k) +2 2 t)! ! ! l) 2 m) 2 +6! ! 3 +3 t!0 n)!7! o) h!0 4 6+h h!0 t h) 3 8 h!0 h 2 8!9 3 e e 2!0 3 jj! u) + 3 ) ) h t!8 v) t + ) 3 t + 3) 5 t 2 t! +2 3 ) 7 t!0 t t 2 +t )3 +h 3+h) z) 3 h h!0 h 2. Sabendo que f) = 4, g) = 2 e h) = 0, determine os seguintes!2!2!2 ites: a) b) c) [f) + 5g)] d)!2 g) [g)] 3 g)h) e)!2!2 f) f) f) [h) + f)]!2!2!2 3f) 3. Determinar, se eistir, os seguintes ites laterias: a) b) c) d)! ) e) 9 2 f)!3!3 +! 0 3) !5 +!4 i) +3! j) g) k) 2 3! 8 +0 h) 7 l) 5 + j6 3j): +0) 2!7! Em cada alternativa determine os seguintes ites, caso eistam: f); f); f) +

24 2 2 se < ; a) f) = 4 se : 8 >< 2 se < ; b) f) = 2 se = ; >: 2 se > : 5. Seja f : R! R de nida or f) = se ; + c 2 se < : Determinar o valor c de modo que! f) eista. 6. Seja f : R! R de nida or 8 >< 2 + se < ; f) = c se = ; >: se > : Determinar o valor c de modo que f) eista. 7. Seja f : R! R de nida or f) = c se 2; 2 + c 5 se < 2: Determinar o valor c de modo que!2 f) eista. 8. Seja f : R! R de nida or 8 >< d 2 se 2; f) = c >: 2 + d se 2 < < 2; c se 2: Determinar os valores c e d de modo que o ite de f) eista em todo R. 9. Determinar, se eistir, os seguintes ites no in nito: a) b) c) d) e) f) k) g) 3 ) l)! ) ) h) 2 + m)! 2+7)+2) ) i) ) : j)!! ) n) 2 + +! : o) )

25 3 0. Determinar, se eistir, os seguintes ites in nitos: a) b) c) d) 6!5 +!5 5 f)! k)! 6 5 g) l) 5!4 4! 6 h)!5 5!4 +) m)! +) i) n) 4! + +) 2 ) 2. Mostrar que as seguintes funções são contínuas no onto indicado: a) f) = ; 0 = 4 c) f) = ; 0 = 2 b) f) = ; 0 = 5 d) f) = 3 2+ ; 0 = 8 2. Determinar se a função f) = 2 se < 4 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 3. Determinar se a função 8 >< 2 + se < f) = se = >: + se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 4. Determinar se a função f) = f) = 3 se 3 se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 5. Determinar se a função f) = f) = j + 3j se 6= 2 2 se = 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 6. Determinar se a função 8 >< se f) = f) = 2 se < < 2 >: + se 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.

26 4 7. Determinar se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo: a) f) = 4, em [4; 8]; b) f) =, em ]; 4[; c) f) = 2, em [ ; ]; 8. Seja f : R! R de nida or f) = 3 se 6= ; c se = : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R. 9. Seja f : R! R de nida or f) = se ; + c 2 se < : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R.

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 0. Formas Indeterminadas 0=0 = 0 0 02. Oerações com os símbolos + = = ( ) = = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k=0 = ; k 6= 0 03.

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

Função par e função ímpar

Função par e função ímpar Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Função ar e função ímar Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Função ar Definição Função

Leia mais

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 3.A Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 (b) f () = 3 3 + + ; a = 0 (c) f () = 2 + 3 0 ; a = 5 (d) f () = 2 4 + 5 3 + 2 2 ; a = 2 (e) f () =

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

Limites. 2.1 Limite de uma função

Limites. 2.1 Limite de uma função Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos

Leia mais

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016 1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas

Leia mais

Lista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade

Lista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade Lista de Eercícios de Calculo I Limites e Continuidade ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em Determine: ) Dada a função f definida por:, se f ( ), se, se Esboce o gráfico de f e calcule

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1 Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa

Leia mais

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal

Leia mais

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Usando o estudo de ites apresentaremos o conceito de derivada de uma função real

Leia mais

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por = LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade

Leia mais

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3. FORMAS INDETERMINADAS 0 0 0 0 OPERAÇÕES COM OS SÍMBOLOS + = = ( ) = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k =

Leia mais

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade.

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade. 1 Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1 Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Funções Trigonométricas Inicialmente, observe pela gura que para ângulos 0

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15 Propriedades dos ites infinitos Limites infinitos e ites no infinito Aula 15 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014

Leia mais

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1),

Leia mais

Complementos de Cálculo Diferencial

Complementos de Cálculo Diferencial Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 47 Comlementos de Cálculo Diferencial A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste teto retende-se relembrar algumas de nições

Leia mais

LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

matematicaconcursos.blogspot.com

matematicaconcursos.blogspot.com Professor: Rômulo Garcia Email: machadogarcia@gmail.com Conteúdo Programático: Teoria dos Números Exercícios e alguns conceitos imortantes Números Perfeitos Um inteiro ositivo n diz-se erfeito se e somente

Leia mais

Fundamentos de Matem[atica I LIMITES. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matem[atica I LIMITES. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques LIMITES Gil da Costa Marques. O cálculo. Definição de limite. Funções contínuas e descontínuas.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto.5 Limites infinitos.6 Limites

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 7 10 de setembro de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 7 10 de setembro de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Aula 7 10 de setembro de 2010 Aula 7 Pré-Cálculo 1 Módulo (ou valor absoluto) de um número real x

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

Notas sobre primitivas

Notas sobre primitivas MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada

Leia mais

Invertendo a exponencial

Invertendo a exponencial Reforço escolar M ate mática Invertendo a exonencial Dinâmica 3 2ª Série 1º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática 2ª do Ensino Médio Algébrico Simbólico Função Logarítmica Aluno Primeira

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer

Leia mais

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda Daniel De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente

Leia mais

Aula 15. Integrais inde nidas. 15.1 Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

Aula 15. Integrais inde nidas. 15.1 Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que Aula 5 Integrais inde nidas 5. Antiderivadas Sendo f() e F () de nidas em um intervalo I ½, dizemos que F e umaantiderivada ou uma rimitiva de f, emi, sef 0 () =f() ara todo I. Ou seja, F e antiderivada

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Limite e continuidade

Limite e continuidade Limite e continuidade Noção intuitiva de ite Considere a função f qualquer que seja o número real o Eemplo Se f ( ) Esta função está definida para todo R, isto é, f está bem definido, o valor ( ) o então

Leia mais

5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações

5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações 5. O Teorema do Valor Médio & Aplicações. Se f () = + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do Valor Médio) no intervalo [; 8] : 2. Seja f () = j j. Mostre que não eiste um número

Leia mais

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 43 4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL Vimos no capítulo anterior que dado a R +, a potência a pode ser definida para qualquer número R. Portanto, fiando a R +, podemos definir

Leia mais

Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva

Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva Aula 4 Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva Nos cap ³tulos anteriores, zemos uso de um ite especial para calcular derivadas: f 0 f(+ ) f() () =.!0 Neste cap ³tulo veremos os ites como ferramentas de estudo

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções

Leia mais

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Volume I Fábio Henrique de Carvalho Copright c 03 Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco Univasf) www.univasf.edu.br Todos

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I CDI I

Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa

Leia mais

Assíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como

Assíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Os limites

Leia mais

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Carla Montorfano João César Guirado João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco Apresentação

Leia mais

Estudar tendências no comportamento de funções.

Estudar tendências no comportamento de funções. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007-2 Proessor:

Leia mais

Secção 5. Equações lineares não homogéneas.

Secção 5. Equações lineares não homogéneas. Secção 5 Equações lineares não omogéneas Farlow: Sec 36 a 38 Vimos na secção anterior como obter a solução geral de uma EDO linear omogénea Veremos agora como resoler o roblema das equações não omogéneas

Leia mais

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência.

1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. 3.1 A Circunferência EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3.1 1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa elos ontos A (5; 1) ; B (4; 2) e

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1 MATERIAL EM CONSTRUÇÃO

Leia mais

M odulo de Potencia c ao e D ızimas Peri odicas Nota c ao Cient ıfica e D ızimas Oitavo Ano

M odulo de Potencia c ao e D ızimas Peri odicas Nota c ao Cient ıfica e D ızimas Oitavo Ano Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Notação Científica e Dízimas Oitavo Ano Exercícios Introdutórios Exercício. Escreva os seguintes números na notação científica: a) 4673. b) 0, 0034. c). d) 0,

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o

Leia mais

Neste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9

Neste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9 Ésófatorar... Serámesmo? Neste equeno artigo resolveremos o roblema 2 da USAMO (USA Mathematical Olymiad) 2005: Problema. Prove que o sistema x 6 + x + x y + y = 147 157 x + x y + y 2 + y + z 9 = 157 147

Leia mais

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias

Leia mais

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi IMPORTANTE A resolução apresentada aqui vai além de um mero gabarito. Além de cumprir esse papel de referência para as respostas,

Leia mais

Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim

Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim .. Limites e Continuidade... Limites em IN Comecemos por relembrar as propriedades dos ites das sucessões: Propriedades dos Limites das Sucessões: Sejam n a n = L e n b n = K e c IR então: n [a n ± b n

Leia mais

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que.

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que. FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L HÔPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o ite. Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores initos quando a, digamos α e β, e β, então pela álgebra dos ites

Leia mais

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

O limite trigonométrico fundamental

O limite trigonométrico fundamental O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental.

Leia mais

Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco

Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco Eercícios sobre Limites 1. O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6,9] em R. Determine: (a) f() f() +f() f() (e) f( ) (f) f(7).

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Esbo»cando gr a cos: primeiros passos

Esbo»cando gr a cos: primeiros passos Aula 6 Esbo»cando gr a cos: primeiros passos Eiste o processo simples de esbo»car-se o gr a co de uma fun»c~ao cont ³nua ligando-se um n umero nito de pontos P 1 =( 1 ;f( 1 ));::: ;P n =( n ;f( n )), deseugr

Leia mais

3 Limites. Exemplo 3.1

3 Limites. Exemplo 3.1 3 Ao expor o método dos incrementos fizemos uso da expressão limite. Muito mais que uma notação a noção de limite alcança um horizonte bem mais amplo dentro do contexto matemático, na realidade muito pouco

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 05: Limite e Continuidade

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 05: Limite e Continuidade CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Limite e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

Distribuição de uma proporção amostral

Distribuição de uma proporção amostral Distribuição de uma roorção amostral Estatística II Antonio Roque Aula 4 Exemlo Ilustrativo: Suonha que se saiba que em uma certa oulação humana uma roorção de essoas igual a = 0, 08 (8%) seja cega ara

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru REGRA DE LHÔPITAL Teorema: Suponhamos que f (a) g(a) e que f (a) e g (a) eistam com g(a). Então: lim a f() g() f(a) g(a). in det er min ação. Forma mais avançada do Teorema de L Hospital: Suponhamos que

Leia mais

Exercícios Complementares 1.2

Exercícios Complementares 1.2 Exercícios Comlemetares 1. 1.A Dê exemlo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescete (c) limitada e ão moótoa (e) ão limitada e ão moótoa (b) limitada

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as

Leia mais

Aula 12 Funções Contínuas

Aula 12 Funções Contínuas Analise Matemática 1 Aula 12 Funções Contínuas Ano académico 2017 Bibliografia Básica Autor Título Editorial Data Stewart, James Cálculo, Volume 1 Zuma Medeiros, Valéria Demana, Franklin... (et al.) Larson,

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

2 Limites e Derivadas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

2 Limites e Derivadas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 Limites e Derivadas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2.2 O Limite de uma Função Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. O Limite de uma Função Para encontrar

Leia mais

1 Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o limite indicado, se existir; caso não exista, justifique o porquê.

1 Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o limite indicado, se existir; caso não exista, justifique o porquê. Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Wellington José Corrêa ā Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Curso: Licenciatura em Química DAMAT, 5 Nome: Faça

Leia mais

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia

Leia mais

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a

Leia mais

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos

Leia mais

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17 UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 010-16 Sumário III Números reais - módulo e raízes 17 3.1 Módulo valor absoluto...................................... 17 3.1.1 Definição

Leia mais

Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Microeconomia - 6 a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitora:Amanda Schutze

Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Microeconomia - 6 a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitora:Amanda Schutze Mestrado em Finanças e Economia Emresarial Microeconomia - 6 a Lista de Exercícios Prof.: Carlos Eugênio Monitora:Amanda Schutze (schutze@fgvmail.br) Parte I - Exercícios Básicos a Questão As funções de

Leia mais

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada. Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto

Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto Capítulo 1 Limites nitos 1.1 Limite nito num ponto Denição 1. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite nito no

Leia mais

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit MATEMÁTICA I AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES TÓPICO 02: CÁLCULO DE LIMITES Neste tópico serão estudadas as técnicas de cálculo de limites de funções algébricas, usando alguns

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Diferencial e Integral I Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Diferencial e Integral I Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling Parte 1 - Limites Limites envolvendo o infinito, Continuidade, Retas tangentes. 1) Introdução

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

Limites e Continuidade. Departamento de Matemática

Limites e Continuidade. Departamento de Matemática Limites e Continuidade Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática Conteúdo Limites. Noção Intuitiva.... Definição... 3.3 PropriedadesdosLimitesFinitos... 5. Limites Laterais... 7.5 Limites Infinitos...

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de

Leia mais

Por outras palavras, iremos desenvolver a operação inversa da derivação conhecida por primitivação.

Por outras palavras, iremos desenvolver a operação inversa da derivação conhecida por primitivação. RIMITIVS Definições No caítulo anterior, centramos a nossa atenção no seguinte roblema: dada uma função, determinar a sua função derivada Neste caítulo, vamos considerar o roblema inverso, ou seja, determinar

Leia mais

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13 TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO3 Gil da Costa Marques 3. Introdução 3. Derivada da soma ou da diferença de funções 3.3 Derivada do produto de funções 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia 3.5

Leia mais

Solução dos exercícios do capítulo 2, pp (a) Expansão isotérmica de um gás ideal. Trabalho: pdv = NRT 1

Solução dos exercícios do capítulo 2, pp (a) Expansão isotérmica de um gás ideal. Trabalho: pdv = NRT 1 Solução dos exercícios do caítulo 2,. 31-32 Equações de um gás ideal = NRT U = NcT U = c R Exercício 1. (a) Exansão isotérmica de um gás ideal. Trabalho: W = 2 1 d = NRT 2 1 1 d = NRT ln 2 1 omo a energia

Leia mais

LIMITES. Prof. Danilene Donin Berticelli

LIMITES. Prof. Danilene Donin Berticelli LIMITES Prof. Danilene Donin Berticelli Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de produção de uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de milhares

Leia mais

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites www.cursoeduardochaves.com Cálculo I ª Lista de Eercícios Limites Calcule os ites: a (4 7 +5 b + 5 c ( 5 ++4 d + 5 4 e 5 + 4 + ++ f 6 4 Resp. : a b 0 c /8 d / e 9 5 f Calcule os ites abaio: a 4 b + c +5

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

- Cálculo 1 - Limites -

- Cálculo 1 - Limites - - Cálculo - Limites -. Calcule, se eistirem, os seguintes ites: (a) ( 3 3); (b) 4 8; 3 + + 3 (c) + 5 (d) 3 (e) 3. Faça o esboço do gráfico de f() = entre 4 f() e f(4)? 3. Seja f a função definida por f()

Leia mais

Gabarito da Lista 8 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira

Gabarito da Lista 8 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira Gabarito da Lista de exercícios - Microeconomia Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira 1. No duoólio de Cournot, cada rma escolhe a quantidade que imiza o seu lucro dada a quantidade da outra

Leia mais

Derivando fun»c~oes trigonom etricas

Derivando fun»c~oes trigonom etricas Aula 1 Derivando fun»c~oes trigonom etricas Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»c~oes trigonom etricas. Estaremos tamb em aresentando as fun»c~oes trigonom etricas inversas e deduzindo suas

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

Capítulo 3 - Derivada e Diferencial

Capítulo 3 - Derivada e Diferencial Caítulo 3 - Derivada e Diferencial f( + h) f(). Para as funções dadas abaio calcule lim : h!0 h (a) f() = (b) f() = (e) f() = cos (c) f() = (f) f() = tan() (g) f() = log a (); a R + (d) f() = sin(3) (h)

Leia mais

Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais

Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Relatório de Pesquisa Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais Laís Ribeiro

Leia mais

Física III. João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia Maiara Fernanda Moreno

Física III. João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia Maiara Fernanda Moreno Física III João Francisco Fuzile Rodrigues Garcia 8549323 Maiara Fernanda Moreno 8549344 Eercício 23.85 Ao longo do eio central de um disco carregado uniformemente, em um onto a 0,60m do centro do disco,

Leia mais