Limite e Continuidade

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1 Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de uma função real. Limites Seja f : R! R uma função de nida or 2 +, isto é, f) = 2 +. O grá co de f é uma reta que interceta o eio dos y no onto 0; ) e interceta o eio dos no onto ; 0) con ra Figura ). 2 Figura : Grá co da função f) = 2 +. Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 f) 2 2; 8 2; 98 2; 998 2; 9998 e ; 5 ; ; 0 ; 00 ; 000 f) 4 3; 2 3; 02 3; 002 3; 0002 :

2 2 Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de, notação!, tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 3. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 3 quando se aroima de, neste caso usamos a seguinte simbologia: f) = 3: Mais geralmente, temos a seguinte de nição. De nição 0. Seja f uma função qualquer. Se f aroima-se de uma constante L, quando se aroima de um número 0 tanto ela esquerda quanto ela direita, dizemos que f tende ao ite L. Neste caso, escreveremos f) = L:! 0 O número real L é chamado de ite de f no onto 0 con ra Figura abaio). A notação! 0 signi ca que está muito róimo de 0 mas 6= 0. Figura 2: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Eemlo 0.2 Se f) = c é a função constante, então f) = c:! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 3 abaio), temos que o ite de f é igual a c, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c.

3 3 Figura 3: Grá co da função f) = c. Eemlo 0.3 Se f) = é a função identidade, então f) = 0 :! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 4), Figura 4: Grá co função f) =. temos que o ite de f é igual a 0, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c. Eemlo 0.4 Se f é a função de nida or + se ; f) = se > ; então f) não eiste.

4 4 Figura 5: Grá co da função f) = + se ; se > : Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 5), temos que o ite de f é igual a quando se aroima de ela direita e é igual a 2 quando se aroima de ela esquerda. Assim, o ite de f não eiste no onto 0 =, ois ele deende de como se aroima de 0 =. Proriedade 0.5 Proriedades do ite de uma função) Sejam f, g funções quaisquer e c uma constante. Se!0 f) = L e!0 g) = M, então:.!0 f + g)) = L + M; 2.!0 f g)) = L M; 3.!0 cf)) = cl; 4.!0 fg)) = LM; 5.!0 f )) = L, com M 6= 0; g M 6.!0 jf)j = jlj ; 7.!0 [f)] n = L n, 8 n 2 Z e L 6= 0; Eemlo 0.6 Calcular o ite!0 a + b). Solução. Pelos Eemlos acima e as Proriedades e 3, temos que a + b) = a) + b = a + b = a 0 + b:! 0!0!0!0 Mais geralmente, a n n + + a + a 0 ) = a n n a 0 + a 0 :! 0

5 5 Eemlo 0.7 Calcular o ite : Solução. Pelas Proriedades e o Eemlo anterior, temos que = ) 3 + 2) = 4 5 : Mais geralmente, se b m m b 0 + b 0 6= 0. Eemlo 0.8 Calcular o ite a n n + + a + a 0 = a n n a 0 + a 0! 0 b m m + + b + b 0 b m m b 0 + b 0! : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois! =!2 2 4)! ) = 0 0 ; o que é uma forma indeterminada. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que! : 2 4 = 2) + 2) e = 2) ) = 2) + 2)!2 2) ) = + 2)!2 ) =!2 + 2)!2 ) = 4 = 4; ois! 2 signi ca que 2) 6= 0. Note que, esse eemlo mostra que, ara uma função ter ite L quando tende 0, não é necessário que seja de nida em 0. Eemlo 0.9 Calcular o ite 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ;

6 6 o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que 3 : 3 = ) ) 3 = ) ) ) = ) = + + = 3; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, Eemlo 0.0 Calcular o ite n = n: 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como fazendo a = 3 e b =, que 3 : a 3 b 3 = a b)a 2 + ab + b 2 ) = = 3 ) ); ou ainda; 3 = : Portanto, 3 = ) ) = = ) = = 3 ; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, n = n :

7 Observação 0. Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) g) não eiste. 7 Eemlo 0.2 Mostrar que não eiste Solução. Como temos, ela Observação anterior, que ) = 3 6= 0 e 2 ) = 0 não eiste. Eemlo 0.3 Mostrar que não eiste s ) 2 Solução. Como temos, elo Observação, que não eiste. + 3) = 4 6= 0 e )2 = 0 s ) 2

8 8 De nição Formal de Limite Formalmente, dizemos que f) = L;! 0 se dado um número real " > 0, arbitrariamente equeno, eiste em corresondência um > 0 tal que 8 2 R; 0 < j 0 j < ) jf) Lj < ": Figura 6: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Uma vez que j 0 j é a distância de a 0 e jf) Lj é a distância de f) a L, e como " ode ser arbitrariamente equeno, a de nição de ite ode ser escrita em alavras da seguinte forma:!0 f) = L signi ca que a distância entre f) e L ca arbitrariamente equena tomando-se a distância de a a su cientemente equena mais não 0). Ou ainda,!0 f) = L signi ca que os valores de f) odem ser tornados tão róimos de L quanto desejarmos, tomando-se su cientemente róimo de a mas não igual a a). Eemlo 0.4 Mostrar, usando a de nição formal de ite, que 2 3) =!2 Solução. Devemos mostrar que, ara todo " > 0, dado arbitrariamente, odemos encontrar um > 0 tal que 2 R; 0 < j 2j < ) j2 3) j < ": Na resolução deste tio de desigualdade odemos, em geral, obter > 0 desenvolvendo a a rmação envolvendo ". De fato, j2 3) j = j2 4j = 2 j 2j < " ) j 2j < " 2 :

9 9 Assim, dado " > 0, eiste " 2 tal que 0 < j 2j < ) j2 3) j < "; ois j 2j < ) j 2j < " 2 ) 2 j 2j < " ) j2 3) j = 2 j 2j < ": Limites Laterais Seja f : R f0g! R a função de nida or se > 0; f) = + se < 0: O grá co de f é mostrado na Figura 7. Figura 7: Grá co da função f) = se > 0; + se < 0: e Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; ; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 0 ela esquerda, notação! 0, f) se aroima de e quando se aroima de 0 ela direita, notação! 0 +, f) se aroima de. Logo,!0 f) = e f) = :!0 +

10 0 As notações f) = L e f) = L! 0! + 0 signi ca que: f aroima-se do ite L, quando se aroima ela esquerda e ela direita de 0 resectivamente. O número real L é chamado de ite lateral à esquerda ou a direita) de f con ra Figura 8). Figura 8: Grá co da função f. Observação 0.5!0 f) = L se, e somente se,! 0 f) = f) = L;! + 0 ou seja, o ite de uma função em um onto só eiste, se os ites laterais eistirem e forem iguais. Essa observação garante que todas as roriedades de ite continuam válidas ara ites laterais. Eemlo 0.6 Seja f a função de nida or se ; f) = 2 se > : Determinar! f) e! + f). Solução. Como! signi ca que <, logo f) = e, elas roriedades de ites que, ela Observação anterior, continuam válidas ara ites laterais), obtemos! 5 + 5) = 5 ) + 5 = 0: Como! + signi ca que >, temos que f) = :

11 Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 2! =! + 2 )! ) = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que Note que : 2 = ) + ) e = + ) + 3) 2! = ) + )! + + ) + 3) =! = :! f) 6= f):! + Portanto,! f) não eiste. Eemlo 0.7 Seja f uma função de nida or Determine se ossível,!0 f) = jj : f), f) e f):!0 +!0 Solução. A função f não é de nida em = 0, ois f) = j0j = 0 o que é uma 0 0 indeterminação. Observe que! 0 +, então > 0, logo jj = e assim, f) = =. Portanto, f) = :!0 + Por outro lado,! 0, então < 0, logo jj = e assim f) = modo,!0 f) = : =. Deste Como f) 6= f), temos que f) não eiste.!0 +!0!0 Eemlo 0.8 Seja f uma função de nida or 8 >< 3 se < f) = 4 se = >: 2 + se > Determine se ossível, Solução. Se! f), f) e f): + então <, assim f) = + f) = : 3 ) = 2. Por outro lado, se! + então >, assim 2 + ) = 2. Como f) = f), + + temos que f) = 2:

12 2 Limites In nitos e no In nito Seja f : R f2g! R a função de nida or O grá co de f é mostrado na Figura 9. f) = 3 2) 2 : Figura 9: Grá co da função f) = 3 2) 2. Vamos considerar as tabelas f) e f) : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 2 tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) cresce sem ite. Neste caso, dizemos que f) tende ao in nito +) quando se aroima de 2, em símbolos A notação f) = +:!2 f) = + ou f) =! 0!0 signi ca que: f cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente quando se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f tem ite in nito ou, equivalentemente, o ite de f quando se aroima de 0 não eiste. Eemlo 0.9 Mostrar que ) 4 = +: Solução. Pelo grá co de f) = ) 4 con ra Figura 0), temos que o ite de f tende ao in nito no onto 0 =. Pois a medida que se aroima de tanto ela esquerda quanto ela direita f) cresce sem ite.

13 3 Figura 0: Grá co da função f) = ) 4. Eemlo 0.20 Encontre 3 e! 3 : Solução. Quando torna-se muito grande 3 também ca muito grande. Por eemlo: 0 3 = = = : Na realidade, odemos fazer 3 tão grande quanto quisermos tomando grande o su - ciente. Portanto odemos escrever 3 = : Analogamente, quando é muito grande em módulo), orém negativo, 3 também o é. Assim,! 3 = : De nição 0.2 A reta = 0 é uma assíntota vertical do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.!0 f) = ou!0 f) = +. 2.! + 0 f) = ou! + 0 f) = +. Observação 0.22 Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) + ou!0 f) g) = Geralmente,, isto é, o ite não eiste. n n + + a + a 0 )!+ =!+ n a n + a n + + a n + a 0 n ) n = ; g) =

14 4 ois, n + a n!+ + + a n + a 0 n ) = a n n e!+ n = onde a n > 0 ou a n < 0. Se n 2 N é ímar, então Eemlo 0.23 Encontre a n n + + a + a 0 ) =!! 2 ) : Solução. Seria errado escrever! 2 ) =! 2 =. As! roriedades de ite não odem ser alicadas ara ites in nitos, ois não é um número não odemos de nir! 2 = ) =! ois, como e! com seu roduto.! Agora, seja f : R! R a função de nida or O grá co de f) é mostrado na Figura. ). Contudo, odemos escrever! )! = ; ) tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece f) = 2 : Figura : Grá co da função f) = 2. Vamos considerar as tabelas 0 00 :000 0:000 00:000 f) e 0 00 :000 0:000 00:000 f)

15 Pelas tabelas, notamos que, quando cresce sem ite tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 0 quando cresce decresce) sem ite, em símbolos A notação!+ 2 = 0 ou f) = L ou!+! 2 = 0: f) = L! signi ca que: f) tem ite L quando cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente. Neste caso, dizemos que f tem ite no in nito. De nição 0.24 A reta y = L é uma assíntota horizontal do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.! f) = L; 2.!+ f) = L. Observação 0.25 Sejam K 2 R e r 2 Q, r > 0. Então K!+ = 0 e r K! = 0: r Podemos, também, considerar o caso em que tanto como f) cresça ou decresça sem ite. Neste caso, denotaremos or f)!+ = + ou f) =!+ ; f) = :! f) = + ou! Além disso, se g) = L, L 6= 0 e f) =, então f) g) =. n =. Eemlo 0.26 Calcule Solução. Para calcular o ite no in nito de uma função racional, rimeiro dividimos o numerador e o denominador ela maior otência de que ocorre no denominador. Nesse caso a maior otência de no denominador e 2. Logo, = De modo similar, temos que Geralmente, = = = = = 3 5 2! = a n n + + a + a 0 ) = a n + a n!+!+ + + a n + a 0 n ) = a n n onde a n > 0 ou a n < 0. 5

16 6 Eemlo 0.27 Calcular, se eistir, o ite! : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois! =! )! ) = ; o que é uma indeterminação. Pela observação anterior, temos que! =! = + ) ! ) 2 2 = 2!+ + ) 2! ) = = 2 : 2 Eemlo 0.28 Calcular, se eistir, o ite! : Solução. Como a maior otência de no denominador é o rorio, temos:! =! =! = 0: De modo similar, temos que! = 0: Eemlo 0.29 Calcular, se eistir, o ite! : Solução.! =!+ = =!+ q q!+ +!+ 2!+ +!+ =!+ = = q + 2 ) +

17 Teorema 0.30 Teorema do Confronto, do sanduíche ou do imrensamento) Suonhamos que f) h) g) ara todo em um intervalo aberto contendo a, eceto ossivelmente ara o rorio a. Se!a f) = L =!a g) então!a = L: Prova. A demonstração desse teorema ode ser encontrada em tetos mais avançados. 7 Eemlo 0.3 Sabendo que!0 sen não eiste, mostre que!0 2 sen = 0. Solução. Observe inicialmente que não odemos usar 2 sen =!0 or que sen não eiste:no entanto, sabemos que!0 sen ; assim, multilicando a última desigualdade or 2, obtemos 2 2 sen 2 :!0 2 sen!0 Por outro lado, como 2 =!0!0 2 ) = 0, concluimos elo teorema do confronto que!0 2 sen = 0: Continuidade Vamos considerar a função f : R! R de nida or 2 4 se 6= 2; 2 f) = 4 se = 2: Note que:. f2) = 4, isto é, f é de nida no onto 0 = 2; 2.!2 f) =! =!2 + 2) = 4, isto é,!2 f) eiste; 3.!2 f) = 4 = f2). De nição 0.32 Sejam f uma função e 0 2 R ado. Dizemos que f é contínua em 0 se as seguintes condições são satisfeitas:. f 0 ) eiste, isto é, f está de nida no onto 0 ;

18 8 2.!0 f) eiste, isto é,!0 f) é um número real; 3.!0 f) = f 0 ). Observação 0.33 Sejam f uma função e 0 2 X = Dom f um intervalo aberto:. Se f é contínua em 0, então f) = f ):! 0!0 2. Dizemos que f é contínua em X se f é continua em todos os ontos de X. Intuitivamente, f é contínua em X se o grá co de f ode ser traçado, comletamente, sem tirarmos o láis do ael. Se elo menos uma das condições da de nição de função contínua f em 0 não for satisfeita, dizemos que f é descontínua em 0. Neste caso, temos os seguintes tios descontinuidade:. O onto 0 é uma descontinuidade removível de f se f 0 ) não está de nido e!0 f) eistir ou! 0 f) 6= f 0 ): Porque odemos removê-la de nindo adequadamente o valor f 0 ). 2. O onto 0 é uma descontinuidade tio salto de f se os ites laterais eistirem e são diferentes, isto é,! 0 f) 6= f):! O onto 0 é uma descontinuidade essencial de f se f) = ou f) = :! 0! + 0 Eemlo 0.34 Determinar se a função f) = 4 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. Neste tio de roblema, devemos rimeiro encontrar o domínio da função f. É fácil veri car que Dom f = R fg. Como 0 = 2 2 Dom f, odemos falar da continuidade ou não de f em 0 = 2. f2) = 24 2 = 5;

19 9 isto é, f está de nida no onto 0 = 2; isto é,!2 f) eiste; 4 f) =!2!2 = 24 2 = 5; f) = 5 = f2):!2 Portanto, f é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.35 Determinar se a função f) = é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f2g. Como 0 = 2 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 2, isto é, f não está de nida no onto 0 = 2 con ra Figura 2). Figura 2: Grá co da função f) = Neste caso, devemos dizer o tio de descontinuidade de f. 2 2!2 2 =!2 2) + ) 2 =!2 + ) = 3: Assim, 0 = 2 é uma descontinuidade removível de f, ois f não está de nida no onto 0 = 2, no entanto,!2 f) eiste. Note que, a função g : R! R de nida or f) se 6= 2; g) = 3 se = 2; é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.36 Determinar se a função se 6= ; f) = 2 se = é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.

20 20 Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) = = + 2) ) = + 2) = 3: Como f) 6= f) temos que f é descontínua em 0 = con ra Figura 3). Figura 3: Grá co da função f) = se 6= ; 2 se = : Assim, 0 = é uma descontinuidade removível de f, ois, aesar de f estar de nida no onto 0 =, f) 6= f). Note que, função g : R! R de nida or f) se 6= ; g) = 3 se = ; é contínua em 0 =. Eemlo 0.37 Determinar se a função f) = + 3 se < ; + 2 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) =. Por outro lado, e f) = + 3) = 2 f) = ) = Como f) = 2 6= = + f) temos que f) não eiste e, assim, f é descontínua em 0 = con ra Figura ). Portanto, 0 = é uma descontinuidade tio salto de f, ois, f) 6= + f):

21 2 Eemlo 0.38 Determinar se a função f) = é contínua em 0 = 0. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f0g. Como 0 = 0 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 0, isto é, f não está de nida no onto 0 = 0. Note que,!0 f) =!0 = e f) =!0 +!0 + = +: Portanto, 0 = 0 é uma descontinuidade essencial de f. Proriedade 0.39 Sejam f; g : X R! R duas funções. Se f e g são contínuas em 0 2 X, então:. f + g é contínua em 0 2 X; 2. f g é contínua em 0 2 X; 3. cf, onde c é uma constante, é contínua em 0 2 X; 4. fg é contínua em 0 2 X; 5. f, com g g 0) 6= 0, é contínua em 0 2 X; 6. jfj é contínua em 0 2 X.

22 22 Prova. Vamos rovar aenas o item. Como f e g são contínuas em 0 2 X temos que f) = f 0 ) e! 0 Logo, ela Proriedade de ites, obtemos g) = g 0 ):!0 f + g)) = [f) + g)] = f) + g)! 0!0!0!0 = f 0 ) + g 0 ) = f + g) 0 ): Portanto, f + g é contínua em 0 2 X. Teorema 0.40 Sejam f : X! R e g : Y! R duas funções, com Im f Y. Se f é contínua em 0 2 X e g é contínua em y 0 = f 0 ) 2 Y, então gf é contínua em 0 2 X. Prova. Como f e g são contínuas em 0 e y 0, resectivamente, temos que Assim, f) = f 0 ) e! 0 gy) = gy 0 ) = gf 0 )): y!y0! 0 g f)) =!0 gf)) = g!0 f)) = gf 0 )) = g f) 0 ): Portanto, g f é contínua em 0 2 X. Note que, se f) = a n n + + a + a 0, então f é contínua em todo R. Também, se então f é contínua em todo R, onde ]a; b[ e f) = a n n + + a + a 0 b m m + + b + b 0 ; b m m + + b + b 0 6= 0: Seja f : [a; b]! R uma função. Dizemos que f é contínua em [a; b] se f é contínua em f) = fa) e!a +!b f) = fb): Eemlo 0.4 Mostrar que a função f : [ 3; 3]! R de nida ela regra f) = 9 2 é contínua. Solução. Observe que ara todo 3 < a < 3 ou seja, a 2 ]a; b[) temos que f) = 9 2 = 9 a 2 = fa);!a!a logo ara todo a 2 ]a; b[ a função f é contínua. Além disso, f) =! ) = 0 = f 3) e! 3 +!3 f) =!3 9 2 ) = 0 = f3): Assim, f é contínua em [ 3; 3].

23 Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa a Lista de Eercícios. Determinar, se eistir, os ites abaio: a ) 25 g) 3 00!2 a 2 )! 5 a 3 ) a) b) c) d) e) f) h)! i)!3 2 ) 3 +8 q) r)! t 9 8) j)!4 t!9 3 s) t k) +2 2 t)! ! ! l) 2 m) 2 +6! ! 3 +3 t!0 n)!7! o) h!0 4 6+h h!0 t h) 3 8 h!0 h 2 8!9 3 e e 2!0 3 jj! u) + 3 ) ) h t!8 v) t + ) 3 t + 3) 5 t 2 t! +2 3 ) 7 t!0 t t 2 +t )3 +h 3+h) z) 3 h h!0 h 2. Sabendo que f) = 4, g) = 2 e h) = 0, determine os seguintes!2!2!2 ites: a) b) c) [f) + 5g)] d)!2 g) [g)] 3 g)h) e)!2!2 f) f) f) [h) + f)]!2!2!2 3f) 3. Determinar, se eistir, os seguintes ites laterias: a) b) c) d)! ) e) 9 2 f)!3!3 +! 0 3) !5 +!4 i) +3! j) g) k) 2 3! 8 +0 h) 7 l) 5 + j6 3j): +0) 2!7! Em cada alternativa determine os seguintes ites, caso eistam: f); f); f) +

24 2 2 se < ; a) f) = 4 se : 8 >< 2 se < ; b) f) = 2 se = ; >: 2 se > : 5. Seja f : R! R de nida or f) = se ; + c 2 se < : Determinar o valor c de modo que! f) eista. 6. Seja f : R! R de nida or 8 >< 2 + se < ; f) = c se = ; >: se > : Determinar o valor c de modo que f) eista. 7. Seja f : R! R de nida or f) = c se 2; 2 + c 5 se < 2: Determinar o valor c de modo que!2 f) eista. 8. Seja f : R! R de nida or 8 >< d 2 se 2; f) = c >: 2 + d se 2 < < 2; c se 2: Determinar os valores c e d de modo que o ite de f) eista em todo R. 9. Determinar, se eistir, os seguintes ites no in nito: a) b) c) d) e) f) k) g) 3 ) l)! ) ) h) 2 + m)! 2+7)+2) ) i) ) : j)!! ) n) 2 + +! : o) )

25 3 0. Determinar, se eistir, os seguintes ites in nitos: a) b) c) d) 6!5 +!5 5 f)! k)! 6 5 g) l) 5!4 4! 6 h)!5 5!4 +) m)! +) i) n) 4! + +) 2 ) 2. Mostrar que as seguintes funções são contínuas no onto indicado: a) f) = ; 0 = 4 c) f) = ; 0 = 2 b) f) = ; 0 = 5 d) f) = 3 2+ ; 0 = 8 2. Determinar se a função f) = 2 se < 4 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 3. Determinar se a função 8 >< 2 + se < f) = se = >: + se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 4. Determinar se a função f) = f) = 3 se 3 se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 5. Determinar se a função f) = f) = j + 3j se 6= 2 2 se = 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 6. Determinar se a função 8 >< se f) = f) = 2 se < < 2 >: + se 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.

26 4 7. Determinar se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo: a) f) = 4, em [4; 8]; b) f) =, em ]; 4[; c) f) = 2, em [ ; ]; 8. Seja f : R! R de nida or f) = 3 se 6= ; c se = : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R. 9. Seja f : R! R de nida or f) = se ; + c 2 se < : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R.

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