A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

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1 A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01

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3 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações.

4 Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito de limite 3 Limite: definição e intuição 3 Propriedades dos limites 4 Limites especiais 7 Limites com denominador zero 7 Limites infinitos e limites envolvendo infinito 8 Limites à esquerda e à direita 9 3 Continuidade 11 Definição de continuidade 11 Propriedades da continuidade 1 Teorema do Valor Intermediário (TVI) 13 II Diferenciação 15 4 Definição de derivadas e derivadas de algumas funções simples 17 Definição de derivada 17 Derivada de uma função constante 18 Derivada de uma função linear 19 Derivada de uma função potência 19 Derivadas numéricas 0 v

5 5 Regras de diferenciação 3 Regra da constante múltipla de uma função 3 Regra das somas e diferenças 4 Regra do produto 5 Regra do quociente 6 Regra da cadeia 8 Diferenciação implícita 9 6 Derivadas adicionais 33 Derivada da função eponencial natural e 33 Derivada da função logarítmica natural ln 34 Derivadas de funções eponenciais com bases diferentes de e 34 Derivadas de funções logarítmicas com bases diferentes de e 35 Derivadas de funções trigonométricas 36 Derivadas de funções trigonométricas inversas 37 Derivadas de ordens mais elevadas 39 III Integração 41 7 Integral indefinida e fórmulas e regras básicas de integração 43 Antiderivadas e integral indefinida 43 Integração de funções constantes 44 Integração de funções potência 45 Integração de funções eponenciais 46 Integração de derivadas de funções trigonométricas 47 Integração de derivadas de funções trigonométricas inversas 48 Duas regras úteis de integração 49 8 Técnicas básicas de integração 53 Integração por substituição 53 Integração por partes 55 Integração utilizando tabelas de fórmulas de integração 57 vi Sumário

6 9 A integral definida 61 Definição da integral definida e o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo 61 Propriedades úteis da integral definida 6 Segundo Teorema Fundamental do Cálculo 64 Teorema do Valor Médio para Integrais 65 IV Aplicações da Derivada e da integral Definida Aplicações da derivada 69 Inclinação da reta tangente em um ponto 69 Taa de variação instantânea 70 Diferenciabilidade e continuidade 7 Funções crescentes e decrescentes, etremos e pontos críticos 73 Concavidade e pontos de infleão 77 Teorema do Valor Médio Aplicações da integral definida 83 Área de uma região abaio de uma curva 83 Área de uma região entre duas curvas 84 Comprimento de um arco 86 Apêndice A: Funções básicas e seus gráficos 89 Apêndice B: Fórmulas e regras básicas de diferenciação 97 Apêndice C: Fórmulas de integração 99 Respostas 103 Soluções elaboradas 117 Sumário vii

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8 Prefácio A Prática Leva à Perfeição - Cálculo é elaborado como uma ferramenta de revisão e prática para iniciantes, avançados ou aprendizes intermediários de cálculo. Não tem a intenção de introduzir conceitos, mas sim reforçar o que já foi apresentado aos leitores. Por essa razão, é um teto suplementar muito útil para cursos introdutórios de cálculo. Também pode ser utilizado como teto de reciclagem para leitores que necessitam revitalizar abilidades anteriormente adquiridas referentes ao cálculo. Como ocorre com a maioria dos assuntos que vale a pena conecer, o aprendizado de cálculo requer diligência e trabalo árduo. O principal propósito de A Prática Leva à Perfeição - Cálculo é ser uma fonte de problemas resolvidos de cálculo. Nós acreditamos que a melor maneira de desenvolver precisão e velocidade em cálculo é resolver inúmeros eercícios práticos. Este livro possui mais de 500 eercícios do início ao fim. Uma gama de eercícios de vários níveis de dificuldade é apresentada para proporcionar o reforço dos conceitos de cálculo. Em cada unidade, a discussão de um conceito, seguida de eemplos de problemas, precede cada grupo de eercícios para servir como uma revisão concisa para leitores que já estão familiarizados com os tópicos abordados. Os conceitos são desmembrados em componentes básicos para proporcionar uma prática ampla de abilidades fundamentais. Para utilizar A Prática Leva à Perfeição - Cálculo de modo mais efetivo, é importante que você se aplique completamente em cada eercício. Após trabalar em um grupo de eercícios, utilize as soluções elaboradas para cecar o seu entendimento sobre os conceitos. Nós, sinceramente, esperamos que este livro o ajude a conquistar maior abilidade e confiança no uso do cálculo em seus empreendimentos futuros. i

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10 I Limites A noção fundamental do cálculo é o conceito de limite. Os eercícios da Parte I são elaborados para melorar seu entendimento e suas abilidades para trabalar com esse conceito. Os simbolismos utilizados são contrações/abreviações úteis e a identificação de suas formas é essencial para o êito na produção dos resultados requeridos. Antes de você começar, caso precise de uma revisão sobre funções, veja o Apêndice A: Funções básicas e seus gráficos. 1

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12 O conceito de limite 1 Limite: definição e intuição Uma função f() é dita como tendo o limite A quando se aproima de c, representado por lim f( ) = A, desde que o erro entre f() e A, representado por f( ) A, possa ser feito menor do que qualquer número positivo ε sempre que se aproime, mas não seja igual a c. Heuristicamente: O limite de f no ponto c será A se o valor de f se aproimar de A quando se aproimar de c. Eploraremos esta definição intuitivamente através dos seguintes eemplos. Calcule o valor de f()=²5 para os seguintes valores de que são próimos, mas não iguais a, e, então, faça uma observação sobre os resultados. a. =,07 f( ) =9,849 b. = 1,98 f( ) =8,904 c. =,0006 f( ) =9, Observação: Parece que quando se aproima do valor, então, f() se aproima do valor 9. Calcule o valor de f() = 4 para os seguintes valores de que são próimos, mas não iguais a 0, e, assim sendo, faça uma observação intuitiva sobre os resultados. a. = 0,01 f( ) = 400 b. = 0,001 f( ) = 4000 c. = 0,001 f( ) = 4000 Observação: Parece que quando se aproima do valor 0, f() não se aproima do valor de nenum número fio. Utilizando a notação de limite, você pode representar as demonstrações de suas observações sobre os eemplos acima, respectivamente, como: lim 5= 9 4 e lim não eiste. 0 3

13 EXERCÍCIO 1 1 Calcule o valor de f() dado que possui seus valores indicados em (a) e (b). Para (c) faça uma observação baseada em seus resultados encontrados em (a) e (b). 1. f( ) = 5 a. = 3,001 b. =,99 c. Observação?. f ( ) = 5 4 a. = 1,00 b. = 0,993 c. Observação? 3. f( )= 3 a. = 0,001 b. = 0,001 c. Observação? Propriedades dos limites Eistem teoremas básicos que são planejados para facilitar o trabalo referente a limite. Tais teoremas são ideias fundamentais que você precisa dominar para lidar, com sucesso, com o conceito de limite. De forma sucinta, os mais úteis desses teoremas são os seguintes: Se lim f( ) e lim g ( ) eistem, então 1. O limite da soma (ou da diferença) é a soma (ou diferença) dos limites. lim[ f( ) g ( )] = lim f( ) lim g ( ). O limite do produto é o produto dos limites. lim[ f( ) g ( )] = lim f( )lim g ( ) 3. O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador seja diferente de 0. f lim ( ) lim f( ) = g ( ) lim g ( ) 4 Limites

14 4. Se f() 0, então n lim f( ) = n lim f( ) para n>0. 5. lim af ( ) = alim f( ) onde a é uma constante. n n 6. lim[ f( )] = lim f( ) para qualquer numero inteiro positivo n. 7. lim = c lim = dado c 0 c Você deve evitar o erro de escrita ou de concepção de que lim f( ) = f(), c isto é, que você determina o limite substituindo =c na epressão que define f() e, então, calcula o seu valor. Lembre-se de que no conceito de limite, não pode assumir o valor de c. A eplicação completa requer o conceito de continuidade, que será discutido no Capítulo 3. PROBLEMAS SOLUÇÕES Determine os seguintes limites. 3 5 a. lim 5 b. lim( 3 16 ) 4 16 c. lim lim a. lim = 3 5 lim = b. lim( 3 16) = lim3 lim 16 = 3lim lim16 = 1 64 = c. lim lim ( 4 )( 4 = ) = lim( 4) = Note que nesse eemplo, você não pode utilizar o teorema do quociente porque o limite do denominador é zero, isto é lim( 4) = 0. Contudo, como foi mostrado, você pode fazer 4 uma aproimação algébrica para determinar o limite. Primeiro, você deve fatorar o numerador. Depois, considerando que para todo 4, ( )( ) = 4, você pode simplificar a fração e, assim, determinar o limite. Esta é uma abordagem útil que pode ser aplicada em diversos problemas referentes a limites. d. lim não eiste porque 6 1<0 quando está próimo de 1. O conceito de limite 5

15 EXERCÍCIO 1 Encontre os seguintes limites ou indique sua não eistência lim 6. lim lim 7. lim lim 7 8. lim lim( 5 9 ) π lim lim lim Limites

16 Limites especiais Limites com denominador zero Alguns dos limites mais úteis são aqueles em que o denominador é zero, ainda que nossos teoremas vistos anteriormente não sejam diretamente aplicáveis nesses casos. Esses tipos de limites só podem eistir se ouver algum tipo de cancelamento oriundo do numerador. A cave é procurar os fatores comuns do numerador e do denominador que serão cancelados. PROBLEMAS Calcule os seguintes limites: 3 8 a. lim 4 b. lim ( ) ( ) c. lim 3 SOLUÇÕES a. lim lim ( )( 8 ) lim = 4 = ( 4) = b. lim ( ) ( ) 10 5 = lim = lim( 10 5) = 10 c. lim lim ( )( = ) ( ) = lim ( ) = lim ( ) ( ) 1 1 = lim = ( ) f PROBLEMA Se f()=6²7, então encontre lim ( ) f ( ) SOLUÇÃO lim ( ) ( ) lim (( ) ) ( f f ) = = lim = lim( 1 6) = 1. 7

17 EXERCÍCIO 1 1. lim 3 3 Calcule os seguintes limites. 1. lim ( ) lim 4 16 f 4. Se f( )= 5 8 lim ( ) f (, encontre ) lim lim 5 5 g 7. Se g ( )= lim ( ) g (, encontre ) lim 0 r 9. lim r 0 r lim 4 4 Limites infinitos e limites envolvendo infinito A variável é dita como tendendo ao ( - ) se aumenta (diminui) sem limitações. Por eemplo, tende ao se assume os valores, 3, 4, 5, 6, e assim por diante, consecutivamente. Note, contudo, que y não tende ao infinito se y assume os valores, -, 4, -4, 6, -6, e assim por diante, do mesmo modo. Uma função torna-se positivamente infinita quando aproima-se de c, se para qualquer M > 0, f( )> M para algum próimo, mas não igual a c. Similarmente, uma função torna-se negativamente infinita quando se aproima de c, se para qualquer M < M, f() < M para algum próimo, mas não igual, a c. PROBLEMAS Calcule os seguintes limites. a. a. lim, quando a for qualquer constante 8 Limites b. lim 3 1 c. lim 1 4 d. lim 3 3

18 SOLUÇÕES a a. lim = 0 para qualquer constante a. b. lim = c. lim lim 3 = = 0 1 = d. lim = 3 3 EXERCÍCIO Calcule os seguintes limites. 1. lim( 5 7) 6. lim lim lim lim lim lim lim lim lim 4 Limites à esquerda e à direita Limites direcionais são necessários em muitas situações e escrevemos lim f( ) para c representar o conceito de limite quando aproima-se de c por meio de valores de maiores que c. Esse limite é camado limite lateral à direita de c, e, similarmente, lim f( ) é a notação para limite lateral à esquerda de c. Teorema: lim f( ) = L se e somente se lim f( ) = lim f( ) = L. Esse teorema é uma ferramenta muito útil na determinação de certos limites e na determinação da eistência de um limite. PROBLEMAS Calcule os seguintes limites. 4 a. lim b. lim 1 1 c. lim[ ] Nota: [] denota a maior função inteira (Veja Apêndice A). Limites especiais 9

19 SOLUÇÕES d. lim[ ] e. lim[ ] 4 a. lim 3 3 = 15 b. lim 1 1 = c. lim[ ] = d. lim[ ] = 1 e. lim[ ] não eiste pois lim[ ] = e lim[ ] à direita e à esquerda não são iguais. = 1, então, os limites EXERCÍCIO 3 1. lim[ ] 4 4. lim Calcule os seguintes limites, se eistirem. Caso o limite não eista, mostre o porquê lim lim lim lim lim lim lim[ 1 ] 10. lim Limites