Unidade F. Limites. Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

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1 7 Unidade F Limites Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

2 7 8. Noção de ites Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(), em que = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f. Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da função quando se aproimam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não. Eemplo: Seja f: R R, cuja lei é f () ² 6 9, 3 3., 3 Tem-se f(3) =, agora quando se aproima cada vez mais de 3, o que acontece com os f()? Acompanaremos o raciocínio completando a tabela abaio.,5,9,99, f() 5 4 3,5 3, 3,0 3, f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do = 3, mais os f() se aproimam de. Notação: 3 (f ) Observação: )Esse processo não nos dá garantias do resultado do ite, pois para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproimarmos de = 3. E quantas formas eistem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo dos ites vamos nos basear em teoremas que nos garantam certos resultados. )O gráfico desta função está ao lado. Com o gráfico pronto conseguimos associar o comportamento do gráfico com o ite. Os f() tendem a zero quando tende a 3, mas f(3)=. 3) Vemos também a noção de ites laterais. Se analisarmos a tendência dos f() quando se aproimam de a, mas por valores menores que a, definem o ite lateral a esquerda. Denotamos por f( ). Se analisarmos a tendência dos f() quando se aproimam de a, mas por valores maiores que a, definem o ite lateral a direita. Denotamos por f( ). Eemplo: Seja f: R R, cuja lei é f () ²,., Tem-se f() = 3, agora quando se aproima cada vez mais de, o que acontece com os f()? Acompanaremos o raciocínio completando a tabela abaio.,5,9,99,999, f() 3,5,,0,00,000 + f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que se nos aproimamos de =, não á um comportamento único dos f(), assim não á ite. Notação: f( ) a a

3 73 Note como faz diferença nos aproimarmos de pela esquerda oou pela direita. Proposição : Se o ite de uma função eiste, então ele é único. Isso significa que, se ao nos aproimarmos de um certo valor de de maneiras diferentes e os f() se aproimarem de valores distintos o ite não eiste. Essa proposição é importante para provarmos quando um ite não eiste. Corolário : (f ) L (f ) L (f ) a a Qualquer maneira que nos aproimemos de a, ou por valores maiores que a, ou valores menores que a, se o ite eiste (e é único) o resultado deve ser o mesmo. Eemplo 3: Seja f: R R, cuja lei é f () sen, 0. 3, 0 Tem-se f(0) = 3, agora quando se aproima de 0, o que acontece com os f(). Acompanaremos o raciocínio completando a tabela abaio. Observação, como dependemos da função seno, deve ser em radianos. 0,5 0, 0,0 0,00 0, f() - -0,5-0, -0,0-0,00-0, f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do = 0, mais os f() se aproimam de. a Notação: 0 f() Eemplo 4: Seja f: R R, cuja lei é f() = ². Investigaremos o ite quando -. Tem-se f(-) =, agora quando se aproima de -, o que acontece com os f(). Acompanaremos o raciocínio completando a tabela abaio.

4 74 - -,5 -, -,0 -,00 -, f() 0-0,5-0,9-0,99-0,999-0, f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do = -, mais os f() se aproimam de. f() = Podemos observar que a tendência dos f() é a mesma que f(-). Observação: A diferença do eemplo 4 para os anteriores é que esta função é continua em = -, onde o ite é investigado. O que isso significa? Vejamos alguns conceitos. 9. Noção de função continua Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linas. Já o quarto, formado de uma lina só. Isso dá a ideia que as três primeiras são descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de continuidade porque pode aver caso que a função tena alguma restrição no domínio

5 75 e consequentemente terá seu gráfico formado por mais de uma lina. Por eemplo, a função: f: R* R*, cuja lei é f(). Não á divisão por zero, logo = 0 não está definido para esta função. Não á gráfico em = 0 (eio oy). Assim obrigatoriamente o gráfico da função será formado por duas linas. Uma para < 0 e outra para > 0. Em cada parte do seu domínio a função é contínua. Formada por uma lina, assim a função no seu domínio é contínua. Só á sentido em definir continuidade dentro do domínio da função. Não á sentido analisar a continuidade de = 0 na função citada acima. Já sabemos que, considerando todos os reais, ela fala porque não eiste divisão por zero. Não á dúvida sobre isso. Analisar a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO da validade da função, se á a característica de partes desconeas do gráfico. Definição 3: Dizemos que uma função é contínua em = a se, e somente se: f() f(a). a Isso nos dá uma vantagem automática. Conecendo o gráfico de uma função, se quisermos investigar o ite em um certo = a, em que a D(f), sabemos o resultado do ite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f() se aproimam quando se aproima de um a. Eemplo: Calcule: a) (3²) b) sen() c) 5 3 d) ln() 0 30 Noção de ite infinito e no infinito Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f() quando aumenta sem itação e assim dizemos que +, ou quando diminui sem itação e assim dizemos que -. Inicialmente para termos a ideia, voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do ite é, se os f() aumentarem sem itação f() +, ou diminuírem sem itação f() -.

6 76 Eemplo : Seja a função f: R R cuja lei é f() =. Já sabemos qual é o comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico. Sabemos que o gráfico é crescente (a>), cresce muito a medida que cresce. O eio o é assíntota do gráfico, pois os valores de y se aproimam de zero quanto menor o (negativos). Nessas duas características do gráfico podemos observar o que constataremos nas tabelas f() f() Há a ideia que quando -, f() 0 e quando +, f() +. 3, 0 Eemplo : Seja a função f: R R definida pela lei f() =. 3, 0 Investigaremos o ite quando 0. Não sabemos se essa função é contínua, então não podemos calcular seu ite. 0,5 0, 0,0 0, f() - -0,5-0, -0,0-0, f() a) Noção de f() 0 b) Noção de f() c) f() f() f() d) Noção de f() e) Noção de f() f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no = 0.

7 77 Observação: Reforçando: preencer tabelas não nos garante o resultado do ite. Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o ite não eiste, pois se temos maneiras diferentes de nos aproimarmos de um mesmo valor, tendências distintas seriam impossíveis se ouvesse o ite. Eemplo 3: Seja a função f: R R definida pela lei f() = Investigaremos o ite quando 0 sen, 0. 0, 0 0, 0,0 0,00 0,000 0, f() -0, -0,0-0,00-0,000-0, f() Noção de 0 f() /3 /3 /303 /3003 / f() -/3 -/3 -/303 -/3003 -/ f() Ou seja, f( ) 0

8 78 3 Definição e cálculo de ites Por isso temos que ver resultados que nos possibilitem calcular ites. A definição demanda conecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em nível de curiosidade. Definição 4: f() L Eiste tal que a < implique f() L <, a para tão pequeno quanto se queira. Proposição 5: a a Demonstração: Basta tomar =, pois a = f() L. Considerando a <, temos - a = f() L < =, logo implica que f() L < e assim a. a Observação: Para resolvermos um ite por definição temos que ter um candidato a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e toma-los como base. Proposição 6: k k A função f: R R, cuja lei é f() = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eio o. Assim, (f ) (f ) k. Os ites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo. Proposição 7: (i) (ii) Proposição 8:,f() 0 f() 0 f(),f() 0 Eemplos: Calcule os ites abaio: a) 0 b) 0 c) 0 d) e)

9 79 Gráfico da função f: R* R*, cuja lei é f() = é: Teorema 9: Álgebra dos ites. Se (a) (f ) g() L M a (b) (f ) g() L M (c) (d) a f() L a g() M cf() cl a Eemplo: a) 5 3 desde que g() e M 0 f() a L ; g() M a e c R, então: b) ² 5 sen c) Proposição 0: Se p é polinômio qualquer, para todo a R: (p ) (p a) a Eemplo: Calcule os ites abaio: 4 7² (a) (b) 3 5² ² 7

10 80 (c) ² Proposição : Teorema da raiz: Se p() é um polinômio e a é uma raiz deste polinômio, ou seja, p(a)=o, então p() é divisível por - a. Eemplo: p()= ³ - + No que isso pode ajudar a calcular ites? Ajuda nos casos de 0 indeterminação. 0 Eemplos: ³ (a) ² (b) 3 ³

11 8 (c) Proposição : Considere k um número inteiro maior que, L um número real. k k (a) Se k for ímpar e f() L, então f() L. a a k k (b) Se k for par e f() L, então f() L para L > 0. a a (c) Se k for par e f() 0, então k f() 0 para f() > 0. a a Proposição 3: Considere L um número real. Se a f() L, então (f ) L. a Eemplo: Calcules os ites abaio: (a) ² 4 (b) ² 4 3 (c) log 4 Observação: A função logarítmica é contínua no seu domínio R +. 3 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de ites finitos Se no eemplo (c) anterior, o ite lateral não fosse definido, não determinaríamos o resultado do ite com tanta facilidade, ou ainda, o ite poderia não eistir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão fácil saber o resultado de um ite lateral podemos usar o velo recurso de troca de variável. Considere 0, sempre com > 0. Limite lateral à esquerda: Trocar por a, então: (f ) (f a ) a 0 Observação: Se 0 + e = a, então a - Limite lateral à direita: Trocar por a +, então: (f ) (f a ) a 0 Observação: Se 0 + e = a +, então a +

12 8 Eemplo : Calcule os ites indicados fazendo a troca de variáveis correspondente. (a.) (a.) (a.3) (b.) 9 ² 3 (b.) 9 ² 3 (b.3) 9 ² 3 Eemplo : Calcule os ites laterais indicados e conclua se a função é contínua. 0, 0 (a) Em relação a f: R R, cuja lei é f() =, 0 (a.) 0 (a.) 0 (a.3) É contínua em = 0?

13 83 (a.4) Esboce seu gráfico:, (b) Considere f()=, calcule os ites laterais: ², (b.) f( ) (b.) f( ) (b.3) A função é contínua em =? Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que á a mudança na lei de formação. Eemplos: Verifique a continuidade das funções abaio em seu domínio., (a) f () ²,

14 84 (b) f (), ², Proposição 4: Se f() L n n e n uma constante natural, então f() L Eemplos: a) 5 b) sen 3 Proposição 5: Se f() L e g() M g() M, então f() L, desde que L e M não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 0 0 ) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8). Eemplos: a) cos b) sen 3 log c) Observação: O ite lateral a direita do eemplo c não eiste, pois o domínio da função é D=],[],[. 33 Limites infinitos e no infinito Já trabalamos com a noção de ites infinitos e no infinito e alguns resultados. Agora trabalaremos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos de funções e a importante álgebra dos ites infinitos.

15 85 Proposição 6: São verdadeiras, em decorrência das funções eponencial e logarítmicas estudadas: (a) a 0 e log se a > (b) (c) (d) 0 a e log a e log a 0 e 0 a log a a a se a > se 0 < a < se 0 < a < Proposição 7: Álgebra dos ites infinitos: Se d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então: (a) (f ) (b) (c) (d) (f ) g() cf() df() (e) (f ) g() (f) f c () (f ) ; g() ; c e Proposição 8: Álgebra dos ites infinitos: Se d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então: (a) f() (b) (c) (d) (f ) g() cf() df() (e) (f ) g() (f ) ; g() ; c e Observação: Descrever todas as combinações possíveis de ites infinitos com constantes e ites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o resultado desde que não caíamos numa indeterminação:, -, 0, 0,, 0. ou 0 0. Aqui, quando se fala em 0 ou em está subentendido que são funções que possuem este ite, não o próprio número 0 ou o próprio número, neste caso não á indeterminação. Eemplos: 3 a) 4 b) log log ² 0 c) (² )

16 86 d) ) (² e) ) 3 8 ² (3³ f) g) ² )

17 87 i) j) ² 3 6 k) log l) 34. Limites Fundamentais Os ites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não teríamos artifícios para cegar nos mesmos resultados, então tomamos como verdades. Aproveitamos para trabalar outras indeterminações: 0,,, 0, 0, 0

18 88 Antes de passar ao estudo dos ites fundamentais, veremos mais dois resultados de ites que nos ajudarão a compreender mais os ites assim como os fundamentais. Teorema 9: Teorema do Confronto: Se f(), g() e () são funções tais que f() < g() < () para todo e (f ) () L, então g() L. Eemplo: 0 sen Proposição 0: Se f() é uma função itada, ou seja, para todo D(f), temse f() < k, sendo k uma constante positiva, e: (a) g() 0, então (f ) g() 0. (b) g() Eemplos: sen a), então (f ) g(). b) ² cos

19 89 sen Proposição : 0 Indeterminação 0 0. Eemplos: sen3 a) 0 sen3 b) 0 sen5 cos c) 0 sen sen( ) d) Proposição : k e k Indeterminação. Eemplos: a) b) 3 c) ln( ) ln d) 3

20 90 Proposição 3: k 0 k e Indeterminação. Eemplos: a) 3 0 b) 4sen 0 sen c) ln 3 0 Proposição 4: 0 k a k ln a Indeterminação 0 0. Eemplos:. Calcule os ites abaio: 3 a a) 0 a b b) 0 a e c) a a

21 9. Verifique a continuidade da função:, sen( ) f() e, 35. Eercícios. Calcule os ites abaio: ² ² 3 3³ ² ² ² ³ ² tan sec 4- ² ² tan 7-8- (sen cotan) 0

22 9 9-0 cos a e sena b e senb Calcule os ites laterais das funções abaio; nos valores indicados. Determine se o ite para a tendência indicada eiste., 0 5- f (),para 0 6- g(), para, 0 7- (), para 0 ² 8- f(), para ² 9- g(), para ( )² Eamine a continuidade das funções com domínio R, nos pontos indicados:,, f() ( )² 3- g() 3, 0, 0 3- () 3,, 33- f() 3,, sen, g(), e, 0 () sen, sen,

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33 Taa de Variação. Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taa de variação. Definição 5: Taa de variação média. Considere variável independente e y variável dependente. Taa de variação média de A(,y ) para B(,y ) é calculada por: y y y tvm = O coeficiente angular de uma reta é uma taa de variação, velocidade e aceleração de um móvel são taas de variação. Se quisermos estudar a variação da variável dependente quando a independente varia, temos uma taa de variação. Definição 6: Taa de variação Instantânea. Considere variável independente e y variável dependente. Taa de variação instantânea em A( 0,y 0) para B(,y) é a variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende a zero, para medir-se a taa de variação no instante = 0. y y y0 tvi = z0 0 0 Se quisermos a taa de variação instantânea numa função dada, tem-se y=f() e y 0 = f( 0), e: f() f( 0) f( 0 ) f( 0) tvi = ou tvi = Eemplo: A tabela abaio representa a altura de uma bola em relação ao solo t segundos após seu lançamento. t(seg) 0 0,5,5 (m) 6,5 8 7,5 4 Calcule as seguintes velocidades médias: a) de t = 0,5 para t = b) de t = para t =,5 Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em t =, pois não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo decorrido. Eemplo: Considere que altura da bola é descrita pela função: (t) = -5t² + t + Determine a velocidade instantânea da bola em t = s.

34 Derivada Definição 7: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(), num ponto em que = 0 é: f() f( 0) f( f'( 0) ou f ( 0) 0 ) f( 0) = Se o ite eistir a função é dita derivável em = 0. Se o ite não eistir, assim, a função não é derivável em = = 0. dy df Notações: f ( 0), y ( 0), ( 0 ), ( 0 ) d d Veremos adiante, que a derivada pode não eistir, pois a definição é a partir de ite e o ite pode não eistir, ou ser infinito. Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como a taa de variação instantânea dessa função nesse ponto e ainda é o coeficiente angular da reta tangente à função no mesmo ponto. Eemplo:. Calcule a derivada da função, cuja lei é f() = ² - 9 nos pontos: a) = b) =. Calcule a derivada da função f() = sen no ponto = 0. Em vez de calcularmos n vezes ites muito semelantes, podemos definir a função derivada f () e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas substituir valores de. 38. Interpretação geométrica da derivada Nos gráficos abaio constam o gráfico da função real f(); os pontos P( 0,f( 0)) e Q(,f()); a reta s que passa por P e Q e o triângulo retângulo PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o coeficiente angular y da reta s é dado por a = tan =. Ou seja, o coeficiente angular da reta secante é a taa de variação média da função entre P e Q.

35 05 = = 0,6 = 0,4 = 0, A medida que diminuímos, ou melor, fazemos 0, observamos que Q P e assim, no ite, a reta secante é a reta tangente à função no ponto P. Observação: A derivada de uma função num ponto, ou seja, a taa de variação instantânea no ponto = 0 é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P( 0,f( 0)). Equação da reta tangente à curva y = f() no ponto P( 0,f( 0)) y y 0 = f ( 0)(- 0) Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular à reta tangente. Equação da reta normal à curva y = f() no ponto P( 0,f( 0)) y y 0 = (- 0) f'( ) Eemplo: Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f() = -²+ 4 + no ponto em que = 0. 0 Por definição reta tangente a uma curva e a curva interseccionam-se em apenas um ponto.

36 Derivada de uma função Definição 8: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio, f é dita derivável e a função derivada f é a função resultante do seguinte ite: f( ) f() f () = 0 Eemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são: a) f() = b) f() = c) f() = ² Na medida que resolvermos a função derivada para funções básicas, temos como aplicar para toda função do mesmo tipo, dando origem a uma espécie de formulário. Por eemplo, a derivada da função f() = é f () = 0, e se f() = 3, f() = -, ou melor, se f() = k, k R? 40. Funções derivadas de funções básicas: Proposição 9: f() = k, k R d k d Demonstração: Sendo f() = k, então f(+) = k. Usando a definição de função derivada. df() f( ) f() k k 0 0 CQD d Eemplo: y = 0 Proposição 30: f() = d d Demonstração: Sendo f() =, então f(+) = +. Usando a definição de função derivada. df() f( ) (f ) d 0 0 0

37 07 Proposição 3: g()= af() d(af()) d df() a d Demonstração: Sendo g() = af(), então g(+) = af(+). Usando a definição de função derivada. dg() g( ) g() af( ) af() af( ) f() d f( ) f() df() = a a CQD 0 d Eemplo: y = a d(f() g()) df() dg() Proposição 3: u()= f() + g() d d d Demonstração: Sendo u() = f() + g(), então u(+) = f(+)+g(+). Usando a definição de função derivada. du() f( ) g( ) (f ) g() f( ) g( ) f() g() 0 d 0 (f ) f() g( Eemplo: f() = a + b ) g() f( 0 0 ) f() g( 0 ) g() df() d dg() d CQD d n Proposição 33: f() = n n n- d Demonstração: Considere o binômio de Newton: n n n n n n n- n- n-3 3 n- n (a + b) = a + a b + a b a b... a b b 3 n - n n n n, números binomiais que Sendo f() = n, então f(+) = (+) n E por sua vez n n (+) n n n- n- n-3 3 n- n = + n +... n 3 Usando a definição de função derivada. df() f( ) f() d 0 n n n n- n- n-3 3 n- n n + n +... n - 3 = 0 n n n - n - n -3 3 n - n n +... n = 3 0 n n n - n - n -3 n - n = n +... n n n- CQD 0 3 e

38 08 Eemplo: f() = 4³ d(f() g()) dg() df() Proposição 34: u() = f().g() f() g() d d d Demonstração: Sendo u() = f().g(), então u(+) = f(+).g(+). Usando a definição de função derivada. du() f( ) g( ) f() g() d 0 Somar ZERO f( ) g( ) f( )g() f( )g() f( g)() = 0 Colocar f(+) em evidência Colocar g() em evidência f( ) g( ) g() g()f( ) f() = 0 f( ) g( ) g() f( ) f() = g() 0 0 g( ) g() f( ) f() dg() = f() g() f() 0 0 d df() g(). CQD d Eemplo: f() = (a + b) g()=(³-) 6.(a + b) 3 Proposição 35: f() = sen d(sen) d cos Demonstração: Sendo f() = sen, então f(+) = sen(+) = sen()cos()+sen()cos(). Usando a definição de função derivada. df() f( ) f() d 0 sen()cos() sen()cos() = 0 sen()cos() 0 0 = sen() 0 sen() sen()cos() sen()cos() sen() 0 cos() sen() cos() 0 0 cos() cos() cos() cos() sen() cos() 0 cos() sen()cos() sen() cos() = Fundamental do seno!!!

39 09 = sen() sen() 0 cos() cos() sen() sen() 0 cos() sen() cos() sen() sen() = sen() cos() 0 cos() sen() sen() 0 cos() cos cos CQD Fundamental do seno!!! 0 Proposição 36: f() = cos d(cos) d sen Demonstração: Sendo f() = cos, então f(+) = cos(+) = cos()cos()-sen()sen(). Usando a definição de função derivada. df() f( ) f() d 0 cos()cos() sen() sen() = 0 cos()cos() 0 0 sen() sen() = cos( ) 0 sen() sen( ) CQD cos() cos()cos() cos() 0 cos() cos() sen() 0 0 sen() sen() sen() 0 (já resolvemos) d(a ) Proposição 37: f() = a a ln a d Demonstração: Sendo f() = a, então f(+) = a +. Usando a definição de função derivada. df() f( ) f() a a a a a d a a a = a a.ln a CQD 0 0 Proposição 4!!! = Fundamental do seno!!! Eemplo: Derive a função f() =. Corolário 38: f() = e d(e ) d e Demonstração: Sendo f() = e, basta aplicar a proposição 3, com a = e. d(e ) e ln e e e d Proposição 39: Regra da cadeia Suponamos que sejam deriváveis a função f() e g() em relação à variável, sendo elas f () e g (), então: dfog() df dg() g() d d d df d Observação: g() df( ) significa a derivada d composta com a g().

40 0 Demonstração: f(g( )) f(g()) (f g( )) (f g()) g( ) g() fog ()= =. 0 0 g( ) g( ) (f g( )) (f g()) g( ) g() f(g( )) f(g()) g( ).. 0 g( ) g() 0 g( ) g() 0 g() () g( ) g() f(g( )) f(g()) Sabemos que = g (). Precisamos resolver: 0 0 g( ) g() Faremos uma troca de variáveis: t = g(+) g(). Com 0, teremos t 0. Isolando g(+) = g() + t. Substituindo isso no ite: f(g() t) f(g()) f(g() t) f(g()) f'(g()). t0 g() t g() t0 t Voltando a (): dfog() f(g( )) f(g()) g( ) g() df dg(). = g() CQD d 0 g( ) g() 0 d d Observação:. Sabendo as derivadas f () e g (), a derivada da composta é o df produto de derivada de f, substituindo por g(), g(), por g (). d. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g (). Ela é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA. Eemplo: Derive as funções abaio: a) f() = sen (5 ) b) g() = sen(5 ) cos c) () = sen(5 ) d) u() = sen(5 cos ) Corolário 40: Seja f() e g()= n, considerando a função g() derivável, ou seja, g () eiste, então a derivada da função gof() = g(f()) = f() n é dada por: n df() n df() nf() d d

41 Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(): dgof() dg df() f() d d d Considere g() = n e f() qualquer função de. gof() =f() n. A derivada de dg( ) dg g() é : = n n- n, então f() nf(). Substituindo na regra da cadeia: d d n df() n df() nf(). CQD d d Eemplo: Determine as funções derivadas das funções abaio: a) f()= ( + ) 00 b) g()= 4² 3 c) ()= 3 Proposição 4: u() = f() g() d d f() g() dg() d f() g() f() d g()² d Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso. d(f() g()) dg() df() A proposição 8 nos diz que f() g(). Nela, faremos a d d d f() seguinte adaptação: f() g(). Assim substituindo na proposição 8: g() g() ) dg() d f() d(f() df() f() g(). () d g() d d d Conecemos f() e g(), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é a derivada de [g()] - =. g() Agora, usando o corolário 35, temos que dg() dg() dg() g() g(). d d d Precisamos voltar para a equação (): Não podemos confundir [g()] - com g - (). Como por eemplo, se g() = a, então [g()] - = a - e g - ()=log a. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos matemáticos totalmente diferentes.

42 f() d g() df() f(). g() g() = f() dg() df(). d g() d d g() d g() d Neste ponto do desenvolvimento para cegar na resposta, só precisamos manipular algebricamente a epressão. df() dg() df() dg() d f() f() g() f() df() f() dg() d d d d. CQD d g() g() d g() d g() g() g( ) d Eemplo: Determine as funções derivadas das funções abaio: a) f()= ³ - + b) g()= ( + 3)(4² - 3) c) () = 3 4 d) f()= (³ - +)² e) ()= tan

43 3 f) g()= 3 -.cos() tan( 4) g) f()= e 4. Derivada da Função Inversa Temos como calcular a derivada de uma função conecendo a derivada de sua inversa. Por eemplo, f() = em ]0,+[ e g() = inversas. Vejamos: f () = e g ()= Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f - ()= g ()= = y f'(y ) em ]0,+[ são funções Teorema 4: Teorema da função inversa Seja f: I R uma função derivável e crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f () 0 para todo I, então f - é derivável em f(i) e (f - ) (f())=. f'() Eemplo: Determine as derivadas das funções abaio, pelo teorema da função inversa. a) f() = log a

44 4 b) g()= ln c) g() = ln( -) d) f()=sen(ln(+)) e) () = arcsen f) g() = arcsen ²

45 5 g) y = arctan 4. Derivadas Sucessivas O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada segunda e assim por diante. d f Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) f" y" d 3 d f Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) = f = y 3 d Observações:. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n vezes. Eistem funções que são infinitamente deriváveis e outras não eiste se quer a derivada de ordem. Podemos relacionar este fato com a continuidade das funções. 3. A aceleração é a taa de variação da velocidade em função do tempo. Por sua vez, velocidade é a taa de variação do deslocamento em função do tempo, ou seja, a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo. Eemplo: Determine as derivadas indicadas: a) Derivada segunda de f()= ( + ) 00

46 6 b) Derivada quinta de f()= arcsen(cos(5)) 43. Alguns eercícios Atenção: Os eercícios aqui indicados são apenas uma amostra. RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos para complementar teu estudo. Em relação às funções abaio, calcule as derivadas nos pontos indicados se eistirem: - f() = ³ determine f () - f() = ²+ determine f () 3- f() = determine f () 4- f() = determine f (0)Determine a equação da reta tangente às funções ² abaio, nos pontos indicados: 5- f() = ²- 3 4 no ponto em que = - 6- f() = no ponto em que = 7- f() = no ponto em que = 5 8- Um projétil é lançado de um penasco de,5 metros de altura. O deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do projétil nos instantes: (a) t = 0 s (b) t = s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo. Determine as funções derivadas das funções abaio: 9- f() = 3(8³-) 0- g() = ² 3 - () = 3 6² 7 - f() = e (³+)³

47 7 3- g() = ln( ) 4- () = 5- f() = e g() = 7- () = cos(4²-) 8- f()= sen ² g()=ln(cos(5)) 0- () = tan( ) sen - f() = ln 3² 4 - g() = ln 9² e 3- () = (3²+5) f() = tan (5 )

48 8

49 9

50 0

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52

53 3

54 4

55 5

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57 7