Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Uidade G Derivadas Cálculo Diferecial e Itegral I Tecologia em Costrução de Edifícios IFRS CAMPUS RIO GRANDE PROFª DÉBORA BASTOS

2 4. Taa de variação Muitos coceitos e feômeos físicos, ecoômicos, biológicos, etc. estão relacioados com taa de variação. Defiição : Taa de variação média. Cosidere variável idepedete e y variável depedete. Taa de variação média de A(,y ) para B(,y ) é calculada por: y y y tvm = O coeficiete agular de uma reta é uma taa de variação (a taa de variação de uma reta é costate para quaisquer que sejam os potos cosiderados), velocidade e aceleração de um móvel são taas de variação. Se quisermos estudar a variação da variável depedete quado a idepedete varia, temos uma taa de variação. Defiição : Taa de variação Istatâea. Cosidere variável idepedete e y variável depedete. Taa de variação istatâea em A(,y ) para B(,y) é a variação da variável depedete quado a variação da variável idepedete tede a zero, para medir-se a taa de variação o istate =. y y y tvi = z Se quisermos a taa de variação istatâea uma fução dada, tem-se y = f() e y = f( ), e: f() f( ) f( ) f( ) tvi = ou tvi = Eemplo: A tabela abaio represeta a altura de uma bola em relação ao solo t segudos após seu laçameto. t(seg),5,5 (m) 6,5 8 7,5 4 Calcule as seguites velocidades médias: (a) de t =,5 para t = (b) de t = para t =,5 Observação: Nesse caso ão teríamos como calcular a velocidade istatâea em t =, pois ão temos a lei da fução que relacioa a altura da bola com o tempo decorrido. Eemplo: Cosidere que altura da bola do eemplo aterior é descrita pela fução: (t) = -5t² + t + Determie a velocidade istatâea da bola em t = s.

3 5. Derivada de f() um poto Defiição : A derivada de uma fução, cuja lei é y = f(), um poto em que = é: f() f( ) f( ) f( ) f'( ) ou f ( ) = Se o ite eistir a fução é dita derivável em =. Se o ite ão eistir, assim, a fução ão é derivável em = =. dy df Notações: f ( ), y ( ), ( ), ( ) Veremos adiate, que a derivada pode ão eistir, pois a defiição é a partir de ite e o ite pode ão eistir, ou ser ifiito. Observação muito importate: A derivada de uma fução um poto é defiida como a taa de variação istatâea dessa fução esse poto. Veremos adiate outra importate relação da derivada de uma fução um poto com geometria. Eemplo:. Calcule a derivada da fução, cuja lei é f() = ² - 9 os potos: (a) = (b) =. Calcule a derivada da fução f() = se o poto =. Em vez de calcularmos vezes ites muito semelates, podemos defiir a fução derivada f () e se precisarmos calcular em potos específicos apeas substituir valores de.. Fução Derivada de uma fução Defiição 4: Fução derivada. Se f é derivável para todo poto de seu domíio, f é dita derivável e a fução derivada f é a fução resultate do seguite ite: f( ) f() f () =

4 6 Observação: A defiição de fução derivada vem da defiição da derivada em um poto, pois apeas precisamos cosiderar que ão queremos mais calcular a derivada um poto específico e sim um poto qualquer. Eemplo: Calcule as fuções derivadas das fuções, cujas leis são: (a) f() = (b) f() = + 8 (c) f() = ² (d) f() = Observações:. A otação da fução derivada e derivada um poto é questão de trocar por dy df( ). Etão fução derivada podemos usar as otações f (), y,, ; dy. A otação, faz referêcia a defiição de derivada, que é uma taa de variação istatâea, um quociete de y por, o ite de. Na verdade dy, são coceitos idepedetes, dy = y e =, camados de difereciais de y e de, respectivamete. Retoraremos a esses coceitos mais tarde. A derivada de uma fução É a divisão dos difereciais de y por. Disciplia de Matemática II

5 7 4. Iterpretação geométrica da derivada Nas figuras abaio costam o gráfico da fução real f(); os potos P(,f( )) e Q(,f()); a reta s que passa por P e Q (reta azul) e o triâgulo retâgulo PAQ, que defie o coeficiete agular da reta s. Deste modo, o y coeficiete agular da reta s é dado por a = ta =. Ou seja, o coeficiete agular da reta secate é a taa de variação média da fução etre P e Q. A reta t (vermela) é a reta tagete à fução y = f() o poto P (, f( )). Por defiição esta reta só iterseccioa a fução este úico poto. A medida que dimiuímos, ou melor, fazemos, observamos que Q P e assim, o ite, a reta secate (azul) é a reta tagete (vermela) à fução o poto P. Deste modo f ( ) como ite do coeficiete agular da reta secate, é o coeficiete agular da reta tagete. Acompae o raciocíio abaio para eteder melor a iterpretação geométrica da derivada. Lembre-se que a seta sigifica tede a. Q P reta secate reta tagete y y a s a t as f'( ) at Observação: A derivada de uma fução um poto, ou seja, a taa de variação istatâea o poto = é o coeficiete agular da reta tagete à curva o poto P(,f( )). Defiição 5: Equação da reta tagete à curva y = f() o poto P(,f( )) y y = f ( )(- ) Também podemos defiir a reta ormal a uma curva, já que esta é perpedicular à reta tagete. Defiição 6: Equação da reta ormal à curva y = f() o poto P(,f( )) y y = (- ) f'( )

6 8 Eemplo. Determie a equação da reta tagete e ormal ao gráfico da fução f() = -²+ 4 + o poto em que =. Eercício: Nas figuras acima foi usado o Geogebra para a fução f() = ³ o poto em que =. Faça a costrução o Geogebra e visualize a equação da reta tagete e ormal ao poto citado a Jaela de Álgebra. Use as defiições 5 e 6 e compare os resultados. 5. Fuções derivadas de fuções básicas A partir dos resultados abaio, costituiremos um formulário de derivadas. Proposição 7: f() = k, k R d k Demostração: Sedo f() = k, etão f(+) = k. Usado a defiição de fução derivada. df() f( ) f() k k Eemplo: y = CQD Proposição 8: f() = d Demostração: Sedo f() =, etão f(+) = +. Usado a defiição de fução derivada. df() f( ) (f ) Observação: Note a otação em é coerete com o resultado, pois esta derivada é a divisão de um úmero por ele mesmo ( /), logo o resultado só pode ser. Proposição 9: g()= af() d(af()) df() a Demostração: Sedo g() = af(), etão g(+) = af(+). Usado a defiição de fução derivada. dg() g( ) g() af( ) af() a f( f( ) f() df() = a a CQD Eemplo: y = 5 ) f() Baie o programa em O GegoGebra também possui versão para Adroid.

7 9 Proposição : u()= f() + g() d(f() g()) df() dg() Demostração: Sedo u() = f() + g(), etão u(+) = f(+)+g(+). Usado a defiição de fução derivada. du() f( ) g( ) (f ) g() f( ) g( ) f() g() (f ) f() g( ) g() f( ) f() g( ) g() df() dg() CQD Observação: Aqui verificamos algo que podemos cosiderar trivial, mas ão o é. A derivada da soma é a soma das derivadas, mas a derivada do produto NÃO É o produto das derivadas, muito meos a derivada do quociete é o quociete das derivadas. Eemplo: f() = 8 + Proposição : f() = d - Eemplo: Faça as derivadas das fuções abaio por defiição.. f() = ³. f() = 4. f() = 5

8 Observação: Todas essas fuções com atural tem um padrão que podemos geeralizar segudo a demostração abaio para este caso. Demostração: Cosidere o biômio de Newto b b a -... b a b a + b a + a = b) + (a e que k é o úmero do Triâgulo de Pascal que está situado a lia e a colua k. Assim. Sedo f() =, etão f(+) = (+) e por sua vez : ( + ) = Usado a defiição de fução derivada. f() ) f( () df = = = = CQD Eemplo: f() = 4³ Proposição : u() = f().g() () df g() () dg f() g()) d(f() Demostração: Aulam-se.

9 Sedo u() = f().g(), etão u(+) = f(+).g(+). Usado a defiição de fução derivada. du() f( ) g( ) f() g() Somar ZERO f( ) g( ) f( )g() f( )g() f( g)() = Colocar f(+) em evidêcia Colocar g() em evidêcia g( ) g() g()f( ) f() f( ) = f( ) g( ) g() = f( ) g() g( ) g() f( ) f() = f() g() Eemplo:. () = ³ 4 f() dg() f() df() g(). CQD. u() = ( -+) Proposição : f() = se d(se) cos Demostração: Sedo f() = se, etão f(+) = se(+) = se()cos()+se()cos(). Usado a defiição de fução derivada. df() f( ) f() se()cos() se()cos() se() se()cos() se() se()cos() = se()cos() se()cos() cos() cos() se() cos() cos() Fudametal do seo!!! se() = se() cos() cos() se() se() se() cos() cos() Fudametal do seo!!! se() se() cos() cos (se) Eemplos:. () = (+). se cos = cos CQD

10 . () = se Proposição 4: f() = cos d(cos) se Demostração: Sedo f() = cos, etão f(+) = cos(+) = cos()cos()-se()se(). Usado a defiição de fução derivada. df() f( ) f() cos()cos() se() se() cos() cos()cos() cos() se() se() = cos()cos() se() se() cos() se() cos() se() = Fudametal do seo!!! (já resolvemos) = cos( ) se() se( ) CQD Eemplos:. ()=(se). (cos). ()= cos Proposição 5: f() = a d(a ) a l a

11 Demostração: Sedo f() = a, etão f(+) = a +. Usado a defiição de fução derivada. df() f( ) f() a a a a a a a a = a a.l a CQD Proposição do último ite fudametal!!! Eemplo: Derive a fução f() =. Corolário 6: f() = e d(e ) e Demostração: Sedo f() = e, basta aplicar a proposição 5, com a = e. d(e ) e l e e e Proposição 7: Regra da cadeia Supoamos que sejam deriváveis a fução f() e g() em relação à variável, sedo elas f () e g (), etão: dfog() df dg() g() Demostração: f(g( )) f(g()) (f g( )) (f g()) g( ) g() fog ()= =. g( ) g( ) (f g( )) (f g()) g( ) g() f(g( )) f(g()) g(.. g( ) g() g( ) g() ) g() () g( ) g() f(g( )) f(g()) Sabemos que = g (). Precisamos resolver: g( ) g() Faremos uma troca de variáveis: t = g(+) g(). Com, teremos t. Isolado g(+) = g() + t. Substituido isso o ite: f(g() t) f(g()). Já temos aqui o que queremos provar, mas ão eergamos. Assim, faremos o uso da otação y t t = g() para visualizar. f(g() t) f(g()) f(y t) f(y) df(y) df g() t t t t Voltado a (): d fog() f(g( )) f(g()). g( ) g() g( ) g() df = g() d g() CQD

12 4 Observação:. Sabedo as derivadas f () e g (), a derivada da composta é o df produto de derivada de f, substituido por g(), g(), por g ().. Toda essa demostração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g (). Ela é fudametal, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA. Eemplo: Derive as fuções abaio: (a) () = se (5 ) (b) u() = se(²) (c) () = se(e ) (d) u() = se (5 )

13 5 (e) () = 5 se (f) u() = sec() (g) () = cos( ² ) () u() = se 4 (cos(e ))

14 6 (i) () = se (5) Corolário 8: Seja f() e g()=, cosiderado a fução f() derivável, ou seja, f () eiste, etão a derivada da fução gof() = g(f()) = f() é dada por: df() df() f() Demostração: Aplicado a regra da cadeia: Usado a versão gof(): dgof() dg df() f() Cosidere g() = e f() qualquer fução de. gof() =f(). A derivada de g() é : dg f() f() f() df() d f(). Substituido a regra da cadeia:. CQD dg() = -, etão Eemplo: Determie as fuções derivadas das fuções abaio: (a) f()= ( + )

15 7 (b) g()= 4² (c) ()= (d) u() = cos ( ) Proposição 9: u() = f() g() d f() g() dg() d f() g() f() g()² Demostração: Podemos demostrar a derivada da divisão de duas fuções cosiderado que dividir equivale a multiplicar pelo iverso. d(f() g()) dg() df() A proposição os diz que f() g(). Nela, faremos a seguite adaptação: f() f() g(). Assim substituido a proposição : g() f() g() d(f() g() ) dg() d f() g() df(). ()

16 8 Coecemos f() e g(), também suas derivadas, mas aida ão sabemos quem é a derivada de [g()] - = Agora, usado o corolário 8, temos que Precisamos voltar para a equação (): g() dg() dg() d g() g().. g() f() d g() df() f() d g() g() df() f(). g() =. g() g() g() Neste poto do desevolvimeto para cegar a resposta, só precisamos maipular algebricamete a epressão. df() dg() df() dg() d f() f() g() f() df() f() dg(). CQD g() g() g() g() g() g( ) d Eemplo: Determie as fuções derivadas das fuções abaio: (a) f()= 4 (b) ()= ta (c) () = cos( ) Não podemos cofudir [g()] - com g - (). Como por eemplo, se g() = a, etão [g()] - = a - e g - ()=log a. Uma é O iverso, e a outra é A iversa. Coceitos matemáticos totalmete diferetes.

17 9 6. Derivada da Fução Iversa Fuções iversas etre si tem a seguite característica f: A B e g: B A y = f() y= g() Etão gof: A A e fog: B B gof()= fog()= Veremos como calcular a derivada de uma fução coecedo a derivada de sua iversa. Por eemplo, f() = em ],+[ e g() = em ],+[ são fuções iversas. Vejamos: f () = e g ()= Reescreveremos da seguite maeira, cosiderado que y = f - ()= g ()= = y f'(y ) Teorema : Teorema da fução iversa Seja f: I R uma fução derivável e crescete (ou decrescete) em um itervalo ão trivial I. Se f () para todo I, etão f - é derivável em f(i) e (f - ) (f())=. f'() Demostração: Cosiderado a regra da cadeia para fof - () =, derivaremos cada membro da equação, o primeiro pela regra da cadeia e o segudo pela derivada de em relação a. df of() df df() f() df d f() f() Passado f () dividido o segudo membro: df f() CQD df() Observação: Nota-se que o primeiro membro sigifica que a derivada da iversa de f está composta com f e é isso que é o iverso da derivada de f. O que realmete df ) queremos é ( e ão df f(). Para isso devemos ter coecimeto de fuções compostas. Eemplo: Determie as derivadas das fuções abaio, pelo teorema da fução iversa. a) f() = em ],+[ e g() = em ],+[

18 (b) f: R R + f()= a f - : R + R f - () = log a (b) f: [,] [-,] f() = se() f - : [-,] [,] f - () = arcse() (c) f:, R f() = ta() f - : R, f - () = arcta()

19 7. Fuções ão deriváveis Eistem fuções que ão possuem derivadas em algus potos e também que ão são deriváveis em eum poto. Vamos aalisar a característica geométrica da fução que ão é derivável em algum poto. Como sabemos, a derivada em um poto é o coeficiete agular da reta tagete ao gráfico da fução o poto dado. Para a derivada ão eistir, o ite que a defie ão eiste, ou seja: f() f( ) f() f( ) O coeficiete da reta tagete que se aproima do poto em que = pela esquerda é diferete do coeficiete da reta tagete que se aproima pela direita. Assim temos duas retas tagetes distitas para o mesmo poto. Quado isso acotece? Observe o gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta tagete ao gráfico o poto A(,) pela esquerda. A reta b (vermela) é a reta tagete ao gráfico o poto A pela direita. O gráfico possui um bico este poto, assim como o poto B(-,). A fução f ão é derivável os potos A e B. Para uma fução ser derivável o comportameto do gráfico ão pode ter mudaças abruptas. Outro fator que tora uma fução ão derivável um poto é a descotiuidade. Pelo mesmo motivo dos bicos, quado a fução é descotíua um poto, as retas tagetes pela esquerda e pela direita deste poto ão coicidem. No gráfico à esquerda, a fução é descotiua o poto O(,). A reta tagete à fução o poto O pela esquerda é a reta orizotal d (verde) e a reta tagete à fução o poto O pela direita é a reta vertical e (vermela). Também ão é derivável. Proposição : Se a fução y = f() ão é cotíua o poto =, etão f() ão é derivável o poto =. 8. Derivadas Laterais Corolário : (Cotra recíproca) A fução derivável o poto = é cotíua o poto = Defiição : Derivada lateral à direita da fução y=f() o poto = o é dado por f +() = f() f( ). f() Defiição 4: Derivada lateral à esquerda da fução y=f() o poto = o é dado por f -() = f( ).

20 Importate defiição para, por eemplo, determiarmos retas tagetes a curvas em poto com picos, ou em potos de descotiuidade, cujas derivadas ão eistem, mas as laterais podem eistir. Eemplos: Verifique se á potos em que a fução f() ão é derivável. (a) f() = (b)f()= ( )

21 (b) g() = Observação: Rigorosamete o ite ão sedo fiito ele ão eiste, mas se a derivada por ifiita sigifica que o coeficiete agular da reta tagete é ifiito??? Sim, pois a = ta e se o âgulo correspodete a tagete ifiita é 9º. Ou seja, quado a derivada é ifiita um poto, a reta tagete à fução esse poto é vertical. 9. Derivadas Sucessivas O pricípio é simples. Dizemos que derivada seguda de uma fução é a derivada da fução derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada seguda e assim por diate. d f Notação: Para derivada seguda (derivada da derivada) f" y" d f Para derivada terceira (derivada da derivada seguda) = f = y Observações:. Nada podemos garatir sobre a derivabilidade de uma fução vezes. Eistem fuções que são ifiitamete deriváveis e outras ão eiste se quer a derivada de ordem.. Podemos relacioar este fato com a cotiuidade das fuções.. A aceleração é a taa de variação da velocidade em fução do tempo. Por sua vez, velocidade é a taa de variação do deslocameto em fução do tempo, ou seja, a aceleração é a derivada seguda do deslocameto em relação ao tempo. Eemplo: Determie as derivadas idicadas:

22 4 (a) Derivada seguda de f()= ( + ) (b) Derivada quita de f()= arcse(cos(5)). Algus eercícios Ateção: Os eercícios aqui idicados são apeas uma amostra. RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fotes bibliográficos para complemetar teu estudo. Em relação às fuções abaio, calcule as derivadas os potos idicados se eistirem: - f() = ³ determie f () - f() = ²+ determie f () - f() = determie f () 4- f() = ² determie f () Determie a equação da reta tagete às fuções abaio, os potos idicados: 5- f() = ²- 4 o poto em que = - 6- f() = o poto em que = 7- f() = o poto em que = 5

23 5 8- Um projétil é laçado de um peasco de,5 metros de altura. O deslocameto s, em metros, do projétil em fução do tempo t, em segudos, é descrito pela fução s(t)=4,9t², determie a velocidade e a aceleração do projétil os istates: (a) t = s (b) t = s (c) t = s (d) Em que atige o solo. Determie as fuções derivadas das fuções abaio: 9- f() = (8³-) - g() = ² - () = 6² 7 - f() = e (³+)³ - g() = l( ) 4- () = 5- f() = e 4 6- g() = 7- () = cos(4²-) 8- f()= se ² g()=l(cos(5)) - () = ta( ) se - f() = l ² 4 - g() = l 9² e - () = (²+5) f() = ta (5 )