Funções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

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1 4 Unidade C Funções Conceitos Básicos Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

2 5 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam duas variáveis, geralmente usaremos e y. Em que a variável é chamada de independente e y de dependente.. Definição de função. Duas grandezas, e y, em que A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se: I Todo se relaciona com algum y B. II Cada se relaciona com eatamente um y B. O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se eistir uma epressão que relacione y a, chamamos de lei da função. Notação: f: A B y = f() Eemplos:. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B é função? I Todo triângulo tem área. II Cada triângulo possui apenas UMA área. Essa área é um número real (B = R). Logo é uma função!. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é função? I Nem toda mulher está num relacionamento romântico. Não satisfaz a primeira condição, não é função. II Cada mulher pode ter mais de um relacionamento romântico. Não satisfaz a segunda condição, logo não é função. Basta não satisfazer algum dos critérios para não ser função.. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função? I Toda pessoa tem idade. Mesmo considerando o que as pessoas responderiam ao serem questionadas, apenas a parte inteira de suas idades, teríamos problemas com alguns elementos do conjunto A. Se considerarmos bebês, cujas idades são contadas em meses, não teríamos um número natural para associar a eles. Por eemplo, um bebê de seis meses, em anos sua idade seria 0,5, mas o conjunto B = N. Nesse sentido nem todas as pessoas tem idade associada a um número natural. II Cada pessoa possui apenas um número que representa a sua idade num momento definido. Logo esse eemplo não é função, pois falha o primeiro critério. Poderíamos torna-lo em uma função se apenas alterássemos o conjunto B para B = R. 4. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é uma função? I Toda equação possui solução? Como B = R, a resposta é não. Por eemplo, as equações + = 0 e + = 0 não possuiu soluções reais. Por isso esse eemplo, não é uma função. II Cada equação possui UMA solução? A resposta também é não, pois além das equações sem soluções nos reais, há aquelas que possuem duas soluções, ou seja, um mesmo estaria associado a dois valores de y. Como, por eemplo, a equação 6 = 0, com as soluções = 0 e = 6! A parte complementar nessa unidade tem o objetivo de aprofundar os conceitos abordados. Assim, os conteúdos não deiarão de ser cobrados, pois serão vistos em aula, embora não tão aprofundado.

3 6 Observação: - O conjunto dos y B, tais que eistem algum relacionado a eles chama-se conjunto imagem.. Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos. Eemplo:. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens a 4, anteriores? Eemplo : Área de triângulos. Qualquer número real positivo está associado a área de algum triângulo. Por eemplo, eiste triângulos de área A =, basta considerarmos um triângulo de base b = e altura h =. Na verdade só não eistem triângulos com áreas negativas ou nulas. Logo Im = R +. Eemplo : Não é função. Eemplo : Se considerarmos a adequação em que B = R, então basta considerarmos que não eistiriam idades negativas, até aqui podemos considerar idades nulas, idades dos bebês no instante em que nascem, logo Im = R +. Eemplo 4: Não é função.. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem. Agora o eemplo se difere do eemplo 4 anterior. Agora cada equação está associada com o número de soluções que pode ter. Como a equação é de segundo grau sabemos que: pode não ter solução nos reais, podemos considerar que a equação possui zero soluções, pote ter uma solução, ou duas. Inclusive, sabemos o número de soluções de uma equação sem resolvê-la. Sabemos que o número de soluções é zero se < 0, um se = 0 e duas se > 0. Cada equação possui apenas um desse tipo de. Logo, em qualquer caso: I Toda equação possui um número inteiro de soluções. II Cada equação tem definido apenas um número de soluções. Esse eemplo é uma função e Im = {0,, }.. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine o conjunto imagem da função. 4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o conjunto imagem. 5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido positivo do eio. Determine o conjunto imagem da função.

4 7. Gráficos de funções. Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico. (a) Domínio? Imagem? É função? (b) Domínio? Imagem? É função? (c) Domínio? Imagem? É função? (d) Domínio? Imagem? É função?

5 8 (e) Domínio? Imagem? É função? (f) Domínio? Imagem? É função? Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio da função são os reais.. Domínio de uma função. Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a epressão uma função. Lembramos aqui a definição de uma função, se para algum elemento do A não eistir elemento y associado a ele não eiste função. De maneira geral ecluímos do conjunto dos números reais aqueles que seria impossível calcular y, sobrando aqueles valores de que estão relacionados a apenas um valor de y. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) f: A R y y

6 9 Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só eistem duas restrições: I Divisão por zero; II Radicando negativo em raiz de índice par. Podemos ter combinações dessas restrições. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) g: A R y y ² (c) f: A R y 4 4 (d) h: A R y 5 (e) f: A R (f) g: A R y ² y Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com outras combinações destas restrições.

7 40 Unidade D Funções Tipos básicos Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

8 4 4. Função afim. É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = a + b Em que a e b são constantes reais. Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o significado de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para completar o estudo desta função veremos: estudo do crescimento, raiz da função e o estudo do sinal. 4.. Estudo do Crescimento. Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de em que a função é crescente, decrescente ou constante. Estudo do crescimento da função f, cujo gráfico está ao lado: f crescente: f decrescente: Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou ela é sempre crescente, sempre decrescente ou constante. Função crescente Função constante Função decrescente 0 < < 90º = 0 90º < < 80º tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0 Resumindo: a > 0 função afim crescente R a = 0 função afim constante R a < 0 função afim decrescente R

9 4 Eemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são: (a) y 6 (b) y Raiz da função afim. Em geral, raiz de uma função, é o valor de em que y = 0. Assim se a função é a afim: y = a + b a + b = 0 b a Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição de raiz, chegamos na equação muito simples de resolver. Eemplo: Determine a raiz das funções abaio: (a) f: R-{} R (b) f: R R 7 y y = Estudo do sinal. Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos do domínio, ou seja, valores de, em que a função, ou seja, y, assume valores positivos, negativos ou nulos. Observe o gráfico abaio. As regiões em rosa correspondem aos valores de em que o gráfico está acima do eio o, ou seja, y>0. As regiões em azul correspondem aos valores de em que o gráfico está abaio do eio o, ou seja, y < 0. E os pontos estão no eio o, ou seja, y = 0. Eemplo: Estudo do sinal da função do gráfico acima: y > 0 y = 0 y < 0 Esquema simplificado do estudo do sinal:

10 4 Se a função é afim, temos quatro possibilidades: (a) a > 0 (b) a < 0 (c) a = 0 e b > 0 (d) a = 0 e b < 0 Eemplos:. Estude o sinal de cada função afim abaio: (a) y = 4 (b) y = 4 8. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R y

11 44 (b) g: A R y 4 8. Resolva as inequações abaio, em R: (a) < 6 < 0 (b) Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = a² + b + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Observação: A parte complementar abaio não é obrigatória, mas é determinante para compreensão da relação da concavidade com o sinal de a, leia e se tiver dúvida procure atendimento.

12 45 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com a concavidade para cima ou para baio. Pela definição de parábola presente na unidade B, é o conjunto dos pontos no plano, cuja distância para a uma reta diretriz é a mesma que para um ponto fio, chamado foco. A concavidade será para cima, ou para baio se a reta diretriz for horizontal. Lembre-se que a reta de simetria, agora vertical é perpendicular a essa reta. Para relacionar a equação da cônica com a lei da função quadrática começaremos pelo caso mais simples: Concavidade para cima, vértice na origem V(0,0), foco no eio oy F(0, p), diretriz horizontal d: y + p = 0. Em que p = d(v,f) = d(v,d). y p ( 0) (y p) y p y p + y -p + p = y + py + p 0 + -p = py = 4py Analogamente se a concavidade for para baio vértice na origem V(0,0), foco no eio oy F(0, -p), diretriz horizontal d: y - p = 0. Em que p = d(v,f) = d(v,d). Chegaremos na equação: = - 4py E finalmente se, considerando uma translação da parábola em que vértice no ponto V(0,y0), foco em F(0,y0 p), diretriz horizontal d: y = y0 p. Em que p = d(v,f) = d(v,d). Chegaremos na equação: (-0) = 4p(y-y0) Para relacionarmos com a lei da função, primeiro isolaremos y: y y0 = 0 y = 0 + y0 4p 4p Agora desenvolveremos o quadrado e usaremos a propriedade distributiva. 0 0 y = y 0 0 = y 0 4p 4p p 4p Agora comparando com a lei y = a + b + c, tem-se: a Podemos concluir daqui que se a > 0 a concavidade é para cima e a < 0 para baio, já que p é sempre positivo. 4p 0 0 b e c y 0. O sinal de b e de c não se relaciona com a concavidade, pois dependendo do sinal de 0 em b, ou do valor p 4p de y0 o sinal proveniente da concavidade se altera. 5.. Raízes e intersecção com o eio oy. As raízes são os valores de em que a função assume y = 0 e vemos esses pontos no gráfico como intersecções com o eio o. Ou seja, para encontrarmos as raízes de uma função quadrática, temos que resolver... a + b + c = 0 A velha e boa Bhaskara! Já que o gráfico é uma parábola, podemos ter no máimo duas raízes, pois uma parábola intersecciona no máimo duas vezes o eio o, mas pode interseccionar uma vez, ou nenhuma. Duas raízes. Uma raiz. Nenhuma raiz. As partes complementares nesta unidade servem para aqueles que querem aprofundar os conhecimentos teóricos, por isso os assuntos em si não deiarão de ser cobrados, pois serão trabalhados em aula. Recomenda-se a leitura. Soma-se ou subtrai-se p conforme a concavidade da parábola seja para cima ou para baio.

13 46 Intersecção com o eio oy: Substituindo = 0 na lei da função quadrática: y = a.0² + b.0 + c y = c. Na maioria dos casos, apenas com as raízes e a intersecção com o eio oy traçamos um bom esboço da função quadrática. Um ponto muito importante também é o vértice, veremos adiante. Eemplo: Esboce o gráfico da função quadrática: y = ² Forma fatorada da função quadrática. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (visto na disciplina de fundamentos), podemos escrever a lei da função quadrática sendo conhecidos as raízes, e, pois é um polinômio de grau : y = a( )( ) Eemplo: Determine a forma fatorada da lei da função quadrática: (a) y = ² (b) y = Vértice. Para a função quadrática, o vértice é ponto de máimo ou mínimo da função. A partir daí podemos determinar o conjunto imagem da função e a reta de simetria da parábola Coordenadas do vértice: Pela reta de simetria, percebemos que a abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes da função. Sabemos da fórmula de Bhaskara, que as raízes da função quadrática são: b b e a a Para definirmos a abscissa do vértice, façamos o ponto médio das raízes: b b b b a a a a v b v a Para encontrarmos a ordenada do vértice, substituímos v na equação da função quadrática: y v a b a b b a c b² a 4a² b² a c b² b² 4ac 4a

14 47 y v 4ac b². 4a 4a Logo o vértice tem coordenadas: V b a, 4a 5... Equação da reta de simetria: A reta de simetria, ou reta focal, é vertical passando pelo vértice logo: s: v = Imagem da função quadrática: Se o vértice é o ponto de mínimo, todos os y > y v estão relacionados com algum do domínio, logo Im = [y v, + [ se a concavidade for para cima. Se o vértice é o ponto de máimo, todos os y < y v estão relacionados com algum do domínio, logo Im = ]-, y v] se a concavidade for para baio. Eemplo: Determine as coordenadas do vértice da função quadrática, o conjunto imagem desta função e a equação do eio de simetria do seu gráfico: (a) cuja lei é y = ² 0 + (b) cuja lei é y = -² Concavidade. A parábola da esquerda (roa) tem concavidade para cima e a parábola da direita (verde) tem concavidade para baio. Como diferenciar a concavidade conhecido a lei da função quadrática y = a² + b + c? Se relacionarmos a forma canônica da parábola com a reta focal vertical obtivemos: a =, em p é a distância do 4p vértice ao foco da parábola, ou do vértice até a reta diretriz da parábola. Pela definição p é sempre positivo, assim o sinal positivo ou negativo depende diretamente da concavidade da parábola. Se a > 0, então o gráfico tem concavidade para cima. Se a < 0, então o gráfico tem concavidade para baio.

15 48 Eemplos: Indique a concavidade das parábolas, definidas pelas funções abaio: (a) f() = - ( )( ) (b) s(t) = s 0 + v 0t + (a/)t s 0, v 0, a são constantes Estudo do Crescimento. Independente do número de raízes, o estudo do crescimento é definido pela concavidade e o vértice do gráfico da função quadrática. Com a concavidade para cima, a > 0 e V ( v,y v) é ponto de mínimo, tem-se: f é crescente: ] v, + [ f é decrescente: ], v[ f é decrescente: ] v, + [ f é crescente: ], v[ Com a concavidade para baio, a < 0 e V( v,y v) ponto de máimo, tem-se: Eemplos: Faça o estudo do crescimento para as seguintes funções: (a) f() = (b) f() = 0 + 8

16 Estudo do Sinal. Para determinarmos os intervalos de em que a função assume valores positivos, negativos ou nulos, necessitamos saber a concavidade do gráfico e as raízes da função. Com isso temos seis possibilidades. a > 0 a < 0 Duas raízes. Duas raízes. Esquema simplificado do estudo do sinal: Esquema simplificado do estudo do sinal: a > 0 a < 0 Uma raiz. Uma raiz. Esquema simplificado Esquema simplificado do estudo do sinal: do estudo do sinal: a > 0 a < 0 Nenhuma raiz. Nenhuma raiz. Esquema simplificado Esquema simplificado do estudo do sinal: do estudo do sinal: Eemplos:. Estude o sinal de cada função afim abaio, usando o esquema simplificado: (a) y = -²+ + 4 (b) y = ² +

17 50. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R y ² 5 6 (b) g: A R y ² 4 (c) h: A R ² y ² 6

18 5. Resolva as inequações abaio, em R: 6 9 (a) 0 (b) ² 4 6. Função Composta A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente. Eemplo motivador: Seja f: R-{} R* e g: [,+[ [, +[ f() g() Conseguimos definir uma função equivalente a aplicar g no resultado de f? Caso afirmativo defina essa função, caso negativo justifique. R-{} f() R* g(f()) se f() [, +[ = f = y = g(f ) = = 4 4 f 4 = y = g(f ) = = f 7 8 = y = g(f ) = 7 = 0 f(0) = y = g(f(0))=

19 5 Se para algum D(f) não eistir y = g(f()), g(f()) não é função, pois falha o primeiro critério, logo não eiste a função composta na ordem solicitada. Conseguimos definir uma função equivalente a aplicar f no resultado de g? Caso afirmativo defina essa função, caso negativo justifique. [, +[ g() [,+[ f(g()) se g() R-{} = 8 g(8) = y = f(g(8)) = = 7 g(7) = y = f(g(7)) = = 8 g(8) = y = f(g(8)) = = g() = y = f(g()) = Como g () [,+[ e [,+[ R-{}, sempre conseguimos calcular f(g()). [, + [ e y R* f og: [, + [ R* f(g()) = Generalizando: Considere f: A B e g: C D. y= f() y= g() Para podermos aplicar a função f primeiro, e no seu resultado a função g, o conjunto B deve estar contido no conjunto C, pois caso contrário, eistirá A que não possua y D relacionado a ele. f g A B C D gof: A D y = g(f()) g(f())= gof() Para podermos aplicar a função g primeiro, e no seu resultado a função f, o conjunto D deve estar contido no conjunto A, pois caso contrário, eistirá C que não possua y B relacionado a ele. g f C D A B fog: C B y = f(g()) f(g())= fog()

20 5 De modo geral para aplicarmos duas funções consecutivamente a condição de eistência da composta destas funções: O CONTRADOMÍNIO DA PRIMEIRA FUNÇÃO APLICADA DEVE ESTAR CONTIDO NO DOMÍNIO DA SEGUNDA. Eemplo: Verifique a eistência das funções compostas fog e gof, no caso afirmativo determine também a lei da função composta. (a) f: R R g: R R y = + 5 y = ²-+ (b) f: R [,+[ g: [,+[ R + y = ² + y

21 54. Dada a função f og:r R tal que f() = e a função f: R {}R* tal que f() = determine a função g.. Dada a função f 0g: R + R + tal que g(), determine a função f. f 0 g() e a função g: R + R + tal que 7. Função inversa. Uma função faz uma transformação na variável do domínio. Por eemplo, uma função transforma um número no seu cubo e soma uma unidade define a função: f: f() De modo intuitivo, se uma função é inversa da outra, o que uma faz a outra desfaz. Essa relação deve ser recíproca, ou seja, se uma é inversa da outra, a outra é inversa da uma, inversas entre si. Seja f: A B. Dizemos que a função f possui inversa e é g: B A, y=f() y= g() se para todo par ordenado (a,b) f, ou seja, b=f(a); tem-se (b,a) g, ou seja, a = g(b) e g, com isso, ser uma função. y (a, b) f (b, a) g y Pela definição, é consequência direta o fato de o domínio de uma ser imagem da outra e a imagem da outra ser domínio da uma.

22 55 f: R R g: R R y = y = (,) f (,) g (,6) f (6,) g, f, g... Ambas são funções, os gráficos de ambas são retas. Podemos dizer que f e g são inversas entre si, ou g = f -. Os gráficos são simétricos em relação à reta y=. Até a lei faz uma alusão ao inverso: a operação inversa de multiplicar por é dividir por. Infelizmente a maioria das funções não são tão simples para energarmos esta correlação. O gráfico de funções inversas possuem simetria em relação à reta y =. Energamos a simetria se dobrarmos o gráfico na reta y = os gráficos da função f e g se sobrepõe. h: R R g: R R y = ² = y² (,4) h (4,) g (,9) h (9,) g, h, 4 4 g... Só que neste caso, g não é função!!! h é função, g satisfaz o critério da operação inversa, mas g não é função, então não podemos dizer que g É FUNÇÃO INVERSA de h. Isso pelo fato de na função h eistir y s relacionados a dois valores de, por eemplo, (-,) h e (,) h. Assim como invertendo a ordem os pares ordenados pertenceriam à inversa (, -) g e (,) g, ou seja, um está relacionado com dois valores de y diferentes, logo não satisfaz o segundo critério de função. Concluímos que para eistir inversa de uma função, esta função deve ter para cada y apenas um valor de. Em consequência da definição, se f e g são funções inversas entre si, temos: f og: B B e g of: A A y=f og()= y= g of()= Seja (a,b) f, ou seja, b = f(a). Se g é a inversa de f, então (b,a) g, ou seja, a = g(b). Note que f og(b) = f(g(b))=f(a)=b, ou seja, para qualquer que seja b, f og(b) = b. Note ainda g of(a) = g(f(a))=g(b)=a, ou seja, para qualquer a, g of(a)=a. Trocando variáveis chegamos à lei das compostas.

23 56 Eemplo:. Verifique se as funções abaio são inversas entre si: (a) f: R R g: R R y y (b) f: [,+[ R + g: R + [,+[ y y ². Verifique a eistência da função inversa de f, apenas baseado em seu gráfico. Se eistir, esboce seu gráfico e determine domínio e imagem. (a) (b)

24 57 (d) (e). Determine a função inversa das funções abaio, se eistirem. (a) f: [-,+[ [,+[ y (b) g: R-{} R- y 4

25 58 (c) h: R R + y = - 8. Eercícios. - Determine o maior subconjunto dos reais que torna as epressões abaio em funções: a f : A f() lr 4 h : A lr c h() g : A lr b g() g : A lr d g() 4 ² - Determine o domínio de cada gráfico abaio. Analise se os gráficos abaio ;são referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique sua resposta. No caso de função determine o conjunto imagem. a b

26 59 c d Responda: a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação? b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser definida como uma função afim? 4 Resolva as inequações abaio, em R: a. b. c. d. e. f. g. h. 9. Eercícios. Esboce o gráfico das funções f:r R abaio, determinando as raízes, o vértice, a intersecção com eio oy e a concavidade da função. - y=²-+4 - y=-² - y=² y=4-² Resolva, em R, as inequações abaio: 5- (-)(²-7+0) < ²-5 < < ² - + < 6 8- (-4²)(²+) > 0 9- (²-+8)(²-5+6) < 0 4² ² ² - 0 -

27 60 0. Eercícios. Determine as funções compostas fog ou gof, se eistirem: f : lr lr f : lr lr f : lr lr - e - e f() f() f() ³ g : lr lr g() f : lr lr - e f() g :, lr f :, g() lr 4- e 4 f() g : lr g() 6, 5- Sejam as funções reais f() = 5 e f og() =. Determine a lei da função g. 6- Sejam as funções reais g() = e f og() = 9 +. Determine a lei da função f. Determine a função inversa de cada função abaio. Em caso negativo, justifique: f : lr lr f : lr* lr 4 g : lr lr y 5 4 y y h 0- y : lr lr g : lr lr f : lr lr y 4 y Verifique se eiste a função inversa das funções representadas pelos gráficos abaio. Em caso afirmativo, esboce o gráfico da inversa, em caso negativo, justifique: Respostas dos eercícios item 8. - (a) A = [4,+[

28 6 (b) A =,, (c) A =, (d) A = R - (a) A = R. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[. (b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[. (c) A = R. Não, há três intersecções com o eio oy, ou seja, para = 0 eistem três valores de y relacionado a ele. (d) A = R - {}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= R. - (a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal). (b) Não, uma reta vertical não é função. 4- (a), S (b) S,, (c) S,, 4 (d) S, 6, (e),, 5 S (f) (g) S, (h) S,,,. Respostas dos Eercícios item S,, 5- S, 6- S lr 5 7- S,,4,5

29 6 8- S, 0, 9- S = [,] S,,, - S,, - S, 0, - S,. Respostas dos eercícios do item 0. - gof e fog :lr* lr y fog :lr lr y gof e fog g() = f :lr lr y 9- f :lr y 4 4 lr * gof : y gof :lr lr e 6 y,, 6 g() = + +. g :lr lr 8- y 0- h :lr y lr e fog :lr lr g :lr lr - y 4 - Não eiste a inversa, pois para f, por eemplo, y=0, está relacionado com = 0 e = -. (0,0) f e (-,0) f, ou seja, (0,0) f - e (0,-) f -, para f - temos dois y para o mesmo, logo não é função. a 5 e 8- Não eiste, pois há mais de um para o mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o mesmo, não sendo função. 6- Eiste, e o gráfico é idêntico. 7- Eiste, gráfico ao lado em vermelho. y