MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 28

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1 Cap. Funções Reais de variável Real MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 8. Conjuntos de Números,,3 Números Naturais,,, 0,,, Números Inteiros a : a, b, b 0 Números Racionais b Irracionais Números Reais Irracionais Alguma notação normalmente usada,, 0 0,,,,,, 0,,,,, 0,,, 0 a : a,b, b 0 : 0 b. Intervalos de Números Reais Intervalo fechado 5 5 ou,5

2 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 9 Intervalo aberto 5 5 ou,5 Intervalos semiabertos 5 5 ou,5 5 5 ou,5 Eercícios Representar geometricamente os seguintes intervalos. (a) (b) e (c) Funções Reais de Variável Real Domínio, Eemplo (função) Contradomínio, Imagem, Gráfico. A 3 f f()=4 B f()=5 f(3)=5

3 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 30 Uma função é definida por três entidades: o domínio A, o contradomínio B e uma regra que associa aos elementos do domínio os elementos do contradomínio. Geralmente as funções designam-se por letras minúsculas (f no eemplo anterior), e a notação f()=4 significa que ao objecto está associada, via função f, a imagem 4. Designa-se por imagem de f o conjunto de elementos do contradomínio que são imagens de elementos do domínio se o domínio é A, a imagem de f representa-se por f(a); no eemplo anterior temos ( ) 4,5 domínio A e contradomínio B, escreve-se f : A f A. Para indicar que uma função f tem B. Chamamos gráfico da função ao conjunto dos pares ordenados, f ( ), obtidos para todos os valores do domínio da função. No caso do eemplo anterior o gráfico da função é,4,,5, 3,5. Uma relação de um conjunto A para um conjunto B, A B, define uma função sse a cada elemento do conjunto de partida, A, corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada, B. A relação g definida no eemplo seguinte não é uma função, porque eiste um elemento no conjunto de partida,, ao qual corresponde mais do que um elemento no conjunto de chegada, 4 e 5. Eemplo (a relação g não representa uma função) A B 3 g Nas funções que vamos utilizar no nosso curso, a regra de associação utilizada é geralmente epressa por uma fórmula matemática. Em certos contetos considera-se que uma relação como g representa aquilo que se chama uma função multívoca (cada objecto pode ser associado a mais do que uma imagem). No nosso curso não usaremos esta definição de função.

4 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 3 Eemplo A função f :, f ( ), é uma função que a cada objecto do domínio associa o seu dobro,, como imagem. Para efeitos de representação gráfica, e também por simplicidade, costuma escrever-se y em vez de f ( ). A letra designa-se por variável independente e y designa-se por variável dependente (o seu valor depende do valor atribuído a ). Na representação do gráfico desta função, os valores da variável marcam-se no eio dos e os da variável y marcam-se no eio dos yy. Dois pontos são suficientes para representar o gráfico, uma vez que a função corresponde a uma recta. y, 0 y 0 0 0, 0 y A epressão função real de variável real significa que na epressão f ( ) como f ( ) tomam valores reais. tanto 4. Funções Elementares Nesta secção vamos estudar um conjunto de funções designadas de funções elementares. São deste tipo a maioria das funções que vamos utilizar no nosso curso. O conjunto das funções elementares contém um núcleo de funções, ditas funções elementares principais, sendo as restantes funções elementares construídas por meio de um número finito de operações elementares efectuadas sobre as funções principais. As operações elementares são: adição, subtracção, multiplicação, divisão e composição. Apresentam-se de seguida as funções elementares principais. Funções Elementares Principais ) Função Constante Forma geral: y k, k

5 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 3 Representação do Gráfico k Eemplos: y 3, 3 y ) Função Potência k Forma geral: y, k Eemplos: y 3, 3 y, y Representação do Gráfico (gráficos retirados deste site)

6 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 33 (gráfico retirado deste site) (gráfico retirado deste site) 3) Função Eponencial Forma geral: y a, a, a 0 Eemplos: y e, 0. y, y Representação do Gráfico (gráfico retirado deste site)

7 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 34 4) Função Logaritmo Forma geral: y log, a, a 0 a Eemplos: y log3, y log0., y log e Representação do Gráfico (gráfico retirado deste site) 5) Funções Trigonométricas Directas e Inversas Directas: y sen( ), y cos( ), y tg( ), y cotg( ), y sec( ), y cos ec( ) Inversas: y arcsen( ), y arc cos( ), y arctg( ), y arccotg( ), y arcsec( ), y arc cos ec( )

8 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 35 Representação do Gráfico (gráfico retirado deste site) C A B B sen seno de C A cos coseno de C tg cotg sen B cos A cos sen A B tangente de cotangente de sec cos cosec sen C A C B secante de cosecante de

9 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 36 Decomposição de Funções em Combinações de Funções Elementares Principais Uma função diz-se elementar sse: (a) É uma função elementar principal; (b) É obtida combinando funções elementares principais, por meio de um número finito de operações de adição, subtracção, divisão, multiplicação e composição. A cada função elementar corresponde sempre uma só fórmula Eemplos. f ( ) é uma função elementar (FE), dado que é uma soma das funções elementares principais (FEP) f ( ) (função potência) e f ( ) (função constante). O seguinte esquema representa a decomposição de f ( ) numa soma de FEPs. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). A função módulo, f ( ) sejam associadas duas fórmulas, é uma FE. Embora na sua definição normal lhe, 0, 0, esta função pode ser definida por meio da fórmula única, que resulta da composição das FEPs f ( ) (função potência) e f ( ) (função potência), f f ( ).

10 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 37 Eercícios Mostrar que as seguintes são FEs. (a) f ( ) (b) f ( ) sen (c) f ( ) e Resolução (a) f ( ) é FE porque pode ser decomposta em FEPs como a seguir se mostra. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) (b) f ( ) é FE porque é a composição da FEP f ( ) sen( ) e da FE f( ) : f ( ) f f

11 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 38 (c) f ( ) é FE porque pode ser decomposta em FEs como a seguir se mostra. Anteriormente já se mostrou que f ( ) é FE. 3 f ( ) e e f ( ) ( ) f e f ( ) 3 f ( ) f f ( ) f ( ) 3 Proposição Prova Se f ( ), g( ) são duas funções elementares e f 0 g 0 f ( ), 0 h( ) g( ), 0 é também uma função elementar. A função h( ) pode ser escrita com uma só fórmula (verificar), h( ) f g g Esta função é elementar porque é obtida combinando as funções elementar porque é a composição das FEs f e 0. ;, então a função f, que é g, que é

12 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 39 elementar porque é a composição das FEs ser uma constante. g e ; g 0, que é elementar por Eemplo A função, 0 h( ) e, 0 é elementar. Usando a demonstração da proposição anterior, podemos escrever, fazendo f e g e, h( ) f g g e e 0 Um resultado que generaliza o anterior é o seguinte. Proposição Prova Se f ( ), g( ) são duas funções elementares e f ( a ) g( a ), então a função f ( ), a h( ) g( ), a é também uma função elementar. A função h( ) pode ser escrita com uma só fórmula (verificar), a a a a h( ) f a g a g a que é uma função é elementar. Se substituirmos a por zero nesta epressão, obtemos a epressão da proposição anterior, mostrando que aquela é um caso particular da acima apresentada.,

13 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 40 Eemplo A função, h( ) ln, é elementar. Usando a demonstração da proposição anterior, podemos escrever, fazendo f e g ln, h( ) f g g ln ln que é uma função elementar. Outro resultado interessante é o que segue. Proposição (aqui) Se f ( ), g( ) são duas funções elementares, então a função f ( ), a h( ) g( ), a é também uma função elementar. Prova A função h( ) pode definir-se recorrendo à fórmula (verificar) a ( a ) a ( a ) h( ) f ( ) g( ). a ( a ) h( ) é função elementar por ser obtida combinando funções elementares.

14 Matemática I - Gestão Cap ESTG/IPB 4 A seguir apresenta-se um tipo de função definida por ramos, que não é elementar. Proposição Prova Se f ( ), g( ) são duas funções elementares e se f ( a ) g( a ), então a função h não é uma função elementar. f, a g, a Como veremos na secção sobre continuidade de funções, a função h( ) tem uma descontinuidade de ª espécie no ponto a. Nenhuma função elementar principal tem descontinuidades deste tipo; se adicionarmos, subtrairmos, multiplicarmos, dividirmos ou compusermos duas funções que não tenham descontinuidades deste tipo, então a função resultante também não tem. elementar. h não pode ser função Eemplo A função h, 0 3, 0 não é elementar. 3