Módulo 3 FUNÇÕES (1ª Parte)

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1 . Módulo 3 FUNÇÕES (ª Parte) Eercícios ) O esquema seguinte representa uma página da agenda teleónica da Maalda Objectivos Recordar: A (nomes) Médico (João) B (teleones) (casa) (consultório) (telemóvel) deinição de: Ana Isabel A Drª Joana perguntou à turma se o esquema representava uma unção de A para B. O António respondeu: A correspondência não é uma unção, porque ao Médico correspondem três teleones. A Maria respondeu: A correspondência não é uma unção porque a Isabel não tem teleone. Qual dos dois respondeu correctamente? ) Observe o diagrama seguinte, que corresponde à tabela e representa uma unção. A B unção objecto imagem domínio conjunto de chegada. contradomínio modos de representar uma unção: tabela, epressão analítica gráico. importância do domínio de Ano Produção de um pomar de kiwis toneladas toneladas toneladas toneladas A correspondência inversa da apresentada, ou seja, a correspondência de B para A, seria uma unção? Funções-ªparte

2 Eercícios Objectivos 3) Considere a unção h deinida em IR pela seguinte epressão designatória h()=3-4. Calcule: 3.) h (-) 3.) h (0) 3.3) h () 3.4) Determine de modo que h () = 8 Recordar: o conceito de: Variável independente Variável dependente 4) Seja a unção deinida em IR pela seguinte epressão designatória ( ) = Calcule: 4.) ( ) + ( ) 5 4.) o objecto cuja imagem é resolução de equações operações com racções áreas volumes 5) Um rectângulo de perímetro 0cm. Epresse a sua área como unção do comprimento de um dos seus lados. Deduza a epressão analítica da unção reerida e indique o seu domínio. 6) Um industrial deve abricar latas cilíndricas com tampas, de volume io V. O material usado custa 5 o m. Determine o custo unitário das latas como unção de seu raio. 7) De um pedaço de papelão quadrado com L cm de lado, deve-se construir uma caia sem tampa de base quadrada. Determine a área lateral da caia como unção da sua altura. Funções-ªparte

3 Eercícios 8) Represente graicamente cada uma das seguintes unções: 8.) ()=, com 0 8.) ()=, com 8.3) ()=, com IR 9) Veriique se as seguintes epressões analíticas, deinem a mesma unção: 9 9.) ()=+3 e g()=. 3 9.) ()= e g()=. Objectivos Gráico de uma unção Função quadrática Função módulo Casos notáveis. Importância do domínio de 0) Quais das seguintes curvas são gráicos de uma unção? 0. Reconhecer se uma curva em IR é ou não gráico de alguma unção. 0.) Propriedade gráica: Qualquer recta vertical com D, intersecta o gráico da unção num único ponto. 0.3) 0.4) 0.5) Funções-ªparte 3

4 0.6) 0.7) ) Faça a correspondência entre os seguintes gráicos de unções e as epressões analíticas correspondentes...).) ()= ( ) ()= ( 9)/.3).4) 3 ()= 4 ()= - ( + ).5).6) 5 ()= + 6 ()= Funções-ªparte 4

5 ) Faça a correspondência entre os seguintes gráicos de unções e as epressões analíticas correspondentes...).) ()= - + / ()= +/.3).4) 3 ()= / 4 ()= /.5).6) 6 ()= + / 6 ()= - /.7).8) 7 ()= / 8 ()= - / Funções-ªparte 5

6 3) Determine o domínio de cada uma das seguintes unções: 3.) ()= ) ()= + 3.3) ()= 3.4) ()= 3 3.5) ()= + 3.6) ()= 4) Represente graicamente e veriique se é injectiva e/ou monótona, cada uma das seguintes unções : IR a IR 4.) ()= 4.) ()= 4.3) ()= 4.4) ()= unção injectiva " ( ) ( )," D ou ( ) = ( =," D ) 4.5) ()= 5) 4.6) ()= 3 - Propriedade gráica: Qualquer recta horizontal que intersecta o gráico da unção só o pode intersectar num único ponto Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 5.) Toda a unção monótona é injectiva. 5.) Toda a unção injectiva é monótona. unção monótona: crescente > " ) ( ), D ( decrescente > " ) ( ), D ( estritamente crescente > ) > ( ), D ( estritamente decrescente > ) < ( ), D ( Funções-ªparte 6

7 6) Para cada i (), calcule (caso eista): 6.) lim #" i ( ) 6.) lim " + i ( ) Funções deinidas através do seu gráico 6.3) lim i ( ) 6.4) lim + ( ) " a a i 6.5) lim a i ( ) 6.6) D i 6.7) D i limites de unções. domínio de uma unção contradomínio de uma unção Funções-ªparte 7

8 7) Calcule : Funções deinidas através da sua epressão analítica 7.) 7.3) 7.5) 7.7) sin sin lim 0 7.) lim " + lim 0 sin 7.4) lim 0 lim 7.6) lim " + tg( ) lim 0 7.8) cos( ) lim 0 limites de uma unção (recorrendo ao seu gráico) limite notável: sin lim 0 = 8) Calcule : limites de uma unção (recorrendo à sua epressão analítica) 8.) 8.3) 8.5) 8.7) 8.9) lim 0 sin 8.) lim" 0 8.4) lim# +" 8.6) 5 4 lim + ) " + ( 8.8) 8 lim ) # +" ( 8.0) lim# +" lim" lim# +" lim ( + lim " + " + ( + 3 ) ) lim "+ a b a m 0 m = n bn $ a0 se m = n b0 = # + % se m > n 0 se m < n " lim k " + ( + ) = e k ( ) k lim ( ) " + ( + ) = e, ( ) k Funções-ªparte 8

9 9) Estude quanto à continuidade cada uma das seguintes unções, deinidas pelo respectivo gráico. Justiique e indique, caso eistam, os pontos de descontinuidade onde há continuidade à direita ou à esquerda. 9.) 9.) o unção contínua num ponto sse i) lim " a ( ) = L ii) L = (a) a D unção contínua à direita de lim + ( ) = a ( a) a D 9.3) 9.4) unção contínua à esquerda de lim ( ) = " a ( a) a D 9.5) 9.6) Obs: Da deinição decorre que: uma unção é descontínua no ponto a D se não eiste lim a ( ) ou se eistindo este limite se tem lim ( ) ( a) " a 0) Indique, justiicando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 0.) Se é contínua no ponto a, então eiste o lim ( ) a. 0.) Se eiste o lim a ( ), então é contínua no ponto a. Funções-ªparte 9

10 ) Veriique se as seguintes unções são contínuas no seu domínio. Justiique. Caso seja descontínua nalgum ponto a D, indique se é contínua à direita ou à esquerda de a..).) #, $ 0 ( ) = ", = 0 $ ( ) =, % 0 # ", = 0.3).4) #, < ( ) =, 0 ( ) = ", $.5).6) #, $ $ &, % 0 ( ) = " ( ) = #, >, > 0 ".7) $ %, < 0 ( ) = #, > 0 " ) Dê eemplos gráicos das seguintes situações:.) Uma unção descontínua no ponto =, mas contínua à esquerda de =..) Uma unção descontínua em IR e contínua em IR\{}..3) Uma unção em que lim 3 ( ) = lim 3 ( ) = 0. " + e Esta unção é contínua em =3?.Justiique. Funções-ªparte 0

11 3) Use o Teorema de Bolzano Cauchy, para veriicar se cada uma das seguintes equações tem uma raiz no intervalo dado. Teorema de Bolzano-Cauchy (teorema do valor intermédio) 3.) = 0, em [ 0,] Se uma unção está deinida e é contínua em [a,b] então assume todos os valores entre (a) e (b). 3.) 3.3) & ( ( # cos =, em $ ', % " ()=, em [0,], sendo contínua em [0,] e ( ) ] 0, [, " [ 0,]. 4) Considere a unção deinida por ()= 4.) Calcule () 4.) Calcule () 4.3) Mostre que () () < 0 #/ c ", : ( c) = e no entanto ] [ 0 4.4) Mostre que a alínea anterior não contradiz o Teorema de Bolzano Cauchy. Corolário: Se uma unção está deinida e é contínua em [a,b] IR e (a).(b)<0 então (c)=0, para algum c ] a, b[. Obs: Assim, se uma unção está deinida e é contínua em [a,b] e toma valores de sinal contrário entre a e b, então tem de certeza um zero entre o ponto a e o ponto b. Funções-ªparte