Derivada. Aula 09 Cálculo Diferencial. Professor: Éwerton Veríssimo
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- Elias Pinto da Rocha
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1 Derivada Ala 09 Cálclo Dierencial Proessor: Éwerton Veríssimo
2 Derivada: Conceito Físico Taa de Variação A dosagem de m medicamento pode variar conorme o tempo de tratamento do paciente. O desgaste das pastilhas do sistema de renagem poderá variar conorme a kilometragem eetada. O comprimento de ma barra de erro poderá variar por gra de temperatra. Uma planta cresce de modo niorme metros por ano, isto signiica qe a taa de variação da altra da planta sorerá m incremento de metros à cada ano.
3 Coeiciente Anglar de ma Reta Se ma nção é representada graicamente por ma reta (nção aim, acilmente sabemos com qe velocidade varia essa nção. Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da nção. (b (a b a (b - (a tmv = tg = taa média de variação b a b a m O a b
4 Derivada: Conceito Geométrico (b Observe qe a taa média de variação de em relação a é dada por: (b - (a tmv = b a b a m (a O a b a b
5 Derivada: Conceito Geométrico ( ( ( - ( 0 Vamos, então, estdar Derivadas! 0 lim Δ0 Δ Δ O lim (0 tgα ( ( 0 ( (0 m( 0 m 0 0 ( 0 O 0-0 ( (0 (.( 0 (.( 0 0
6 Eqação da Reta Eemplo 1 Determinar a eqação da reta tangente ao gráico de ( =, no ponto de abscissa 1/. (ºC ( 0 (.( 0 onde: Cálclo ( de 1 (1/ = 1/4 Por tan to : = 1 (h
7 Derivada no Ponto 0 O limite da taa de variação, qando, é chamado de taa de variação instantânea de em relação a. Dessa orma, a derivada de ma nção ( no ponto será dada por: 0 ( ( lim 0 0 ( 0 0 O ainda: ( 0 lim ( 0 0 ( 0
8 Eercícios 1. Sponha qe a temperatra de ma sala seja dada pela nção ( ². Determine a derivada da nção, sando a deinição, no ponto =1.. Determine a eqação da reta tangente à crva ( ² no ponto de abcissa =1.
9 REGRAS DE DERIVAÇÃO PARTE 1
10 Regras de Derivação Derivada de ma Constante c 0 Eemplo: Derive a nção (=. ( ( 0
11 Regras de Derivação Regra da Cadeia a a. a 1. Eemplo: Derivar a nção ( ( (
12 Regras de Derivação Regra da Soma e da Sbtração Eemplo: Derivar a nção v v ( 9 ( v v ( ( ( ( (
13 Regras de Derivação Regra do Prodto entre das nções Eemplo: Derivar a nção.. v v v ( ² ³ 9 (
14 Regras de Derivação Regra do Prodto entre ma constante e ma nção Eemplo: Derivar a nção.. k k 7 ( 4 ² 6 ³ 7 1 (
15 Regras de Derivação Regra do Qociente Eemplo: Derivar a nção.. v v v v 1 ² ( 4 1. ². (
16 Eercícios 1. Determine a derivadas das nções. a. 4 1 ( b ( 4 c. d. e. ² ³ 10 ( ² 8 ³ ( (
17 REGRAS DE DERIVAÇÃO PARTE
18 Derivada de Fnções Eponenciais Derivada de ma nção de base e. e e. Eemplo: Derivar a nção e Observe qe: Logo: e.( e. e
19 Derivada de Fnções Eponenciais Derivada de ma nção de base a Eemplo: Derivar a nção..ln a a a ² Observe qe: ² Logo: ².ln.( ².ln.(6 ²
20 Derivada da Fnção Logarítmica Derivada da Fnção Logarítmica de base a log a log e a Eemplo: Derivar a nção Observe qe: Logo: ² 4³ 10 e log log 4³ 10
21 Derivada da Fnção Logarítmica Derivada da Fnção Logarítmica de base e (logaritmo neperiano. ln Eemplo: Derivar a nção Observe qe: Logo: 6 1 ( ln(
22 Derivada de Fnções Trigonométricas Derivada da Fnção Seno sen cos. Eemplo: Derivar a nção sen( 4 Observe qe: Logo: cos( cos( (.( 4 8
23 Derivada de Fnções Trigonométricas Derivada da Fnção Cosseno cos sen. Eemplo: Derivar a nção cos( 10 Observe qe: 10 Logo: sen( 10.( 10 sen( 10.( 10
24 Derivada de Fnções Trigonométricas Derivada da Fnção Tangente tg sec. Eemplo: Derivar a nção tg8 Observe qe: Logo: 8 sec²8.(8 sec²8.8 8.sec²8
25 Derivada de Fnções Trigonométricas Derivadas das Demais Fnções Trigonométricas cotg cosec. sec sec.tg. cossec cosec.cotg.
26 Eercícios. Determine a derivada das nções. ( sen cos a. b. ( tg cos ( tg ( tg c. d. e.. ( sen ( cos( sen tg 1 1
27 Eercícios 4. Determine a derivada das nções. a. b. c. d. e.. ( ( e ( e.cos sen ln tg tg ( sen cos cos sencos ² 78 ( e ( ln ² sec( ²
28 Derivada de Fnções Trigonométricas Inversas Derivada da nção arco seno arcsen 1 Eemplo: Derivar a nção arcsen( 1 ( 1
29 Derivada de Fnções Trigonométricas Inversas Derivada da nção arco seno arccos 1 Eemplo: Derivar a nção arccos( (
30 Derivada de Fnções Trigonométricas Inversas Derivada da nção arco seno arctg 1 Eemplo: Derivar a nção arctg( ( (9 8
31 Derivada de Fnções Trigonométricas Inversas Derivada das demais nções inversas trigonométricas arccotg 1 arcsec. 1 arccosec. 1
32 Eercícios. Determine a derivada das nções. a. b. c. d. (t t.arccost ( arcsen ( arctg ( arctg
33 Eercício 6. Determine a derivada segnda das nções. a. ( 4 ² 1 b. ( ln c. d. ( sen ³ ( ² 1 ³
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