Regras Básicas de Derivação

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1 Regras Básicas e Derivação. regra a soma: (u + kv) = u + kv, k constante 2. regra a iferença: (u + v) = u + v 3. regra o prouto: (u v) = u v + u v u u v u v 4. regra o quociente: = v v 2 5. regra a caeia: [f (u ())] = f (u ()) :u () ou f = f u :u Principais Notações. logaritmo natural e : ln ou log 2. eponencial e : e ou ep () 3. seno e : sin ou sen 4. cosseno e : cos 5. tangente e : tan ou tg 7. cotangente e : cot ou cotg 8. secante e : sec 9. co-secante e : cosec. arcoseno e arcsen ou arcsin. arcocoseno e arccos 2. arcotangente e arctan ou arctg 3. arcocotangente e arccotg 4. arcosecante e arcsec 5. arcocosecante e arccosec Derivaas as Funções Básicas

2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS [n ] = n n, 8n 2 R 2. (log jj) = [e ] = [ep ()] = e 4. [a ] = a ln a, a > [sen ] = cos 6. [cos ] = sen [tg ] = sec2 8. [cotg ] = cosec2 [sec ] = sec tg. [cosec ] = cosec cotg [arcsen ] = p 2. [arctg ] = [arccos ] = p 4. 2 [arccotg ] = + 2 [arcsec ] = jj p 6. 2 [arccosec ] = jj p 2 Fórmulas Básicas e Integração A partir as erivaas as funções básicas, obtemos a seguinte tabela e primitivas:. n = n+, se n 6= 2. sec 2 = tan n + 3. = log jj 4. cosec 2 = cotg 5. e = e 6. sec tan = sec a = a, a > e a 6= 8. ln a sen = cos. p = arcsin 2. 2 = arctan jj p = arcsec 6. 2 cosec cot = cos = sen p 2 = arccos p + 2 = arccotg jj p 2 cosec = arccosec

3 5 PRIMITIVAS E INTEGRAIS COMP Primitivas caa. 6.A Em caa caso etermine a primitiva F () a função f (), satisfazeno a conição especi- (a) f () = 4p ; F () = 2 (b) f () = 2 + = 2 ; F () = (c) f () = ( + ) ; F () = 2 6.B Determine a função f que satisfaz f () = e que, para too em seu omínio, f () = f (). (sug.: qual a erivaa a função g () = ln f ()?) 6.C Sejam f e g funções eriváveis em R e suponha que f () = e g () =. Se f () = g () e g () = f () ; 8, mostre que função h () = [f () sen ] 2 + [g () cos ] 2 tem erivaa nula e, portanto, é constante. A partir aí euza que f () = sen e g () = cos : 6.D Para caa uma as funções f () abaio, calcule R f () : (a) f = 3 5 (b) f = (e) f = + 2 (c) f = 2 sen 5 () f = (f) f = tg 2 p + 2 (g) f = p + sec 2 (h) f = 3p (i) f = 2 + e + (j) f = cos 2 3 (k) f = sec 2 (4 + 2) (l) f = cos 2 (m) f = sin (n) f = sec (2) tg (2) (o) f = ( + ) (p) f = ( + ) (q) f = (r) f = sen sen 2 (s) f = ep p (t) f = sen p + cos 6.E Mostre que F () = p ep (p ) ; p 6= ; é a primitiva e f () = p ep ( p ) tal que F () = =p: Agora, calcule as integrais ine nias: p e (a) e 2 (b) p (c) e 2 6.F Determine a função f que satisfaz f () = 2 + e ; f () = 2 e f () = : 6.G Se k é um número inteiro, calcule o valor e: (a) 2 sen (kt) t (b) cos (kt) sen (kt) t (c) =4 [cos 2 (kt) sen 2 (kt)]t: 6.H Encontre a equação a curva que passa no ponto A ( 3; ) e cuja inclinação a reta tangente, em caa um e seus pontos (; y), é m () = 2 + :

4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 5 6.I Derivação sob o sinal e integral. Consiere f uma função contínua em [a; b] e suponha que () e () sejam funções eriváveis em (a; b). Se ' () = () () f (t) t; mostre que ' é erivável em (a; b) e ' () = f ( ()) () f ( ()) () : 6.J Usano o resultao o eercício preceente, calcule ' () em caa caso abaio. sen ep (a) ' () = 3p + t 4 t (b) ' () = (ln t) 5 t (c) ' () = cos t 2 t cos 6.K Em caa caso8abaio, calcule a integral e nia e f, no intervalo I inicao. <, se < (a) I = [ ; ]; f () = (b) I = [ 2; 2]; f () = j j : 2 +, se (c) I = [ ; ]; f () = jsen j () I = [ ; ]; f () = + jcos j (e) I = [ 3; 5]; f () = (f) I = [ ; ]; f () = jj Cálculo e Áreas 6.2A Calcule a área elimitaa (a) pelas curvas y = 4 e y = 2, para ; (b) pelas curvas y = 3p e y = 3, para ; (c) pelas curvas y = jj e y = 2, para ; () pelas curvas y = e y = 2 ; (e) pelo eio y e pelas curvas y = sen e y = cos, para =4; (f) pelas retas = ; = ; y = 2 e pela parábola y = 2 ; (g) pelas curvas y = 2 e y = p ; (h) pela curva y = p e pelas retas y = 2 e y = ; (i) pela curva y = e o eio ; (j) pelas parábolas y = e y = 2 2; 6.2B Em caa caso, esboce o grá co a região R e calcule sua área. (a) R = f(; y) 2 R 2, tal que 2 e 2 y 4g; (b) R = f(; y) 2 R 2, tal que e 2 y 2 + 5g;

5 52 PRIMITIVAS E INTEGRAIS COMP. 6 (c) R = f(; y) 2 R 2, tal que =y e y 2g; () R = f(; y) 2 R 2, tal que e 2 y p g; (e) R = f(; y) 2 R 2, tal que e y jj 3 g: 6.2C Consiere a função f : R! R, e nia por: >< 3 =4, para < f () = 2 2, para < 3 >: 6 4, para 3: Calcule R 52 f () e, também, a área entre o grá co e f e o eio, e = 2 até = 5: 6.2D Em caa caso ienti que a região o plano y cuja área é representaa pela integral e calcule o valor a área. (a) (b) 2 (c) (4 + 3) () 3 5 ( + 5) (2 p ) 6.2E Suponha que f : [ a; a]! R seja uma função par e que g : [ a; a]! R seja uma função ímpar. Mostre que: a a f () = 2 a f () 6.2F Seja g() = R f(t)t one f é a função cujo grá co encontra-se esboçao ao lao. (a) Calcule g(); g(); g(2); g(3) e g(6). (b) Em que intervalo a função g está cresceno? (c) Quano g atinge seu valor máimo? e a a g () = : 6. Integrais Impróprias 6.3A Analise caa uma as integrais impróprias abaio quanto à convergência. (a) (e) 2 p jj p (b) (f) 5 (5 ) 2 (c) + (g) =2 ep ( p ) () + 2 ep 2 (h) 3 ep 4

6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 53 Respostas e Sugestões 6.A a) F () = 4 5 5= b) F () = c) F () = ln ( + ) B f () = ep( 2 2 ) 6.D a) C b) ln + C c) 2 cos + =44 + C ) C e) arctg + C f) tg =2 + C g) 2 2 ln 2 +e+ +C j) 2+ 6 sen 23 +C k) 4 tg (4 + 2)+C l) 2 3 3=2 + tg + C h) 2 9 9=2 + C i) sen C m) 2 5 sen C n) 2 sec 2+C o) +ln jj+c p) ln j + j+c q) 2 3 ln 3 5 +C r) 3 ln + 3 sen2 + C s) 2 e p +C (t) 2 p + cos 6.E (a) 2 e2 + C (b) 2e p + C (a) 2 e 2 + C 6.F f () = e + 6G (a) (b) (c) =4, se k = e k sen (k=2), se k 6= 6.H y = I Se F () = R a f (t) t, então ' () = F ( ()) F ( ()) e, usano a Regra a Caeia, obtemos o resultao. 6.J (a) ' () = 3p + 4 (b) ' () = [ln (sen )] 5 cos + [ln (cos )] 5 sen (c) e cos(e 2 ) 2 cos( 2 ) 2 6.K (a) =3 (b) 5 (c) 4 () 4 (e) 43 (f) 2 6.2A (a) 2=5 (b) =2 (c) 5=3 () 6 p 2=3 (e) p 2 (f) 5=3 (g) =3 (h) =3 (i) 8 (j) 64=3 6.2B (a) 6=3 (b) 9 (c) ln 2 () =3 (e) =2 6.2C R 52 f () = 3 2 ; A = 73=6. Por que o valor a integral não coinciiu com o valor a área? 6.2D (a) (b) (c) 5=2 () 32=3 6.2E Com a muança = t e observano que f é uma função par, R encontramos: a f () = R a f (t) t, e portanto: R a a f () = R a f () + R a f () = 2 R a f () 6.2F (a) g () = ; g () = 2; g (2) = 5; g (3) = 7 e g (6) = 3 (b) em (; 3) (c) em = 3 6.3A (a) 4 (b) iverge (c) iverge () =2 (e) iverge (f) iverge (g) =4: