Limites e continuidade

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1 Limites e continuidade Limite (finito) de uma função em a Salvo indicação em contrário, quando nos referimos a uma função estamos sempre a considerar funções reais de variável real (f.r.v.r.), ou seja, funções definidas num subconjunto de, D f, com imagens em. Começamos por dar a noção de limite de uma função em a, que terá de ser um ponto de acumulação do domínio de f. Intuitivamente, um valor a é um ponto de acumulação de A, com A subconjunto de, se nos podemos aproximar de a, tanto quanto pretendermos, por valores de A, diferentes de a. Uma função f tende para l quando x tende para a (sendo a um ponto de acumulação de D f ) se as imagens por meio de f dos valores do domínio diferentes de a aproximam-se tanto quanto quisermos de l, desde que os objectos se aproximem o suficiente de a. Definição: Diz-se que a é um ponto de acumulação de A (sendo A um subconjunto de ) se, em qualquer intervalo da forma a, a, com 0, existe pelo menos um elemento de A diferente de a. Ao intervalo a, a, com 0, chama-se vizinhança de a com raio. Notação: O conjunto dos pontos de acumulação de A representa- -se por A. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 1

2 Nota 1: Um ponto de acumulação de A pode pertencer ou não a A; um ponto de A pode ser ou não ponto de acumulação de A. Nota 2: Pode-se provar que a é um ponto de acumulação do conjunto A sse existe uma sucessão de elementos de A, diferentes de a, que tende para a. Recordemos a definição de limite de uma função, dada no secundário (recorrendo a sucessões). Definição de Limite (segundo Heine): Sejam f uma função, a um ponto de acumulação de D f e l. Diz-se que f tende para l quando x tende para a se qualquer que seja a sucessão x n, de elementos de D f, diferentes de a (pelo menos a partir de certa ordem), se x n a então fx n l. Diz-se ainda que l é o limite de f quando x tende para a e escreve-se lim fx l. Consequência imediata: Se existem sucessões de elementos de D f, que tendem para a por valores diferentes de a (ou seja, os termos, pelo menos a partir de certa ordem, são diferentes de a), cujas imagens tendem para limites diferentes, então não existe lim fx. Isto é, se existem u n e v n, sucessões de elementos de D f, tais que u n a, v n a e limfu n limfv n, então não existe lim fx. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 2

3 Definição de limite (segundo Cauchy): Sejam f uma função, a um ponto de acumulação de D f e l. Diz-se que f tende para l quando x tende para a se, Simbolicamente, qualquer que seja o número real 0, existe um número real 0, tal que, para qualquer x D f \a, se x a, então fx l. lim fx l sse 0 0 x D f \a : x a fx l. Podemos, agora, tornar um pouco mais precisa a ideia intuitiva: lim fx l sse as imagens dos pontos do domínio, diferentes de a, estão tão próximas quanto quisermos de l (proximidade definida pelo, fx l, l ), desde que nos aproximemos suficientemente de a (proximidade definida pelo, x a, a ). Observação: As definição de limite segundo Heine e segundo Cauchy são equivalentes. Proposição: O limite de uma função num ponto, se existe, é único. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 3

4 Limites laterais: Intuitivamente: estudamos um limite lateral de f em a quando a aproximação de a é feita apenas por valores superiores a a - no caso do limite à direita - ou apenas por valores inferiores a a - no caso do limite à esquerda; no primeiro caso, f terá de ser um ponto de acumulação do conjunto dos pontos do domínio superiores a a e, no segundo, terá de ser um ponto de acumulação do conjunto dos pontos do domínio inferiores a a. Definição: Limites laterais (segundo Cauchy): Sejam a um ponto de acumulação de D f a, e l. Diz-se que f tende para l, quando x tende para a por valores superiores a a (ou à direita de a), e escreve-se se 0 0x D f : lim fx l, a x a fx l. 0 Sejam a um ponto de acumulação de D f, a e l. Diz-se que f tende para l, quando x tende para a por valores inferiores a a (ou à esquerda de a), e escreve-se se 0 0x D f : lim fx l, a x a fx l. 0 Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 4

5 Proposição: Seja a um ponto de acumulação de D f. Então lim fx existe sse lim fx e lim fx existem e são iguais (sendo esse o seu valor). Limites infinitos e no infinito Pretendemos agora generalizar a noção de limite aos casos em que x tende para infinito e/ou o limite da função é infinito. Observações prévias As definições que se seguem serão mais claras se pensarmos que, quando falamos de x próximo de a, temos que distinguir três casos: se a, estamos a considerar x num intervalo a, a, com 0 (quanto menor for o, mais próximo garantimos que x está de a); se a, estamos a considerar x num intervalo M,, com M 0 (quanto maior for o M, mais próximo garantimos que x está de ); se a, estamos a considerar x num intervalo, N, com N 0 (quanto menor for o N, mais próximo garantimos que x está de ). Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 5

6 Casos a e l ou l Seja a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que f tende para quando x a, e escreve-se lim fx, se M 0 0 x D f \a : x a fx M. Intuitivamente, lim fx sse as imagens dos pontos do domínio, diferentes de a, estão tão próximas quanto quisermos de (proximidade definida pelo M, fx M, ), desde que nos aproximemos suficientemente de a (proximidade definida pelo, x a, a ). Diz-se que f tende para quando x a, e escreve-se lim fx, se N 0 0x D f \a : x a fx N. Nota: De modo análogo ao que já foi feito, definem-se os limites infinitos quando x tende para a por valores superiores a a ou por valores inferiores. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 6

7 Diz-se que f tende para infinito quando x tende para a, e escreve-se lim fx, se lim fx. Se lim fx, f diz-se um infinitamente grande positivo quando x tende para a; se lim fx, f diz-se um infinitamente grande negativo quando x tende para a; se lim fx, f diz-se um infinitamente grande quando x tende para a. Observação: Uma função f pode ser um infinitamente grande em a sem que lim fx ou lim fx. Neste caso diz-se que, quando x tende para a, f tende para infinito sem sinal determinado. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 7

8 Casos a e l Sejam f uma função cujo domínio não é majorado e l. Diz-se que f tende para l quando x, e escreve-se lim fx l, x se 0M 0x D f : x M fx l. Intuitivamente, lim fx l x sse as imagens dos pontos do domínio estão tão próximas quanto quanto quisermos de l (proximidade definida pelo, fx l, l, desde que nos aproximemos suficientemente de (proximidade definida pelo M, x M,. Sejam f uma função cujo domínio não é minorado e l. Diz-se que f tende para l quando x, e escreve-se lim fx l, x se 0 N 0x D f : x N fx l. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 8

9 Casos a e l a Seja f uma função cujo domínio não é majorado. Diz-se que f tende para quando x, e escreve-se lim fx, x se M 0N 0x D f : x N fx M. Diz-se que f tende para quando x, e escreve-se se lim fx, x N 0 M 0 x D f : x M fx N. a Seja f uma função cujo domínio não é minorado. Diz-se que f tende para quando x, e escreve-se se lim fx, x M 0N 0x D f : x N fx M. Diz-se que f tende para quando x, e escreve-se lim fx, x se M 0N 0x D f : x N fx M. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 9

10 Propriedades dos limites finitos Proposição (alguns limites básicos): Sejam a, b e n. Então lim b b; lim x a; lim x n a n. Proposição: Sejam b, n e f e g funções tais que lim fx e lim gx existem e são finitos, com a finito ou infinito. Então: as funções bf, fg, fg, fgef n têm limite finito em a e lim bfx b lim fx, lim fx gx lim fx lim fx gx lim fx lim fx gx lim fx lim gx, lim gx, lim gx, lim fx n lim fx n ; se lim gx 0, a função f g lim fx gx tem limite finito em a e lim fx lim gx. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 10

11 Proposição (limites alguma funções) As seguintes funções têm limite, em qualquer valor a dos respectivos domínios, cujo valor é igual ao valor da função em a: polinómios, funções racionais (isto é, o quociente de dois polinómios), raiz índice n, as funções trigonométricas (seno, coseno e tangente), exponencial e logaritmo. Proposição (Princípio do Encaixe para funções): Se f, g e h são funções tais que, para todo o x numa vizinhança de a (excepto, eventualmente, em a), e então hx fx gx, lim hx lim gx l, lim fx l. Limite notável: lim senx x 1. x0 Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 11

12 Observações complementares Nota: Da definição de Cauchy resulta imediatamente que lim fx l lim fx l 0 lim fx l 0, o que se usa frequentemente quando aplicamos o Princípio do Encaixe. Recorde-se ainda o seguinte: Diz-se que f é um infinitésimo quando x tende para a se lim fx 0. Proposição: Se f é um infinitésimo quando x tende para a e g é uma função limitada, então fg é um infinitésimo quando x tende para a. Ou seja, o produto de um infinitésimo por uma função limitada é um infinitésimo. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 12

13 Propriedades dos limites infinitos Para limites infinitos, nalguns casos o conhecimento dos limites das funções envolvidas nas operações permite-nos, de imediato, saber o limite da nova função; noutros casos, temos que calcular explicitamente o valor do limite da nova função - tem-se o que se chama uma indeterminação. Nota: Todas as propriedades que se seguem são válidas para a finito ou infinito. Proposição: Sejam f e g funções, para as quais faz sentido falar de limite em a, tais que, para todo o x numa vizinhança de a (excepto, eventualmente, em a), 1. Se 2. se lim fx, então lim gx, então Propriedades da soma gx fx. Proposição: Sejam f e g funções. lim gx ; lim fx. 1. Se lim fx e lim gx, então lim fx gx ; 2. se lim fx e lim gx, então lim fx gx ; Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 13

14 3. sendo b, se lim fx e lim fx gx lim gx b, então (se o limite de f for ou, o limite da soma também o é). Notação abreviada: Estas propriedades são frequentemente escritas na forma b b b Atenção, esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada ectamente no sentido das propriedades 1., 2. e 3. da proposição anterior, e não como se estivessemos realmente a "somar os infinitos" ou a "somar infinito com b". Símbolos de indeterminação (associados à soma) Na notação abreviada, os símbolos são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das funções envolvidas; não resulta imediatamente de uma propriedade das operações. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 14

15 Observação: Como fg f1 g, é fácil deduzir as propriedades da subtracção. Os símbolos de indeterminação da subtracção são: Propriedades do produto Proposição: Sejam f e g funções. 1. Se lim fx e lim gx, então lim fgx (caso f e g tendam para ou para, pelo sinal do produto podemos saber se fg tende para ou ); 2. Se lim fx e lim gx b \0, então lim fgx (caso f tenda para ou para, pelo sinal do produto podemos saber se fg tende para ou ). Observação: Por exemplo, na alínea 1, tem-se que: se f e g tendem ambas para ou ambas para tende para ; se uma das funções tende para e a outra para fg tende para. Conclusões análogas se tiram para a alínea 2., fg, Símbolos de indeterminação (associados ao produto) Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 15

16 Propriedades do quociente O estudo do quociente de duas funções fica mais simples tendo presente que fx gx fx 1 gx. Assim, as propriedades desta operação resultam das do produto e das duas primeiras alíneas da proposição que se segue. De igual modo, uma indeterminação associada ao quociente pode sempre transformar-se numa indeterminação associada ao produto. Proposição: Sejam f e g funções, com g não nula numa vizinhança de a (excepto eventualmente em a: 1. se lim gx, então lim 1 gx 0; 2. se lim gx 0, então lim 1 gx [ se se lim gx 0, então lim gx 0, então lim 1 gx lim 1 gx, ]; 3. se lim gx e lim fx é finito, então lim fx gx 0; 4. se lim gx 0 e de zero, então lim fx é infinito ou finito e diferente lim fx gx (dependendo do sinal das funções f e g, poderemos podemos Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 16

17 saber se este limite é ou. Na notação abreviada, escreve-se b 0 b 0 0, se b 0 Símbolos de indeterminação (associados ao quociente) 0 0 Mais alguns limites notáveis Os seguintes limites são conhecidos (demonstram-se sem ser pelas propriedades dos limites), estão relacionados com propriedades importantes das funções em causa e são chamados de limites notáveis: lim x ex x lim x lnx x 0 lim ex 1 x 1 x0 lim lnx1 x 1 x0 Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 17

18 Propriedades da exponenciação de funções Sejam f e g funções, com fx 0, para qualquer x D f. Em pelo que x e lnx fx gx e lnfxgx. Assim, as propriedades da exponenciação de funções resultam das propriedades da exponencial, do logaritmo e do produto de funções. Proposição: Se f e g são funções, com fx 0, para qualquer x D f, tais que então lim fx b \0 e lim fx gx b c. lim gx c, Quando algum dos limites é infinito na prática o mais eficaz, em geral, é fazer a transformação acima indicada. Símbolos de Indeterminação (assoc. à exponenciação): Recorrendo a fx gx e lnfxgx podemos transformar estas situações em indeterminações do tipo 0, 0 e 0. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 18

19 Continuidade de uma função Sejam f : D f uma função real e a um ponto de acumulação de D f, que pertence a D f. Diz-se que f é contínua em a se lim fx existe e é igual a fa. Assim, da definição de limite segundo Cauchy, resulta que f é contínua em a D f sse 0 0x D f : x a fx fa. f é uma função contínua, se f for contínua em todos os pontos do seu domínio; f é contínua à direita em a se f é contínua à esquerda em a se lim fx fa; lim fx fa; Se a,b D f, diz-se que f é contínua no intervalo a, b se f é contínua em todos os pontos do intervaloa, b, é contínua à direita em a e é contínua à esquerda em b. Nota: Das correspondentes propriedades dos limites resulta que as seguintes funções são contínuas, nos respectivos domínios: polinomiais, racionais, raíz índice n, trigonométricas (seno, coseno e tangente), exponencial e logaritmo. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 19

20 Prolongamento por continuidade Sendo f e g duas funções com domínios D f e D g, diz-se que g é um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g) se D f D g e x D f, fx gx. Sendo a um ponto de acumulação de D f, com a D f, diz-se que f é prolongável por continuidade a a, se existe um prolongamento de f, com domínio D f a, contínuo em a. Proposição: Seja a um ponto de acumulação de D f, com a D f. Então f é prolongável por continuidade a a sse existe e é finito lim fx. Neste caso, o prolongamento por continuidade de f a a é a função definida por g : D f a gx fx, se x D f lim fx, se x a. Exemplo: O prolongamento por continuidade da função em \0, é a função g : definida por gx sen x x, se x 0 1, se x 0. sen x x, definida Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 20

21 Propriedades da continuidade (relativamente às operações) Das correspondentes propriedades dos limites resulta que: Proposição: Sejam b um número real, n um inteiro positivo e f e g funções contínuas em a. Então as funções bf, fg, fg, fg, f n e f são contínuas em a; se ga 0, as funções 1 g e f g são contínuas em a; Proposição: Se f é uma função contínua em a e g é contínua em fa, então g f é contínua em a. Teorema (continuidade da função inversa): Se f : I é uma função contínua e estritamente monótona em I, então: f é invertível em I; f 1 é estritamente monótona; f 1 é contínua. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 21

22 Funções trigonométricas inversas Considere-se a função sen : 1, 1. Esta função é contínua, mas não é injectiva. O seu gráfico é Restringindo-a ao intervalo,, temos a restrição 2 2 principal do seno: sen 2, 2 : 2, 2 1, 1 (por abuso de notação, em geral é representada apenas por sen). Esta função é contínua e estritamente crescente em 2, 2, logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente crescente em 1, 1: 1 -π/2 0 π/2-1 sen x arcsen x arcsen :1, 1 2, 2 y arcsen x sen y x y 2, 2 e Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 22

23 Considere-se a função cos : 1, 1. Esta função é contínua, mas também não é injectiva. O seu gráfico é Restringindo-a ao intervalo 0,, temos a restrição principal do coseno: cos 0, : 0, 1, 1 (em geral, é representada simplesmente por cos). Esta função é contínua e estritamente decrescente em0,, logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente em1,1: π 1 0 π/2 π π/ cosx arccos :1, 1 0, e arccos x y arccosx cosy x y 0, Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 23

24 Considere-se a função tangente, definida por tg x sen x cosx, em \ k 2 : k. Esta função não é injectiva, mas é sobrejectiva. O seu gráfico é Restringindo-a ao intervalo 2, 2, temos a restrição principal da tangente: tg : 2, 2, 2 2 (em geral, é representada simplesmente por tg). Esta função é contínua e estritamente crescente em 2, 2, logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente crescente em: π/2 -π/2 0 π/2 0 -π/2 tgx arctg x arctg : 2, 2 e y arctg x tgy x y 2, 2 Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 24

25 Funções cotangente, secante e cosecante Observação: As três funções trigonométricas seguintes serão usadas à frente. Cotangente A função cotangente é definida por cotg x cosx sen x O seu contra-domínio é., em \k : k. Para x kx k 2, com k, cotg x 1 tgx. Funções secante e cosecante As funções secante e cosecante são definidas por sec x 1 cosx, em \ k 2 : k, cosec x 1 sen x, em \k : k. Trabalhar com estas funções reduz-se a trabalhar com o seno e com o coseno. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 25

26 Teoremas fundamentais das funções contínuas Teorema de Bolzano (ou do Valor Intermédio): Se f é contínua no intervalo fechado a, b e k é um número estritamente entre fa e fb, então existe pelo menos um c a, b tal que fc k. Intuitivamente, uma função contínua num intervalo não passa de um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios. Corolário 1: Se f é contínua no intervalo a, b e não se anula em ponto algum de a,b, então em todos os pontos de a,b a função f tem o mesmo sinal. Corolário 2: Se f é contínua no intervalo a, b e fa fb 0, então f tem pelo menos um zero ema, b. Teorema de Weirstrass: Qualquer função contínua num intervalo a,b (fechado e limitado) tem máximo e mínimo nesse intervalo. Observação: Em qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes; não são condições necessárias. Ana Matos - Matemática I (versão de 25 Out. 2015) Lim. e Cont. - 26

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