Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções"

Transcrição

1 Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função composta e determinar a função inversa; Aplicar funções em situações práticas Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda A procura de carne pelo consumidor, por eemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra Essas relações são matematicamente representadas por funções Sejam A e B dois conjuntos Uma função é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B, e é indicada por f : A B A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação epressa na forma y = f () Glossário Função :Na Matemática, função significa uma relação (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, e y O objeto é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de é chamado imagem de pela f Função:Em Contabilidade, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema contábil Eemplo: função custo direto e função custo total Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos Dizemos que f é uma função ou aplicação, de conjunto A em conjunto B, se e somente se, todo elemento de A, está em correspondência com um único elemento de B Escrevemos f : A B definida por y = f ( ) onde y é o valor de f em Domínio: É o conjunto dos valores de tais que a função está definida Anotamos D( f ) = A ou Dom( f ) = A Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função CD( f ) = B Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que y = f ( ) para algum Anotamos Im( f ) B

2 = Assim: e { } D( f ) = A y = f ( ) para algum y B, { } Im( f ) = y B A com y = f ( ) Por eemplo, seja f : A B definida por f ( ) =, onde A = {,,3 } e {,,4,6,7 } D f =, CD( f ) = {,,4,6,7 } e Im( ) {,4,6} Neste caso, ( ) {,,3 } B = f = Veja a figura abaio: A = D( f ) 3 f B CD( f ) Im( f ) Figura Uma função f : A B é dita função real de uma variável real se A e B Figura Normalmente, representamos por y = f ( ), A e y B Veja a seguir alguns eemplos de funções (i) f ( ) =,, D( f ) =

3 (ii) f ( ) (iii) f ( ) =, =,, D( f ) =, D( f ) = [ 0, ] (iv) f ( ) =,, D( f ) = { } (v) f ( ) =,, D( f ) = [, ] (vi) f ( ) = +,, D( f ) = (vii) 3 f ( ) =, 0,, D( f ) = = { 0} (viii) f ( ) =,, D( f ) = (i) f ( ) D( f ) = = / e Im( f ) = { } { } () f ( ) = / Neste caso, (i) f ( ) = 0 e { } D( f ) = / 3/ º Caso: 0 e + 3 > 0 e > 3 º Caso: 0 e + 3 < 0 e < 3 Assim, { ( ) U( )} D( f ) = /, 3, + Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Atividades de Auto Avaliação Determine domínio nas seguintes funções: (i) f ( ) = (ii) f ( ) = + + (iii) f ( ) = (iv) f ( ) = + + (v) f ( ) = + 3 (vi) f ( ) = 3 (vii) f ( ) = (viii) f ( ) = (i) f ( ) = + () f ( ) = (i) f ( ) = 4 (ii) f ( ) = 3

4 (iii) f ( ) = 3 3 (iv) f ( ) = Gráfico de uma Função É o subconjunto do plano formado pelos pontos (, f ( )),, quando percorre o campo de definição de função f : Im( f ) = G( f ) Eemplo Seja f ( ) =, D( f ) = e Im( f ) = Figura 3 Eemplo Seja f ( ) =, D( f ) = e Im( f ) + = Eemplo 3 Seja f : + +, f ( ) Figura 4 =, D( f ) + = e Im( f ) + =

5 Eemplo 4 Seja f ( ) Figura 5 =,, D( f ) = e Im( f ) + = Figura 6 Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e f ( ) = g( ), D( f ) Eemplo 5 f : A B, f ( ) = e Neste caso, f ( ) = g( ), A g( ) =, onde A = {,,3 } e B = { 0,,,3, 4,5} Eemplo 6 Sejam f, g : temos f ( ) = g( ), 4, pois = 4, definidas por f ( ) = e g( ) = Neste caso, Eemplo 7 Sejam f, g :, < 0 Eemplo 8 Sejam f ( ) { 0} = = e, f ( ) = e g( ) = Neste caso, f ( ) g( ), g( ) = são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é

6 Operações com Funções Dadas às funções f e g definidas Então valem as seguintes: (i) Soma de f e g : ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ; (ii) Diferença de f e g : ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; (iii) Produto de f e g : ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; (iv) Quociente de f e g : f ( ) = g f ( ) g( ), g( ) 0 Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de comuns ao das funções f e g, sendo que para f g, o domínio é interseção ecluídos os pontos tais que g( ) 0 Por eemplo, dadas às funções f ( ) = + e 3 g( ) =, então: (i) (ii) ( f + g)( ) = + +, 3 ( f g)( ) = +, 3 ( f g)( ) = +, 3 (iii) ( ) (iv) ( + ) ( ) ( + ) f ( ) g = = 3 3 D( f + g) = { } D( f g) = { } D( f g) = { } f = g, D { }, pois D( g ) = { } 3 Funções Definidas por Várias Sentenças São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos f Nos eemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções: : Eemplo 9, se < 0 f ( ) =, se 0 <, se Resolução: ( ) D f =, Im( ) {, } f =

7 , se < 0 Eemplo 0 f ( ) =, se 0 Figura 7 + Resolução: D( f ) =, Im( f ) = Figura 8 Eemplo, se 0 f ( ) =, se 3 5, se 3 Resolução: D( f ) + =, Im( ) (,] f =

8 Figura 9 Eemplo, se < 3 f ( ) = +, se 3 Resolução: D( f ) =, Im( f ) = Tipos de Funções Figura 0 (a) Funções monótonas (i) Função Crescente: A função y = f ( ) é crescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos f ( ) f ( ) Por eemplo, y =, D( f ) =, Im( f ) =,, e f ( ) f ( ) (ii) Função Decrescente: A função y = f ( ) é decrescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos f ( ) f ( ) Por eemplo, y =, D( f ) =, Im( f ) =,, f ( ) f ( ) e

9 Figura (b) Função Injetora Dizemos que f : A B é injetora se e somente se, dados e A com implica que f ( ) f ( ) ou se f ( ) = f ( ) então = Por eemplo, (i) f :, f ( ) = é injetora, pois, com f ( ) f ( ) (ii) f :, f ( ) = não é injetora, pois f ( ) f ( ), considerando = 3 e = 3, temos f ( 3) f (3) = 9 Figura (c) Função Sobrejetora Dizemos que f : A B é sobrejetora se e somente se Im( f ) Por eemplo, = B ou f ( A) = B (i) f :, f ( ) 3 = é sobrejetora, pois ( ) D f = e Im( f ) =

10 + + (ii) f :, f ( ) = é sobrejetora, pois D( f ) + = e Im( f ) + = (iii) f :, f ( ) = não é sobrejetora, pois ( ) D f = e Im( f ) + = (d) Função Bijetora Dizemos que f : A B é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é, f ( ) f ( ) e Im( f ) = B Por eemplo, (i) f :, f ( ) = ; (ii) f :, f ( ) 3 = ; (iii) f : + +, f ( ) = ; são funções bijetoras (e) Função Inversa Se f : A B é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa e indicamos por f Figura 3 Observação: (i) f : A B sendo bijetora, garante a eistência da função inversa (ii) (iii) ( ) = Im( ) = e ( ) D f f B f f é bijetora Eiste f Im f = D( f ) = A é equivalente dizer f é inversível f : B A e Por eemplo, (i)

11 Figura 4 A função dada acima na figura 4 é inversível (ii) Figura 5 A função dada acima na figura 5 é não inversível Regras práticas para o cálculo de função inversa Na função y = f ( ) trocamos por y e y por, obtendo = f ( y) Epressamos y em função de Por eemplo, (iii) Seja f :, y = 4 y = f ( ) = 4 = y 4 y = + 4

12 y = + = f f ( ) = + (iv) Seja f : y = = y y = ( ) + +, f : + +, y = f ( ) = Observação: Os gráficos de f e quadrante do plano cartesiano f são simétricos em relação à bissetriz do º e 3º Por eemplo, (i) f ( ) 3 =, f : f :, 3 f ( ) = Figura 6 (ii) f : + +, f ( ) = f ( ) =

13 Figura 7 3 Composição de Funções Sejam A, B e C três conjuntos Consideremos as funções f e g tal que f : A B e g : B C Associado com f e g eiste uma função L : A C denominada composição e definida por h( ) = ( g o f )( ) = g( f ( )), A Assim temos Figura 8 f : f ( ) = y Im( f ) B e g : y g( y) = z Im( g) C Observações: (i) g o f só está definida, quando CD( f ) = D( g) (ii) Em geral, g of f o g (iii) O domínio de f o g é o conjunto de todos os números no domínio D( f ) Eemplo 3 Sejam A = {,,3,4 }, B = { 0,,4,6,8,9 } e { 0, 4,6,36, 64,8,00} Consideremos f : A B : f ( ) = = y e : g B C : g( y) y z C = = = Então

14 h : A C : h( ) = ( g f )( ) = g( f ( )) = g( ) = 4 o Eemplo 4 Sejam f, g : definidas por f ( ) = + e g( ) = Então, e Agora, ( f g)( ) = f ( g( )) = f ( ) = + o, ( ) ( g o f )( ) = g( f ( )) = g( + ) = + = f og g o f Eemplo 5 Sendo f :, f ( ) = e g ( ) = + Calcular: (i) f ( g( )) = f ( + ) = ( + ) = (ii) g( f ( )) = g( ) = + = + (iii) f ( g()) = f (3) = 9 = 8 (iv) g( f (0)) = g( ) = + = Eemplo 6 Sendo f :, f ( ) = 3 e g ( ) = 4 + Calcular f o g, g o f, f o f e g o g (i) ( f og)( ) = f ( g( )) = f (4 + ) = 3 (4 + ) = (6 8 ) = = (ii) ( g o f )( ) = g( f ( )) = g (3 ) = + (4(3 ) ) = + 8 = (iii) ( f o f )( ) = f ( f ( )) = f (3 ) = 3 (3 ) = (9 4 ) = = + (iv) ( g og)( ) = g( g( ))

15 = g(4 + ) = (4(4 + ) + ) = = Funções Pares e Ímpares (a) Função Par Seja f : A B f é uma função par se e somente se f ( ) = f ( ), A Por eemplo, f ( ) =, é par, pois f ( ) f ( ) = =, Figura 9 (b) Função Ímpar Seja f : A B f é uma função par se e somente se f ( ) = f ( ), A Por eemplo, Observações: f ( ) 3 =, é ímpar, pois f ( ) f ( ) 3 = =, (i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio y (ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema cartesiano (iii) Eistem funções que nem são pares e nem ímpares Por eemplo, f ( ) = e e f ( ) = +,, nem são pares e nem são ímpares Verifique se são pares ou ímpares as funções: (i) y =

16 (ii) y =, 0 5 Funções elementares A seguir apresentaremos algumas funções elementares a) Função constante A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio é chamada de função constante Eemplo 3 A função f :[0, ), f ( ) =, é uma função constante Seu Figura no 0, do seu domínio é o seguinte: intervalo [ ] Figura 0 b) Funções afim ou linear Chama-se função afim qualquer função dada por f ( ) = a + b onde os coeficientes a e b são números reais dados Quando b = 0, a função é chamada de linear O Figura da função afim com domínio e contradomínio é uma reta com coeficiente angular igual a a e que b intercepta os eios coordenados X e Y nos pontos, 0 a 0, b, respectivamente e ( ) Eemplo 3 O gráfico da função afim tomando-se a = e b =, ou seja, y = f ( ) =, no intervalo [, ], é mostrado abaio

17 Figura Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma apenas determinar a e b y = a + b Precisamos c) Função módulo É a função definida por, 0 f ( ) = =, < 0 O gráfico da função módulo é o seguinte: Figura d) Função quadrática Sejam a, b e c números reais quaisquer com a 0 A função f definida em e dada por y = f ( ) = a + b + c recebe nome de função quadrática

18 Eemplo 33 (i) y = f ( ) = a = ; b = 9; c = 4 (ii) y = f ( ) = a = 5; b = 5; c = 0 (iii) 3 3 y = f ( ) = + a = ; b = ; c = e) Função polinomial É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja, f ( ) = a a n n n + an + + a + 0, onde os coeficientes de f ( ) a,, 0, a an são números reais e n é número natural chamado de grau Eemplo 34 As funções afim e linear são eemplos de funções polinomiais de grau n = A função quadrática f ( ) = a + b + c, a 0, é uma função polinomial de grau n = A 4 3 função f ( ) = é uma função polinomial de grau n = 4 f) Função racional É toda função f cuja regra de associação é do tipo p( ) f ( ) =, q( ) onde p () e q () ( q( ) 0 ) são funções polinomiais Uma função racional está definida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q () Eemplo 35 Determine o maior domínio possível da função racional + + f ( ) = + Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto tal que + 0 Portanto, o maior domínio possível é o conjunto { }

19 Figura 3 6 Função eponencial e logarítmica a) Função eponencial de base a Seja a um número positivo e a A função f : (0, ), dada por f ( ) = a, é chamada de função eponencial de base a Os gráficos dessas funções são os seguintes: Gráfico da função eponencial quando a > Figura 4 Gráfico da função eponencial, quando 0 < a <

20 Figura 5 O conjunto imagem da função eponencial é o intervalo (0, + ) Apresentaremos, a seguir, as propriedades de eponenciação b) Propriedades da função eponencial As seguintes propriedades valem para quaisquer a, b,, y R com a > 0, b > 0 : P - P - P3 - P4 - P5 - a ( a b ) = ( ab) a a y + y a = a y = a y a a = b b y y y ( a ) = ( a ) = a A função eponencial mais comum em aplicações é a função eponencial de base a = e onde e =,788 é a constante de Euler, que é um número irracional A função, nesse caso, é chamada de função eponencial natural ou, simplesmente, função eponencial 7 Função logaritmo Seja a um número positivo e a A função definida por y = f ( ) = log a > 0, recebe o nome de função logarítmico de base a Vejamos os gráficos da função logarítmica: Figura 6

21 Figura 7 7 Propriedades da função logaritma Para todo, y > 0, valem as seguintes propriedades P Propriedade do produto: loga ( y) = log a + log a y P Propriedade do quociente: log a = log a log a y y P3 Propriedade da potenciação: log ( y ) = log y a a O logaritmo na base indicá-lo como ln a = e é chamado de logaritmo natural e é comum 39 Aplicações práticas das funções A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de eemplos a) Função receita Eemplo 35 Um bem é vendido por R$300,00 a unidade Sendo a quantidade vendida, a receita de vendas será 300 Podemos dizer que R( ) = 300 é uma função que fornece a quantidade vendida à receita correspondente Eemplo 36 Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade Seja a quantidade vendida a) obtenha a função receita R( ) ; b) calcule R (50) ;

22 c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$00,00? Resolução: a) R( ) = 6 b) R (50) = 6 50 = 300 c) Devemos ter 00 = 6 = 00 Logo, a quantidade vendida deve ser de 0 picolés b) Função custo e lucro do primeiro grau Seja a quantidade produzida de um produto O custo total de produção depende de, e a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por C( ) Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fio e indicamos por CF A parcela do custo que depende de chamamos de custo variável e indicamos por CV ( ) Logo, podemos escrever C( ) = CF + CV ( ) A função lucro L( ) é definida como a diferença entre a função receita R( ) e a função custo C( ) e temos L( ) = R( ) C( ) Por eemplo, o custo fio mensal de fabricação de um produto é R$6000,00 e o custo variável por unidade é R$ 5,00 Então a função custo total é dada por C( ) = Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de serão 0,,, Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de serão números reais positivos Eemplo 37 Um produto é vendido por R$0,00 a unidade (preço constante) A função receita será R( ) = 0 Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo C( ) = num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico abaio

23 Figura 8 Gráfico de R( ) = 0 e C( ) = no mesmo sistema de coordenadas A abscissa, c, do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico Note que: Se > c, então R( ) > C( ) e L( ) > 0 Se < c, então R( ) < C( ) e L( ) < 0 c) Função demanda Eemplo 38 O número de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se com o preço unitário ( p ) conforme a função demanda p = 0 0, 004 Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será 8 = 0 0, 004 0, 004 = 0 8 = 6 = 4000 O gráfico da função demanda p = 0 0,004 é dado abaio

24 d) Funções quadráticas receita e lucro Figura 9 Eemplo 39 A função de demanda de certo produto é p = 0, e a função custo é C( ) = 30 + onde é a quantidade demandada Determinar: a) a função receita e o preço que a maimiza b) a função lucro e o preço que a maimiza Resolução: a) Por definição de receita, temos R( ) = p = 0 = 0 ( ) Logo, a função receita é R( ) 0 = + Veja figura abaio Figura 30 De = +, temos a = ; b = 0; c = 0 R( ) 0 Logo, o valor de que maimiza R( ) = + 0 é a abscissa do vértice b 0 V = = = 0 para uma receita máima de a ( )

25 R (0) = ( 0) = = 00 Portanto, temos uma receita máima de R$00,00 para uma demanda de = 0 itens do produto b) A função lucro é L( ) = R( ) C( ) Assim, onde ( ) L( ) = + = = , a = ; b = 9; c = 30 Veja a figura de L( ) abaio Figura 3 O valor de que maimiza a função lucro L( ) = é a abscissa do vértice b 9 9 V = = = = 9,5 para um lucro máimo de a ( ) ( ) L (9,5) = 9, ,5 30 = 90, ,5 30 = 60, 5 Portanto, temos um lucro máimo de R$40,75 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos ) Seja a função f ( ) = 4 3, calcular: a) f ( ) ; b) f ( a + ) ; Eercícios propostos

26 c) f ( + h) ; d) f ( ) + f ( h) ; e) f ( + h) f ( ), h 0 h ) Seja a função g( ) = 5 4, calcular: a) g( ) ; b) g 4 ; c) g( + h) g( ), h 0 ; h d) g ; e) g( ) g( ) 3) Seja a função f ( ) = 3, calcule: a) f ( ) ; b) f () ; c) f (3) ; d) f ; e) f ( ) 4) Faça o Figura da função f = +, com o ( ) { 3,,, 0,,,3} ( ) Dom f = 5) Obtenha o domínio das seguintes funções: a) y = f ( ) = 3 ; b) y = f ( ) = 3 ; c) y = f ( ) = 5 6) Esboce o Figura da função f, de domínio Dom( f ) 7) + Sejam as funções f ( ) = e a) f o g e Dom( f o g) b) g o f e Dom( g o f ) c) f o f e Dom( f o f ) +, se 0 f ( ) =, se < 0 g( ) =, determinar: =, dada por

27 8) O custo de fabricação de unidades de certo produto é dado pela função C( ) = a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades? b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas dezenove unidades? 9) Dada a função demanda p = 0 e a função custo C( ) = 5 +, determinar: a) O valor de que maimiza a receita b) O valor de que maimiza o lucro 0) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da função receita dada por R( ) = 4 e o Figura da função custo dada por C( ) = 50 + e determine o ponto de nivelamento ) Obtenha a função lucro do eercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal ) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$0,00 por unidade Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 50 a) Epressar o lucro mensal do fabricante como uma função de b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de venda for de R$35,00 cada f, y f ( ) 3) Seja :[0, ) [, ) = = Determine a inversa da função f 4) Determinar a função inversa da função demanda 0 p = 4 5) Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas por CM ( ), temos C( ) CM ( ) = onde C( ) é o custo de fabricação de unidades de um produto O custo de fabricação de unidades de um produto é C( ) = a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 00 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que aumenta?` Relembrando o Capítulo: Neste capítulo, você teve a oportunidade de estudar e compreender o que é uma função Você aprendeu operações com funções e esboçar gráfico de uma função Neste capítulo você também estudou funções elementares, tais como, a função afim, a função linear e a função quadrática Vimos também a função módulo, a função polinomial, a função racional, função par e função impar, a função eponencial de base a, a > 0 e a, a função logaritmo de base a, a > 0 e a, a função composta, funções crescentes e funções decrescentes e função inversa Você viu também aplicações práticas de funções Saiba Mais

28 Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte: MORETTIN, Pedro A, HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O Cálculo funções de uma e várias variáveis São Paulo: Saraiva, 005 SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis 3 ed São Paulo: Atlas, 988 A partir de agora passaremos a estudar limites e continuidade de uma função

Unidade 3. Funções de uma variável

Unidade 3. Funções de uma variável Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.

Leia mais

Derivadas e suas Aplicações

Derivadas e suas Aplicações Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular

Leia mais

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são

Leia mais

MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1

MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1 MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1 EMENTA Funções Reais de uma Variável Real Principais Funções Elementares e suas Aplicações Matrizes Livro Teto: Leithold, Louis.

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0 FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente

Leia mais

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

Unidade I. Prof. Luiz Felix

Unidade I. Prof. Luiz Felix Unidade I MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Conjuntos Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos: representação ordinária A = 0, 1, 2, 3, 4 representação

Leia mais

Apostila 2: Matemática - Funções

Apostila 2: Matemática - Funções de 9 UNERJ - Centro Universitário de Jaraguá do Sul Curso: Administração / Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Prof.: JOABLE Apostila : Matemática - Funções Conjuntos Numéricos Conjunto: conceito

Leia mais

FUNÇÃO. D: domínio da função f D R R: contradomínio da função f f y = f(x): imagem de x. x. y. Está contido REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO

FUNÇÃO. D: domínio da função f D R R: contradomínio da função f f y = f(x): imagem de x. x. y. Está contido REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO FUNÇÃO Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário DEFINIÇÃO Seja D um subconjunto dos reais, não vazio. Definir em D uma função f é eplicitar uma regra que a CADA elemento D associa-se a UM ÚNICO R. Notação

Leia mais

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 43 4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL Vimos no capítulo anterior que dado a R +, a potência a pode ser definida para qualquer número R. Portanto, fiando a R +, podemos definir

Leia mais

Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau

Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau 05 1. Função polinomial do primeiro grau (a) Função constante Toda função f :R R definida como f ()=c, com c R é denominada função constante. Por eemplo:

Leia mais

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x). 1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par?

Leia mais

Lista de Exercícios de Funções

Lista de Exercícios de Funções Lista de Eercícios de Funções ) Seja a R, 0< a < e f a função real de variável real definida por : f() = ( a a ) cos( π) + 4cos( π) + 3 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que : a) (], [ Z)

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Matemática A Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Nesse caso temos {a} como subconjunto de {a, b}, logo a relação correta seria a} {a,

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa

Leia mais

AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES

AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES 1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS FACULDADE DE MATEMÁTICA AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções

Leia mais

LISTA DE PRÉ-CÁLCULO

LISTA DE PRÉ-CÁLCULO LISTA DE PRÉ-CÁLCULO Instituto de Matemática - UFRJ Prof. Nei Rocha Rio de Janeiro 2018-2 Eercício 1 Resolva: (a) 1 = + 1 (b) 6 3 1 = 3 (1 + 2 2 ) (c) 8 < 3 4 (d) 2 2 + 10 12 < 0 (e) 1 2 + 2 3 4 (f) +

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Taciana Villela Savian Sala 304, pav. Engenharia, ramal 237 tvsavian@usp.br tacianavillela@gmail.com

Leia mais

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2 Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Notas de aula para o

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------

Leia mais

Cálculo I - Lista 1: Números reais. Desigualdades. Funções.

Cálculo I - Lista 1: Números reais. Desigualdades. Funções. Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo Cálculo I - Lista : Números reais Desigualdades Funções Prof Responsável: Andrés Vercik Um inteiro positivo n é par se n k para

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Matemática A Semi-Extensivo V. 3

Matemática A Semi-Extensivo V. 3 Matemática A Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0 f: R R f() = c) f: R R f() = 0. Falsa alsa. CD = R, mas Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Já não é sobrejetora. 08. Verdadeira f( 5

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva = 0 e = y = nos pontos onde Vamos determinar a reta tangente à curva y = nos pontos

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções trigonométricas, eponenciais e logarítmicas Aula 0 Projeto GAMA

Leia mais

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015)

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Engenharia Civil/Mecânica Cálculo Profa Olga (º sem de 05) Conteúdo: Função do º grau (Função Afim) Definição Chama-se função polinomial do o grau, ou função afim, a qualquer função f: dada por uma lei

Leia mais

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor

Leia mais

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE CE65 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA ª. PARTE. FUNÇÕES.- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localização de pontos num plano é bastante antiga na Matemática e data aproimadamente

Leia mais

Matemática / Função Exponencial / Questões Comentados Direitos Autorais Reservados

Matemática / Função Exponencial / Questões Comentados Direitos Autorais Reservados Matemática / Função Eponencial / Questões Comentados Matemática / Função Eponencial / Questões Comentadas 1 Matemática / Função Eponencial / Questões Comentados Matemática / Função Eponencial / Questões

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo Universidade do Vale do Paraíba Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Rodrigo Sávio Pessoa São José dos Campos 0 Sumário Tópico Tópico Tópico Tópico Tópico

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso

Leia mais

Uma Relação será função se:

Uma Relação será função se: Funções Uma Relação será função se: 1. Todo elemento do conjunto domínio (A) possui um elemento correspondente no conjunto contradomínio (B); 2. Qualquer que seja o elemento do domínio (A), so existe um

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas

Leia mais

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte A

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte A Universidade Federal do Rio Grande FURG Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 5 CAPES FUNÇÕES Parte A Prof. Antônio Maurício Medeiros Alves Profª Denise Maria Varella Martinez UNIDADE

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA

EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA Professor: LUIZ ANTÔNIO 1 >>>>>>>>>> PROGRESSÃO ARITMÉTICA P. A.

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3 - Pré-cálculo a lista complementar de eercícios (6//7 a 7//7) Diga quais dos conjuntos abaio

Leia mais

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Cálculo Diferencial Integral 1 Profª Sheila Regina Oro AULAS 2, 3, 4, 5

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Cálculo Diferencial Integral 1 Profª Sheila Regina Oro AULAS 2, 3, 4, 5 AULAS,,, 5 FUNÇÕES. Plano Cartesiano Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (596-65), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era

Leia mais

Matemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas.

Matemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas. INTRODUÇÃO Vejamos os problemas. 1- Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: S = -20 + 2p, com p R$270,00. Poderíamos querer saber: a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da

Leia mais

FUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.

FUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *. FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a, chamamos função eponencial de base a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, também: f: R R a Eemplos

Leia mais

CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6

CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6 Introdução à funções Uma função é determinada por dois conjuntos e uma regra de associação entre os elementos destes conjuntos. Os conjuntos são chamados

Leia mais

Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares Neste momento do curso de Elementos de Cálculo, estamos interessados em rever algumas funções já estudadas no Ensino Médio de forma

Leia mais

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)

Leia mais

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas

Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Máximos e mínimos de uma função Definição 6.. Dada a função f : I, um ponto x I é chamado de (i) ponto de máximo relativo (ou local) da função quando f ( x)

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E.

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS Injetiva FUNÇÕES Sobrejetiva Bijetiva Carlos Eurico Galvão Rosa UFPR 1 / 33 de Injetiva Sobrejetiva Bijetiva : Dados

Leia mais

Relação de Conjuntos. Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B

Relação de Conjuntos. Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B Relação de Conjuntos Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B A x B = { 1,2, 1,3, 1,4, 2,2, 2,3, 2,4 } A B 1 2 2 3 4 Funções Uma Relação será função se: 1.

Leia mais

Funções EXERCÍCIOS ( ) ( )

Funções EXERCÍCIOS ( ) ( ) Funções Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função. Por eemplo, um taista abastece seu carro no posto de combustível

Leia mais

Conjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... }

Conjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 1

Cálculo Diferencial e Integral 1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 08/Sem_0 Cálculo ii Índice Funções.... Intervalos.... Deinição de unção.... Classiicação de unções... 6.4 Função composta...

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 6 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA

Leia mais

Caderno 2. Concurso Público Conteúdo. - Coletânea de Exercícios Gerais

Caderno 2. Concurso Público Conteúdo. - Coletânea de Exercícios Gerais Concurso Público 2016 Caderno 2 Conteúdo - Funções de Primeiro e Segundo Grau - Noções de Probabilidade e Estatística Descritiva - Matemática Financeira - Aplicações e Operações com Inequações - Sequências

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Definição

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... 5 IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 7 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE

Leia mais

IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU, OU FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU :

IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU, OU FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU : IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES : FUNÇÃO CONSTANTE : Uma função f: R R é chamada constante se puder ser escrita na forma y = f() = a, onde a é um número real

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está

Leia mais

1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f(x) = x b) f(x) = - 3x + 2

1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f(x) = x b) f(x) = - 3x + 2 1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f() = b) f() = - 3 + 2 (0,0) (0,2) no eio (,0) no eio c) f() = + 3 d) f() = 2-3 (0,3) no (0,-3) no (-3,0) no (1,5;0) no 2º) Determine

Leia mais

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO FUNÇÕES VALOR NUMÉRICO 1 01) Dada a função f(x) 1 x, o valor f(1,5) é x + 1 igual a a) 1,7 b) 1,8 c) 1,9 d),0 e),1 0) Na função f:r R, com f(x) x² 3x + 1, o 1 valor de f a) b) 11/4 c) 3/3 d) 15/4 FUNÇÕES

Leia mais

Funções - Terceira Lista de Exercícios

Funções - Terceira Lista de Exercícios Funções - Terceira Lista de Exercícios Módulo - Números Reais. Expresse cada número como decimal: a) 7 b) c) 9 0 5 5 e) 3 7 0 f) 4 g) 8 7 d) 7 8 h) 56 4. Expresse cada número decimal como uma fração na

Leia mais

UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta

UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta Termos Semelhantes(redução) a) + (não há termos semelhantes) b) ²+3-5 (não há termos semelhantes) c) +3+ => 5+ d) 5 + (3 ) - ( 9) 5 + 3 + 9 5 + 3 + 9 6 + 5 e) 8 [ - + ( + 3 7)] 8 [ - + +3 7] 8 + 3 + 7

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 1

Cálculo Diferencial e Integral 1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr 09/Sem_0 Cálculo ii Índice Funções Intervalos Deinição de unção Classiicação de unções 6 4 Função composta 8 5 Função

Leia mais

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

Slides de apoio: Funções I

Slides de apoio: Funções I Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Funções I Prof. Ronaldo Carlotto Batista 10 de março de 2017 Produto Cartesiano Denição Sejam dois conjuntos não vazios A e B, o produto cartesiano entre A e B é dado

Leia mais

TÓPICOS DE MATEMÁTICA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE COIMBRA SOLICITADORIA E ADMINISTRAÇÃO TÓPICOS DE MATEMÁTICA FUNÇÕES 2ª Parte Clara Viseu, Maria de Lurdes Vieira Baseado em: Harshbarger, Reynolds.

Leia mais

Capítulo 1 Números Reais

Capítulo 1 Números Reais Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {

Leia mais

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 4

Matemática A Extensivo V. 4 Etensivo V. 4 Eercícios 0) C f(t) = at + b (t = tempo) (I) t = 0 f(t) = 9000 (II) t = 4 f(t) = 4000 Substituindo os valores na função f(t) = at + b, temos: (I) 9000 = a. 0 + b b = 9000 (II) 4000 = 4a +

Leia mais

EMENTA Lógica; Conjuntos Numéricos; Relações e Funções. OBJETIVOS. Geral

EMENTA Lógica; Conjuntos Numéricos; Relações e Funções. OBJETIVOS. Geral DADOS DO COMPONENTE CURRICULAR Disciplina: Matemática Curso: Técnico Integrado em Eletromecânica Série: 1ª Carga Horária: 100 h.r Docente Responsável: EMENTA Lógica; Conjuntos Numéricos; Relações e Funções.

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1- Resolva a inequação 4 3 Resp: 1,4 - Dizemos que uma relação entre dois conjuntos não vazios A e B é uma função de A em B quando:

Leia mais

MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

MATEMÁTICA ELEMENTAR II: Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 009 009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa nº do plano de trabalho nº 7. Considere a função f() -. a. Encontre a epressão analítica da função inversa de f.

Leia mais

DIFERENCIAL I. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 00: Funções (Atualizada em 24 de julho de 2016)

DIFERENCIAL I. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 00: Funções (Atualizada em 24 de julho de 2016) ac CÁLCULO DIFERENCIAL I 0 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 00: Funções (Atualizada em 4 de julho de 06) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática

Leia mais

MATEMÁTICA I. Adriane Violante de Carvalho Ramos

MATEMÁTICA I. Adriane Violante de Carvalho Ramos MATEMÁTICA I Adriane Violante de Carvalho Ramos Sumário 1. NÚMEROS REAIS... 4 1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS... 4 1. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS... 4 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE

Leia mais

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja,

Leia mais

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Deinição inormal de unção Uma unção é uma regra que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B. : A B ( ) Simbolicamente,

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA CAMPUS CAJAZEIRAS COORDENAÇÃO DO CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA CAMPUS CAJAZEIRAS COORDENAÇÃO DO CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA CAMPUS CAJAZEIRAS COORDENAÇÃO DO CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA MATEMÁTICA I Nome: MATEMÁTICA I Curso: TÉCNICO EM INFORMÁTICA

Leia mais

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 2.1 Domínio e Imagem 2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaio. (a) f () = 3 (b) g () = (c) h () = (d) f () = 1 3 + 5 1 3 (e) g () 2 (f) g () = jj 8 8

Leia mais

ESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA PLANO INDIVIDUAL DE ESTUDO PARA ATENDIMENTO DA PROGRESSÃO PARCIAL ESTUDOS INDEPENDENTES- 1º

ESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA PLANO INDIVIDUAL DE ESTUDO PARA ATENDIMENTO DA PROGRESSÃO PARCIAL ESTUDOS INDEPENDENTES- 1º ESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA PLANO INDIVIDUAL DE ESTUDO PARA ATENDIMENTO DA PROGRESSÃO PARCIAL ESTUDOS INDEPENDENTES- 1º e º SEMESTRE RESOLUÇÃO SEE Nº.197, DE 6 DE OUTUBRO DE 01 ANO 01 PROFESSOR

Leia mais

Erivaldo. UFSC Parte 02

Erivaldo. UFSC Parte 02 Erivaldo UFSC Parte 02 UFSC 2011 Análise Combinatória página 14 32.( ) O sangue humano pode ser classificado quanto ao sistema ABO e quanto ao fator Rh. Sobre uma determinada populac a o P, os tipos sangui

Leia mais

Função Inversa. f(x) é invertível. Assim,

Função Inversa. f(x) é invertível. Assim, Função Inversa. (Eear 07) Sabe-se que a função a) b) 4 c) 6 d) x f(x) é invertível. Assim, 5 f () é. (Espm 07) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao domínio de sua x inversa. Sendo f :

Leia mais

5 Funções elementares

5 Funções elementares 5 Funções elementares 5 Funções elementares objetivo deste capítulo é fazer um estudo das funções elementares, as quais servem de modelo para a descrição de fenômenos e situações reais, preparando o caminho

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM300 - Pré-cálculo 0 a lista de eercícios (6/0/207 a 27/0/207). Sejam A e B conjuntos. Defina

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Função Exponencial e Função Logarítmica

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Função Exponencial e Função Logarítmica INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 007/008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real

Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real MÓDULO 3 - AULA 31 Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real Objetivos Conhecer as definições básicas de funções vetoriais de uma variável real. Aprender a parametrizar curvas simples. Introdução

Leia mais