MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Assintotas

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1 MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Assintotas Eercícios de eames e testes intermédios 1. Seja f a função, de domínio R + 0, definida por f() = 2 e 1 Estude a função f quanto à eistência de assintota horizontal, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 2. Seja f a função, de domínio R, definida por 1 + e se 3 f() = ln( 3) ln se > 3 Eame 2015, Ép. especial Estude a função f quanto à eistência de assintotas horizontais do seu gráfico, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 3. Seja f a função, de domínio R, definida por e e se < f() = ( + 1) ln se 1 2 Eame 2015, 2 a Fase Averigue, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, da eistência de assintotas verticais do gráfico da função f 4. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio ], e[, definida por e se 2 f() = sen (2 ) k se 2 < < e Eame 2015, 1 a Fase Estude, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, a função f quanto à eistência de assintota horizontal do seu gráfico e, caso eista, indique uma equação dessa assintota. 5. Seja f uma função de domínio R + A reta de equação y = 2 5 é assintota do gráfico da função f Qual é o valor de 6 1 lim + f() (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) +? Eame 2014, Ép. especial Eame 2014, Ép. especial Página 1 de 18

2 6. Considere a função f, de domínio ], 0[ definida por f() = 1 + ln( ) Estude, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico e, caso eistam, indique as suas equações. 7. Considere a função f, de domínio R, definida por e se < 4 4 f() = ln(2e e 4 ) se 4 Eame 2014, 2 a Fase O gráfico da função f tem uma assintota oblíqua quando tende para +, de equação y = + b, com b R Determine b, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 8. Seja f a função, de domínio R, definida por e se 0 f() = 3 + ln se > 0 Eame 2014, 1 a Fase Estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve: mostrar que eiste uma única assintota vertical e escrever uma equação dessa assintota; mostrar que eiste uma assintota horizontal quando + e escrever uma equação dessa assintota; mostrar que não eiste assintota não vertical quando Teste Intermédio 12 o ano Página 2 de 18

3 9. Seja f uma função de domínio R lim f() = 1 + lim [f() + 2] = 2 Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? (A) (B) (C) (D) Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assintotas desse gráfico. 10. Considere duas funções g e h, de domínio R + a reta de equação y = 2 1 é assintota do gráfico da função g a função h é definida por h() = 1 [g()]2 2 Mostre que o gráfico da função h tem uma assintota horizontal. 11. Considere a função f, de domínio R, definida por e + 2 se 1 f() = 1 + sen ( 1) 1 se > 1 Eame 2013, Ép. especial Eame 2013, Ép. especial Mostre recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, que o gráfico da função f admite uma assintota oblíqua quando tende para Eame 2013, 2 a Fase Página 3 de 18

4 12. Seja f uma função de domínio R + ln + f() Sabe-se que lim = Qual das equações seguintes pode definir uma assintota do gráfico da função f? (A) y = 1 3 (B) y = 2 (C) y = (D) y = 3 3 Eame 2013, 1 a Fase 13. Considere a função f, de domínio R \ 0, definida por e 1 e 4 se < 0 1 f() = ln se > 0 Estude, a função f quanto à eistência de assintotas verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 14. Seja f a função, de domínio R, definida por e se < 0 f() = + cos se 0 Resolva recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora: O gráfico da função f tem uma assintota oblíqua quando Determine a equação reduzida dessa assintota. Eame 2013, 1 a Fase Teste Intermédio 12 o ano se Seja f a função, de domínio R, definida por f() = ln(3 11) se > 4 4 O gráfico da restrição da função f ao intervalo ], 4] tem uma assintota horizontal. Determine uma equação dessa assintota, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 16. Sejam f e g funções de domínio ]0, + [ a reta de equação y = 3 é assintota horizontal do gráfico de f f não tem zeros; g() = e 3 f() Qual das opções seguintes define uma assintota horizontal do gráfico de g? (A) y = 3 (B) y = e (C) y = 0 (D) y = 1 Teste Intermédio 12 o ano Eame 2012, Ép. especial Página 4 de 18

5 17. Seja f uma função de domínio R lim (f() 2) = 1 + lim f() = 3 lim 1 +f() = + lim f() = 2 1 Em qual das opções seguintes as duas equações definem assintotas do gráfico da função f? (A) = 1 e y = (B) = 1 e y = (C) y = 3 e y = (D) y = 2 e y = Considere a função f, de domínio R, definida por ln( + 1) ln() + 3 se > 0 f() = e 1 se 0 Eame 2012, 2 a Fase Estude a função f quanto à eistência de assintotas não verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 19. Seja f uma função de domínio R +, contínua em todo o seu domínio. lim 0 +f() = a bissetriz dos quadrantes ímpares é assintota do gráfico de f Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função 1 f? Eame 2012, 1 a Fase (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 12 o ano Página 5 de 18

6 20. Para cada valor de k, a epressão define uma função, de domínio R, cujo gráfico tem: uma assintota horizontal, quando + uma assintota horizontal, quando k + e se 0 f() = 2 + ln se > 0 Eiste um valor de k para o qual as duas assintotas são coincidentes, ficando assim o gráfico de f com uma única assintota horizontal. Determine esse valor de k, sem recorrer à calculadora. 21. Considere a função f, de domínio R, definida por e 1 se < 1 1 f() = + ln se 1 Estude a função f quanto à eistência de assimptotas horizontais do gráfico de f 22. Considere uma função f, de domínio R \ {3}, contínua em todo o seu domínio. lim + f() = 1 lim f() = 2 3 lim (f() + 2) = 0 Em qual das opções seguintes as equações definem duas assintotas do gráfico de f? Teste Intermédio 12 o ano Eame 2011, Prova especial (A) = 2 e y = 1 (C) y = 2 e y = 1 (B) = 3 e y = 2 (D) y = 2 e y = 1 Eame 2011, Ép. especial 23. Considere a função f, de domínio [0, + [, definida por e f() = + 1 ln( + 1) se 0 < 2 se 2 Estude f quanto à eistência de assintotas verticais no seu gráfico, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 2011, 2 a Fase Página 6 de 18

7 24. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função g, de domínio ] 3, + [ A reta y = 2 4 é assintota do gráfico de g Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) lim (g() 2 4) = 0 (B) lim + + g() = 2 lim (g() 2 + 4) = 0 (D) lim (g() 2) = Eame 2011, 1 a Fase 25. Seja f a função, de domínio R +, definida por sen ( 1) 2 + se 0 < < 1 e e f() = e + 2 se 1 O gráfico da função f tem uma assimptota oblíqua. Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida dessa assimptota. Teste Intermédio 12 o ano Considere a função h, de domínio R +, e a reta de equação y = 4, assintota do gráfico de h ( ) 1 ln 2 Qual é o valor de lim? + h() (A) (B) + (C) 4 (D) 0 Eame 2010, Ép. especial 27. Seja uma função f, de domínio R +, e seja a reta de equação y = 1 a única assintota do gráfico de f Considere a função g, de domínio R +, definida por g() = f() + Prove que o gráfico de g tem uma assimptota oblíqua paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. Eame 2010, Ép. especial 28. Considere a função f, de domínio ]0, + [, definida por e 3 se 0 < 2 f() = 1 ln se > 2 5 Estude a função f quanto à eistência de assimptotas oblíquas, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 29. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função f, contínua, de domínio ], 1[ Tal como a figura sugere, a reta de equação = 1 é assintota do gráfico de f Eame 2010, 2 a Fase y Qual é o valor de lim 1 3 f()? (A) (B) 3 (C) 0 (D) + O 1 Eame 2010, 1 a Fase Página 7 de 18

8 30. Considere a função f, de domínio ], 2π], definida por a + b + e se 0 f() = sen (2) se 0 < 2π Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, prove que a reta de equação y = a + b, com a 0, é uma assintota oblíqua do gráfico de f Eame 2010, 1 a Fase 31. Considere a função f, de domínio R, definida por f() = e Mostre, usando eclusivamente métodos analíticos, que o gráfico da função f tem uma única assintota e escreva uma equação dessa assintota. Teste Intermédio 12 o ano Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R + y Tal como a figura sugere, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f [ ] ln Indique o valor de lim + f() 1 O f (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) + Teste Intermédio 12 o ano Teste Intermédio 12 o ano Seja f a função, de domínio R + se 0 < < 2 2, definida por f() = e se 2 O gráfico da função f tem uma assintota oblíqua. Determine, usando eclusivamente métodos analíticos, a equação reduzida dessa assintota. 34. Considere a função g, de domínio R, definida por g() = e + 3 e. Teste Intermédio 12 o ano Estude, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, a função g, quanto à eistência de assintotas do seu gráfico e, caso eistam, escreva as suas equações. Eame 2009, Ép. especial y 35. Na figura ao lado, estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio [ 3, + [, e parte da reta r, que é a única assintota do gráfico de f. r Qual é o valor de f() lim +? (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 3 O 1 1 Eame 2009, 2 a Fase Página 8 de 18

9 2 + 4 se > Considere a função h, de domínio R, definida por h() = 2 se = 0 e 2 1 se < 0 Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, estude a função h quanto à eistência de assintotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados e, caso eistam, escreva as suas equações. 37. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio R +. lim (f() 2) = 0; + a função g é definida por g() = f() + 2. Prove que o gráfico de g não tem assintotas oblíquas. 38. De uma função g, de domínio R +, sabe-se que: lim g() = e lim [g() ] = Eame 2009, 2 a Fase Eame 2009, 1 a Fase Em cada uma das alternativas apresentadas abaio, está representado, em referencial o.n. Oy, o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assintota desse gráfico. Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de g? (A) (B) (C) (D) y y y y Teste Intermédio 12 o ano Seja f a função de domínio R definida por f() = 2 se < ln() e 1 se 1 Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados. Indique uma equação para cada assintota encontrada. Teste Intermédio 12 o ano Página 9 de 18

10 40. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R, sendo y = 1 a única assintota do seu gráfico. y Qual é o valor do (A) lim 3 f()? (B) 3 O 1 f (C) 1 (D) 3 Eame 2008, 2 a Fase y 41. Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ], 2[ A reta t, de equação y = 1, é assintota do gráfico de f quando tende para f Qual é o valor do lim (f() + + 1)? O (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) + t Eame 2008, 1 a Fase 42. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função f de domínio [0, + [ A reta r, de equação, y = é assintota do gráfico de f 3 Seja h a função definida em [0, + [ por h() = f() O gráfico de h tem uma assintota horizontal. Qual das equações seguintes define essa assintota? (A) y = 1 3 (B) y = 1 2 (C) y = 2 (D) y = 3 Teste Intermédio 12 o ano Página 10 de 18

11 43. Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a reta de equação = 1 é assintota do gráfico da função g Seja h : R R a função definida por h() = 1 O valor do lim 1 h() g() é: (A) (B) + (C) 0 (D) 1 Eame 2007, 2 a fase 44. Admita que a intensidade da luz solar, metros abaio da superfície da água, é dada, numa certa unidade de medida, por I() = ae b ( 0) a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição. Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b obtemos uma função de domínio R + 0 Considere agora b = 0, 05 e a = 10 Estude essa função quanto à monotonia e eistência de assintotas do seu gráfico. Interprete os resultados obtidos no conteto da situação descrita. 45. Seja g uma função de domínio R + Sabe-se que a reta de equação y = é assintota do gráfico de g Indique o valor de [ ] g() lim (g() 2) + Eame 2007, 1 a Fase (A) 0 (B) 5 (C) 6 (D) + Teste Intermédio 12 o ano Página 11 de 18

12 46. Na figura ao lado está representada, em referencial Oy, parte do gráfico de uma função f, de domínio ], 1[, contínua em todo o seu domínio. Tal como a figura sugere, tem-se: o gráfico de f contém a origem do referencial; as retas de equações y = 0 e = 1 são assintotas do gráfico de f. Em qual das opções seguintes poderá estar representada, em referencial Oy, parte do gráfico de 1 f? (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 12 o ano se 0 < < 1 ln 47. Seja a função f, de domínio R +, definida por f() = e 2 se 1 Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico. Eame 2006, Ép. especial 48. Seja f a função, de domínio ]1, + [, definida por f() = + ln( 1). Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico. 49. De uma certa função f, de domínio R, sabe-se que: f é contínua; Eame 2006, 2 a fase a reta de equação y = é assintota do gráfico de f, quer quando +, quer quando. Mostre que o gráfico da função g, definida, em R, por g() = f(), não tem qualquer assintota. Eame 2006, 1 a fase Página 12 de 18

13 50. Considere a função f, de domínio ]0, + [, definida por f() = 1 ln (ln designa logaritmo de base e). Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados. 51. De uma função g, de domínio ]0, + [, sabe-se que: não tem zeros; a reta de equação y = + 2 é assintota do seu gráfico. Seja h a função, de domínio ]0, + [, definida por h() = 2 f() Prove que a reta de equação y = 2 é assintota do gráfico de h. 52. Considere a função f, de domínio R \ {3}, definida por f() = 2 3 Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações. Em qual das opções as duas equações definem as assintotas do gráfico de f? (A) = 2 e y = 1 (B) = 2 e y = 2 (C) = 3 e y = 1 (D) = 3 e y = Considere uma função f, de domínio R \ {5}, contínua em todo o seu domínio. lim 5 f() = 3 lim + f() = 2 lim [f() ] = 0 Teste Intermédio 12 o ano Teste Intermédio 12 o ano Eame 2005, Ép. especial Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma reta. Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assintotas do gráfico da função f? (A) y = e y = 2 (B) y = 2 e = 5 (C) y = e = 5 (D) y = 3 e = Seja g uma função de domínio R +. g() + lim = 4 + o gráfico de g tem uma assintota oblíqua. Qual das condições seguintes pode ser uma equação dessa assintota? (A) y = + 3 (B) y = 3 (C) y = + 4 (D) y = 4 Eame 2005, 1 a fase Eame 2004, Ép. especial Página 13 de 18

14 e 1 se < Seja f a função definida, em R, por f() = se Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f. Considere que um ponto P se desloca ao longo do gráfico de f. Seja d a função que, à abcissa do ponto P, faz corresponder a distância de P à origem do referencial. Em qual das figuras seguintes pode estar parte do gráfico da função f? Numa pequena composição, sem recorrer à calculadora, eplique porque não pode ser nenhum dos outros três, apresentando, para cada um deles, uma razão pela qual o rejeita. (A) (B) (C) (D) Notas: na opção A, a reta representada a tracejado é assintota horizontal do gráfico; na opção C, a função é estritamente monótona, em R. 56. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = e 1 Eame 2004, Ép. especial Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados. Eame 2004, 2 a Fase Página 14 de 18

15 57. Seja g uma função de domínio R, não identicamente nula, contínua em todo o seu domínio. Seja h = 1 g Relativamente ao gráfico de h, sabe-se que: é simétrico relativamente ao eio Oy tem uma única assintota vertical tem uma assintota horizontal Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) g(0) = 0 (B) lim + g() = 0 (C) g é uma função ímpar (D) g é estritamente crescente Eame 2003, Prova para militares 58. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função f de domínio R, contínua em todo o seu domínio. A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f. Indique em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função g definida por g() = f() (A) (B) (C) (D) Eame 2003, 1 a fase - 2 a chamada Página 15 de 18

16 59. Considere uma função g de domínio [0, + [, contínua em todo o seu domínio. O gráfico de g tem uma única assintota g() lim + = 1 2 Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o. n. Oy, parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assintota? (A) (B) (C) (D) Eame 2003, 1 a fase - 1 a chamada 60. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio [0, 5[ ]5, + [ As retas de equações = 5 e y = 3 são as únicas assintotas do gráfico de h. Indique o valor de lim + h() 3 + e (A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) + Eame 2003, 1 a fase - 1 a chamada 61. De uma função f, de domínio [0, + [, sabe-se que as retas de equações y = 1 e = 2 são assintotas do seu gráfico. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A função f é contínua em todo o seu domínio. (C) O gráfico de f não tem assintota oblíqua. (B) A função f tem máimo absoluto (D) O gráfico de f não tem assimptota vertical Eame 2002, Prova para militares Página 16 de 18

17 62. Considere a função f de domínio R, definida por f() = e1 Utilizando métodos eclusivamente analíticos, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados. Eame 2002, 2 a Fase 63. De uma função h, de domínio R, sabe-se que a reta de equação y = 2 é assintota do seu gráfico. Qual é o valor de h() lim e? (A) + (B) (C) 0 (D) 2 Eame 2002, 1 a fase - 2 a chamada 64. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o. n. Oy uma curva C, gráfico da função f, de domínio R, definida por f() = e uma reta r, gráfico da função g, de domínio R, definida por g() = 2 Estude a função f + g quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico, utilizando métodos eclusivamente analíticos. Eame 2001, Ép. especial 65. De uma função g, de domínio R +, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assintota do seu gráfico. Seja h a função, de domínio R +, definida por h() = g() 2 Prove que o eio O é uma assintota do gráfico de h. Eame 2001, 1 a fase - 2 a chamada 66. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = 3 2 ln (ln designa o logaritmo de base e). Estude f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico, utilizando métodos eclusivamente analíticos. Eame 2001, 1 a fase - 1 a chamada 67. Malmequeres de Baio é uma povoação com cinco mil habitantes. Num certo, dia ocorreu um acidente em Malmequeres de Baio, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admita que, t horas depois do acidente o número (epresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baio que sabiam do ocorrido eram, aproimadamente, f(t) = e 0,3t, t 0 Recorrendo eclusivamente a processos analíticos, estude a função f quanto à eistência de assintotas do seu gráfico. Interprete a conclusão a que chegou, no conteto do problema. Eame 2001, Prova modelo Página 17 de 18

18 68. Sejam f e g duas funções de domínio R. o gráfico de g é uma reta, que designamos por s lim (f() g()) = 0 + Qual das afirmações seguinte é necessariamente verdadeira? (A) A reta s é tangente ao gráfico de f (C) A reta s não interseta o gráfico de f (B) A reta s é secante ao gráfico de f (D) A reta s é um assintota do gráfico de f Eame 2000, 2 a Fase 69. Considere a função f, de domínio R \ {1}, definida por f() = e 1 Estude a função f quanto à eistência de assintotas verticais e horizontais do seu gráfico, recorrendo eclusivamente a processos analíticos. Eame 2000, 1 a fase - 2 a chamada 70. Considere uma função f de domínio R +. Admita que f é positiva e que o eio O é assintota do gráfico de f. Mostre que o gráfico da função 1 f não tem assintota horizontal. 71. De uma função f, contínua em R, sabe-se que: f é estritamente crescente f(0) = 1 O eio O e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assintotas do gráfico de f Qual é o contradomínio de f? (A) [ 1, + [ (B) ], 1] (C) ]0, + [ (D) ], 0[ 72. De uma certa função g sabe-se que Qual das afirmações seguintes é verdadeira? lim 3 g() = + g(3) = 1 lim 3 +g() = 2 (A) O contradomínio da função g é o intervalo [2, + [ (B) A reta de equação = 3 é assintota do gráfico da função g (C) 3 não pertence ao domínio da função g (D) Eiste lim 3 g() Eame 2000, 1 a fase - 1 a chamada Eame 2000, Prova modelo Eame 2000, Prova para militares (prog. antigo) Página 18 de 18