Exercícios de Cálculo p. Informática, Ex 1-1 Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar

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1 Eercícios de Cálculo p. Informática, Números Reais. E - Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar o número dado: 7 a) b) 6 7 c) 2.(3) = 2.33 d) 2 3 e) 8 /3 f) π 2 g) 0, 25 h) 9 9 i) 0.(9) = j) E -2 Se = então 0 = = 3. Logo 9 = 3 3 = = /3. Usando o mesmo tipo de argumento represente os seguintes números racionais como fracções de inteiros: a) = 0.(39) b) = 0.(255) c) 9.77 = 9.(7) d) = 4.66(087) E -3 Nos eercícios seguintes substitua o símbolo por <, > ou = de modo a obter afirmações correctas: a) b) c) 2.44 d) 4 6 e) f) π 22 7 E -4 Em cada uma das alíneas seguintes encontre uma desigualdade da forma c < δ cuja solução seja o intervalo aberto dado: a) ] 2, 2[ b) ] 3, 3[ c) ]0, 4[ d) ] 3, 7[ e) ] 4, 0[ f) ] 7, 3[ E -5 Determine todos os valores de R tais que:

2 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) 4 2 (b) + > 3 2 Funções reais de variável real. E 2- Diga quais das seguintes aplicações são: injectivas, sobrejectivas ou bijectivas: (a) f : {a, b, c} {, 2, 3} tal que f(a) =, f(b) = 3 e f(c) =. (b) f : {a, b, c, d} {, 2, 3} tal que f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = e f(d) = 3. (c) f : {a, b, c} {, 2, 3, 4} tal que f(a) =, f(b) = 3 e f(c) = 4. (d) f : N N tal que f() = +. (e) f : R R tal que f() = 2. (f) f : [0, + [ R tal que f() = 2. (g) f : [0, + [ [0, + [ tal que f() = 2. E 2-2 Sejam c e f duas variaveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é linear. O ponto de congelamento da água é de c = 0 o C ou f = 32 o F. A temperatura de ebulição é de c = 00 o C ou f = 22 o F. (a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em graus Celsius. (b) Eiste alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais? Determine-a em caso afirmativo. (c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em graus Kelvin (K), e a temperatura c, em graus Celsius (C), é linear. Sabendo que k = 273 o K quando c = 0 o C e k = 373 o K quando c = 00 o C determine k em função de f.

3 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 2-3 Determine se cada curva é o gráfico de uma função y = f(). Em caso afirmativo, a) indique o domínio e imagem (contra-domínio) da função f, b) determine se f é injectiva. y y a) - 2 b) y y c) - 3 d) y y 3 4 e) 3 f)

4 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 2-4 Determine f() sabendo que para todo R: (a) f( + 3) = , (b) f( 5) = E 2-5 Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando o seu domínio e contradomínio. (a) y = 4 5 (b) y = 2 (c) y = log 2 () (d) y = log 2 () + 6 (e) y = sin() (f) y = sin(2) (g) y = sin(e ) (h) y = tan() E 2-6 Determine, analiticamente, se as seguintes funções são injectivas: (a) f :]0, + [ R, f() = ln. (b) f :]0, + [ R, f() = sin. (c) f :], + [ R, f() = 2. (d) f :]0, + [ R, f() = 2. E 2-7 Em cada uma das alíneas seguintes encontre uma epressão para a função descrita, indicando o seu domínio. (a) A área de um triângulo equilatero como função do comprimento do lado. (b) A área do rectangulo indicado na figura como uma função da coordenada do ponto P.

5 Eercícios de Cálculo p. Informática, (c) A área da superfície de um cubo em função do seu volume. E 2-8 Seja f :]0, + [ R a funçao que a faz corresponder a abcissa do ponto de intersecção do eio dos com a tangente à parábola y = 2, no ponto (, 2 ). Determine f() eplicitamente. E 2-9 Encontre uma fórmula possível para cada uma das funções representadas pelos gráficos seguintes. 32 a) 3 b) c) 2 d) e) 5 3 f) E 2-0 Usando a função logaritmo natural, resolva as seguintes equações: a) 2 = (.02) t b) 20 = 0 t c) 40 = 00 e t d) 6 t = 4 2 t e) 5 e t = 0 f) 5 2 t = 0 3 t

6 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 2- As funções seguintes representam a evolução de diferentes populações de bactérias, ao longo do tempo medido em horas, desde um certo instante inicial t = 0. a) P (t) = 0 (.08) t b) P 2 (t) = 5 (.7) t c) P 3 (t) = 25 (0.79) t d) P 4 (t) = 0 (0.88) t (a) Qual das populações tem a maior taa de crescimento relativo? (b) Qual das populações é maior no instante inicial t = 0? (c) Qual das populações tem a maior taa de crescimento absoluto no instante inicial t = 0? (d) Eistem populações decrescendo de tamanho? Se sim, quais? E 2-2 Os gráficos seguintes representam as populações do eercício anterior. Estabeleça a correspondência entre os gráficos A, B, C e D, e as funções P (t), P 2 (t), P 3 (t) e P 4 (t). 3 Composição de funções. E 3- Caracterize as funções compostas f g, g f, f f e g g, sendo: a) f() = 2 2 e g() = b) f() = e g() = 2 c) f() = e g() = +

7 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 3-2 Use a tabela em baio para avaliar cada uma das epressões seguintes: a) f(g()) b) g(f()) c) f(f()) d) g(g()) e) (g f)(3) f) (f g)(6) f() g() E 3-3 Use os gráficos de f e g, esboçados na figura em baio, para avaliar cada uma das epressões seguintes, ou eplicar porque não está definida: a) f(g()) b) g(f(0)) c) (f g)(0) d) (g f)(5) e) (g g)( 3) f) (f f)(4) 4 y g f E 3-4 Sabendo que f() =, g() = + 5 e h() = e determine f g h. E 3-5 Sendo f() = e, g() = cos() e h() =, qual das seguintes f g epressões: h, f g h, g f ou g h h f, repesenta a função u() = ecos()? E 3-6 Determine g tal que f g = F, sabendo que:

8 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) f() = +, F () = a2 2 + a 2 2 (b) f() = 3, F () = ( 4 ) 2 E 3-7 Determine f tal que f g = F, sabendo que: (a) g() = , F () = (b) g() = 3, F () = 2 sin(3) E 3-8 Para cada um dos seguintes pares de funções f e g indique o domínio de cada uma, verificando, analiticamente, que são inversas uma da outra. (a) f() = 3 e g() = + 3 (b) f() = 3 e g() = /3 (c) f() = e g() = + E 3-9 Veja, analiticamente, se as funções f() = 2 e g() =, ambas definidas para 0 sao funções inversas uma da outra. E 3-0 As seguintes funções f admitem inversas. Para cada uma, determine o domínio de f, a função inversa g = f e o domínio da inversa. (a) f() = 4 7 com domínio D f = [0, + [. (b) g() = + 3 com domínio D g = [0, + [. E 3- Considere a função f() = sin, definida no intervalo [0, 2 π]. Esboce o gráfico de cada uma das funções seguintes e indique o respectivo domínio: a) f() b) f( ) c) f( ) d) f() + e) f( + ) f) f(2) g) 2 f()

9 Eercícios de Cálculo p. Informática, Resolva o mesmo problema para as funções g() = 2 h() = no intervalo ]0, + [. definida em R e para E 3-2 Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) y = (b) y = 2 5 (c) y = ( + 5) 2 (d) y = ( 5) 2 (e) y = 2 (f) y = 2 2 E 3-3 Transformando o gráfico de f() = 4, esboce o gráfico da função g : R R, g() = f( 2) +. E 3-4 Suponha dado o gráfico y = f(). Escreva uma equação para o gráfico que se obtém de y = f() pela transformação descrita em cada alínea: a) translação vertical 2 unidades para cima. b) translação vertical 2 unidades para baio. c) translação horizontal 2 unidades para a esquerda. d) translação horizontal 2 unidades para a direita. e) refleão em torno do eio dos. f) refleão em torno do eio dos yy. g) epansão vertical por um factor 2. h) contracção vertical por um factor 2. i) epansão horizontal por um factor 2. j) contracção horizontal por um factor 2. E 3-5 Estenda os gráficos das funções f e g ao intervalo [ 4, 0], sabendo que: a) tanto f como g são funções pares, b) as funções f e g são ímpares.

10 Eercícios de Cálculo p. Informática, y 4 f g E 3-6 Determine se são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares as funções seguintes: a) f() = b) f() = c) f() = cos( 2 ) d) f() = + sin 4 Limites E 4- Estude os seguintes limites (a) lim 3 3 (b) lim 2 2 (c) 2 lim (d) 3 lim (e) 2 + lim 2 (f) lim E 4-2 Discuta os seguintes limites em função do parâmetro a.

11 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) (c) lim a (b) lim a lim + a (d) lim a E 4-3 Suponha que eiste o limite L = lim a g(), e que f() b g() para todo o numa vizinhança de a. Que valor deve ter o limite L para poder concluir a eistência do limite lim a f()? E 4-4 Suponha que f() b C a α para todo o numa vizinhança de a. Que valor deve ter o parâmetro α para poder concluir a eistência do limite lim f()? a E 4-5 Em cada uma das alíneas abaio, supondo que f() satisfaz a desigualdade indicada para todo numa vizinhança de, veja se pode concluir a eistência do seguinte limite: L = lim f(), e nesse caso identifique-o. (a) f() 2 + (b) f() (c) f() (d) f() E 4-6 Usando a definição mostre que: (a) (c) (e) lim 7 = 7 (b) lim = lim 4 = 7 (d) lim = lim 3 = 0 3 E 4-7 Estude os seguintes limites: (a) lim a, a { 2, 0}

12 Eercícios de Cálculo p. Informática, (b) lim a 4 3, a R (c) lim 0 f(), onde f() = (d) lim + ( + 2 ) (e) lim 2 f(), onde f() = { sin 2 se < 0 log( + ) se > 0 { 3 se é inteiro caso contrário E 4-8 Calcule os seguintes limites: (a) lim 0 sin k (b) lim 0 sin 2 (c) lim 0 cos(2) (e) lim (d) (f) lim + + log(2 + ) lim + log (g) lim ( 2 + ( 2) /3 ) + (h) lim 0 sin 5 sin 3 E 4-9 Dê eemplos de sucessões (u n ) e (v n ) tais que u n +, v n e (a) lim n u n + v n = 0 (b) lim n u n + v n = 0 (c) lim n u n + v n = + (d) lim n u n + v n = (e) lim n u n + v n não eiste. E 4-0 Dê eemplos de sucessões (u n ) e (v n ) tais que u n 0, v n + e

13 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) lim n u n v n = a, com a R {0} (b) lim n u n v n = 0 (c) lim n u n v n = + (d) lim n u n v n = (e) lim n u n v n não eiste. E 4- Usando o teorema das sucessões enquadradas, calcule o limite das seguintes sucessões: (a) cos n lim n + n (b) lim n + (4n + 6 n ) n (c) (e) n + 2 (n + ) + + (d) (a/n) n, a R 2 (2n) 2 n n n n4 + n (f) n!/n n E 4-2 Calcule os seguintes limites a) lim n ( n + n) b) lim n 3 n + 4 n 5 n + 7 n+ c) lim n ( n 2 + n n 2 + ) d) lim n 3 2n + 4 n 5 n + 7 n+ e) lim n n 2n + ( ) n + 3 f) lim n + 3 n n+ ( ) g) lim n 2 n+2 ( ) h) lim n+ n 3n n i) lim n ( + 4 n 2 ) n j) lim n ( n 2 ) n k) lim n n sin (nπ) l) lim n n sin n m) lim n sin n n n) lim n n n

14 Eercícios de Cálculo p. Informática, o) lim n (n 3 + n) /n p) lim n n cos n n + q) lim n 3 n sin (n 4 + n 2 + 3n + 2) r) lim n (3 n + 7 n ) /n s) lim n 2n 3 3n /n t) lim n n /n + 3n E 4-3 Cada sucessão (a n ), em que a n é definido por uma das seguintes epressões, converge para 0. a) a n = n! b) a n = n 2 c) a n = n n d) a n = 2 n e) a n = log n (a) Para cada uma destas sucessões encontre o mais pequeno inteiro N, tal que a n 0 < 0.00 para toda a ordem n N. (b) Qual das sucessões acima indicadas converge mais rapidamente para zero? (c) Compare-as assintoticamente. Identifique os pares de sucessões acima, em que a primeira seja um infinitésimo relativo da segunda. E 4-4 Recordemos que, dadas sucessões de números reais ( n ) e (y n ), n = o(y n ) n n lim = 0 e n y n lim =. n y n n y n Para cada uma das sucessões n = e n n 3, n = n 2 + n 3 e n = n 2 log n, escolha a alternativa correcta: (A) n n 3 (B) n = o(n 3 ) (C) n 3 = o( n ) (D) nehuma das anteriores.

15 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 4-5 Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: (a) Se ( n ) e (y n ) são sucessões divergentes, então a sucessão ( n +y n ) é divergente. (b) Se ( n ) e (y n + n ) são sucessões convergentes, então a sucessão (y n ) é convergente. E 4-6 Considere a sucessão (a n ) definida por a = 0.3, a 2 = 0.33, a 3 = 0.333, a 4 = , etc. (a) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an 3 < 0.0 para toda a ordem n N. (b) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an 3 < 0.00 para toda a ordem n N. (c) Dado ɛ > 0 determine p(ɛ) tal que an 3 < ɛ para toda a ordem n p(ɛ). 5 Continuidade. E 5- Determine os pontos de continuidade e descontinuidade das funções, onde I() representa a parte inteira de. (a) f() = 3, R \ {0} 2 (b) f() = I(), R se 2 (c) f() = 2 se = 2 (d) f() = { ( + ) 2 ( + ) 0 0 = 0

16 Eercícios de Cálculo p. Informática, (e) f() = ( + )( + 2) ( )( 2) E 5-2 Veja se cada um dos pontos a, 0 e a é um ponto de: continuidade à esquerda, continuidade à direita, descontinuidade removível, descontinuidade de a espécie (i.e. com limites laterais finitos e diferentes), ou descontinuidade de 2 a espécie (i.e.nem removível, nem de a espécie) da função f representada na figura seguinte: y f - a a 0 E 5-3 Considere as seguintes funções reais de variável real: (a) f() = (b) g() = + sin sin (c) h() = (a) Indique, em termos de intervalos, o domínio de cada uma das funções. (b) Verifique se as funções f, g e h se podem prolongar por continuidade a todo R. (c) Verifique se a função h() se pode prolongar por continuidade ao ponto =.

17 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 5-4 Mostre que as seguintes equações têm soluções nos intervalos indicados: (a) = cos, [0, π/2]. (b) = log, ]0, ]. (c) 2 + = e, R. (d) = f(), [a, b] onde f : [a, b] [a, b] é uma função contínua com valores no intervalo [a, b]. E 5-5 Seja f :R R uma função contínua tabelada em 5 pontos f() (a) Em quais dos seguintes intervalos [0, ], [, 2], [2, 3] e [3, 4] pode garantir que a equação.9 = f() tem pelo menos uma raiz? (b) Para cada um dos outros intervalos desenhe o gráfico de uma função contínua, com os valores acima tabelados, onde essa equação não tenha soluções. E 5-6 Seja f :R R definida por { se f() = + se > (a) Encontre f e esboce o seu gráfico. (b) Mostre que f e f são estritamente crescentes. (c) As funções f e f são contínuas em todos os pontos? E 5-7 Em cada uma das alíneas seguintes esboce o gráfico de uma função f definida em [0, ] e satisfazendo (se possível) as condições dadas: (a) f contínua em [0, ] com valor mínimo 0 e valor máimo. (b) f contínua em [0, [ com valor mínimo 0 e sem valor máimo.

18 Eercícios de Cálculo p. Informática, (c) f contínua em ]0, [ assume os valores 0 e mas não assume o valor 2. (d) f contínua em [0, ] assume os valores e mas não assume o valor 0. (e) f contínua em [0, ] com valor mínimo e valor máimo. (f) f contínua em [0, ], não constante, não assume valores inteiros. (g) f contínua em [0, ] não assume valores racionais. (h) f contínua em [0, ] assume um valor máimo, um valor mínimo e todos os valores intermédios. (i) f contínua em [0, ] assume apenas dois valores distintos. (j) f contínua em ]0, [ assume apenas três valores distintos. (k) f não contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo aberto e limitado. (l) f não contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo fechado e limitado. (m) f contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo ilimitado. (n) f contínua em [0, ] tem por imagem um intervalo ilimitado. (o) f não contínua em [0, ] tem por imagem o intervalo [0, + [. (p) f contínua em [0, [ tem por imagem um intervalo fechado e limitado. 6 Indução. E 6- Prove, recorrendo ao método de indução matemática, que: (a) n = n(n + ) 2, para todo n N. (b) n 2 = n(n + )(2n + ) 6, para todo o n N.

19 Eercícios de Cálculo p. Informática, (c) 2 n n!, para todo o n N. E 6-2 Calcule os seguintes limites: (a) lim n n n 2 (b) lim n n 2 (n + )(n + 2) E 6-3 Considere a sucessão { u = 2 u n+ = 2 + u n (a) Calcule os três primeiros termos da sucessão. (b) Prove por indução que () 2 u n 2, para todo o n N. (2) (u n ) é crescente. (c) Prove que (u n ) é convergente e determine o limite. E 6-4 (a) Prove que a sucessão u n = n + n n (b) Prove que o limite L = lim u n, satisfaz 2 L. E 6-5 Considere a equação recursiva, n = n + a n, para todo o n. é monótona e convergente. Encontre uma epressão algébrica para n em função de 0, a e n. E 6-6 Seja (a n ) uma sucessão definida por a = 3 e a n+ = 4 a n se n.

20 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) Prove, por indução que a n = 3 ( 4) n, para todo n. (b) Calcule lim n a n. (c) Calcule lim n a a n. E 6-7 Seja ( n ) uma sucessão definida recursivamente por 0 = /9 e n = 3 n se n. (a) Encontre uma epressão eplícita para n. (b) Calcule lim n n. E 6-8 Considere a sucessão (a n ) cujos primeiros quatro termos vêm indicados na tabela seguinte. n = a n = Seja ( n ) uma outra sucessão satisfazendo a seguinte equação recursiva Sabendo que 4 = 6, determine 0. n+ = n + a n. E 6-9 Considere a sucessão (a n ) cujos primeiros cinco termos vêm indicados no seguinte gráfico de barras verticais

21 Eercícios de Cálculo p. Informática, Seja ( n ) uma outra sucessão satisfazendo a seguinte equação recursiva n+ = n + a n. Sabendo que 6 = 3, determine. E 6-0 Considere as sucessões {a n } definidas recursivamente por (a) a = a n+ = + a n (n ) (b) a = 0 a n+ = 3a n + a n + 3 (n ) (c) a = a n+ = 3 + a n (n ) Mostre que cada uma das sucessões {a n } converge e determine o seu limite.