Cálculo para Informática 1. (d) Há pelo menos um aluno não caloiro nesta turma. (f) Se o André é caloiro então a Joana também é.

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1 Cálculo para Informática Noções de Lógica E - Negue as seguintes proposições: (a) Todos os alunos desta turma são caloiros. (b) Há caloiros nesta turma. (c) Nenhum aluno desta turma é caloiro. (d) Há pelo menos um aluno não caloiro nesta turma. (e) O André é caloiro mas a Joana não é. (f) Se o André é caloiro então a Joana também é. (g) Ou o André é caloiro ou a Joana não é. Usando conectivos e quantificadores traduza simbólicamente cada uma das afirmações anteriores. E - Distinga os silogismos dos paralogismos: (a) Se não chover vou à praia. Chove muito. Logo não vou à praia. (b) Se não chover vou à praia. Vou à praia. Portanto não chove. (c) Há engarrafamentos sempre que está a chover. Hoje não há engarrafamentos. Portanto hoje não está a chover. (d) Há engarrafamentos sempre que está a chover. Está a chover. Logo há engarrafamentos.

2 Cálculo para Informática Traduza simbólicamente cada um dos silogismos correctos que encontrar. E -3 Considere um objecto que pode ser branco ou preto, redondo ou quadrado, pequeno ou grande. Esse objecto é: (a) redondo se e somente se não fôr branco. (b) branco se e somente se não fôr grande. (c) redondo se fôr pequeno e branco. Qual a sua cor, forma e tamanho? E -4 Numa ilha há duas tribos: a tribo dos Mentirosos que mentem compulsivamente, e a tribo dos Verdadeiros que nunca mentem. Um lógico (L) chega a essa ilha e encontra três nativos: a Alice (A), o Ben (B) e o Charlie (C). Passa-se o seguinte diálogo: (L) (A) (L) (B) (C) Alice, você é Verdadeira ou Mentirosa? Er migh sur! Ben, o que é que ela disse? A Alice disse que era mentirosa. E o Charlie também é mentiroso. Não! A Alice é Verdadeira. A que tribo pertence cada um dos três indígenas? E -5 Uma gaveta duma cómoda tem 50 meias brancas e 50 meias pretas. Quantas meias se devem tirar, de olhos fechados, de forma a ter de certeza duas meias da mesma cor? E -6 O pinhal de Leiria tem um milhão de pinheiros. Cada pinheiro tem no máimo agulhas. Mostre que há, no pinhal de Leiria, pelo menos dois pinheiros com o mesmo número de agulhas. E -7 Numa carruagem de combóio estão seis pessoas: A, B, C, D, E, F. Cada uma delas é de uma das seguintes localidades: Viseu, Coimbra, Taveiro, Santarem, Milfontes, Abrantes. Sabe-se que (a) A e o homem de Viseu são médicos. Problema etraído do livro Labrinths of Reason, de William Poundstone.

3 Cálculo para Informática 3 (b) E e a mulher de Coimbra são professores. (c) C e a pessoa de Taveiro são engenheiros. (d) B e F participaram na guerra em tropa. África, mas a pessoa de Taveiro nunca foi à (e) A pessoa de Milfontes é mais velha que A. (f) A pessoa de Abrantes é mais velha que C. (g) Em Santarem B e o homem de Viseu descem do combóio. (h) No entroncamento C e o homem de Milfontes descem do combóio. Descubra quem é donde, e qual a respectiva profissão. E -8 No planeta Og há quatro tipos de nativos: os verdes, os vermelhos, os do norte e os do sul. Os verdes nortenhos e os vermelhos do sul dizem sempre a verdade, os verdes do sul e os vermelhos do norte mentem sempre. (a) De noite, sem luz, encontra um nativo. Que pergunta sim-não lhe pode fazer para ficar a saber a sua cor? ((b) Um terráqueo (T) chega a Og e encontra, numa noite muito escura, um nativo (N). Passa-se o seguinte diálogo: T: Você é vermelho? T: Você é do sul? T: Você não responde? N: Se eu respondesse não às suas duas primeiras perguntas estaria a mentir pelo menos uma vez. É possível determinar a cor e o hemisfério do nativo? (c) Num dia claro e luminoso o terráqueo encontrou um nativo que lhe disse: Sou um verde do norte. O terráqueo pensou um pouco e disse: Não sei de que hemisfério ele é. De que cor era o nativo? (d) Dois nativos, A, B, dizem o seguinte.

4 Cálculo para Informática 4 A: Sou verde do norte. B: Sou verde. B: Sou do norte. Pode deduzir-se o tipo de algum deles? (e) Um nativo diz: Se sou verde então sou do sul. Qual é o seu hemisfério e a sua cor? E -9 Na ilha de FasiVesi há dois tipos de pessoas. Os Vesis dizem sempre a verdade ou não respondem. Os Fasis mentem sempre ou não respondem. Se uma pergunta é feita de tal forma que, se respondessem, estariam a trair a sua natureza, os habitantes, naturamente, calam-se. i) Eiba uma pergunta à qual um Fasi possa responder sim ou não, mas à qual um Vesi não pode responder. ii) Eiba uma pergunta à qual um Vesi pode responder sim ou não mas um Fasi não pode responder. iii) Eiba uma pergunta à qual um Vesi pode responder não mas não pode responder sim, à qual um Fasi não pode responder. iv) Eiba uma pergunta à qual um Vesi pode responder sim mas não pode responder não, à qual um Fasi não pode responder. v) Eiba uma pergunta à qual nem um Fasi nem um Vesi pode responder.

5 Cálculo para Informática 5 Números Reais. E - Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar o número dado: 7 a) b) 6 7 c).(3) =.33 d) 3 e) 8 /3 f) π g) 0, 5 h) 9 9 i) 0.(9) = j) 3 7 E - Se = então 0 = = 3. Logo 9 = 3 3 = = /3. Usando o mesmo tipo de argumento represente os seguintes números racionais como fracções de inteiros: a) = 0.(39) b) = 0.(55) c) 9.77 = 9.(7) d) = 4.66(087) E -3 Nos eercícios seguintes substitua o símbolo por <, > ou = de modo a obter afirmações correctas: a) b) c).44 d) 4 6 e) f) π 7 E -4 Em cada uma das alíneas seguintes encontre uma desigualdade da forma c < δ cuja solução seja o intervalo aberto dado: a) ], [ b) ] 3, 3[ c) ]0, 4[ d) ] 3, 7[ e) ] 4, 0[ f) ] 7, 3[

6 Cálculo para Informática 6 3 Funções reais de variável real. E 3- Diga quais das seguintes aplicações são: injectivas, sobrejectivas ou bijectivas: (a) f : {a, b, c} {,, 3} tal que f(a) =, f(b) = 3 e f(c) =. (b) f : {a, b, c, d} {,, 3} tal que f(a) =, f(b) = 3, f(c) = e f(d) = 3. (c) f : {a, b, c} {,, 3, 4} tal que f(a) =, f(b) = 3 e f(c) = 4. (d) f : N N tal que f() = +. (e) f : R R tal que f() =. (f) f : [0, + [ R tal que f() =. (g) f : [0, + [ [0, + [ tal que f() =. E 3- Seja f : R R a aplicação definida por f() =. Determine f ([, 0]) e f ([, 3]). E 3-3 Sejam c e f duas variaveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é linear. O ponto de congelamento da água é de c = 0 o C ou f = 3 o F. A temperatura de ebulição é de c = 00 o C ou f = o F. (a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em graus Celsius. (b) Eiste alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais? Determine-a em caso afirmativo. (c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em graus Kelvin (K), e a temperatura c, em graus Celsius (C), é linear. Sabendo que k = 73 o K quando c = 0 o C e k = 373 o K quando c = 00 o C determine k em função de f. E 3-4 Determine se cada curva é o gráfico de uma função = f(). Em caso afirmativo,

7 Cálculo para Informática 7 a) indique o domínio e imagem (contra-domínio) da função f, b) determine se f é injectiva. Sendo f injectiva, identifique o domínio e esboce o gráfico da função inversa, = f (). a) - b) c) - 3 d) e) 3 f)

8 Cálculo para Informática 8 E 3-5 Encontre uma fórmula possível para cada uma das funções representadas pelos gráficos seguintes. 3 a) 3 b) c) d) e) 5 3 f) E 3-6 Usando a função logarítmo natural, resolva as seguintes equações: a) = (.0) t b) 0 = 0 t c) 40 = 00 e t d) 6 t = 4 t e) 5 e t = 0 f) 5 t = 0 3 t E 3-7 As funções seguintes representam a evolução de diferentes populações de bactérias, ao longo do tempo medido em horas, desde um certo instante inicial t = 0. a) P (t) = 0 (.08) t b) P (t) = 5 (.7) t c) P 3 (t) = 5 (0.79) t d) P 4 (t) = 0 (0.88) t

9 Cálculo para Informática 9 (a) Qual das populações tem a maior taa de crescimento relativo? (b) Qual das populações é maior no instante inicial t = 0? (c) Qual das populações tem a maior taa de crescimento absoluto no instante inicial t = 0? (d) Eistem populações decrescendo de tamanho? Se sim, quais? E 3-8 Os gráficos seguintes representam as populações do eercício anterior. Estableça a correspondência entre os gráficos A, B, C e D, e as funções P (t), P (t), P 3 (t) e P 4 (t). E 3-9 Considere uma população cuja evolução ao longo do tempo, medido em horas, é descrita por uma função P (t) satisfazendo a seguinte relação: P (t + ) P (t) P (t) = 0.0 t 0. (a) Interprete a relação acima. desta população? Qual a taa de crescimento percentual, ao ano, (b) Supondo que a população tem uma dimensão inicial P (0) = , e que ela é epressa por uma função eponencial da forma P (t) = P 0 a t, determine os valores das constantes P 0 e a.

10 Cálculo para Informática 0 4 Limites E 4- Seja a um número real fio. Determine os limites sendo lim h 0 f(a + h) f(a) f() f(a), lim h a a e f() lim +, a) f() = 5 + b) f() = c) f() = d) f() = +. + E 4- Estude os seguintes limites: (a) lim a, a {, 0} (b) lim a 4 3, a R (c) lim 0 f(), onde f() = (d) lim + ( + ) (e) lim f(), onde f() = { sin se < 0 log( + ) se > 0 { 3 se é inteiro caso contrário E 4-3 Em cada uma das alíneas abaio, supondo que f() satisfaz a desigualdade indicada para todo >, veja se pode concluir a eistência do seguinte limite à direita: L = lim + f(), e nesse caso identifique-o. (a) f() + (b) f() + (c) f() + +

11 Cálculo para Informática (d) f() + + E 4-4 Calcule os seguintes limites: (a) lim 0 sin k (b) lim 0 sin (c) lim 0 cos() (e) lim + (d) (f) lim + + log( + ) lim + log (g) lim ( + ( ) /3 ) + E 4-5 Dê eemplos de sucessões (u n ) e (v n ) tais que u n +, v n e (a) lim n u n + v n = 0 (b) lim n u n + v n = 0 (c) lim n u n + v n = + (d) lim n u n + v n = (e) lim n u n + v n não eiste. E 4-6 Dê eemplos de sucessões (u n ) e (v n ) tais que u n 0, v n + e (a) lim n u n v n = a, com a R {0} (b) lim n u n v n = 0 (c) lim n u n v n = + (d) lim n u n v n = (e) lim n u n v n não eiste.

12 Cálculo para Informática E 4-7 Usando o teorema das sucessões enquadradas, calcule o limite das seguintes sucessões: (a) n!/n n (b) n + (n + ) + + (n) (c) (a/n) n, a R (d) n n n n4 + n E 4-8 Calcule os seguintes limites a) lim n ( n + n) b) lim n 3 n + 4 n 5 n + 7 n+ c) lim n ( n + n n + ) d) lim n 3 n + 4 n 5 n + 7 n+ e) lim n n n + ( ) n + 3 f) lim n + 3 n n+ ( ) g) lim n n+ ( ) h) lim n+ n 3n n i) lim n ( + 4 n ) n j) lim n ( n ) n k) lim n n sin (nπ) l) lim n n sin n m) lim n sin n n n) lim n n n o) lim n (n 3 + n) /n p) lim n n cos n n + q) lim n 3 n sin (n 4 + n + 3n + ) r) lim n (3 n + 7 n ) /n s) lim n n 3 3n /n t) lim n n /n + 3n

13 Cálculo para Informática 3 E 4-9 Cada sucessão (a n ), em que a n é definido por uma das seguintes epressões, converge para 0. a) a n = n! b) a n = n c) a n = n n d) a n = n e) a n = log n (a) Para cada uma destas sucessões encontre o mais pequeno inteiro N, tal que a n 0 < 0.00 para toda a ordem n N. (b) Qual das sucessões acima indicadas converge mais rapidamente para zero? (c) Compare-as assintóticamente. Identifique os pares de sucessões acima, em que a primeira seja um infinitésimo relativo da segunda. E 4-0 Recordemos que, dadas sucessões de números reais ( n ) e ( n ), n = o( n ) n n lim = 0 e n n lim =. n n n n Para cada uma das sucessões n = e n n 3, n = n + n 3 e n = n log n, escolha a alternativa correcta: (A) n n 3 (B) n = o(n 3 ) (C) n 3 = o( n ) (D) nehuma das anteriores. E 4- Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: (a) Se ( n ) e ( n ) são sucessões divergentes, então a sucessão ( n + n ) é divergente. (b) Se ( n ) e ( n + n ) são sucessões convergentes, então a sucessão ( n ) é convergente.

14 Cálculo para Informática 4 E 4- Considere a sucessão (a n ) definida por a = 0.3, a = 0.33, a 3 = 0.333, a 4 = , etc. (a) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an 3 < 0.0 para toda a ordem n N. (b) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an 3 < 0.00 para toda a ordem n N. (c) Dado ɛ > 0 determine p(ɛ) tal que an 3 < ɛ para toda a ordem n p(ɛ). 5 Continuidade. E 5- (a) Prove que a sucessão u n = n + n+ + + n (b) Prove que o limite L = lim u n, satisfaz L. é monótona e convergente. E 5- Determine os pontos de continuidade e descontinuidade das funções, onde I() representa a parte inteira de. (a) f() = 3, R \ {0} (b) f() = I(), R + 6 se (c) f() = se = (d) f() = (e) f() = { ( + ) ( + ) 0 0 = 0 { sin < 0 I() + 0

15 Cálculo para Informática 5 E 5-3 Veja se cada um dos pontos a, 0 e a é um ponto de: continuidade à esquerda, continuidade à direita, descontinuidade removível, descontinuidade de a espécie (i.e. com limites laterais finitos e diferentes), ou descontinuidade de a espécie (i.e.nem removível, nem de a espécie) da função f representada na figura seguinte: f - a a 0 E 5-4 Considere as seguintes funções reais de variável real: (a) f() = 3 49 (b) g() = (c) h() = + sin sin (a) Indique, em termos de intervalos, o domínio de cada uma das funções. (b) Verifique se as funções f, g e h se podem prolongar por continuidade a todo R. (c) Verifique se a função h() se pode prolongar por continuidade ao ponto =. E 5-5 Mostre que as seguintes equações têm soluções nos intervalos indicados: (a) = cos, [0, π/].

16 Cálculo para Informática 6 (b) = log, ]0, ]. (c) + = e, R. (d) = f(), [a, b] onde f : [a, b] [a, b] é uma função contínua com valores no intervalo [a, b]. E 5-6 Seja f :R R uma função contínua tabelada em 5 pontos f() (a) Em quais dos seguintes intervalos [0, ], [, ], [, 3] e [3, 4] pode garantir que a equação.9 = f() tem pelo menos uma raíz? (b) Para cada um dos outros intervalos desenhe o gráfico de uma função contínua, com os valores acima tabelados, onde essa equação não tenha soluções. E 5-7 Seja f :R R uma função contínua tal que os limites seguintes eistem e são finitos: A + = lim f() e A = lim f() + (a) Dê um eemplo de uma função nestas condições sem máimo nem mínimo. (b) Dê um eemplo de uma função nestas condições, com A + = A, que não tenha mínimo ( respectivamente máimo). (c) Mostre que qualquer função f nestas condições é limitada. (d) Mostre que toda a função nas condições acima com A + = A, ou tem máimo ou tem mínimo. E 5-8 Considere a família de todos os rectângulos inscritos no círculo unitário cujos lados são paralelos aos eios coordenados. (a) Veja que é possível representar as áreas daqueles rectângulos por uma função A(t) do ângulo t [0, π/] que o vértice P = (cos t, sin t) no o quadrante faz com o semi-eio positivo das abcissas.

17 Cálculo para Informática 7 (b) Mostre que a função A(t) tem um máimo. Determine-o. P t E 5-9 (a) Mostre que a função f() = 4 + tem pelo menos duas raízes reais. (b) Seja P () = a 0 + a + a a n n um polinómio de grau par tal que a 0 < 0 e a n =. Mostre que P () tem pelo menos duas raízes reais. E 5-0 Seja f :R R definida por { se f() = + se > (a) Encontre f e esboce o seu gráfico. (b) Mostre que f e f são estritamente crescentes. (c) As funções f e f são contínuas em todos os pontos? E 5- Em cada uma das alíneas seguintes esboce o gráfico de uma função f definida em [0, ] e satisfazendo (se possível) as condições dadas: (a) f contínua em [0, ] com valor mínimo 0 e valor máimo. (b) f contínua em [0, [ com valor mínimo 0 e sem valor máimo. (c) f contínua em ]0, [ assume os valores 0 e mas não assume o valor. (d) f contínua em [0, ] assume os valores e mas não assume o valor 0.

18 Cálculo para Informática 8 (e) f contínua em [0, ] com valor mínimo e valor máimo. (f) f contínua em [0, ], não constante, não assume valores inteiros. (g) f contínua em [0, ] não assume valores racionais. (h) f contínua em [0, ] assume um valor máimo, um valor mínimo e todos os valores intermédios. (i) f contínua em [0, ] assume apenas dois valores distintos. (j) f contínua em ]0, [ assume apenas três valores distintos. (k) f não contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo aberto e limitado. (l) f não contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo fechado e limitado. (m) f contínua em ]0, [ tem por imagem um intervalo ilimitado. (n) f contínua em [0, ] tem por imagem um intervalo ilimitado. (o) f não contínua em [0, ] tem por imagem o intervalo [0, + [. (p) f contínua em [0, [ tem por imagem um intervalo fechado e limitado. 6 Composição de funções. E 6- Caracterize as funções compostas f g, g f, f f e g g, sendo: a) f() = e g() = 3 + b) f() = e g() = c) f() = e g() = + E 6- Use a tabela em baio para avaliar cada uma das epressões seguintes: a) f(g()) b) g(f()) c) f(f()) d) g(g()) e) (g f)(3) f) (f g)(6)

19 Cálculo para Informática f() g() E 6-3 Use os gráficos de f e g, esboçados na figura em baio, para avaliar cada uma das epressões seguintes, ou eplicar porque não está definida: a) f(g()) b) g(f(0)) c) (f g)(0) d) (g f)(5) e) (g g)( 3) f) (f f)(4) 4 g f E 6-4 Seja B a classe formada por todas as funções a seguir enumeradas: (a) as funções constantes. (b) as potências de epoente natural P n : R R, P n () = n. (c) a função raíz quadrada, Sqrt : [0, + [ R, Sqrt() =. (d) a função eponencial, ep : R R, e a sua inversa o logarítmo neperiano, log :]0, + [ R. (e) as funções trignométricas seno e coseno: sin, cos : R R. Vamos dizer que uma função é B-elementar se puder ser obtida a partir de funções em B à custa das operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e composição de funções.

20 Cálculo para Informática 0 (a) Mostre que a função f = (ep P )/(Sqrt (P 0 P )) é B-elementar baseado na seguinte árvore generativa: (ep P )/(Sqrt (P 0 P )) divisão ep P ep Sqrt (P 0 P ) Sqrt P P 0 P subtração P 0 P Obtenha uma epressão eplícita para f() e determine o seu domínio. (b) Mostre que cada uma das funções a seguir é B-elementar. obtenha o domínio e a sua árvore generativa. Para cada uma, g() = + h() = + i() = j() = + sin e sin k() = log ( ) + l() = cos ( ) + log E 6-5 Sendo f() = e, g() = cos() e h() =, qual das seguintes f g epressões: h, f g h, g f ou g h h f, repesenta a função u() = ecos()? E 6-6 Determine g tal que f g = F, sabendo que:

21 Cálculo para Informática (a) f() = +, F () = a + a (b) f() = 3, F () = ( 4 ) E 6-7 A figura seguinte representa o gráfico de uma função real de variavel real f() b - a 0 a Sendo g : R R a função definida por: g() = { se 0 se < 0 qual dos gráficos abaio que representa a função g f? b b a) - a 0 a b) - a 0 a b b c) 0 a d) - a 0 a

22 Cálculo para Informática Descreva funções f tais que a composição g f corresponda a cada um dos outros três gráficos. E 6-8 Considere a função f() = sin, definida no intervalo [0, π]. Esboce o gráfico de cada uma das funções seguintes e indique o respectivo domínio: a) f() b) f( ) c) f( ) d) f() + e) f( + ) f) f() g) f() Resolva o mesmo problema para as funções g() = h() = no intervalo ]0, + [. definida em R e para E 6-9 Suponha dado o gráfico = f(). Escreva uma equação para o gráfico que se obtem de = f() pela transformação descrita em cada alínea: a) translação vertical unidades para cima. b) translação vertical unidades para baio. c) translação horizontal unidades para a esquerda. d) translação horizontal unidades para a direita. e) refleão em torno do eio dos. f) refleão em torno do eio dos. g) epansão vertical por um factor. h) contracção vertical por um factor. i) epansão horizontal por um factor. j) contracção horizontal por um factor. E 6-0 Estenda os gráficos das funções f e g ao intervalo [ 4, 0], sabendo que: a) tanto f como g são funções pares, b) as funções f e g são ímpares.

23 Cálculo para Informática 3 4 f g E 6- Determine se são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares as funções seguintes: a) f() = b) f() = 3 7 c) f() = cos( ) d) f() = + sin E 6- Seja g :R R definida por { se g() = 0 se = e f() = +, para todo o R. Verifique que lim(g f)() (g f)(0). 0 Este resultado contradiz o teorema da função composta (para funções contínuas)? Justifique.

24 Cálculo para Informática 4 7 Indução e Recursividade. E 7- Prove, recorrendo ao método de indução matemática, que: (a) n = n(n + ), para todo n N. (b) n = n(n + )(n + ) 6, para todo o n N. (c) n n!, para todo o n N. E 7- Considere a sucessão { u = u n+ = + u n (a) Calcule os três primeiros termos da sucessão. (b) Prove por indução que () u n, para todo o n N. () (u n ) é crescente. (c) Prove que (u n ) é convergente e determine o limite. E 7-3 Considere a equação recursiva, n = n + a n, para todo o n. Encontre uma epressão algébrica para n em função de 0, a e n. E 7-4 Seja (a n ) uma sucessão definida por = 3 e a n+ = 4 a n se n.

25 Cálculo para Informática 5 (a) Prove, por indução que a n = 3 ( 4) n, para todo n. (b) Calcule lim n a n. E 7-5 Seja ( n ) uma sucessão definida recursivamente por 0 = /9 e n = 3 n se n. (a) Encontre uma epressão eplícita para n. (b) Calcule lim n n. E 7-6 Considere a sucessão (a n ) cujos primeiros quatro termos vêm indicados na tabela seguinte. n = 0 3 a n = 5 Seja ( n ) uma outra sucessão satisfazendo a seguinte equação recursiva Sabendo que 4 = 6, determine 0. n+ = n + a n. E 7-7 Considere a sucessão (a n ) cujos primeiros cinco termos vêm indicados no seguinte gráfico de barras verticais

26 Cálculo para Informática 6 Seja ( n ) uma outra sucessão satisfazendo a seguinte equação recursiva Sabendo que 5 = 3, determine 0. n+ = n + a n. E 7-8 Chama-se proporção de um rectângulo à razão entre os comprimentos dos seus lados maior e menor. A razão de um rectângulo é sempre um número maior ou igual a um. Chama-se razão de oiro à proporção de um rectângulo que possa ser decomposto num quadrado e noutro rectângulo eactamente com a mesma proporção. (a) Mostre que a razão de oiro λ é solução da equação = +. (b) Veja que as raízes desta equação são λ = + 5 = e λ = (c) Mostre que quaisquer que sejam os números a, b R, a sucessão ( + ) n ( 5 ) n 5 n = a + b, satisfaz a equação recursiva n = n + n, para todo o n. = (d) Determine os coeficientes a e b de modo que a sucessão da alínea anterior satisfaça as condições iniciais 0 = =. Como relaciona a sucessão obitda com a sucessão de Fibonacci?

27 Cálculo para Informática 7 (e) Mostre que a sucessão de Fibonacci, f n = f n + f n, f 0 = f =, satisfaz lim n f n = + f n 5. E 7-9 Considere o número de oiro λ = + 5 =.68034, e a sucessão (r n ) definida recursivamente por r =, e Mostre que: r n = + r n, para n >. (a) Sendo f n a sucessão de Fibonacci, r n = (b) Para todo o n, r n. (c) Para todo o n, fn f n, para todo o n. r n λ λ r n λ. Sugestão: r n λ = + r n λ r n λ. (d) Para todo o n, (e) lim n r n = λ. r n λ λ n+. E 7-0 Uma pequena ilha está ligada ao continente através de uma ponte rodoviária. A tabela seguinte mostra os fluos ϕ n de entrada de automóveis na ilha em cada hora, entre as 8h e as 6h. n-ésima hora fluo ϕ n Para cada hora n entre as 9h e as 6h, o fluo ϕ n representa o número de veículos que entram, menos os que saiem, entre as n e n horas.

28 Cálculo para Informática 8 Relacione os fluos ϕ n com o número de veículos, V n, presentes na ilha à hora n. Sabendo que V = 5 automóveis, determine o número de carros que se encontravam na ilha: (a) às 8 horas. (b) às 6 horas. E 7- Um tanque com a capacidade de 5000 m 3 continha m 3 de água no instante em que começa a encher. A água é debitada no tanque a um caudal que vai diminuindo hora a hora, até que o reservatório fique completamente cheio. Sabemos que durante a n ésima hora, contada a partir do instante em que o tanque começa a encher, a água é debitada a um caudal constante de 00 n metros cúbicos por hora. Determine então: (a) uma equação recursiva para o volume de água, V n, no tanque ao fim de n horas. (b) uma epressão algébrica para a quantidade de água V n V 0, que é debitada no reservatório durante as n primeiras horas. (c) se as primeiras 00 horas chegam, ou não, para encher o tanque, e, em caso afirmativo, ao fim de quantas horas fica cheio o reservatório. E 7- Considere uma sucessão ( n ) satisfazendo a equação recursiva n+ n + n = a n, para n >, onde n descreve a posição de um móvel sobre um eio, medida em metros ao fim de n segundos, e a n a aceleração, em metros por segundo quadrado, no instante n. Imagine-se a controlar o movimento através da aceleração 3 a n cujo valor pode escolher em cada instante sem eceder o limite de 5 metros por segundo quadrado, i.e. a n 5 m/s, para todo o n =,, 3,. Supondo que v 0 = 30 m/s ( = 08 Km/h), veja se é possivel (a) parar o móvel em 4 segundos. Qual o tempo mínimo para conseguir parar o móvel? 3 A aceleração a n no instante n corresponde à variação v n+ v n entre a velocidade no segundo imediatamente anterior a n, v n = n n (m/s), e a velocidade no segundo posterior, v n+ = n+ n (m/s).

29 Cálculo para Informática 9 (b) parar o móvel em menos de 30 metros. Qual a distância mínima para conseguir parar o móvel? Supondo v 0 = 0 (m/s), qual (a) a distância máima que consegue percorrer em 4 segundos? (b) o tempo mínimo para percorrer os primeiros 50 metros? E 7-3 Neste problema usaremos números naturais para medir, a intervalos de duas décadas, um período de 00 anos que começa em 80. A variavel n representará o número de habitantes de um país no ano 80+0 n. A tabela seguinte mostra as taas de crescimento populacional 4, que suporemos constantes em cada um dos dez períodos de 0 anos. A taa τ n reporta-se ao intervalo de tempo entre os anos (n ) e n. n τ n (a) Encontre uma equação que defina recursivamente a sucessão ( n ) em função das taas τ n, e utilize-a para obter uma epressão algébrica para n em função de 0 e das taas τ n. (b) Se as taas τ n fossem constantes a sucessão n seria uma progressão geométrica. Justifique a afirmação e diga qual a razão da progressão. (c) Usando a tabela acima determine o número de habitantes no ano 00, sabendo que o país tinha habitantes no ano de 80. E 7-4 Considere as sucessões {a n } definidas recursivamente por (a) a = a n+ = + a n (n ) (b) a = 0 a n+ = 3a n + a n + 3 (n ) (c) a = a n+ = 3 + a n (n ) Mostre que cada uma das sucessões {a n } converge e determine o seu limite. 4 Define-se a taa de crescimento populacional como o número de novos habitantes na população por ano e por habitante.

30 Cálculo para Informática 30 8 Derivadas e Diferenciabilidade. E 8- Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o limite quando h tende para 0. a) f() = c b) f() = 4 + c) f() = 3 + d) f() = /( + 3) e) f() = 3 4 f) f() = / E 8- Em cada uma das alíneas o limite dado representa a derivada de uma função f num certo ponto c. Determine f e c em cada caso. ( + h) a) lim h 0 h 4 + h c) lim h 0 h ( + h) b) lim h 0 h cos(π + h) + d) lim h 0 h E 8-3 Encontre equações para as rectas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) sendo a) f() = 5 e a = 4 b) f() = / e a = E 8-4 Determine os coeficientes A, B e C de modo que a curva = A + B + C passe pelo ponto (, 3) e seja tangente à recta 4 + = 8 no ponto (, 0). E 8-5 Determine condições em a, b, c e d que garantam que o gráfico de p() = a 3 + b + c + d, a 0 tenha

31 Cálculo para Informática 3 (a) eactamente duas tangentes horizontais. (b) eactamente uma tangente horizontal. (c) nenhuma tangente horizontal. E 8-6 Determine os pontos onde a tangente à curva: a) = +, é horizontal. b) = cos + 3 cos3, é horizontal. c) = (sin cos ), é perpendicular à recta =. d) = arcsin 3, é paralela à recta = E 8-7 Encontre um polinómio quadrático P () tal que P () = 3, P () = e P () = 4. E 8-8 Seja f : R R uma função diferenciável em R {0, }. Estude a continuidade e diferenciabilidade de f nos pontos a = 0 e a =, conhecida a seguinte tabela de limites laterais: f(a) f(a + ) f(a ) f (a + ) f (a ) a = 0 a = onde f(a ± ) = lim a ± f() e f (a ± ) = lim a ± f (). E 8-9 Considere uma função com o seguinte gráfico

32 Cálculo para Informática 3 (a) Em que pontos f não é contínua? Em cada caso veja se é uma descontinuidade removível, uma descontinuidade por salto, ou nenhum dos casos anteriores. (b) Em que pontos f é contínua mas não diferenciável? E 8-0 Para cada uma das funções seguintes { 3 se a) f() = 3 e c = { + se > + se b) f() = ( + ) se > e c = { c) f() = se e c = se > ) Discuta a continuidade de f no ponto c. ) Determine e 3) Diga se f é diferenciável no ponto c. f (c) = lim h 0 f(c + h) f(c) h f + (c) = lim h 0 + f(c + h) f(c) h E 8- Sabendo que f é uma função diferenciável, seja g a função definida por { f() se c g() = f (c)( c) + f(c) se > c (a) Mostre que g é diferenciável em c. Qual é o valor de g (c)? (b) Supondo que o gráfico de f é f c

33 Cálculo para Informática 33 esboce o gráfico de g. e E 8- Sejam f() = g() = { sin(/) se 0 0 se = 0 { sin(/) se 0 0 se = 0 Os gráficos de f e g são representados nas figuras seguintes: = f =- = g =- (a) Mostre que f e g são ambas contínuas em 0. (b) Mostre que f não é diferenciavel em 0. (c) Mostre que g é diferenciavel em 0 e indique g (0).

34 Cálculo para Informática 34 E 8-3 Seja g :R R definida por { 3 se 0 g() = 0 se > 0 (a) Mostre que g (0) e g (0) eistem ambos e determine os seus valores. (b) Determine g () e g () para todo o. (c) Mostre que g (0) não eiste. (d) Esboce o gráfico de g. E 8-4 Sendo a) = ( + )( + ) b) = + c) = 3 d) = Calcule d. d. d d 3. ( d d ) d d E 8-5 A figura seguinte representa o gráfico de uma função f() e da recta tangente a esse gráfico no ponto (, ) = (, ). 6 4 f 4 6 Sendo g() = f( ), qual o valor da derivada g ()? E 8-6 A figura seguinte representa o gráfico de uma função f() e da recta tangente a esse gráfico no ponto (, ) = (, ).

35 Cálculo para Informática 35 4 f 4 6 Sendo g() = f() [f()], qual o valor da derivada g ()? E 8-7 Sabendo que h(0) = 3 e h (0) =, determine f (0) em cada alínea a) f() = h() b) f() = h() + h() E 8-8 Mostre que cada uma das funções seguintes é injectiva na região indicada e determine a derivada d d, onde = f (), epressa em função de. a) = f() = + ]0, + [ b) = f() = R c) = f() = cos(3 ) ]0, π/3[ E 8-9 Seja f : [0, 4] [0, 4] a função diferenciável em baio à esquerda. 4 3 f 3 4 (a) Desenhe o gráfico da sua inversa g = f.

36 Cálculo para Informática 36 (b) Determine a derivada de g = f no ponto =. E 8-0 Encontre os valores de c, caso eistam, para os quais a tangente ao gráfico de f() = /( + ) no ponto (c, f(c)) seja paralela à recta que passa pelos pontos (, f()) e (3, f(3)). E 8- Considere a função e determine, justificando: f() = ( 4) (a) um intervalo onde a função satisfaça as condições do teorema de Rolle. (b) o(s) ponto(s) do referido intervalo que verificam a tese do Teorema de Rolle. E 8- Prove que f satisfaz as condições do teorema de Rolle e indique no intervalo dado os números c tais que f (c) = 0. (a) f() = 3 ; [0, ]. (b) f() = 4 8; [, ]. (c) f() = sin ; [0, π]. E 8-3 (a) Aplicando o Teorema de Rolle demonstre que a equação b = 0 não pode ter mais do que uma solução no intervalo [, ] qualquer que seja o valor de b. (b) Indique para que valores de b, eiste eactamente uma solução da equação em [, ].

37 Cálculo para Informática 37 E 8-4 Prove que = sin + cos tem apenas duas soluções reais. E 8-5 (a) Prove que a equação = não tem zeros em ], 0[. (b) Prove que a equação = tem um único zero em ], 0[. E 8-6 Seja f() uma função diferenciável em R tal que, f() = f(4) =. Considere a função g() = f() para todo R. (a) Prove que a equação g () = 0 tem pelo menos uma raiz positiva. (b) Prove que eiste ]0, [ tal que g () =. E 8-7 Prove que f satisfaz as condições do teorema do valor médio e indique no intervalo dado os números c que satisfazem a conclusão do teorema. (a) f() = ; [, ]. (b) f() = 3 4; [, 4]. (c) f() = 3 ; [0, 8]. E 8-8 Prove que na parábola = A + B + C, com A 0 e A, B, C R, a corda que une os pontos de abcissas = a e = b é paralela à tangente no ponto de abcissa = a+b, quaisquer que sejam a, b R. E 8-9 Aplicando o Teorema do valor médio prove que: (a) sin sin para todo o, R. (b) arctan arctan para todo o, R. (c) a < log a < a a, 0 < a <.

38 Cálculo para Informática 38 (d) tan >, 0 < < π. E 8-30 Considere a função f() tal que f () k, para todo o R. Prove que, f() f() k para todo o, R. E 8-3 Verifique as desigualdades, estudando o sinal da derivada de uma função adequada: a) e > + +, > 0. b) 3 < arctan, > 0. 3 c) π < sin <, 0 < < π. d) 3 < sin <, > 0. 6 E 8-3 Eiste alguma função diferenciável f que satisfaça as seguintes condições, f(0) =, f() = 5 e f () no intervalo ]0, [? Justifique. E 8-33 Eiste alguma função diferenciável f tal que: f() = = 0,, 3 Justifique. E 8-34 e f () = 0 =, 3/4, 3/? Seja f : [0, 6] R uma função duas vezes diferenciavel tal que (a) f(0) = 0 e f (0) =. (b) f(6) = 0. (c) f () < 0, para todo [0, 6], Justifique porque é válida cada uma das afirmações seguintes:

39 Cálculo para Informática 39 a) f () = 0, tem uma única raíz em [0, 6], que corresponde a um máimo da função f. b) f() <, para todo 0 < 6. E 8-35 Seja f : R R uma função duas vezes diferenciavel tal que (a) f () > 0, para todo R, (b) f(0) = f (0) = 0 e f() =. Justifique porque é válida cada uma das afirmações seguintes: a) f () > 0, para todo > 0 b) f () < 0, para todo < 0 c) A equação f() = tem uma única raíz no intervalo [0, ] d) f() > 0, para todo 0 e) f () > f) lim ± f() = + 9 Aplicações do Cálculo Diferencial. E 9- Encontre a taa de variação da área de um quadrado em função do comprimento d da sua diagonal. Qual a taa quando d = 4? E 9- As dimensões de um rectângulo variam de modo a sua área permanecer constante. Encontre a taa de variação da sua altura h em função da sua largura l. E 9-3 A área de um sector circular de raio r e ângulo t, medido em radianos, é dada pela fórmula A = r t.

40 Cálculo para Informática 40 r t (a) Supondo que o raio r permanece constante encontre a taa de variação de A em função de t. (b) Supondo que o ângulo t não varia encontre a taa de variação de A em função de r. (c) Supondo que a área A permanece constante encontre a taa de variação de t em função de r. E 9-4 Um objecto move-se ao longo de um eio de coordenadas sendo a sua posição no instante t 0 dada por (t). Em cada uma das alíneas seguintes encontre a posição, velocidade e aceleração no instante t 0. a) (t) = t t, t 0 = 5 b) (t) = t 3 6 t, t 0 = c) (t) = t t + 3, t 0 = 3 d) (t) = (t 3 t)(t + 3 t), t 0 = E 9-5 Objectos A, B e C movem-se na vertical ao longo do eio dos. As suas posições desde o instante t = 0 até t = t 3 estão representadas nos gráficos da figura seguinte:

41 Cálculo para Informática 4 C A t t t 3 t B Em cada alínea encontre o objecto que: (a) inicia o movimento mais acima. (b) termina o movimento mais acima. (c) tem maior velocidade, em valor absoluto, no instante t. (d) mantem o sentido do movimento durante o intervalo de tempo [t, t 3 ]. (e) inicia o movimento subindo. (f) termina o movimento a descer. (g) inverte o sentido do movimento no instante t. (h) acelera durante o intervalo de tempo [0, t ]. (i) desacelera (trava) durante o intervalo de tempo [t, t ]. (j) inverte o sentido do movimento no intervalo de tempo [t, t 3 ]. E 9-6 Um objecto move-se ao longo de um eio vertical, eio dos, sendo a sua posição no instante t 0 dada por (t). Em cada alínea determine o(s) intervalo(s) de tempo, se eistirem, durante os quais o objecto satisfaz a condição dada. a) (t) = t 4 t t, move-se para cima. b) (t) = t 3 t + t, move-se para baio. c) (t) = 5 t 4 t 5, acelera. d) (t) = 6 t t 4, trava. e) (t) = t 3 6 t + 5 t, move-se para baio travando.

42 Cálculo para Informática 4 f) (t) = t 3 6 t + 5 t, move-se para cima travando. g) (t) = t 4 8 t t, move-se para cima acelerando. h) (t) = t 4 8 t t, move-se para baio acelerando. E 9-7 Uma função = f(t) descreve o movimento de um objecto sobre o eio dos, no intervalo de tempo t [0, + [. O gráfico da sua derivada, f (t), vem representado na figura em baio. - f Classifique o sentido, e o caracter acelerado/desacelerado, do movimento em cada um dos intervalos de tempo [0, ], [, 4], [4, 6] e [6, 8]. E 9-8 Escreva a fórmula de Talor, para as seguintes funções: a) f() = log, potências de ( ), resto de ordem 3. b) g() =, potências de, resto de ordem. c) h() = cos, potências de ( ) π 4, resto de ordem. d) j() = e, potências de, resto de ordem 3. E 9-9 Considere as funções f() = arctg e g() = ln( + ). (a) Escreva as suas fórmulas de Talor com potências de e resto de ordem 3. (b) Usando a alínea anterior calcule: lim 0 + arctg ln( + )

43 Cálculo para Informática 43 E 9-0 Utilize o desenvolvimento de Talor para determinar: (a) e + e lim 0 (b) lim π 4 cos sin E 9- Considere a seguinte função f(), que supomos ser duas vezes diferenciável no intervalo [ 4, 4] f -4 (a) Ache os desenvolvimentos de Talor de f() nos pontos = e =. (b) Calcule os limites lim f() + e f() lim E 9- Considere a função f() = ae + be com a, b R\{0}. (a) Mostre que: se f() tem um etremo local então ab > 0. (b) Supondo ab > 0, indique justificando em que condições esse etremo é máimo ou mínimo. Em cada um dos casos estude o sentido da concavidade do gráfico de f(). E 9-3 Encontre o maior valor possível do produto com > 0, > 0 e + = 40. E 9-4 Encontre as dimensões de um rectângulo com perímetro 4 e, área máima. E 9-5 Determine as coordenadas de P que tornam máima a área do rectângulo da figura abaio.

44 Cálculo para Informática 44 3 P 4 E 9-6 Num rectângulo de cartão com dimensões 8 5 recorte quatro quadrados iguais, um em cada canto, ( veja a figura em baio). A peça em forma de cruz assim obtida, é dobrada numa caia aberta. Quais são as dimensões dos quadrados a recortar se queremos que o volume da caia resultante seja máimo? 8 5 E 9-7 A figura mostra um cilindro circular inscrito numa esfera de raio R. Determine as dimensões do cilindro de modo a que o seu volume seja máimo. E 9-8 Calcule os seguintes limites. a b a) lim 0 ( log ), a, b > 0 b) lim 0 + log( ) c) lim d) lim + sin e) lim f) lim 0 log g) lim e ( i) lim ) log 0 + e 0 log( + ) h) lim + ( ) 3 ( + ) j) + lim + e log

45 Cálculo para Informática 45 E 9-9 Sejam f, g :R R dadas por: (a) Mostre que f() = e (cos sin ) e g() = e (sin cos ). lim f() = lim g() = f() (b) Mostre que não eiste lim + g(). Sugestão: Considere as sucessões n = nπ e n = α+nπ, onde tan α = /. (c) Mostre que eiste f () lim + g (). (d) Isto contradiz a Regra de Cauch dos limites? E 9-0 Qual o erro efectuado no cálculo do seguinte limite, usando a Regra de Cauch, 3 + lim 3 + = lim = lim 6 = 3 ( O limite inicial é 4). E 9- Determine f (0) sendo: f() = { g() se 0 0 se = 0 onde g : R R é uma função duas vezes diferenciavel, com segunda derivada, g, contínua, satisfazendo g(0) = g (0) = 0 e g (0) = 7. E 9- O gráfico da função f é dado pela seguinte figura: f -

46 Cálculo para Informática 46 (a) Determine: lim f(), lim f(), lim f(), lim + + f() e lim f(). (b) Escreva as equações das assíntotas verticais, ao gráfico de f, se as houver. (c) Escreva as equações das assíntotas horizontais, ao gráfico de f, se as houver. E 9-3 Seja f() uma função diferenciável em R \ {} tal que f() < para todo. Sabendo que =, = e = + são assíntotas ao gráfico de f(), quanto valem os seguintes limites? (a) (d) lim f() (b) lim f() (c) lim + lim f () + (e) lim f() f () E 9-4 Represente graficamente as funções: (a) f() = ( ) ( + ) (b) f() = sin cos (c) f() = + (d) f() = e (e) f() = log (f) f() = e sin (g) f() = 0 + sin E 9-5 Estude as seguintes funções, determinando o domínio, as assíntotas, máimos, mínimos, sentidos das concavidades e pontos de infleão. Represente graficamente as funções.

47 Cálculo para Informática 47 a) f() = 3 + b) f() = c) f() = e d) f() = log e) f() = sin + cos f) f() = g) f() = ( ) 3 h) f() = + i) f() = { e se 0 0 se = 0 ( ) k) arcsin + j) f() = log E 9-6 Represente o gráfico da função f contínua que satisfaz as seguintes condições. Indique quando eistem assíntotas ao gráfico. (a) f(3) = 0, f(0) = 4, f( ) = 0, f( ) = 3; lim lim + f() = +, lim f() =, lim f() =, + f() = 0, f () < 0 se <, f () > 0 se > e, f () < 0 se > ou se < 4, f () > 0 se 4 < <. (b) f(0) = 0, f(3) = f( 3) = 0; lim f() =, lim f() =, lim lim + f() =, f() =.

48 Cálculo para Informática 48 f () < 0 para todo o ±. E 9-7 Considere uma função duas vezes diferenciável f() satisfazendo as seguintes condições: (a) f( 3) =, f(0) =, e f(3) = 0, (b) lim f() = 0 e lim f() =, + (c) f () > 0 se < 3 e f () < 0 se > 3 (d) f () < 0 se < 0 e f () > 0 se > 0 () Desenhe o gráfico de f(). () Considere o movimento de um móvel descrito pela função f(). Em cada intervalo de tempo ], 3], [ 3, 0], [0, 3] e [3, + [, classifique esse movimento como sendo acelerado ou desacelerado. E 9-8 Considere a seguinte função: f - 0 Complete a tabela com a variação dos sinais da primeira e segunda derivada da função f(). Os dez campos devem ser preenchidos com os seguintes sinais:,, 0, + e +. Cada entrada representa o sinal, ou limite, da função f() no ponto, ou intervalo, respectivo f () + f () ± 0

49 Cálculo para Informática 49 E 9-9 Seja f() uma função diferenciável no intervalo [0, 8], decrescente no intervalo [, 6] e crescente nos intervalos [, ] e [6, 8]. A concavidade da função está virada para baio no intervalo [0, 4], virada para cima em [4, 8]. Faça o esboço do gráfico da sua derivada, f (), no intervalo [0, 8]. E 9-30 Aplique o método de Newton para encontrar a terceira aproimação,, da raíz de cada uma das equações em baio, partindo da aproimação inicial 0. (a) = 0, 0 = (b) 3 = 0, 0 = (c) 4 0, 0 = (d) 7 00 = 0, 0 = E 9-3 Para cada aproimação inicial, determine gráficamente o que acontece se o método de Newton fôr aplicado à função a seguir desenhada. (a) 0 = (b) 0 = 0 (c) 0 = (d) 0 = 3 (e) 0 =

50 Cálculo para Informática 50 0 Integrais e Primitivas. E 0- Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f() = sin, F (π) = 3. b) f() = 3 + +, F (0) = 3. c) f() = , F ( ) = 3. d) f() =, F () = 3. E 0- Primitive as funções seguintes, indicando um intervalo onde essa primitivação seja válida: a) b) 3 sin + 3 c) ( + ) d) + 3 e) 3 + f) e g) e sin e h) sin ( + cos ) i) k) sin + sin j) e arctg l) + m) 3 log n) 4 o) 4 p) + 3

51 Cálculo para Informática 5 q) tg r) s) e e t) log 3 + e u) 3 + v) sin 3 + cos 4 w) tg ) ) log e z) a e E 0-3 Utilize o método de primitivação por partes, ou outro, para primitivar as seguintes funções, indicando os respectivos intervalos de primitivação: a) cos b) cos c) e d) e sin e) e f) log g) arctg h) log i) log( + 3) j) arctg k) arcsin E 0-4 Primitive as seguintes funções, indicando um intervalo onde esta primitivação seja válida; a) + ( ) 3 b) 5 c) ( + )( + ) d) e) 4 f) 3 ( + ) E 0-5 Use o método de mudança de variável, ou outro, para primitivar as funções seguintes, em intervalos a determinar: a) + b) 3 c) sin d) 5 6 e) f) e

52 Cálculo para Informática 5 g) sin cos + cos h) + i) j) k) + l) + 3 m) 4 n) sin ( ) o) e + e 3 e p) q) sin + cos Sugestões para as substituições a efectuar: a) u = + b) u = 3 c) u = d) imediata e) u = 5+ 5 f) u = e g) u = cos h) = tan u, (sinh u) i) imediata j) = sec u, (cosh u) k) u = + l) u = 6 m) = sin u n) imediata o) u = e p) = sin u q) u = tan(/) E 0-6 Determine as epressões u() e v() de modo a tornar correcta a seguinte fórmula de primitivação por partes u() f () d = v() f() f() d. E 0-7 Determine a função u() de modo a tornar correcta a seguinte aplicação da regra de integração por substituição:

53 Cálculo para Informática 53 3 f() d = f(u()) du. E 0-8 Considere a função f() = sin. (a) Calcule os integrais 0 π/ f() d, π/ e interprete o resultado em termos de áreas. 0 f() d, π π/ f() d, e π π/ f() d (b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f e o eio dos, para [ π/, π]. E 0-9 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções diferenciaveis f(), f() e f() que têm zeros nos pontos a, b e c. a b c - - Determine valores de α e β de modo que área total sombreada = α b a f() d + β c b f() d. E 0-0 Determine o valor de cada um dos três integrais da função em baio.

54 Cálculo para Informática 54 (a) 3 f() d (b) 0 f() d (c) 3 f() d E 0- Calcule a derivada das seguintes funções, definidas em R ou em ]0, + [; a) F () = c) F () = e) F () = 0 dt b) F () = t sin t dt d) F () = / cos (t ) dt e t dt log t dt e E 0- Sejam g() = se f() = se < < 3 5 se 3 5 (a) Determine a epressão que define g(). (b) Esboce os gráficos de f e g. (c) Diga onde é: () f contínua. () f diferenciável. (3) g diferenciável. f(t) dt para todo [, 5]. E 0-3 Seja f : R R uma função derivável tal que f(0) = 0 e R, f () > 0. Representando por g a função inversa de f, defina-se: F () = 0 f(t) dt + f() 0 g(t) dt f().

55 Cálculo para Informática 55 (a) Calcule a derivada de F. (b) Qual o valor de F ()? Interprete este resultado geometricamente. E 0-4 Seja f : [a, b] R uma função integrável tal que f(a + b ) = f(), R. (a) Qual o significado geometrico da relação acima? (b) Veja qua a função g() = f() a + b f() satisfaz g(a + b ) = g(), R. (c) Qual o significado geometrico desta nova relação? (d) Prove que b a f() d = a + b b a f() d. E 0-5 Sejam F () e G() respectivamente primitivas das funções f() e g() no intervalo [0, 3]. Os gráficos de f() e g() vêm representados nas figuras seguintes. g f Determine as variações F (3) F (0) e G(3) G(0). E 0-6 Seja f() uma função diferenciavel no intervalo [0, 3] cuja derivada tem o seguinte gráfico

56 Cálculo para Informática f 3 4 Desenhe o gráfico da função f(). E 0-7 Seja F () = h(t) dt, onde h : [0, 3] R é a função na figura em 0 baio. 3 Calcule: 3 (a) F (3) F () 3 (b) F () F () lim E 0-8 Seja f : [0, π] R uma função diferenciavel. Calcule f(π), sabendo que f(0) = e que π 0 ( f () cos f() sin ) d = 4. E 0-9 [0, 3]. Seja f : [0, 3] R a seguinte função diferenciavel, definida no intervalo

57 Cálculo para Informática Na figura estão assinaladas três regiões limitadas entre o gráfico de f e o eio dos, que correspondem a abcissas nos intervalos [0, ], [, ] e [, 3] respectivamente. A área de cada uma destas regiões vem inscrita no seu interior. Considere a função F :[0, 3] R definida por F () = f(t) dt. (a) Determine os valores de F () nos pontos = 0, e. (b) Estude a monotonia e concavidades do gráfico de F (). (c) Desenhe o gráfico de F (). Aplicações do Cálculo Integral. E - Um ponto percorre o eio dos com aceleração a(t) = 8t (m/s ) em cada instante t. Sabendo que ocupava a posição = 0 (m) no instante t = 0 (s) e tinha velocidade 0 (m/s) nesse instante, calcule: (a) A sua velocidade no instante t = (s). (b) A sua posição no instante t = 3 (s).

58 Cálculo para Informática 58 (c) A velocidade máima, em valor absoluto, durante todo o movimento e o instante em que essa velocidade foi atingida. (d) Ecluindo o instante inicial t = 0 (s), o ponto esteve parado em algum instante? E - Um objecto move-se ao longo de um eio de coordenadas. O seu movimento é descrito por uma função = (t) no intervalo de tempo [0, T ]. Sabendo que a posição no instante inicial é (0) = 0 e que a lei das velocidades deste movimento é descrita pelo seguinte gráfico: v 0 v h h 3h 4h 5h 6h=T t -v 0 determine: (a) os intervalos de tempo onde o objecto está respectivamente: parado, em movimento uniforme, em movimento acelerado e em movimento desacelerado; (b) os deslocamentos efectuados nestes intervalos de tempo; (c) as distâncias percorridas nos mesmos intervalos de tempo; (d) a posição no instante final t = T e o deslocamento total; (e) a lei do movimento (t). Esboce o seu gráfico.

59 Cálculo para Informática 59 E -3 Um móvel desloca-se segundo um eio de coordenadas com uma lei de velocidades descrita por v(t) = t 4 t em metros por segundo. Sabendo que a posição inicial do móvel no instante t = 0 é 0 = metros, qual a sua posição ao fim de 3 segundos? E -4 Determine a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eio dos quando: a) f() = + 3, [0, ]. b) f() = +, [3, 8]. c) f() = (3 + ), [0, 8]. d) f() = cos, [π/6, π/3]. e) f() = ( + ), [0, ]. E -5 Considere a região A limitada pelas curvas = f(), = 0 e =, onde f() é a função no gráfico em baio (a) Identifique a região A na figura acima. (b) Represente a área desta região através de um integral envolvendo f(). E -6 Em cada uma das alíneas seguintes esboce o gráfico da função f e determine a área da região limitada por ele e pelo eio dos,

60 Cálculo para Informática 60 (a) (b) f() = f() = { + se 0 3 se < 3 { 3 se 0 4 se < E -7 Em cada um dos seguintes casos, represente a região limitada pelas curvas dadas e determine a sua área. a) = + cos, =, para 0 π/ b) = e = c) = 6 e = d) = cos e = 4 π E -8 Considere a região da figura seguinte, limitada entre as duas rectas desenhadas e a parábola = α ( + ) ( ). - Determine α de modo que a área sombreada seja igual a 5. E -9 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções f() e f() + no intervalo [0, ].

61 Cálculo para Informática 6 Qual o valor da área da região sombreada? E -0 Qual das seguintes figuras representa o sólido de revolução cujo volume é calculado pelo integral 0 π d? (a) z (b) z (c) z (d) z Descreva regiões correspondentes às restantes figuras, e eprima os seus volumes através de integrais. Calcule esses quatro volumes. E - Seja A a região plana limitada pelas curvas = 3 e = 4. Considere o sólido gerado por rotação da região A em torno do eio dos. Represente o seu volume através de um integral, e calcule-o. E - Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eio dos.

62 Cálculo para Informática 6 a) =, = 0, = b) = 3, = 8, = 0 c) =, = E -3 Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eio dos. a) =, = 4, = 0 b) = 3, = 8, = 0 c) =, = E -4 Uma bóia cheia de ar, tem uma secção circular de 5 centímetros de raio e um buraco para o corpo, também circular, com 40 centímetros de diâmetro. Calcule o volume de ar contido na bóia, supondo desprezível a sua espessura E -5 Considere a elipse de equação a + = (a, b > 0). b (a) Represente, através de um integral, a área da elipse e calcule-a. (b) Represente, através de um integral, o volume do elipsoíde de revolução gerado pela rotação da elipse em torno de um dos seus eios e calcule-o. Deduza, do resultado obtido, a fórmula do volume da esfera. E -6 Encontre os comprimentos das seguintes curvas: a) = log 8, 3. b) = 3 6 +,. c) = e, 0.