9 Integrais e Primitivas.

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1 Eercícios de Cálculo p. Informática, Integrais e Primitivas. E 9- Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f() = sin, F (π) = 3. b) f() = 3 + +, F (0) = 3. c) f() = , F ( ) = 3. d) f() =, F () = 3. E 9- Primitive as funções seguintes, indicando um intervalo onde essa primitivação seja válida: a) d) b) 3 sin + 3 c) ( + ) + 3 e) 3 + f) e g) e sin e h) sin ( + cos ) i) sin + sin j) e arctg + k) + 4 l) + m) 3 log n) 4 o) 4 p) + 3 q) tan r) log 3 s) e e t) + 4 u) 3 + v) sin 3 cos 4 w) ) e

2 Eercícios de Cálculo p. Informática, ) log z) a e E 9-3 Utilize o método de primitivação por partes, ou outro, para primitivar as seguintes funções, indicando os respectivos intervalos de primitivação: a) cos b) cos c) e d) e sin e) e f) log g) arctg h) log i) log( + 3) j) arctg k) arcsin E 9-4 Primitive as funções indicadas a) cos( ) b) ( + 3) 3 c) arcsin d) sin e cos e) ( + ) f) + g) sec 3 h) i) 3 e j) + 6 k) 3 l) 4 + m) + 3 cos n) sin 3 t cos 3 t o) arctan p) sin + cos q) 5 r) sec 5 s) 3 7 ( + 3)( + ) t) /3 ( + /3 ) u) sin cos + v) sin 5 cos w) e 7 + e ) (tan + sec ) (sec + sec tan )

3 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 9-5 Primitive as seguintes funções, indicando um intervalo onde esta primitivação seja válida; a) + ( ) b) 5 c) ( + )( + ) d) e) 4 f) 3 + E 9-6 Use o método de mudança de variável, ou outro, para primitivar as funções seguintes, em intervalos a determinar: a) + b) 3 c) sin d) 5 6 e) f) e g) sin cos + cos h) + i) j) k) + l) + 3 m) 4 n) sin ( ) o) e + e 3 e p) q) sin + cos Sugestões para as substituições a efectuar: a) u = + b) u = 3 c) u = d) imediata e) u = 5+ 5 f) u = e

4 Eercícios de Cálculo p. Informática, g) u = cos h) = tan u, (sinh u) i) imediata j) = sec u, (cosh u) k) u = + l) u = 6 m) = sin u n) imediata o) u = e p) = sin u q) u = tan(/) E 9-7 Determine as epressões u() e v() de modo a tornar correcta a seguinte fórmula de primitivação por partes u() f () d = v() f() f() d. E 9-8 Para cada uma das seguintes funções f : I R determine as somas superiores e inferiores de Darbou relativas à decomposição P = {, 3,,, } do intervalo [, ]. (a) f() =. (b) f() = +. E 9-9 Estime por ecesso e por defeito das funções definidas no eercício anterior. f() d onde f() denota cada uma E 9-0 Seja f() = onde [0, b] e P = { 0,,, n } uma partição do intervalo [0, b] de R, em intervalos de comprimento igual. Prove que n n(n + ) k =. k= (a) Determine as somas superiores e inferiores de Darbou. (b) Use a sua resposta à alínea anterior para determinar b 0 f() d.

5 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 9- Seja f() = onde R. (a) Usando uma partição do intervalo [0, ] em seis intervalos de igual comprimento, estime por ecesso e por defeito, (b) Estabeleça a seguinte igualdade n k = k= 0 f() d. n(n + )(n + ) 6 (c) Usando a definição de integral de Riemann, calcule E 9- Considere a função f() = sin. 0 f() d. (a) Calcule os integrais 0 π/ f() d, π/ e interprete o resultado em termos de áreas. 0 f() d, π π/ f() d, e π π/ f() d (b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f e o eio dos, para [ π/, π]. E 9-3 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções diferenciaveis f(), f() e f() que têm zeros nos pontos a, b e c. a b c - - Determine valores de α e β de modo que área total sombreada = α b a f() d + β c b f() d. E 9-4 Determine o valor de cada um dos três integrais da função em baio.

6 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) 3 f() d (b) 0 f() d (c) 3 f() d E 9-5 Determine a função u() de modo a tornar correcta a seguinte aplicação da regra de integração por substituição: 3 f(t) dt = f(u()) du. e E 9-6 Calcule a derivada das seguintes funções, definidas em R ou em ]0, + [; a) F () = c) F () = e) F () = 0 dt b) F () = t sin t dt d) F () = / E 9-7 Sejam cos (t ) dt g() = e t dt log t dt se f() = se < < 3 5 se 3 5 (a) Determine a epressão que define g(). f(t) dt para todo [, 5].

7 Eercícios de Cálculo p. Informática, (b) Esboce os gráficos de f e g. (c) Diga onde é: () f contínua. () f diferenciável. (3) g diferenciável. E 9-8 Sejam F () e G() respectivamente primitivas das funções f() e g() no intervalo [0, 3]. Os gráficos de f() e g() vêm representados nas figuras seguintes. g f Determine as variações F (3) F (0) e G(3) G(0). E 9-9 Seja f() uma função diferenciavel no intervalo [0, 3] tal que f(0) = e cuja derivada tem o seguinte gráfico - - f 3 4 (a) Determine os valores de f() nos pontos = 0,,, 3 e 4. (b) Estude a monotonia e concavidades do gráfico de f().

8 Eercícios de Cálculo p. Informática, (c) Desenhe o gráfico de f(). E 9-0 Seja F () = h(t) dt, onde h : [0, 3] R é a função na figura em baio. 0 3 Calcule: 3 (a) F (3) F () 3 (b) F () F () lim E 9- Seja f :[0, π] R uma função diferenciavel. Calcule f(π), sabendo que f(0) = e que π 0 ( f () cos f() sin ) d = 4. E 9- Seja f : [0, 3] R a seguinte função diferenciavel, definida no intervalo [0, 3]

9 Eercícios de Cálculo p. Informática, Na figura estão assinaladas três regiões limitadas entre o gráfico de f e o eio dos, que correspondem a abcissas nos intervalos [0, ], [, ] e [, 3] respectivamente. A área de cada uma destas regiões vem inscrita no seu interior. Considere a função F :[0, 3] R definida por F () = f(t) dt. (a) Determine os valores de F () nos pontos = 0,, e 3. (b) Estude a monotonia e concavidades do gráfico de F (). (c) Desenhe o gráfico de F (). (d) Quais os declives das tangentes ao gráfico = F () nos pontos = 0,, e 3? 0 Aplicações do Cálculo Integral. E 0- Um ponto percorre o eio dos com aceleração a(t) = 8t (m/s ) em cada instante t. Sabendo que ocupava a posição = 0 (m) no instante t = 0 (s) e tinha velocidade 0 (m/s) nesse instante, calcule: (a) A sua velocidade no instante t = (s). (b) A sua posição no instante t = 3 (s). (c) A velocidade máima, em valor absoluto, no intervalo de tempo [0, 3], e o instante em que essa velocidade foi atingida. (d) Ecluindo o instante inicial t = 0 (s), o ponto esteve parado em algum instante? E 0- Um objecto move-se ao longo de um eio de coordenadas. O seu movimento é descrito por uma função = (t) no intervalo de tempo [0, T ]. Sabendo que a posição no instante inicial é (0) = 3 h e que a lei das velocidades deste movimento é descrita pelo seguinte gráfico:

10 Eercícios de Cálculo p. Informática, v 0 v h h 3h 4h 5h 6h=T t -v 0 determine: (a) os intervalos de tempo onde o objecto está respectivamente: parado, em movimento uniforme, em movimento acelerado e em movimento desacelerado; (b) os deslocamentos efectuados nestes intervalos de tempo; (c) as posições nos instantes t = 0, h,..., 6h; (d) o deslocamento total; (e) preencha uma tabela com a monotonia e concavidades do gráfico de (t) nos seis intervalos ]i h, i h + h[, com i = 0,,..., 5; (f) calcule os declives das tangentes ao gráfico de (t) nos instantes t = 0, h,..., 6h; (g) esboce o gráfico de (t). E 0-3 Um móvel desloca-se segundo um eio de coordenadas com uma lei de velocidades descrita por v(t) = t 4 t em metros por segundo. Sabendo que a posição inicial do móvel no instante t = 0 é 0 = metros, qual a sua posição ao fim de 3 segundos? E 0-4 Determine a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eio dos quando:

11 Eercícios de Cálculo p. Informática, a) f() = + 3, [0, ]. b) f() = +, [3, 8]. c) f() = (3 + ), [0, 8]. d) f() = cos, [π/6, π/3]. e) f() = ( + ), [0, ]. E 0-5 Considere a região A limitada pelas curvas = f(), = 0 e =, onde f() é a função no gráfico em baio (a) Identifique a região A na figura acima. (b) Represente a área desta região através de um integral envolvendo f(). E 0-6 Em cada uma das alíneas seguintes esboce o gráfico da função f e determine a área da região limitada por ele e pelo eio dos, (a) (b) f() = f() = { + se 0 3 se < 3 { 3 se 0 4 se <

12 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 0-7 Em cada um dos seguintes casos, represente a região limitada pelas curvas dadas e determine a sua área. a) = + cos, =, para 0 π/ b) = e = c) = 6 e = d) = cos e = 4 π E 0-8 Considere a região da figura seguinte, limitada entre as duas rectas desenhadas e a parábola = α ( + ) ( ). - Determine α de modo que a área sombreada seja igual a 5. E 0-9 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções f() e f() + no intervalo [0, ]. Qual o valor da área da região sombreada?

13 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 0-0 Qual das seguintes figuras representa o sólido de revolução cujo volume é calculado pelo integral 0 π d? (a) z (b) z (c) z (d) z Descreva regiões correspondentes às restantes figuras, e eprima os seus volumes através de integrais. Calcule esses quatro volumes. E 0- Seja A a região plana limitada pelas curvas = 3 e = 4. Considere o sólido gerado por rotação da região A em torno do eio dos. Represente o seu volume através de um integral, e calcule-o. E 0- Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eio dos. a) =, = 0, = b) = 3, = 8, = 0 c) =, = E 0-3 Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eio dos. a) =, = 4, = 0 b) = 3, = 8, = 0 c) =, =

14 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 0-4 Um TAC de um fígado humano mostra-nos fatias paralelas espaçadas umas das outras de cm. Se as áreas da secção do fígado em cada uma das fatias são de 7, 45, 39, 7,, 89, 63 e centímetros quadrados, indique um valor aproimado do volume do figado. E 0-5 Uma embalagem de plástico deve ter a forma de uma pirâmide truncada, onde as bases de cima e de baio são quadrados respectivamente com 0 e 6 cm de lado. Qual deve ser a altura da embalagem de modo a que o seu volume seja um litro? E 0-6 Calcule o volume do sólido de revolução obtido por rotação da região limitada pelo triangulo de vértices (, ), (, ) e (3, ), em torno do eio dos XX. E 0-7 Considere a elipse de equação a + = (a, b > 0). b (a) Represente, através de um integral, a área da elipse e calcule-a. (b) Represente, através de um integral, o volume do elipsoíde de revolução gerado pela rotação da elipse em torno de um dos seus eios e calcule-o. Deduza, do resultado obtido, a fórmula do volume da esfera. E 0-8 Encontre os comprimentos das seguintes curvas: a) = log 8, 3. b) = 3 6 +,. c) = e, 0. E 0-9 Determine as soluções dos seguintes problemas: a) d d = sin(3), (π) =. b) d d = e + e, (0) =.

15 Eercícios de Cálculo p. Informática, c) d) d d = ( + ), lim + () =. d d =, () = e () = 0. E 0-0 Seja f : R [0, + [ uma função diferenciável. Dados h 0, R, chama-se taa de variação relativa de f no intervalo [, + h] ao quociente f( + h) f() h f() = f(+h) f() h f(). Analogamente, chama-se taa de variação relativa instantânea de f em ao quociente Mostre que: f () f() = lim f( + h) f() h 0 + h f() (a) Toda a função eponencial f() = C e k tem taa relativa instantânea constante igual ao epoente k, e tem taa relativa no intervalo [, + h] que depende de h, mas não de C nem de. (b) Mostre que a taa relativa instantânea de f coincide com a seguinte derivada: f () f() = d ( log f() ). d (c) Se f() tem taa relativa instantânea variável f () f() f( + h) = f() e +h k(t) dt.. = k(), então (d) Se f() tem taa relativa instantânea constante igual a k, então f() é uma função eponencial com epoente k: f() = f(0) e k. Em particular, a taa relativa de f no intervalo [, + h] é f( + h) f() h f() = ek h h.

16 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 0- Mostre que a taa de variação relativa de uma função f num intervalo [, + h] é a média das taas de variação relativas de f nos pontos desse intervalo. E 0- Seja f : [0, 5] R uma função descrevendo a evolução ao longo de 5 anos de uma certa população, onde = f(t) representa o número de milhares de indivíduos ao fim de t anos. Suponha que no ínicio, t = 0, a polulação é =.5 (500 indivíduos). Considere a taa relativa instantânea de f ao longo do tempo dada no gráfico seguinte: (a) Calcule as taas relativas de crescimento da população em cada um dos 5 anos. (b) Estime a dimensão da população ao fim de cada um dos 5 anos. (c) Esboce o gráfico da função log f(t). E 0-3 Uma estrada com inicio num ponto A sobe uma montanha. A epressão da taa de variação instantânea da altitude da estrada em função da distância a A (o declive) em km, é dada pela epressão f() = 0.0 (5 + sin ) [0, 5]. (a) Qual é a diferença de altitude entre o ponto A e o ponto correspondente a uma distância de = 5 km. (b) Qual é o declive médio da estrada ao longo dos 5 km?

17 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 0-4 Um tanque com a capacidade de 5000 litros contem litros de água no instante em que começa a encher. A água é debitada no tanque a um caudal que diminui hora a hora. Sabemos que durante as primeiras 00 horas a água é debitada a 00 t litros por hora. (a) Determine o volume de água V (t) ao fim de t horas (0 t 00). (b) As primeiras 00 horas chegam para encher o tanque? Em caso afirmativo, ao fim de quantas horas enche? E 0-5 Uma mangeira despeja água para dentro de um tanque a um débito de 00 litros por hora. Seja Q(t) o volume de água no tanque ao fim de t horas. Inicialmente, em t = 0, o tanque contem Q(0) = 000 litros de água. No fundo do tanque uma torneira debita água para fora a um caudal de Q(t)/00 litros por hora. (a) Determine uma epressão para a taa de variação do volume de água no tanque v(t), epressa em função do volume Q(t). (b) Mostre que a função v(t) tem uma taa de variação relativa instantânea que é constante, igual a /00. (c) Encontre uma epressão para v(t), e, usando a alínea (a), outra para Q(t). (d) O que acontece ao volume Q(t) quando t +? E 0-6 Seja Q(t) a quantidade de Carbono-4 numa amostra de madeira muito antiga, onde t representa o tempo medido em anos decorridos desde a morte das suas células (a idade da amostra). É sabido que a função Q(t) tem uma taa de variação relativa instantânea que é constante e negativa (chamada a taa de decaimento radioactivo do Carbono-4). Sabe-se também que a semi-vida do Carbono-4 (o tempo necessário para a quantidade de Carbono-4 numa amostra ficar reduzida a metade) é de 5568 anos. Finalmente, mediu-se que a amostra de madeira antiga contém cerca de 8, 5% do Carbono-4 contido numa amostra com o mesmo peso de madeira nova. (a) Determine a taa de decaimento radioactivo do Carbono-4.

18 Eercícios de Cálculo p. Informática, (b) Determine a idade aproimada da amostra. Admite-se que a percentagem de Carbono-4 presente em amostras de madeira nova (células vivas) tem permanecido constante ao longo dos últimos milhões de anos. Em células vivas o decaimento radioactivo é compensado pelas trocas de matéria com o meio ambiente. Só depois da morte das células é que se torna irreversível o processo de degradação do Carbono-4. (c) A idade estimada é consistente com a pretensão de ser a amostra um pedaço do Santo-Graal? E 0-7 A variável t mede o tempo em minutos contado a partir de um instante inicial t = 0 em que um corpo aquecido a uma temperatura de 50 graus Celsius é deiado ao ar livre para arrefecer. Sabendo que ao fim de t minutos a taa de variação da temperatura do corpo é de 3 e t 30 graus Celsius por minuto, determine: (a) A temperatura do corpo ao fim de uma hora. (b) A temperatura limite do corpo quando t +. E 0-8 A lei de arrefecimento de Newton diz que: a taa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre temperatura média ambiente e a temperatura do corpo. Cada corpo tem a sua constante de proporcionalidade k > 0 específica. Num meio ambiente mantido a uma temperatura constante, seja Q(t) = C(t) A uma variavel representando a diferença entre a temperatura de um certo corpo C(t), e a temperatura do ambiente A. (a) Mostre que, de acordo com a lei de Newton, a função Q(t) tem taa relativa de variação constante igual a k. (b) Sabendo que Q(0) = Q 0, deduza uma epressão eplicita para Q(t). (c) Um corpo é colocado num quarto aquecido a uma temperatura constante de 30 o F. Depois de 0 minutos, a temperatura do corpo é de 0 o F, e ao fim de 0 minutos a temperatura do corpo é de 5 o F. Qual a temperatura inicial do corpo? (d) Uma barra de metal a uma temperatura inicial de 0 o C é colocada num recipiente com água a ferver (00 o C). A água continua a ferver e 0 segundos mais tarde a temperatura da barra é de 30 o C. Qual a temperatura da barra no final do primeiro minuto. Quanto tempo demorará até a barra atingir os 98 o C?

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