1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT /02/2011 Professores: Rosane (Coordenadora), Allan e Cristiane. = 2x. , determine os valores de x tais que:

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA VIÇOSA - MG BRASIL. Resolva as equações: a) b) 5 3 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 4 8/0/0 Professores: Rosane (Coordenadora), Allan e Cristiane. Ache todos os números reais que satisfazem as desigualdades: a) 5 < f) 3 6 b) g) 0 < < c) d) h) 4 < 8 4 e) 3 < Dadas as funções 5 f ( ), f ( ), f ( ) 5 3 e f ( ) 3 a) f ( ) f ( ) < f3( ) c) d) i) 3 j) + 3 f 3( ), 4 ( ) f,, determine os valores de tais que: < b) f ( ) < 3 c) f ) > f ( ) 4 5( 6 4. Dadas as funções f ( ) 4 e g( ) 3. Determine: a) Domínio de f e) ( f + g)( ) b) Domínio de g f) ( f g)( ) c) Domínio de f + g, f g e f g g) ( f g)( ) d) Domínio de 5. Seja f a função definida por f g h) f ( ) g 5 f ( ). Determine constantes A e B tais que 4 A B f ( ) Seja a função quadrática definida por ( ) m + + admita um valor máimo em. f, m 0. Determine m para que a função 7. Uma das dimensões de um piso retangular é 4 m e sua área é menor que 3 m, sendo a outra dimensão do piso. a) Determine uma inequação que deve satisfazer. b) Resolva a inequação obtida. 8. À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60 kg, a uma altitude de km acima do mar, é dado por 6400 W 60. A que altitude o peso do astronauta será inferior a kg?

2 9. Um fabricante de latas deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 0 cm de altura e 3000 cm 3 de capacidade. Determine o raio interior r. 0. Responda: a) O que é uma função? Dê um eemplo. b) O que é domínio e imagem de uma função? Dê um eemplo. c) O que é uma função racional? Dê um eemplo. d) Dê uma interpretação geométrica para o quociente:. Determine a epressão simplificada de f ( ) f ( a) a f + h) f ( ) ( 0 0, com h 0 para as seguintes funções: h b) a) f ( ) f ( ) + c) f ( ) 3. Esboce o gráfico das funções abaio, com cada transformação solicitada, sendo f ( ). a) f ( ) + b) f ( + ) c) f ( ) d) f ( ) e) ( ) 3. Determine a inversa de cada uma das funções: 5 a) f ( ) b) f ( ) 3, 0 c) 4. Mostre que f e g são inversas uma da outra sendo: 5. Dada a função ( ) f f) f ( ) 3 f ( ) f ( ) 3 +, para e g( ), para. 4 ( 3)( + 4) f, determine: ( + )( + 4 5) f 0 c) valores de tais que f ( ) 0. d) o sinal da função f a) domínio de f ; b) ( ) 6. Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções. a) r ( ) + + ( n ) c) w ( t) ( n 5) ( t + ) 3 b) f ( ) ( n 3) 3 7. Determine o domínio das seguintes funções: a) b) c) 5 7 f ( ) 4 5 f f 6 ( ) ( ) + 3 d) y ln( + ) e) y 5 5 log 5 ( 5 ) 4 4 f) f ( ) 3+ 4 g) y h) f ( ) i) j) f ( ) + 3 y log k) y + +

3 8. Com base no domínio e no sinal das funções abaio relacionadas, associe cada uma delas ao seu respectivo gráfico: (a) p ( ) 4 ( ) (b) g( ) ( 4) (c) ( ) h ( ) 4 k( ) 4 (d) ( ) (e) ( ) f ( ) 4 q( ) 4 (f) ( ) 3 (g) r( ) ( ) ( + )

4 9. Dadas as funções f e g calcule ( fog)( ) e o domínio de fog. f ( ) se < 0 se 0 0 se > 3, 0, 0 <, > f g 4 go f e g( ) 0. Sejam as funções f ( ) e g ( ) a) Calcule, caso eistam, ( o ) ( ) e ( ) ( 4) b) Encontre o domínio de ( f o g ) e ( go f ) c) Encontre as fórmulas para ( f o g )( ) e ( go f )( ) ; se < 0 0 ; se 0 ; se >. Considere as funções, se 0 f ( ) 3 se 0 < 3 se > 3 e g( ). (a) Faça um esboço do gráfico de f ; (b) Determine o domínio de go f ; (c) Encontre ( go f )().. Dadas as funções f e g. Determine o domínio de f g o e ( f o g)( ) a) f ( ) + e g ( ) 4 b) f ( ) e g ( ) Seja a função f dada por f ( ) + 5. Encontre a função g tal que ( f o g ) ( ) seu domínio., e dê o + 4. Se g( ) f o g ( ) , encontre uma função f tal que ( ) 5. Construir os gráficos das funções, dar o domínio e o conjunto imagem. a) + se 3 y se < + 3 se b) y + f ( ) + c) ( )( ) d) se y se 0 < se < 0 e) se f ( ) 7 se f) f ( ) + + 3

5 4 g) f ( ) h) f ( ) i) f ( ) 3 log j) y ln( + 3) ( + ) k) f ( ) l) g( ) + m) f ( ) log ( 4) 6. O símbolo [ ] denota o maior inteiro menor ou igual a. A função f ) [ ] ( é denominada função maior inteiro. Dê o domínio, o conjunto imagem e esboce o gráfico das funções abaio. a) f ( ) ( ) [[ ] ] b) f ( ) [ ] c) f ( ) [ + ] d) ( f o g)( ) sendo f ) [ ] ( e g( ) cos 7. Construa o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das funções abaio: a) y 3sen b) y cos() c) y 3 + arctg π d) y cos( - ) f) y arcsen g) y + tg 4 3 h) y cos + cos 8. Dadas as funções abaio, calcule: a) f() 3 + e g() b) f() π i) y + arccos, f - -?, g?, f (g ())?, (gof) ()? 3 e g(), com 0, calcule o domínio de (gof) () 9. Verifique se as funções abaio são pares ou são ímpares. a) f ( ) 4 + b) f(t) t + 3 t f + c) ( ) d) g() Considere as funções f ( ) e g ( ) + 4 (a) Escreva as funções f e g eliminando o símbolo de módulo, isto é, escreva f () e g () definida por partes; (b) Faça um esboço do gráfico de f e de g. 3. Dada f ( ) ln +, verifique a igualdade ( ) ( ) a + b f a + f b f + ab 3. Obter a equação da reta que satisfaz as condições indicadas: a) passa por (3, 5) e coeficiente angular m

6 b) passa pelos pontos (, 6) e (, 6) c) passa pelos pontos (, 6) e (, -3) d) passa pelos pontos (, ) e (4, 4) e) passa pelo ponto (-, ) e tem coeficiente linear b 4. Determine o seu coeficiente angular, o zero da função e para que valores de, f() > 0 e f() < 0. f) passa pelo ponto (, 6) e é paralela ao eio. g) passa pelo ponto (5, 3) e é perpendicular a y + 7 h) passa por (-4, 3) e é paralela à reta determinada por (-, ) e (, 0) PROBLEMAS DE MODELAGEM 33. Os lados de um terreno retangular medem e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de 0m: a) determine sua área em função de um dos lados b) construa o gráfico dessa função c) Encontre as dimensões para que o terreno tenha área máima 34. Os lados de um terreno retangular medem e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de 0m: a) determine sua área em função de um dos lados b) construa o gráfico dessa função c) verifique as dimensões para que o terreno tenha área máima 35. Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40m. a) Epresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados b) Construa o gráfico dessa função c) Calcule as dimensões desse terreno para que a área seja máima 36. Quero construir uma quadra de futebol de salão, retangular. Para cercá-la, disponho de 60m de alambrado préfabricado e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões dessa quadra para que sua área seja máima? 37. Os lados de um terreno retangular medem e y (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de 0m: a) determine sua área em função de um dos lados b) construa o gráfico dessa função c) verifique as dimensões para que o terreno tenha área máima 38. Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40m. d) Epresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados e) Construa o gráfico dessa função f) Calcule as dimensões desse terreno para que a área seja máima 39. Quero construir uma quadra de futebol de salão, retangular. Para cercá-la, disponho de 60m de alambrado préfabricado e, por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões dessa quadra para que sua área seja máima? 40. A hipotenusa de certo triângulo retângulo tem centímetros de comprimento. a) Eprima o comprimento de um dos catetos do triângulo como uma função do comprimento do outro cateto. b) Qual é o domínio desta função? Porquê o domínio não é [-,]?

7 4. Um homem de,80m de altura está parado ao nível da rua, próimo a um poste de 4,50m de altura. Eprima o comprimento de sua sombra como função da distância (em m) que ele se encontra do poste. 4. Deve-se construir um tanque de aço em forma de um cilindro circular reto de 3m de altura com dois hemisférios nos etremos. O raio r ainda está por determinar. Epresse a área S da superfície do tanque em função de r. 43. No Paraná, cada laranjeira produz cerca de 600 laranjas por ano se não forem plantadas mais de 0 laranjeiras por acre. Para cada árvore plantada a mais por acre, o rendimento de cada laranjeira baia em 5 laranjas. Epresse o número de laranjas produzidas por ano por acre como função do número de árvores plantadas. Qual o número de laranjeiras por acre que garante maior produção? 44. Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se eige cerca ao longo do rio. O material da cerca custa R$,00 por metro para os etremos e R$3,00 por metro para o lado paralelo ao rio. Epresse a área do campo em função da distância do lado paralelo ao rio que pode ser cercado com um custo de R$480, Um corretor tem um terreno retangular de área 36 m e deseja dividi-lo em seis lotes retangulares iguais, de comprimento e largura y. Epresse a quantidade que ele usará de arame para cercar todos os lotes como função de. 46. Eprime o comprimento l de uma corda de um círculo de raio 8cm como uma função de sua distância cm ao centro do círculo e eaminar o domínio da variável. 47. O triângulo ABC está inscrito em um semicírculo de diâmetro 5. Se é o comprimento do lado AC, epresse o comprimento y do lado BC como função de, e indique seu domínio. C A B 48. Uma pequena empresa produz cadeiras de praia sob encomenda. Cada unidade custa 5 dólares e é vendida por 8 dólares. Eiste ainda um custo fio de 300 dólares mensais para manter a estrutura da empresa. Como o trabalho é por encomenda o número de cadeiras produzidas é igual ao número de cadeiras vendidas. a) Qual deve ser o número mínimo de unidades vendidas no mês para a empresa não ter prejuízo? Esse valor, em economia, é denominado ponto de equilíbrio. Dê a equação do lucro mensal em função do número de cadeiras produzidas. OBS: O número de cadeiras produzidas é uma variável discreta. 49. As posições relativas de uma pista de aeroporto e de uma torre de controle de 6 m de altura são ilustradas na próima figura. A cabeceira da pista está a uma distância perpendicular de 00 metros da base da torre. Se é a distância percorrida na pista por um avião, epresse a distância d entre o avião e a torre de controle como função de.

8 50. Uma ilha está situada no ponto A, 8Km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próimo num trecho reto do litoral. Um aluno de MAT4 na ilha deseja ir ao ponto C, 9Km praia abaio a contar do ponto B. O aluno pode alugar um barco por R$,00 o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e daí tomar um tái a R$0,60 o quilômetro e viajar por uma estrada retilínea de P a C. Escreva a equação que fornece o custo gasto pelo aluno para ir de A até C em função da distância de B a P. 5. Um fabricante quer fazer uma caia retangular de base quadrada para conter um volume de cm 3 de um produto. O material usado nos lados custa R$3,00 por cm, o usado no fundo custa R$4,00 por cm, e o usado na parte superior custa R$5,00 por cm. Escreva a função que dá o custo da caia em função da altura da caia. 5. Suponha que uma quantia em dinheiro P é investida a juros r (sob a forma decimal) por ano. a) Mostre que o capital A acumulado no fim de n anos, com juros sendo reinvestidos anualmente, é dada pela fórmula A P( + r) n. Esta proposição é conhecida como a lei dos juros compostos. b) Quanto tempo levará para um investimento duplicar-se, se a taa de juros anual for de 4,5 %. c) Se R$.000, 00 se transformar em R$ 3.000,00 em trinta anos, quando investidos a juros compostos, ache aproimadamente a taa de juros. 53. Para medir a largura de um rio, fincou-se uma estaca no chão na margem sul diretamente na direção sul de uma margem na margem oposta. De um ponto 00 metros a oeste da estaca, a árvore foi observada e o ângulo entre a reta visada e alinha leste-oeste foi medido. Qual é a largura do rio se este ângulo foi medido. 54. Uma página de livro deve ter uma área de 580 cm, com margens de,5 cm em baio e dos lados e,5 cm em cima. Epresse a equação que fornece a área A impressa em função da largura da parte impres OBS: Esta lista é um complemento dos eercícios do livro teto e não engloba todo o conteúdo da primeira prova.