Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão dominante no numerador é n e a dominante no denominador é e n já que, pela escala de sucessões, n p << a n com p > e a >. Dividindo ambos os membros da fracção pela respectiva dominante vem: u n n e n n n + e + n e n ( ) n n n + e e + n e n + e +, pois < e < e, portanto, ( ) n e, n e n n e (pela escala de sucessões). n ii) Caso eista o ite da sucessão n+ n ( n > ), este é igual ao ite da sucessão n n, logo começa-se por calcular o ite da sucessão (n + ) + π n+ n + π n n + n + π n + π n+ ( + ) π n + + n π n ( + ) + π + π π. Como este ite eiste, então, n n + π n π I.. (, val.)considere a sucessão n definida por :, n+ n + 3 n n N. i) Mostre por indução matemática que para n N se tem < n,. ii) A subsucessão 3n é itada? Justifique. iii) Mostre que n é estritamente decrescente. iv) A sucessão é convergente? Justifique e em caso afirmativo calcule o ite. Resolução: i) Comece-se por verificar a base da indução, isto é que a proposição é válida para n. Tem-se <, o que é, obviamente, uma proposição verdadeira. Provemos agora a etapa de indução, isto é, que < n < n+ Tem-se < n < n < 3 n 3 + < n + 3 n + 3 < n+ Então a proposição < n é verdadeira para todo o n N, pelo princípio da indução.

2 ii) Pela alínea anterior, n é uma sucessão itada. Como qualquer subsucessão de uma sucessão itada é também itada e 3n é uma subsucessão de n, 3n é uma sucessão itada. iii) a Resolução Usando o princípio da indução, prove-se a proposição Para n fica n > n+, n N > + 3. Como a proposição resulta verdadeira para n, prova-se a etapa de indução, isto é que n > n+ n+ > n+. Tem-se, notando que todos os termos da sucessão são positivos (como provado na alínea (i)), n > n+ > n > n+ 3 n > 3 n+ n + 3 n > n+ + 3 n+ n+ > n+ Assim, pelo princípio da indução, n > n+ para qualquer n N e, portanto, n é estritamente decrescente. a Resolução n é decrescente sse a diferença n+ n for sempre negativa. n+ n n + 3 n n n n n( n ) <, n N pois, da alínea (i), < n < n < n(n ) <. Então n é uma sucessão decrescente. iv) A sucessão n é uma sucessão itada, pela alínea (i), e monótona, pela alínea (iii). Então é uma sucessão convergente para um real a R. Como n+ é uma subsucessão de n (já que m n n+ é uma sucesão estritamente crescente de naturais), é também convergente para a. Aplicando ites a ambos os termos da igualdade que define n por recorrẽncia vem (aplicando as propriedades algébricas dos ites, tendo em conta que todas as sucessões intervenientes são convergentes e que não resulta nenhuma indeterminação), n+ n + 3 n a a + 3a a a a a Basta, agora, constatar que < n a [, ], pois o ite de uma sucessão convergente está sempre no fecho do conjunto dos seus termos, logo a, isto é n. II.. (, val.) Considere a função f : R R definida por: f() arctg. i) Analise f quanto à continuidade e defina a função derivada f. ii) Determine os intervalos de monotonia e eventuais pontos etremos de f. iii) Conclua que a restrição de f ao intervalo ], + [ é invertível e determine o domínio de diferenciabilidade da respectiva função inversa. Determine a derivada da função inversa no ponto f(). Resolução: i) f é contínua e diferenciável em R por ser a soma de funções contínuas e diferenciáveis em R, nomeadamente uma função polinomial e a função arcotangente. A função derivada tem, portanto, domínio R e a sua epressão pode ser determinada usando as regras de derivação, tendo-se: f ( arctg ) ( arctg ) + +

3 ii) Para determinar os intervalos de monotonia e os eventuais etremos da função basta, visto que esta é diferenciável, estudar, se possível, o sinal da primeira derivada, f. É imediato que f () para todo o R pois para todo o R. Assim sendo, f é crescente em todo o seu domínio, ou seja R, pois este é um intervalo. Conclui-se, assim, que f não tem etremos. iii) Como a primeira derivada de f é estritamente positiva em R +, f é estritamente crescente nesse intervalo o que significa que a restrição de f a esse intervalo é injectiva e portanto invertível. Sejam g a restrição de f a R + e g a sua inversa. Em cada ponto y do domínio de g pode aplicar-se o teorema da derivada da função inversa pois g (g (y )) já que g nunca se anula. Então o domínio de diferenciabilidade de g é o contradomínio de g, g(r + ). Como g é estritamente crescente, g(r + ) f(r + ) ]f( + ), f(+ )[. Tem-se e f( + ) arctg arctg + f(+ ) arctg + + pois a função arcotangente é itada. Em conclusão, o domínio de diferenciabilidade de g é R +. A aplicação do teorema da derivação da função inversa no ponto f() conduz a [ g ] (f()) f (g (f())) f () + II.. (, val.)a equação 3 + tem solução em [, ]? Justifique. Resolução: Uma solução da equação 3 + é um zero da função polinomial definida por h() 3 +. Logo basta verificar se h tem algum zero em [, ]. Tem-se h() > e h() <. Então, como h é uma função contínua (pois é polinomial) e troca de sinal no intervalo [, ], h tem pelo menos um zero em ], [, logo a equação dada tem solução no intervalo indicado. II.3. (, val.) Seja f : R R diferenciável em R e tal que f() e f é crescente. Mostre que a função definida por g() f(), é crescente em ], + [. Resolução: Comece-se por notar que g é uma função diferenciável pois é o quociente de duas funções diferenciáveis em que o denominador não se anula (f e uma função polinomial que não se anula em R + ). Então, basta provar que g () em R + pois trata-se de uma função diferenciável num intervalo. Tem-se, então g () f () f() ( f () f() ) Para estudar o sinal da derivada tem que se relacionar o valor de f() com o valor de f (). Isso pode ser conseguido recorrendo ao Teorema de Lagrange, pois f() f() f() f (c), com c ], [ já que f(). Como c < e f é crescente, resulta que f () f (c) e g () para qualquer R +. III.. (, val.) Determine o valor dos integrais: (i) π/ sen ln cos d (ii) + ( + ) + d

4 Resolução: i) Para determinar o integral recorre-se à regra de Barrow, para o que é necessário determinar uma primitiva da função integranda. Como esta não é imediatamente primitivável e na sua epressão figura um logaritmo deverá ser útil recorrer à primitivação por partes escolhendo u sen e v ln(cos ) (note-se que no intervalo de integração cos > ). Tem-se, então, u cos e v (cos ) cos sen cos tg, e π π sen ln(cos ) d [ cos ln(cos )] π cos ( tg ) d ln + ln() π sen d ln [ cos ] π ln + ln( e ) ii) a Resolução Recorre-se, novamente à regra de Barrow, mas desta vez a função integranda é uma fracção racional já na forma reduzida. Para a primitivar basta, então, notar que a derivada do denominador é [ ( + ) + ] + e escrever + ( + ) + d + ( + ) + d + ( + ) + d [ ln ( + ) + ] ln(3) ( + d ln(8) [ arctg + ] ) + ln 3 8 ( arctg 3 arctg ()) [ ln π arctg 3 ] a Resolução Recorre-se, novamente à regra de Barrow, mas desta vez usa-se a mudança de variável + t. Trata-se, realmente de uma mudança de variável pois é uma função injectiva e diferenciável e tem-se d dt. Quanto aos etremos tem-se t e t 3. Vem, então, π t + sen ln(cos ) d (t) + dt t t + dt 3 t t + dt 3 t + dt ( [ln t + ] ) 3 [ arctg t] 3 [ ln π arctg 3 ] III.. (, val.) Determine a área da região plana D R itada pelas curvas y sen (), y cos() π/, e π/. Resolução: Para determinar a área de uma região é, geralmente, útil obter uma representação gráfica dessa região (apesar de não ser estritamente necessário). Neste caso as funções envolvidas são sobejamente conhecidas e a respectiva representação é....

5 Para determinar a intersecção resolve-se o sistema { y sen () y cos() { tg () y cos() { π + kπ, k Z y ( ) k { π 8 + k π, k Z y ( ) k Neste caso k, π 8 e y. Então a área pretendida é dada, em cada um dos intervalos [ π, π 8 ] e [ π 8, π ], pelo integral da diferença entre a função cujo gráfico deita superiormente a região e a função cujo gráfico deita inferiormente a região: A π 8 π [ sen () π cos() sen () d + π 8 + cos() ] π [ 8 + cos() π sen () cos() d sen () ( sen π + cos π sen ( π ) cos( π ) cos π sen π + cos π + sen π ) ( + ( ) + + III.3. (3, val.) Seja φ : R R a função definida por φ() e t i) Determine, se eistir, a função derivada, φ. ii) Determine ] π π 8 dt + C e t sen t dt. φ() + arctan π tan iii) Conclua se φ é primitivável e mostre que sendo C, φ() d φ() + e. Resolução: i) Para se poder aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo é necessário que a função integranda não dependa da variável pelo que se começa por reescrever a função na forma φ() e t dt + C e t sen t dt Como as funções integrandas são funções contínuas da variável de integração t e os etremos são funções diferenciáveis da variável livre pode-se aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e os teoremas da derivação da função composta e do produto (ou, simplesmente, a Regra de Leibnitz para derivação de integrais e o teorema da derivação do produto), concluindo-se assim que a função φ é diferenciável em todo o seu domínio e que, qualquer que seja R, ) φ () e () + (C) e t sen t dt + C ( e t sen t dt) e + C e t sen t dt + C e ( ) sen ( )( ) e + C e t sen t dt + C e sen ( )

6 ii) Comece-se por notar que φ é uma função contínua e diferenciável em R, como visto anteriormente, e que φ() visto que ambos os integrais correspondentes têm os etremos iguais. Então, se eistir o ite do quociente das respectivas derivadas, o primeiro quociente encontra-se nas condições da Regra de Cauchy. Calcule-se, então, o ite do quociente das derivadas φ () () φ () e + C + C φ() Como este ite eiste (em R) pode aplicar-se a Regra de Cauchy e tem-se. Quanto ao segundo quociente, comece-se por notar que π arctg arctg π R e que π tg + pelo que o ite do quociente é. Tem-se então φ() + arctan π tan iii) Como já referido, φ é uma função contínua em R. Como tal, é primitivável. Tomando C, quer-se calcular φ() d. Como a funçã φ nãp é imediatamente primitivável mas a sua derivada tm uma epressão bastante simples, aplica-se o método de integração por partes escolhendo u e v φ() vindo u e v e. Aplicando a fórmula vem φ() d [φ()] e d φ() e d φ() [ e ] φ() e IV.. (, val.) Analise a natureza das séries φ() + e i) n sen (n) n(π n + 3) ; ii) + n n n n!. Resolução: i) Trata-se de uma série de termos com sinal variável. Como tal, começa-se por determinar a série dos módulos sen (n) + n(π n + 3) sen (n) n(π n + 3) n Como a parcela sen n não tem ite em +, convém utilizar o Critério Geral de Comparação. Já que se escolhe usar este critério pode notar-se que sen n, n e, portanto, n sen (n) n(π n + 3) π n + 3 π n Como a série determo geral π é uma série geométrica de razão r n π e, portanto, convergente, pois r <, pelo Critério Geral de Comparação a série dos módulos é uma série e convergente e a série dada é absolutamente convergente. ii) Trata-se de uma série de termos positivos em cujo termo geral figuram uma eponencial e um factorial. Como tal é natural usar o Critério de D Alembert para estudar a sua natureza. Tem-se n+ n + (n + )! n n n! n+ n + n n n! n + (n + )! n n! (n + )n! + n n < Como o ite da razão é estritamente inferior a, a série converge pelo Critério de D Alembert. Como se trata de uma série de termos positivos é absolutamente convergente.

7 IV.. (,8 val.) Seja a série de potências n 3 (n+) n ( + ) n i) Determine o intervalo de R onde a série de potências é absolutamente convergente. ii) Indique a soma da série de potências no intervalo indicado. Resolução: i) Sendo uma série de potências na forma a n ( α) n, sabe-se que será sempre absolutamente convergente no intervalo ]α r, α + r[ em que o raio de convergência pode ser determinado pelo ite an a n+ se este ite eistir. Calcule-se, então, a n 3 (n+) n 3 3 a n+ 3 (n+) n+ Como o ite eiste, r 3 e a série é absolutamente convergente no intervalo ] 3, + 3 [ ] 3, 3 [. Sabe-se também que a série é divergente no conjunto ], α r[ ]α + r, + [ ], 3 [ ] 3, + [. Falta saber o que se passa para 3 e para 3. Para a série escreve-se 3( ) n que é imediatamente convergente por o seu termo geral não ser um infinitésimo. O mesmo se passa quando 3 em que a série que se obtém é 3. Resumindo, o intervalo onde s érie de potências é absolutamente convergente é ] 3, 3 [. ii) Comece-se por notar que a série pode ser reescrita na forma 3 (n+) ( n ( + ) n 3( + ) 3 n que é claramente uma série geométrica de razão 3(+) e portanto convergente no intervalo indicado na alínea anterior (como não poderia deiar de ser). A sua soma é, então dada pela fórmula S a r, vindo 3 (n+) n ( + ) n 3 6 n 3(+) IV.3. (,7 val.) Sendo a n uma sucessão decrescente de termos positivos e + n b n uma série numérica convergente analise a natureza da série n n b n an a n+. Resolução: É imediato que ( a n a n+ b n ) pois o quadrado de um real é sempre não negativo. Desenvolvendo o quadrado e rearranjando os termos vem ( a n a n+ b n ) ( a n a n+ ) b n an a n+ +b n b n an a n+ a n a n+ +b n Aplicando um raciocínio idêntico a ( a n a n+ + b n ) conclui-se que b n an a n+ a n a n+ + b n. ) n Portanto, tem-se b n a n a n+ ( an a n+ + b n) Como a n é decrescente, a n > a n+ e a n a n+ a n a n+. Por ouro lado a série a n a n+ é convergente por ser uma série de Mengoli e a n ser uma sucessão convergente, já que é decrescente e minorada por. Então a série de termo geral a n a n+ + b n é convergente por ser a soma de duas séries convergentes e a série dos módulos da série dada é convergente pelo Critério Geral de Comparação. Assim, a série dada é absolutamente convergente.

8 Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do o teste Resolução: i) Tem-se I.. Considere a sucessão n sen (nπ/) u n ( ), n N n i) Indique, caso eistam em R, o supremo, ínfimo, máimo e mínimo do conjunto dos termos da sucessão u n. ii) A sucessão é convergente? Justifique.. iii) A subsucessão u 3n é convergente? Justifique e em caso afirmativo determine o subite. u n u n+ u n, u n+ n + e u n+3 n + 3 Como as subsucessões indicadas contêm todos os termos da sucessão u n, u n+ é crescente e u n+3 é decrescente resulta que, qualquer que seja n N, Então, sendo U {u n : n N}, u u n /3 u 3 sup U ma U /3 e inf U min U ii) Como u n é o produto de uma sucessão itada, a n ( ) n sen (nπ/), por um infinitésimo, b n /n, u n logo trata-se de uma sucessão convergente. iii) Dado que, pela alínea anterior, u n é uma sucessão convergente, qualquer subsucessão de u n é convergente para o ite de u n. Logo u 3n é convergente e o seu ite é. I.. Considere a sucessão convergente v n n + y n, n N em que e n n+ 3 n (n + )! 3 n+ + n + n n! + y n+ ( y n + ), y y n Determine o ite da sucessão v n Resolução: Tem-se e (n+3)! (n+)!+ (n+)! n!+ n+ 3 n 3 n+ + n n+ (3/) n 3(3/) n (n + 3)! n! + (n + )! (n + )! + + 3n + (n)! + n + (n+)! + + (n + )! + + n n! + Logo n +. Então, como y n v n n, y n é uma sucessão convergente. Sendo a R o seu ite, y n+ a pois é uma subsucessão de y n. Aplicando ites a ambos os termos da igualdade que define, por recorrência, y n, tem-se, visto que todas as sucessões envolvidas são convergentes, a ( a + ) a a ± a

9 Como y > e y n > y n+ >, y n é, por indução, uma sucessão de termos positivos. Assim, o seu ite não pode ser negativo e a. Conclui-se, assim, que v n + I.3. Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que, para todo o n N, o natural n 3 + n é divisível por 3. Resolução: Pretende-se provar que n 3 + n 3k para algum k Z, qualquer que seja n N. Para base da indução tem-se, com n, k Z logo a base da indução é uma proposição verdadeira. (n + ) 3 + (n + ) 3k (k, k Z), tem-se Para o passo indutivo, n 3 + n 3k (n + ) 3 + (n + ) (n 3 + n) + (3n + 3n + 3) 3(k + n + n + ) k k + n + n + Z Logo o passo indutivo é verdadeiro e proposição é verdadeira para todo o n N. II.. Considere a função definida em R pela epressão ( ) ln se F () arctg π se > i) Determine o domínio de diferenciabilidade de F e calcule F. ii) Determine os intervalos de monotonia, os etremos e o contradomínio da função F. iii) Considere a sucessão w n + n. Determine o ite da sucessão F (w n ). iv) A função F restrita a ], + [ é invertível? derivada da função inversa em F (). v) Justifique que eiste c ], 3[ tal que F (c) π/. Justifique e, em caso afirmativo, determine a Resolução: i) F é diferenciável em R R + pois coincide numa vizinhança de qualquer desses pontos com a composta e o produto de funções diferenciáveis nos pontos correspondentes (neste caso, funções racionais cujos denominadores não se anulam, função logaritmo, função módulo cujo argumento não se anula, função arco-tangente e função raíz quadrada cujo argumento não se anula). a Resolução Para saber se F é diferenciável na origem calculam-se as derivadas laterais usando a definição: F e() F () F () ( ) ln usando o ite notável ln(+) F d() F () F () + + e arctg π ) ( )ln( ( ). y π/ y π/ cotg y cotg y sen y yπ/ fazendo a mudança de variável y arctg e reconhecendo o ite assim obtido como o inverso do ite que define a derivada da função cotg y no ponto y π/. Como F tem uma derivada lateral infinita na origem não é diferenciável na origem e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {}, sendo a sua derivada definida, nesse conjunto, através das regras de derivação: F () ln( ) + se < 3/ + ( / ) se > ln( ) + se < / ( + ) se >

10 a Resolução Em R \ {} podem-se usar as regras de derivação, obtendo: ln( ) + se < F () 3/ + ( / ) se > ln( ) + se < / ( + ) Como F ( ) ( ) ln F () e F ( + ) + arctg, F é contínua na origem. Tem-se, ainda e F ( + ) + / ( + ) F ( ) ln( ) + se > π π/ π/ Assim, pelo Teorema de Lagrange, como F é contínua em [ ɛ, ɛ] e diferenciável em ] ɛ, ɛ[, para algum ɛ >, e eistem os ites laterais F ( + ) e F ( ), tem-se que F d () F ( + ) e F e() F ( ) logo F não é diferenciável na origem. Então o domínio de diferenciabilidade é R \ {} e F está definida, nesse conjunto, pela epressão obtida pelas regras de derivação. ii) Pela alínea anterior, F () < para R + e F () > para R. Logo, dado que F é contínua na origem, F é estritamente decrescente em [, + [ e estritamente crescente em ], ] e tem um máimo na origem com F () que é o único etremo da função. Como e F (+ ) F ( ) arctg + π π π ( ) ln (+ ) tem-se que, pelo estudo da monotonia apresentado, o contradomínio de F é F (R) F (R ) F (R + ) ], ] ] π, [], ]. iii) Como w n + n + e F é contínua em, visto que é diferenciável nesse ponto (alínea (i)), o ite da sucessão F (w n ) é F (w n ) F () arctg () π π π π iv) Pela alínea (ii), F é estritamente decrescente em ], + [ logo é injectiva nesse intervalo e, portanto, F restrita a esse intervalo é invertível. Pelo teorema da derivada da função inversa tem-se, sendo G a inversa dessa restrição, G (F ()) F (G(F ())) F () v) Pela alínea (i), F é contínua em [, 3] e diferenciável em ], 3[ pois é diferenciável em R +. Então pelo teorema de Lagrange eiste um c ], 3[ tal que F F (3) F () (c) arctg 3 arctg π/6 π/ π 3 II.. Seja f : R R uma função diferenciável em R. Suponha que f é par e que eiste, emr, o ite + f() L. i) Mostre que f é itada em R. ii) Supondo adicionalmente que a função satisfaz f(n + ) f(n) n, n N mostre que, necessariamente, se tem que verificar L.

11 Resolução: i) Como f é diferenciável em R é contínua em R e, portanto, itada em qualquer intervalo itado. Por outro lado, como f(+ ) L, qualquer que seja δ > eiste ɛ > tal que f() ]L δ, L + δ[ para > ɛ. Por simetria, visto que f é par, f() ]L δ, L + δ[ para < ɛ. Então f é itada em R. ii) Como eiste f(+ ) L, pela definição de ite segundo Heine, eistem e têm o mesmo valor os ites das sucessões f(n + ) e f(n). Aplicando ites a ambos os membros da igualdade, visto que tratarem de sucessões convergentes e n, tem-se f(n + ) f(n) n L

12 Cálculo Diferencial e Integral I o Teste - A - (MEMec; MEAer) de Janeiro de - : horas I ( val.). (, val.) Determine o valor dos integrais: (i) 3 d (ii) d Resolução. (i) Determine-se uma primitiva, usando o método de primitivação por partes e a primitivação por decomposição 3 d + + d + ( + ) pela fórmula de Barrow tem-se [ 3 d + ] ( + ) (ii) A função integranda é uma função racional que se decompõe em fracções simples d ( + )( + 3) d A A[ln( + )] + B[ln( + 3)]. + d+b A determinação das constantes A, B é feita pelo método dos coeficientes indeterminados já que (A + B) + (3A + B) Tem-se A, B concluindo-se que: d ln( ). ( + 3) d

13 . (, val.) Determine a área da região plana D R itada pelas curvas Resolução. y tg, y e Estabelecendo tg tem-se π, assim a área da região D é dada por: π tg d π + [ln cos() ] π π + ln cos(π ) ln cos π + ln( ). 3. (3, val.) Seja φ : [, + [ R a função definida por φ() ln i) Defina, se eistirem, as funções φ e φ. cos (t ) dt. ii) Determine e φ() e + + / Resolução. i) A função F () : cos(t ) dt é um integral indefinido de uma função contínua em R e portanto diferenciável em R, pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Como φ() ln cos(t ) dt F (ln ), resulta da composição e produto de funções diferenciáveis em ], + [ e é, também, diferenciável em ], + [. A sua derivada é dada por: φ () (ln ) cos (ln ) + ln cos t dt cos (ln ) + ln cos t dt,

14 pela regra da derivada do produto e pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Por sua vez, φ é a soma de duas funções diferenciáveis em ], + [ e portanto diferenciável em ], + [ tendo-se: φ () ln sen (ln ) + cos (ln ) cos(ln ) ln sen (ln ). ii) Determine e φ() e + + / Como e e da regra de Cauchy Por outro lado, φ() e φ () ( e) e cos(t ) dt cos (ln ) + e e φ() e cos. (ind.) ln cos t cos, + / (indeterminação) + / e + ln ln e (indeterminação) (ln ) + ( ) + + Tem-se, finalmente, que + / e. Assim e φ() e + + / cos +. 3

15 . (3, val.) i) Determine, utilizando a mudança de variável + t, o integral ii) Indique uma solução da equação Resolução. (h()) e + d. h(t) dt + e + d. em que h : [, ] R é uma função diferenciável que não se anula em ], [. i) Aplicando o método de integração por substituição, + t ϕ(t) t e + d integrando por partes, ( [t.e t ] (a) Tem-se e t.t dt ) e t dt e [ e t] h()h () h() h() (h () ) Como de h (), deduz-se que h() +C h() C. Fazendo na equação, C + C.

16 II (8 val.). (3, val.) (i) Analise a natureza das séries n 3 + n n + n cos(nπ) n+ e n (ii) Determine um número real que seja majorante do módulo da soma de uma das séries anteriores. Resolução. i) Considerem-se as sucessões a n 3+ n n+ e b n n n a n b n 3 n + + n R +, n. Tem-se Do critério de comparação as séries n a n e n b n têm a mesma natureza. Como a série n n p com p /, a série n n b n é uma série de Dirichlet divergente, é também divergente. 3+ n n+ A série n cos(nπ) n+ + e n ( ) n e n ii) é uma série geométrica convergente de razão r, r <, sendo a série e cos(nπ) n+ + n + n, consequentemente, absolutamente convergente. e n cos(nπ) n+ e n ( ) n + n e e e

17 . (3, val.) (i) Determine o intervalo de R onde a série de potências: é absolutamente convergente. n (ii) Indique a soma da série em 3. Resolução. i) Tem-se para o raio de convergência ( ) n ( + ) n n(n + ) r a n a n+ n(n+) (n+)(n+) n + n Assim série converge absolutamente se + < i.e 3 < <. Para 3, + n(n + ) ( n ) n + n n é uma série de Mengoli convergente, pois a sucessão u n n é convergente. Como se trata de uma érie de termos positivos, é absolutamente convergente. Para ( ) n + n(n + ) n(n + ) n é uma série absolutamente convergente já que a série dos módulos coincide com a estudada anteriormente. ii) Sendo uma série de Mengoli convergente a sua soma é, uma vez que, considerando a sucessão das somas parciais S m, tem-se S m m n n ( n ) ( ) n + m + m + 6

18 3. (, val.) Seja + n b n uma série de termos positivos divergente e s n b +...+b n a sua sucessão das somas parciais. Conclua, justificando, qual a natureza da série Sugestão: Mostre que b n s n Resolução. Tem-se s n s n s n s n b n s n n Como s n s n s n já que b n >. tem-se b n s n b n s n s n e + n é s n s n s n s n uma série de Mengoli convergente, pois tem-se v n s n, pois s n + por se tratar da sucessão das somas parciais de uma série de termos positivos e divergente. Consequentemente pelo critério geral de comparação, conclui-se que a série dada é convergente. 7