QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1.

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1 QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL QUESTÃO Se ( ) a, e a, eamine as seguintes afirmações: () A função é crescente () A função d/d é crescente () lim ( ) () lim ( ) ( ) ( y) y Se, y, então (4) QUESTÃO 4 Considere w y z, t, y t, z t, calcule a derivada dw dt t = para QUESTÃO ( ) Dado y e onde ( ), t, t, determine dy/dt para t = 9 QUESTÃO 4 Calcule o valor de ( 6) d QUESTÃO 5 Determine o valor de e t cost dt falsa ou verdadeira e assinale cada opção abaio como ( e ) () 5 ( e ) () () e ( e ) () 5 e (4)

2 QUESTÃO 6 Dado que z = (6 - )( y - ), = -t, y = 5t e = e t +, determine o valor de dz/dt para t = QUESTÃO 7 Determine o valor da função () = pelo seu ponto de infleão - quando ela passa QUESTÃO 8 Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a função y = sen( - k) tenha um ponto de máimo em 5 QUESTÃO 9 Dado que () = sen 8 seja contínua em R? para, quando deve valer () para que QUESTÃO Dada a função y, R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmação: () A função possui dois pontos críticos () Um dos pontos críticos é um ponto de infleão () No intervalo (-,), de seu domínio, a função é sempre crescente () A função é côncava para valores negativos de (4) Quando = a função atinge o seu máimo valor em seu domínio QUESTÃO Determine a área sob a curva y 5 no intervalo onde varia de a QUESTÃO Indique quais das afirmativas abaio sobre a equação y verdadeiras e quais são falsas: são () A equação dada representa uma hipérbole () O gráfico da equação dada intercepta o eio O nos pontos (,) e (,-) () O gráfico da equação dada possui dois focos, nos pontos (,) e (,- 5)

3 () A reta y = é tangente ao gráfico da equação dada (4) A reta = intercepta o gráfico da equação dada em dois pontos distintos QUESTÃO Indique quais das afirmações abaio são verdadeiras e quais são falsas: () e A função y é contínua no intervalo [,] () lim 5 6 () lim sen () Para que a função 4 y, possa ser estendida continuamente a toda a reta R, é necessário atribuir-lhe o valor no ponto = (4) lim 6 QUESTÃO 4 Dada a função y, [, ], assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaio: () Quando =, a função tem um produto de infleão () A função tem valor máimo global igual a 4 () No ponto = -, a função possui um mínimo local () A função é decrescente no intervalo (,) (4) No intervalo (-,) a função é convea QUESTÃO 5 Assinale como verdadeira ou falsa, cada uma das afirmações abaio: ln () A derivada de é () A forma geral das funções de elasticidade constante é ( ) a b a b b b () Se a >, a função y tem um mínimo local em a a b b um máimo local estrito em a a () () y ( ) a ( ) y,, y, QUESTÃO 6 e

4 Calcule a área compreendida entre o gráfico da curva y 7, o eio O e as retas = e = 4 QUESTÃO 7 Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas abaio: () () e d e d QUESTÃO 8 Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas: () Seja ( ) Logo () = e e () Seja ( ) Logo () = e e () Seja ( ) e ln Logo () = QUESTÃO 9 Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas: () Se é diferençável em [a, b] então é sempre contínua em [a, b] () Se é contínua em [a, b], então é sempre diferençável em [a, b] () Se () = e g() =, então a derivada do produto g é o produto das derivadas de e g QUESTÃO Assinale as proposições verdadeiras e as falsas: () () () () (4) e d e d / d d / d / QUESTÃO

5 Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaio: () lim ( ) / () / lim / () lim ( e) / () lim ( e ) lim (4) e QUESTÃO Calcule a área compreendida entre as curvas: y - = ; y = ; y = e y = QUESTÃO Assinale as proposições verdadeiras e as falsas: () A interseção das curvas y - + =, y = e y = forma um triângulo isósceles () Dois pontos satisfazem as equações: ( 4) ( y 4) 8 e + y - 4 = () No espaço bi-dimensional (, y) a distância entre os pontos (a, b) e (b, a) / é [ ( b a) ] () A equação y representa um círculo cujo raio é dois (4) As equações a a y a e b b y b contêm o ponto (, y ) Então, para uma dada constante c, a equação (a ay a) + c( b b y b ) conterá o ponto (, y ) QUESTÃO 4 Calcule o valor da integral definida que se segue: 4 d QUESTÃO 5 Indique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas lim () () lim () lim () lim sen

6 QUESTÃO 6 Indique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas () A área compreendida entre a curva y 4, o eio e a reta = é maior que / () Dada a equação y k, em que k é uma constante, y = (), então, o valor da epressão y dy y só será determinado d se k = () A função (, y) y y é estritamente convea () A taa de variação de 7 em relação a / é menor que para {-,} QUESTÃO 7 Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa: () A epressão y define uma função de em y () A epressão y () A função f não define uma função de, em y,, possui assíntota horizontal y f,, possui mínimo em () A função (4) Considere y f eistência da função inversa,, onde f: Uma condição necessária para a f y, é que f seja uma bijeção QUESTÃO 8 Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa Seja f: dada por f () f possui um máimo global () f não possui mínimo local () f é estritamente crescente para () f possui um mínimo local e um máimo local (4) f possui um ponto de infleão em QUESTÃO 9 Indique se a afirmativa é verdadeira ou falsa:

7 sen8 () Dado que f ( ) para, para que f seja contínua em, f ( ) deve valer f é contínua em todo o seu domínio () () f ], é contínua mas não diferenciável em [, para outros valores de, () Se f :,, é continua em,, eiste, tal que f (Sugestão: desenhe um gráfico) QUESTÃO Indique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas: () () sen d ln d e d () () d _ QUESTÃO Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir: () lim / - ( -) {( -)} = lim ( )( ) () sen( ) lim () cos( ) = QUESTÃO Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir () Se f e g são funções reais de variável real tais que f () > e g () >, para todo, então a função composta h() f(g()) é crescente

8 () Se f e g são funções reais de variável real tais que f é convea e g é côncava, então 5f g é convea () Se f e g são funções reais de variável real tais que f, f, g e g são crescentes,então a função produto h() f()g() é convea QUESTÃO Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir : () Se f() = 5 e f() = d, então f(4) = () Seja ( ) d Então 4( ) = 9 5 () e d 5, onde e é a eponencial e QUESTÃO 4 Suponha que f() seja uma função real de variável real,,definida assim: f ( ) Classifique cada uma das afirmações abaio como verdadeira ou falsa () f() possui dois pontos críticos () Um ponto crítico é ponto de infleão () No intervalo (-,) do seu domínio, f() é sempre crescente () f() é côncava para valores negativos de (4) Quando = -, f() atinge o seu máimo valor em seu domínio QUESTÃO 5 Identifique quais das afirmativas abaio sobre a função y: definida por y()= e - são verdadeiras e quais são falsas; yd () () y possui um único ponto de mínimo global; () y possui um único ponto de máimo global; dy () lim não eiste d QUESTÃO 6 Responda V ou F:

9 () () () () 4 e d d sen d ( ) ( ) e QUESTÃO 7 Responda V ou F; lim (sen ) ; () e () lim / e ; () lim ; b ab () lim ( a ) e, onde a e b são números reais não nulos; QUESTÃO 8 Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função 5 f 4 7 ; : () Apresenta ponto de infleão para =,5 () Apresenta ponto de máimo para = 5 () Apresenta ponto de mínimo local para = 7 () Apresenta descontinuidade em =,5 QUESTÃO 9 Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas: () A área compreendida entre a curva y = e a reta y = 4 - é menor do que () A inclinação da função

10 y 4 4 quando = é superior a 5 () Fazendo-se a integração por partes de e d obtém-se como resultado ( - ) e + C onde C é uma constante QUESTÃO 4 Com relação à inequação: ( )( ) () O maior valor de que a satisfaz é 4 e o menor é - () O menor valor de que a satisfaz é e o maior é 5 () É satisfeita para quaisquer valores de compreendidos entre e 7 () Somente é satisfeita com menor do que ou maior do que 6 QUESTÃO 4 Sejam f:rr e g:rr funções contínuas Ponha h()=f(g()) e u()=g(f()) Classifique como V ou F as afirmações abaio () u() = h() para = () Se f é derivável então h também o é () h é contínua () Se h e u são deriváveis então h ()=u () para todo QUESTÃO 4 Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmações: 9 log 5 5 () 4 () e lim sen( ) QUESTÃO 4

11 Se f() = e g() =, calcular f(g()) g(g()) + g - (f()) para = - QUESTÃO 44 Seja g:rr, duas vezes diferenciável Defina h()= g((-) ) Qual o valor de +h ()? QUESTÃO 45 Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função 5 f 4 7 ; R: () Apresenta ponto de infleão para =,5 () Apresenta ponto de máimo local para = 5 () Apresenta ponto de mínimo local para = 9 () Apresenta descontinuidade em =,5 QUESTÃO 46 Responda V (verdadeiro) ou F (falso): () A função, se R \ {} e f ( ), é contínua em ; f ( ) e f ( ) f ( s) () Se f é derivável em todo, então lim f ( ); s s f ( s) f ( s) () Se f : é tal que lim então f é derivável em ; s s () 6 y é a reta tangente à curva y 8( ) y no ponto 9 9 (, y) (,6) ; (4) Se f é tal que f ( ) 5 e f ( t) cos ( ln( e t)), então ( f ) (5) 4 QUESTÃO 47 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

12 () 5 d 4 () ( ) d 6 () ( ) e d () sen( ) d QUESTÃO 48 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): a, então f é estritamente convea neste intervalo; () Se f e g são funções côncavas na reta, deriváveis até a ordem e () Se f é estritamente crescente no intervalo b f ( ), para todo ;, então g () () Se f é estritamente côncava em b f ( b) f ( ) f ( b) f ( a ) b b a para todo a, b f é uma função côncava em a,, então vale a desigualdade ; () Se f é côncava e derivável no intervalo aberto b f ( y) f ( ) f ( )( y ), para todo, y ; a,, então (4) Os pontos de infleão de f ( ) sen( ) cos( ) no intervalo 6, são,, QUESTÃO 49 A respeito da função (verdadeiro) ou F (falso): f : R R definida por f ( ) e, responda V () A função f possui um ponto de máimo global; () A função f possui um ponto de mínimo global; () A função f possui quatro pontos de infleão; () Para todo r R tem-se f ( ) d ; r r (4) A função f possui um ponto de mínimo local no ponto QUESTÃO 5 A respeito dos limites abaio, responda V (verdadeiro) ou F (falso) ) 5 5 / lim ( e () ;

13 sen (/ ) lim () sen (/ ) cos (/ ) 5 lim () 4 ; lim sen(4 / ) () ; lim 4 (4) QUESTÃO 5 A respeito das integrais abaio, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () () ma{, e min{, e () y dy d () (4) e / } d, 5 } d ; 8 ; ln( QUESTÃO 5 ) d 5 ; sen( ) d Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): ; n [( ) ] ; se () Seja f : : f ( ) ; n N A n / ; se função f é contínua sobre ; se () Seja f :, : f ( ) A função f é log ; se continuamente diferenciável em, () Se f é a função definida no item anterior, então f é continuamente - vezes diferenciável em, () Se X (, ), Y e f : X Y : f ( ), então f é bijetiva (4) Se f é a função definida no item anterior, então: : ( f f f )( ) n n vezes

14 QUESTÃO 5 Assinale V (verdadeiro) ou F(falso): () Seja f e, / () A função :, ; então ' f '' f definida por f f ln( ), é sempre decrescente () A função definida no item é côncava no intervalo, e convea no intervalo, () Se f : é uma função diferenciável, estritamente crescente, estritamente côncava e com f, então f apresenta elasticidade menor do que em todo o seu domínio (4) A função : (, ) pontos de infleão apresentados por QUESTÃO 54 f definida por f cos f ' Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () () () () (4) lim( ) sen( ) lim lim e ln lim 5 e 5 / 9 lim 4 QUESTÃO 55 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () e ( ) d 4 4 () d 4 () d 4 () 4 d apresenta o dobro de

15 (4) d QUESTÃO 56 Considere as funções f e g dadas por f() = ( ) / e g() = ( 5) / Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso): () O domínio de (f + g) é [5, ] () O domínio de (g/f) é [5, ] () O domínio de (f/g) é (5,] () O domínio da função composta (g o f) = [5, +) (4) Seja k > O domínio da função (kf) é [k, +) QUESTÃO 57 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () () () (4 ) lim [ ] lim e ln( ) lim () Se cos( A) cos( ) sen( ) então cos (4) lim, para < < n QUESTÃO 58 cos Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso): n n 6 A () Se f :[ a, b] é derivável e para todos pertencentes ao f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) intervalo [ a, b] vale, então f ( ) f '( ) para pertencentes ao intervalo [ a, b] ' () Se f ( ) ( i), < < e i >, então ( ) i f ( b) f ( a) () Se f : a, b é derivável e g( ) f ( ) ( a), b a então '( ) a, b g para todo i

16 () Se ''( ) f, para todo a, b para, y a, b f ''( ), para todo a, b (4) Se para [ a, b) QUESTÃO 59 () Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso): d () ln( ) d ln() t () dt, 4 para todo ( ) () d d e 5 6 e (4) d 7 QUESTÃO 6 Considerando a função f ( ) (falso): () a equação ( ) () a equação '( ) () a equação, então f y f ( ) f ( y), então f ( ) f '( b)( b) f ( b),, assinale V (verdadeiro) ou F f tem no máimo duas raízes reais no intervalo, f tem no mínimo duas raízes reais no intervalo, f "( ) tem no máimo uma raiz real no intervalo, ; () f é crescente no intervalo,; (4) f é côncava no intervalo, QUESTÃO 6 ; ; Responda V (verdadeiro) ou F (falso): () Seja f : uma função estritamente côncava e duas vezes continuamente diferenciável Se a<b, então f (a)>f (b) () Seja f : uma função duas vezes continuamente diferenciável tal que eistem a<b com f (a)=f (b)= e f(a)=f(b)= Se eiste c tal que a<c<b e f(c)=, então eiste d tal que a<d<c e f (d)= () Seja f : uma função estritamente convea tal que f()= Então f ( ) f ()

17 () Seja f : uma função contínua tal que, para qualquer, f()=f(- ) Então f atinge um mínimo em = (4) Seja f : uma função estritamente côncava tal que f()<f() Então f é estritamente crescente no intervalo [,] QUESTÃO 6 Responda V (verdadeiro) ou F (falso): () sen( ) d e d () M () O limite lim M d ln( M ) diverge ( t) () Se M ( t) e d, em que t<, então M '() y (4) Se F( y) y ln( ) d, então F()= QUESTÃO 6 Avalie as afirmativas: () Se C é uma constante arbitraria, então ln () d du u u C u () sen d () (4) e d 4 d 4 e QUESTÃO 64 Dadas as funções f( ) e g( ), avalie as afirmativas: g f ( ) () () O domínio da função composta h g f () A função f é injetora é,,

18 () O domínio da função u f g é,, (4) O domínio da função g está contido na imagem dela QUESTÃO 65 Avalie as afirmativas: () () ln lim lim 5 () Se f( ) e g ( ) são polinômios, então grau( f ( )) grau( g( )) 5 () Se f( ), então lim f( ) cos( ) lim (4) QUESTÃO 66 Avalie as afirmativas: f( ) lim, desde que g ( ) () Seja f: uma função duas vezes continuamente diferenciável Se f atinge um máimo local estrito em, então f ( ) =, f ( ) < () Se uma matriz simétrica nn A é idempotente, então para todo v n, v Av () Se uma matriz nn A é idempotente, então tr(a) n () A equação diferencial tem solução geral t C C t e ( t), em que C e C são constantes (4) A equação diferencial tem solução geral ( t) QUESTÃO 67 e 5 t / C C t e, em que C e C são constantes ln Calcule d, em que e t é o eponencial de t QUESTÃO 68 Encontre o valor máimo da função: f() = min{- + +,5; - - } Obs: Multiplique por o número encontrado QUESTÃO 69 Considere a função f ( ) Julgue as afirmativas abaio:

19 () O ponto = é ponto de máimo local () Eiste uma vizinhança do ponto = dentro da qual o menor valor que a função g ( ) f ( ) assume é () f() possui uma infleão em = / () f() é convea apenas na região (, / ) e côncava apenas na região (, ) (4) A epansão de Taylor de ordem de f() em torno de um ponto qualquer é a própria função f QUESTÃO 7 Avalie as opções () sen( ) d sen( ) d () Se f () < para todo [, ] então f ( ) d () () e log( ) d dt dt d t t e d e e d para todo > (4) Considere uma função contínua f e defina os conjuntos A { [,],f() } e B { [,],f() } Então A f ( ) d f ( ) d f ( ) d sempre que B B QUESTÃO 7 Avalie as opções () Seja f : R n R uma função homogênea de grau k, então f também é homogênea de grau k () A função f : R R, f() = sen() não possui um máimo () Seja f:[,] [,] uma função crescente Então se se definir a função g() = f() - pode-se garantir que eista * tal que g(*) = só se f for também contínua () Seja H o hessiano da função g Se H for positivo definido tem-se que a função é convea (4) Seja H o hessiano da função g Se H for sempre diagonalizável e seus autovalores forem negativos, tem-se que a função é côncava QUESTÃO 7 Avalie as afirmativas: e d () () e d

20 n () Se ( n) e d, para n inteiro positivo, então ( n) n e d () e d (4)