INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2453 Cálculo Diferencial e Integral I Escola Politécnica) Segunda Lista de Eercícios - Professor: Equipe de Professores EXERCÍCIOS. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: a) f ) = 2 e + e ) b) f ) = 2 e e ) c) f ) = e e d) f ) = e + e e) f ) = e /2 + e 2 f) f ) = lne + ) g) f ) = ln ) ) h) f ) = ln ) i) f ) = π + π j) f ) = k) f ) = lnarctg ) l) f ) = + cos 2 ) sen m) f ) = e + 3) arcsen2 ) n) f ) = 3 + cos ) tg 2 ) o) f ) = ln ) 2 + e cos p) f ) = 2 + ) sen 5 ) + q) f ) = ln r) f ) = + arctg 2 ) /4 Observação 0.. As funções a) e b) são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico e de seno hiperbólico e são denotadas, respectivamente por cosh e senh. Verifique que cosh 2 ) senh 2 ) =, cosh ) = senh), senh ) = cosh), para todo R 2. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades: a) sen b sen a b a, para todos a, b R. b) a b 2 a b, para todos a, b R, com a e b. c) ln a b a b, para todos a, b R, com a e b. d) b b a a > a a b a), para todos a, b R com a < b. e) ln b b ln a a b a, para a < b e. a 2 3. Seja f uma função derivável no intervalo ], + [ tal que f 0) = 0 e 0 < f ), para todo > 0. Mostre que 0 < f ), para todos > Mostre que f ) = + ) / é estritamente decrescente em ]0, + [. Conclua que 5. Prove as seguintes desigualdades: a) 2 > 3, para todo > b) c) tg b tg a > b a para 0 < a < b < π 2 + π) e < + e) π. eπ > π e d) 3 3! < sen < 3 3! + 5 5!, para > 0 e) + < + 2, para > 0 f) 2 arctg > ln + 2 ), para > 0 6. Seja f derivável em R e seja g dada por g) = f ), = 0. Suponha que 0 é ponto crítico de g. Prove que 0 f 0 ) f 0 ) = 0. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 passa pela origem. 7. No seu livro de Cálculo de 696, L Hôpital ilustrou sua regra com o limite da função 2a f ) = 3 4 a 3 a 2 a 4 a 3 quando a, a > 0. O valor desse limite é: a) a b) a 2 c) 3a/2 d) nenhuma das anteriores.

2 8. Calcule, caso eista ln 2) a) lim tgπ) 2 d) lim + g) lim 0 + tg2 ) j) lim 0 e + 3) b) lim 0 + ln cotg c) lim ln ) ) + ln e e 2 e) lim f) lim + e p ln, p > h) lim 0 ln + ) ) e i) lim sen )tg 0 + k) lim 0 cos 2 ) ) 2 l) lim ln m)lim 0 ln + 2 ) arctg p) lim 0 + 5) 3 s) v) n) lim tg sec sen + 2 sec2 ) 2 o) lim π + 0 e + e 2 2 q) lim + sen 2) sen r) lim sen ) ln lim + 3) arctg2) t) lim cos ) u) ) 6 + lim w) lim ln + 3) +4 ln + 2) +4) 6 + π lim 2 )tg 2 ) ) lim 0 arctg2 2 ) ln ) 9. Sejam f : R R derivável e a, b R tais que f a) = f b) = 0. Determine qual das alternativas abaio implica a eistência de um c entre a e b tal que f c) = 0. a) f a) > 0 e f b) < 0. b) f a) f b) > 0. c) f a) + f b) > 0. d) f a) + f b) < Para que valores de k a equação = k tem três soluções reais distintas?. Prove que eiste um único c R tal que cos cπ 2 ) = 2 3c. 2. Seja f ) = 7 + π e +. Quantas soluções distintas tem a equação f ) = 0? Mostre que a equação f ) = 0 tem eatamente três soluções reais distintas. 3. Dentre as alternativas abaio, aquela que contém um polinômio que define uma função bijetora de R em R é: a) b) c) d) e) Suponha que f : [0, ] R é contínua e que 0 f ), para todo [0, ]. Prove que eiste c [0, ] tal que f c) = c. 5. Prove que se p é um polinômio, a equação e p) = 0 não pode ter infinitas soluções reais. 6. Suponha f : [0, ] R contínua, f 0) = e f ) um número racional para todo [0, ]. Prove que f ) =, para todo [0, ]. 7. Seja f ) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de infleão, que é a média aritmética das três raízes. 8. Seja f : R R derivável e com um único ponto crítico 0. Prove que se 0 for ponto de mínimo máimo) local de f, então 0 será o único ponto de mínimo máimo) global de f. 9. Determine todos os números positivos a tais que a curva = a corta a reta =. 20. Transferência Fuvest 202) Considere o polinômio p) = 3 + a 2 + b + c, em que a, b, c são números reais. Qual a alternativa verdadeira? a) se c > 0 então p) terá pelo menos uma raiz positiva. b) p) sempre terá pelo menos um ponto crítico. c) p) sempre terá eatamente um ponto de infleão. d) se a 2 < 3b então p) não será injetora. e) se a 2 < 3b então p) não será sobrejetora. MAT ) 2 de 9

3 2. Determine, caso eista, a constante a para que f ) = 2 + a tenha a) um ponto de mínimo local em = 2. b) um ponto de mínimo local em = 3. Mostre ainda que, para qualquer valor de a, a função f não terá um ponto de máimo local. 22. Transferência Fuvest 203) Seja f ) = a + b 2, em que a e b são números reais. Sabe-se que = é ponto de máimo local e que f ) f ) = 3, Nessas condições, a + b vale a) 3 b) c) 0 d) e) Sejam I um intervalo aberto e f : I R uma função derivável. Assuma que vale o seguinte teorema: se a, b I, com a b, então para todo entre f a) e f b), eiste [a, b] tal que f ) =. Observe que não supomos f de classe C ). Com base nesse teorema podemos afirmar que a) não eiste função f : R R, derivável, tal que f 0) = e f ) = 0 para todo = 0. b) toda função derivável em I possui sua derivada f contínua em I. c) toda função derivável em I possui f descontínua em todo ponto de I. d) nenhuma das alternativas anteriores é correta. 24. Seja f uma função cuja derivada tem o gráfico esboçado na figura abaio: a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente? b) Para quais valores de f tem um máimo ou mínimo local? c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baio? d) Ache os pontos de infleão de f. e) Admitindo que f 0) = 0, faça um esboço do possível gráfico de f. 25. Seja f : R R uma função de classe C cujo gráfico está esboçado abaio. a b Quais das seguintes afirmações podem ser obtidas a partir da figura? a) lim f ) = lim f ) = 0. + b) A equação f ) = 0 possui eatamente duas soluções reais distintas. c) O valor máimo de f é f 0 ) para algum 0 [a, b]. d) g) = f ) é uma função crescente em [0, a]. e) Eiste c R tal que f é crescente em [c, + [. MAT ) 3 de 9

4 26. Transferência Fuvest 2007) Seja f uma função derivável até segunda ordem e suponha que o gráfico da função derivada f seja representado pela figura abaio: Pode-se afirmar que a única alternativa incorreta é a) f possui concavidade para cima no intervalo ], 2[. b) = é ponto de máimo local de f e = 3 é ponto de mínimo local de f. c) f possui concavidade para cima no intervalo ]3, 4[. d) f é crescente para < e também para > 3 e decrescente para < < 3. e) = 2 e = 4 são pontos de infleão de f. 27. Seja f : R R uma função de classe C cujo gráfico de f está esboçado abaio. 0 a Quais das seguintes afirmações podem ser obtidas a partir da figura? a) f ) = lim + b) f ) f a) para todo R c) f possui dois pontos de infleão no intervalo ]0, + [ d) = 0 é um mínimo local da função g) = f 2 ) e) O gráfico de f possui assíntota horizontal 28. Esboce o gráfico das funções abaio e dê as equações das assíntotas, quando eistirem. a) f ) = b) f ) = d) f ) = g) f ) = e 3 2 e) f ) = c) f ) = ) 2 f) f ) = ln h) f ) = 5 ln + 2) i) f ) = arctgln ) j) f ) = 2 ln k) f ) = e / l) f ) = 3 6 )e 2 8 ln + 3) m) f ) = + 3) 2 n) f ) = ln2) ln ) o) f ) = p) f ) = e e 3 q) f ) = 3 ) 2 r) f ) = MAT ) 4 de 9

5 29. Transferência Fuvest 2002) Sabendo que a figura abaio é o esboço do gráfico de uma função f ) = p), em que p e q são polinômios, tem-se q) a) grau p = grau q 2. b) grau p = grau q 2. c) grau p > grau q > 2. d) grau p > grau q = 2. e) grau p < grau q = Seja f ) = Prove que f tem eatamente um ponto de infleão e que esse ponto pertence ao intervalo ] 3, 2[. Esboce o gráfico de f. 3. Transferência 207) Considere as funções deriváveis f e g cujos gráficos estão esboçados abaio: f g 3 Seja h = f g. Sabendo que = é ponto de mínimo local de g e que g) =, é correto afirmar que a) h ) > 0. b) h ) < 0. c) = é ponto de infleão de h. d) = é ponto de mínimo local de h. e) = é ponto de máimo local de h. 32. Seja f : R R uma função derivável e seja a R fiado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. a) Se f ) > 0, para todo > a, então lim f ) = +. + b) Se f é derivável até segunda ordem com f ) > 0 e f ) > 0, para todo > a, então lim f ) = + +. c) Se lim f ) = 0 então lim f ) = L R. + + d) Se eiste uma assíntota para f quando + ) com coeficiente angular m e se eiste lim f ) = + L, então L = m. e) Se lim f ) = m R, m = 0 então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m Seja f ) = + 6)e /. Para quais valores de k a equação f ) = k tem eatamente duas soluções reais? 34. a) Ache o ponto de mínimo de f ) = e / no intervalo ]0, + [. b) Prove que ea+b ab e2, para todos a > 0 e b > 0. MAT ) 5 de 9

6 35. a) Esboce o gráfico de f ) = 2 e. b) Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke = Achar os valores mínimo e máimo de: a) f ) = sen cos, [0, π] b) f ) = , 2 c) f ) = + ln, 2 4 d) f ) = , 2 e) f ) = 4 2 3, Seja f ) = a, > 0, onde a > 0. Ache o menor valor de a para o qual tem-se f ) 28, para 5 todo > Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade a é válida para todo > 0? 39. P2, 206) Seja f ) = e definida no intervalo fechado [ 5, ]. Se a é o valor máimo de f e se b é o valor mínimo de f, então o produto ab é a) e 27 ; b) e 4 ; c) e 2 ; d) e 27 ; e) e Transferência Fuvest 202) Seja f ) = 2. Então, o coeficiente angular máimo das retas tangentes ao gráfico de f é + 3 a) 4 b) 8 c) 0 d) 8 e) 4 4. a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? b) Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado. 42. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a 2. Determine o raio da esfera que maimiza e o que minimiza a soma de seus volumes. 44. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 45. Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva = 2. Qual é o maior volume que tal cilindro + pode ter? 46. Transferência Fuvest 203) Dentre os cilindros circulares inscritos numa esfera de raio, seja h a altura daquele que tem volume máimo e seja h 2 a altura daquele que tem superfície lateral máima. Então, h h 2 é a) 2 5 b) 3 5 c) 2 3 d) 2 e) Sejam r e s duas retas paralelas com a distância entre elas igual a 2. Fie um ponto C sobre a reta s. Fie dois pontos A e B sobre a reta r de modo que a distância entre os pontos A e B seja igual a. É possível encontrar um ponto D na reta s, de modo que o segmento BD intercepte o segmento AC em um ponto P de forma que a soma das áreas dos triângulos ABP e DCP seja mínima? E seja máima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, determine a altura h do triângulo ABP. 48. Sejam a, b > 0. Determine, caso eista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura relativa à base dada) a. 49. Para que pontos da circunferência = 25 a soma das distâncias a 2,0) e -2,0) é mínima? 50. P2, 206) Considere todos os triângulos retângulos formados pelos semi-eios positivos e por uma reta que passa pelo ponto, 2). Dentre todos esses triângulos, aquele que possui área mínima tem a hipotenusa valendo: a) 8; b) 20; c) 38; d) 24; e) 40. MAT ) 6 de 9

7 5. Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos 2 pedaços seja a) máima? b) mínima? Mostre que no caso b) o lado do quadrado é 2/3 da altura do triângulo. 52. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. 53. Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 0m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar com velocidade constante) em linha reta até o ponto B veja figura abaio). Seja α o ângulo AOC. Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α, as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. Observação: considere que a pessoa pode somente caminhar ou somente nadar). 54. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máima capacidade. 55. Um muro de 2 metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? 56. Seja k um número real. Prove que todas as funções f : R R tal que f ) = k f ), para todo R são da forma ce k, com c R. 57. Utilizando o polinômio de Talor de ordem 2, calcule um valor aproimado e avalie o erro. a) 3 8, 2 b) ln, 3) c) sen 0, ) 58. Mostre que: 3 ) a) sen, R. b) 0 e < 3, [0, ] 3! Determine o polinômio de Talor de ordem 5 da função f ) = 3 em torno de 0 =. 60. Determine P 3 ), o polinômio de Talor de ordem 3 da função f ) = 5 em torno de 0 e dê a fórmula para o erro E) = f ) P 3 ). Use este polinômio com um 0 conveniente para avaliar 5 34 com erro inferior a Seja n > um inteiro. Determine P n ), o polinômio de Talor de ordem n da função f ) = sen 2) em torno de = a) Seja n > 0 um inteiro ímpar. Mostre que sen 3 3! + 5 5! b) avalie sen com erro inferior a ) n n! 2 n ) n+2, R. n + 2)! MAT ) 7 de 9

8 63. a) Determine o polinômio de Talor de ordem n da função f ) = e em torno de 0 = 0. b) Avalie e com erro, em módulo, inferior a 0 5. ) c) Mostre que e ! + + 2n n! e 2 2n+2, R. n+)! d) Avalie e 0,25 com erro inferior a Seja f :]a, b[ R uma função de classe C 2 e suponha que 0 ]a, b[ seja um ponto crítico de f. Mostre que: a) se f 0 ) > 0, então 0 é um ponto de mínimo local de f ; b) se f 0 ) < 0, então 0 é um ponto de máimo local de f. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 65. Sejam I um intervalo aberto e f : I R uma função derivável. a) Mostre que se a, b I, com a b, então para todo entre f a) e f b), eiste [a, b] tal que f ) =. Observe que não supomos f de classe C, o que tornaria o eercício trivial). b) Conclua que não eiste função f : R R, derivável, tal que f 0) = e f ) = 0 para todo = 0. c) Determine uma função f : R R, derivável em todo ponto, tal que f não seja contínua. 66. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? 67. LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS) O objetivo desta questão é demonstrar como a lei da refração de Snellius, da Óptica Geométrica, pode ser obtida como conseqüência do princípio de Fermat, segundo o qual a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso. Sejam P R 2 um ponto no semi-plano superior e Q R 2 um ponto no semi-plano inferior, fios vide figura abaio). Uma partícula vai de P a um ponto M =, 0) sobre o eio O com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T : R R tal que, para todo R, T) é o tempo de percurso de P a Q. Mostre que T possui um único ponto de mínimo 0 R. Verifique que 0 0, b) e que, se = 0, então sen α u = sen β v. 68. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA) Uma partícula de massa m desloca-se sobre uma reta real sob ação do campo de forças f, onde f é uma função contínua R R isso significa que, para cada R, quando a partícula estiver no ponto de abscissa, a força que atua sobre ela é f )). Seja V uma função derivável R R tal que, para todo R, V ) = f ) diz-se que a força F deriva do potencial V ). Seja : I R a função horária da partícula, definida no intervalo I R i.e. para cada instante t I, t) R é a posição da partícula no referido instante). Assuma que o movimento da partícula é governado pela lei de Newton: m t) = f t) ). Demonstre que eiste uma constante E R tal que, para todo t I: 2 m t) 2 + V t) ) = E. RESPOSTAS a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 0 f) 0 g) h) i) j) e 4 8. k) 6 l) + m) n) 2 o) 3 p) e 5 q) e 2 r) e s) e 2 3 t) u) e π 2 v) 3 e w) ) d) 9. b) 0. 4 < k < 5 3. a) 9. a e e 20. c) 2. a) a = 6; b) a = 54 MAT ) 8 de 9

9 22. a) 23. a) 25. a), b), c), e) 26. a) 27. c) 29. a) 3. e) 32. Verdadeiras: b) e d) < k < 4e /2 ou k > 9 3 e 34. a) 35. Não há soluções se k < 0; tem solução se k = 0 ou k > 4 e 2 ; tem 2 soluções se k = 4 e 2 ; tem 3 soluções se 0 < k < 4 e a) ; 2 b) ; c) ; 4 + ln4 d) 3 3; 0 e) 0; a = a = c) 40. b) 4. a) ; b) 4 π 42. altura: 4; raio: ; 2π 2π + 2 π c) 47. soma mínima: h = 2; a soma nunca é máima. 48. b + b 2 + 4a , 0) e 5, 0) 50. b) 5. a) Deve-se formar apenas um quadrado; b) o lado do quadrado é 3L menor tempo α = π; maior tempo α = π θ = π ) 3/2 66. a 2/3 + b 2/3 ) 3/2 MAT ) 9 de 9