dadas. Nos casos em que a concavidade não é dada, o que pode dizer sobre a ela? (f) f (x) < 0 no conjunto ( 4, 1) (0, 4), f (x) > 0 no conjunto

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1 Lista 10 - Cálculo 1 - Honors 1 Gráfico de funções, parte 2 1. Quando fizeram os gráficos da primeira seção da lista 9, vejam que a forma explícita da função só é usada para encontrar o valor da função em um ponto, assíntotas e os diferentes intervalos de crescimento/concavidade etc. Assim o que é realmente usado são estas informações, mais do que a fórmula explícita. Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas. Nos casos em que a concavidade não é dada, o que pode dizer sobre a ela? (a) D(f) = [ 4, + ) (b) f(0) = 2 (c) f(x) = 2 (d) f(x) = + x 0 (e) f (x) < 0 no conjunto ( 4, 1) (2, + ), f (x) > 0 no conjunto ( 1, 2) {0}. (f) f (x) < 0 no conjunto ( 4, 1) (0, 4), f (x) > 0 no conjunto ( 1, 0) (4, + ). (a) D(f) = [2, + ) (, 2] (b) f(2) = f( 2) = 0 (c) f é crescente para x (2, + ) (d) f é decrescente para x ( 2, ) (e) (f) x (f(x) 5x) = 0 (f(x) + x) = 0 (a) D(f) = {x R : x 0.5 e x 2} (b) f(0) = 0, f ( 4) = 0, f (0) = 0, f(1) = 1 e f( 4) = 0.5 (c) f é crescente para x ( 4, 0.5) ( 0.5, 0) (d) f é decrescente para x (, 4) (0, 2) (2, + ) (e) f(x) = +, f(x) = x 1 x 1 + (f) f(x) =, f(x) = + + x 2 (g) f(x) = 1 (h) f(x) = 1 x x 2 2. Uma equação diferencial é, grosso modo, uma equação relacionando as derivadas de uma função. Muitas leis da Física são expressadas em termos de equações diferenciais; Por exemplo, a equação ÿ(t) + αẏ(t) + βy(t) = R(t) representa, via Lei de Newton, o movimento de uma masa acoplada

2 a uma mola sob a influência de uma força externa descrita pela função R (α tem a ver com o atrito e β com a constante da mola). No finalzinho da disciplina aprenderemos a resolver algumas equações diferenciais; porém, a grande maioria das equações diferenciais não pode ser resolvida com fórmulas explícitas. No entanto, podemos esboçar o gráfico aproveitando a informação da equação diferencial, sem resolve-la. Esboçe o gráfico de y(x), sabendo que y satisfaz a equação diferencial e condição inicial. Não tente resolver a equação. y (x)y(x) = 1, y(0) = 1. xy (x) + y(x) = 0, y(1) = 1. y (x) = xy(x) x 2, y(0) = 1. 2 Máximos e mínimos de funções, parte 2 1. Para cada uma das funções da primeira seção da lista 9, encontre os pontos críticos e clasifique-os. Encontre também, se existirem, os valores máximo e mínimo absoluto da função (se vocês fizeram o gráfico, a maior parte dos cálculos já estão feitos). 2. Para cada uma das funções da segunda seção da lista 9, encontre os pontos críticos e clasifique-os. Encontre também, se existirem, os valores máximo e mínimo absoluto da função no seu domínio todo. 3. (a) Esboce o gráfico de f(x) = x 2 e x. (b) Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke x = x (a) Ache o ponto de mínimo de f(x) = ex x (b) Prove que ea+b ab e 2, para todos a > 0 e b > 0. no intervalo ]0, + [. 3 Máximos e mínimos aplicados, parte 2 Nos problemas desta seção tem que justificar a existência do extremal pedido. 1. Dados os números a 1,..., a n, determine x de modo que a soma seja mínima. n (a i x) 2 i=1 2. Qual ponto da hipérbole y 2 x2 2 y = 3? = 1 esté mais próximo do ponto x = 0,

3 3. O professor de Cálculo está na praia, onde o que ele procura é tranquilidade olhando o mar. Porém, tem duas festas com equipamentos de som a 1 Km de distância uma da outra. A intensidade de som é proporcional à potência do equipamento e inversamente proporcional ao quadrado distância a origem do som. Se uma das festas tem equipamento 64 vezes mais poderosa que a outra, onde, na linha unindo as duas festas, tem que se colocar o professor de Cálculo para minimizar o barulho? 4. (Lei de Refração de Snellius) O objetivo desta questão é demonstrar como a lei da refração de Snellius, da óptica Geométrica, pode ser obtida como consequência do princípio de Fermat, segundo o qual a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso. Sejam P R 2 um ponto no semi-plano superior e Q R 2 um ponto no semi-plano inferior, ambos fixados. Uma partícula vai de P a um ponto M = (x, 0) sobre o eixo Ox com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T : R R tal que, para todo x R, T (x) é o tempo de percurso de P a Q. Mostre que T possui um único ponto de mínimo x 0 R. Verifique que x 0 (0, b) e que, se x = x 0, então sin α u = sin β v. 5. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m > A resistência de uma viga retangular é conjuntamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua profundidade. Ache as dimensões da viga mais resistente que possa ser cortada de uma tora na forma de um cilindro circular reto com 72 cm de raio. 7. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar pela esquina? 8. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a potência en watts no resitor externo é dada pela fórmula P = E 2 R/(R + r) 2. Se E e r são fixos, variando R, qual é o valor máximo da potência? 9. Para um peixe nadando a velocidade v em relação à água, a energia gasta por unidade de tempo é proprcional a v 3. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v), então o tempo necessário para nadar uma distância L é L/(v u) e a energia total gasta em percorrer esta distância é proporcional a v 3 L/(v u). Determine o valor de v que minimiza E.

4 4 Aplicações do Teorema de L Hospital 1. Uma função f : (a, b) R é dita de classe C (a, b) se as derivadas de qualquer ordem de f existem (e, a fortiori, são contínuas) em todo (a, b). Considere a função { e 1/x2, x > 0, φ(x) = 0, x 0. Mostre que φ C (R). Seja η(x) = φ(x)φ(1 x) Mostre que η C (R) e que η(x) = 0 para todo x fora do intervalo (0, 1). (Funções de corte): seja x 0 R e 0 < r < s. Construa uma função ρ C (R) que satisfaça que ρ(x) = 0 para todo x fora de (x 0 s, x 0 + s) e ρ(x) = 1 para todo x (x 0 r, x 0 + r). Estas funções são usadas para localizar problemas em volta de x 0 : se f : (a, b) R é de classe C, então a função fρ também é C ; em volta de x 0 é igual a f, e longe de x 0 é zero. (Partições da unidade): Seja ɛ > 0. Considere a família de intervalos abertos indexada pelos inteiros, I k = (kɛ, (k + 2)ɛ), k Z. Construa uma família de funções φ k C (R) que satisfaça: a) φ k (x) = 0 para x fora de I k. b) Para qualquer x R, k=+ k= φ k(x) = 1 (Esta soma parece infinita mais não é). Uma tal família se chama partição da unidade; estamos espalhando a função constante UM como uma soma de funções onde cada uma é zero com exeição de um intervalo pequeno. As partições da unidade fornecem uma maneira mais sofisticada de localizar: se f C (R) e temos uma partição da unidade como acima, f(x) = f(x) 1 = f(x) k=+ k= φ k(x) = k=+ k= f(x)φ k(x) e cada parcela da soma é nula fora do intervalo I k. 2. Calcule os seguintes ites, caso existam: (a) (b) 4x 3 + x x 1 x ln x cotg x ln(1 + x 2 ) (c) x 0 xarctgx ( α ) (d) x sen x (e) xα ln x, α > 0 (f) (g) x 0 (h) (i) [ ] 1 x + ln x ( 1 1 cos x 2 ) x 2 2 xtg(x ) ln x (1 + 3x)1/

5 5 Introdução à Convexidade A idéia de convexidade é das mais improtantes na matemática. A seguir alguns resultados de convexidade na linguagem de Cálculo I. Um subconjunto K do plano é dito convexo se, dados p, q K, o segmento de reta unindo p com k está totalmente contido em K. Lembre/deduza que o segmento de reta unindo dois pontos p, q do plano pode ser descrito como S pq = {tp + (1 t)q t [0, 1]} = {λ 1 p + λ 2 q λ 1 + λ 2 = 1, λ 1 0, λ 2 0}. Na discussão a seguir I denotará um intervalo. Seja f : I R uma função. O epigráfico de f, que denotamos por EΓ f, é o conjunto obtido de adicionar ao gráfico os pontos acima dele: EΓ f = {(x, y) R R x I, y x}. Uma função f : I R é dita convexa se o epigráfico de f é um subconjunto convexo do plano. Note que a definição de convexidade não asume nenhuma regularidade de f. 1. Mostre que se f : I R é duas vezes diferenciável, então f é convexa se, e somente se, f (x) 0 para todo x I. 2. Seja f : R R convexa. Mostre que se f atinge mínimos locais em dois pontos x 0 < x 1 diferentes, então f é constante no intervalo [x 0, x 1 ]. Encontre condições que garantam que uma função convexa tenha um único mínimo. 3. Uma função duas vezes diferenciável f : I R é dita estritamente convexa se f (x) > 0 para todo x I. Mostre que a reta tangente ao gráfico de uma função estritamente convexa interseta o gráfico únicamente no ponto de tangência. O recíproco é verdadeiro? 4. Demostre a desigualdade de Jensen (versão simples): se f : I R é uma função convexa, então para todo λ 1, λ 2 não-negativos e satisfazendo λ 1 + λ 2 = 1, temos f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ). (Sugestão: A demostração decorre diretamente do desenho geométrico do que está acontecendo). Aqueles que estudaram indução matemática podem tentar generalizar para λ 1,..., λ n, x 1,..., x n.