MAT0146-Cálculo Diferencial e Integral I para Economia

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1 MAT046-Cálculo Diferencial e Integral I para Economia. Calcule f (x) para as funções f abaixo: ) f(x) = x+ x 4) f(x) = xsen ( x 5 x ) 5) f(x) = 7) f(x) = a Lista de Exercícios ) f(x) = (x3 +) 3 x+ 3) f(x) = 4x x4 (x 3 +) 00 3 x cosx (x 4 +tg x+) 6) f(x) = 6 x tg x x+cossecx x 3 +3x 8) f(x) = sec ( x + ) 9) f(x) = x tg(x 3 x ) secx 0) f(x) = xsenxcosx ) f(x) = (x+λ)4 x 4 +λ 4 ) f(x) = 3) f(x) = 6) f(x) = x ( x+ x ) 3 3 xsenx x cos(x ). Verifique que: (a) d dx [(x+)arctg x x] = arctg x sen(x senx) 4) f(x) = cotg(3x +5) 5) f(x) = sen 33 xcos 7 x ( ) 7) f(x) = xarctg(x3 +) x x +cos(50x) +arcsen +x (b) d [ ( )] x dx arcsen x = x x +4x 4 3. Seja f : IR IR contínua em IR tal que f(x) x 3 +x, para todo x IR. A função f é derivável em 0? Resp.: Sim. 4. Seja f : IR IR derivável em a ]0,+ [. Calcule, em termos de f f(x) f(a) (a), o limite: lim. x a x a Resp.: af (a). 5. Analise as seguintes soluções para a questão abaixo. Questão. Considere a função f(x) = x x. Decida se f é derivável em x = 0 e, em caso afirmativo, calcule f (0). Justifique suas afirmações. solução. f (0) = 0, pois f(0) = 0. solução. Como a função g(x) = x não é derivável em x = 0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em x = 0. Logo f não é derivável em x = 0. solução 3. Temos f(x) = h(x)g(x), onde h(x) = x e g(x) = x. Assim: f (0) = h (0)g(0)+h(0)g (0); como g(0) = 0 e h(0) = 0 então f (0) = 0. { x, se x < 0 f(x) f(0) solução 4. Temos f(x) = x. Logo lim, se x 0 + x 0 f(x) f(0) x 0 lim = lim x 0 x 0 = lim = 0. Portanto lim x Resp.: somente a solução 4 está correta. f(x) f(0) x 0 x x 0 lim + x 0 = lim +x = 0 e = 0, ou seja f (0) = 0.

2 6. Seja f : IR IR derivável em x = 0 tal que f(0) = f (0) = 0. Seja g : IR IR uma função limitada e não derivável em x = 0. Calcule a derivada de h(x) = f(x)g(x) no ponto x = 0. Resp.: Mostrar que a reta y = x é tangente à curva y = x 3 6x + 8x. Encontre o ponto de tangência. Resp: (3, 3). 8. Determine todos os pontos (x 0,y 0 ) sobre a curva y = 4x 4 8x +6x+7 tais que a tangente à curva em (x 0,y 0 ) seja paralela à reta 6x y +5 = 0. Resp: (, 3), y = 6x+3 ; (0,7), y = 6x+7 ; (,9), y = 6x Seja f(x) = 3x+. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0,0). x Resp.: y = 9x ; y = x 0. Sejam f : IR IR uma função derivável até a ordem e g : IR IR dada por g(x) = xf(x++senx). Calcule g (x). Supondo f () =, calcule g (0). Resp.: 8.. Seja f(x) = x 3. Calcule f (x), para todo x IR. A função f é derivável no ponto x 0 = 0? Justifique. Resp.: Não.. Sabe-se que f : IR IR é uma função derivável em IR e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é x+y = 6. Seja g : IR IR dada por g(x) = (f( 9+4x)). Determine g (0). Resp.:. 3. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = ax (a 0) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 4. Sejam f(x) = x+cosx e g a função inversa de f. Admitindo g derivável, determine g (). Resp.:. 5. Sejam f(x) = 7x3 x, para x > 0 e g a função inversa de f. Admitindo g derivável, verifique se a + reta tangente ao gráfico de g no ponto (3,g(3)) é normal à reta y +5x+ = 0. Resp.: Sim. 6. Sejam f(x) = x 3 + 5x 6 e g a função inversa de f. Admitindo g derivável até a segunda ordem, calcule g (0). 7. Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação x = y 3 ( y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (,). y = x. 8. Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação x +xy+y = 3. Admitindo f derivável, determine as retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta x y + = 0. Resp.: y +x = ; y +x =. 9. Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação arctg(y )+xy +7 = 3x. Admitindo f derivável em seu domínio I, onde I é um intervalo aberto de IR contido em ] 5,[, determine a equação da reta que é normal ao gráfico de f e paralela à reta 3y +x =. Resp.: 3y +x+3 = Seja h(x) = x+cosx

3 (a) Mostre que h é injetora. (b) Calcule h (). Resp: 0 (c) Admitindo (h ) derivável, determine (h ) (). Resp:. Seja y = f(x) tal que (x,f(x)) é solução da equação y 5 + ye x + 3xe y+ + = 7senx, para todo x no domínio de f, e seja e g a inversa de f. Supondo que f e g são funções deriváveis, determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa. Resp: 5y = 6x+6. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: a) coshx := ( e x +e x) b) senhx := e ( x e x) c) f(x) = e (ex ) d) f(x) = x e +e x e) f(x) = e /x + e (x ) f) f(x) = ln(e x +) g) f(x) = (lnx) +(+ x3 ) x h) f(x) = ln ( x+ x + ) i) f(x) = x π +π x j) f(x) = (x) +3 x k) f(x) = ln(arctgx) l) f(x) = ( +cos x ) senx m) f(x) = (e x +3x) arcsen(x ) n) f(x) = (3+cosx) tg(x ) o) f(x) = ln(x3 + x3 ) x +e cosx p) f(x) = (x +) senx5 q) f(x) = (+arctgx ) /x4 r) f(x) = x e arctgx s) f(x) = tg (3x) arctg(3x) t) f(x) = ln x+ x 3. (Expansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma expansão adiabática, a sua pressão p e seu volume V satisfazem à equação pv,3 = k, onde k é uma constante. Mostre que V dp dt =,3pdV dt. 4. De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicialteracabado, opetróleoseexpandenumcontornocircularderaior eespessurauniformeh, onder cresce e h decresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Experiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido: h = c t. Mostre que a taxa dr dt com que o petróleo se expande é inversamente proporcional a t3/4. 5. Num certo instante t 0, a altura de um triângulo cresce à razão de cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t 0, sabendo que sua altura é 0cm e sua área é 00cm, qual a taxa de variação da base do triângulo? 3 Resp.:,6cm/min.

4 6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual à três vezes a altura. Quando a altura do monte é de,m, a taxa de variação com que a areia é despejada é de 0,08m 3 /min. Qual a taxa de variação da altura do monte neste instante? Resp.: 40π m/min. 7. A aresta de um cubo cresce ao longo do tempo. Num certo instante t 0, o seu volume cresce a uma taxa de 0cm 3 /min. Sabendo que, neste instante, a aresta do cubo mede 30cm, qual é a taxa de variação 4 da área da superfície do cubo? Resp.: 3 cm /min. 8. Uma lâmpada está no solo a 5m de um edifício. Um homem de,8m de altura anda a partir da luz em direção ao edifício a,m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele está a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. Resp.: 3,6m/s; 0,9m/s. 9. Uma tina de água tem 0m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapezóide isósceles com 30cm de comprimento na base, 80cm de extensão no topo e 50cm de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taxa de 0,m 3 /min, quão rápido estará subindo o nível da água quando ela estiver a 30cm de profundidade? Resp.: 0 3 cm/min. 30. (Escada deslizante) Uma escada de 5 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede (veja figura). Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de pés por segundo. (a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante? (b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede. (c) Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede. Resp.: (a) 7 57 pes/s; (b) 4 pes /s; (c) rad/s. 3. (Controle de Tráfego Aéreo) Um controlador de tráfego aéreo percebe que dois aviões, que estão voando na mesma altitude e ao longo de duas retas perpendiculares entre si, irão se chocar no ponto 4

5 de intersecção destas retas (veja figura). Num certo instante um dos aviões está a 50 milhas desse ponto e está se deslocando a uma velocidade de 450 milhas por hora. O outro avião está a 00 milhas do ponto e tem uma velocidade de 600 milhas por hora. A que taxa a distância entre os aviões está diminuindo nesse instante? Resp: 750 mph. 3. Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade. 33. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades: (a) sen b sen a b a, a,b IR. (b) a b a b, a,b IR, com a e b. (c) ln a a b, a,b IR, com a e b. b (d) b b a a > a a (b a), a,b IR com a < b. (e) e x e y x y, para todo x,y com x > y > Seja f uma função derivável em um intervalo ]a,+ [ e suponha que a < 0. Mostre que se f(0) = 0 e 0 < f (x), para todo x > 0, então 0 < f(x) x, x > Mostre que f(x) = (+x) /x é estritamente decrescente para x > 0 e conclua que (+π) e < (+e) π. 36. Prove as seguintes desigualdades: (a) x > 3 x, x > (b) e π > π e (c) tg b tg a > b a sempre que 0 < a < b < π (d) x x3 3! < sen x < x x3 3! + x5 5!, x > 0 5

6 (e) +x < + x se x > 0 (f) xarctgx > ln(+x ), x > Seja f derivável em IR e seja g dada por g(x) = f(x), x 0. Suponha que p é ponto de máximo local x de g. Prove que pf (p) f(p) = 0. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa pela origem. 38. Determine a constante a tal que f(x) = x + a x tenha: (a) Um mínimo local em x =. (b) Um mínimo local em x = 3. (c) Mostre que f não terá máximo local para nenhum valor de a. Resp: (a) 6 ; (b) Determine c para que a função f(x) = x 3 +3x 9x+c tenha uma única raiz real. Resp: c < 7 ou c > 5. ( πx ) 40. Mostre que a equação 3x +cos = 0 tem exatamente uma raiz real. ( ) nx x 4. Seja n IR tal que lim = 4. Determine n. nx+ Resp: /ln 4. Calcule, caso exista a) lim x ln( x) tg πx Resp: 0 b) lim lnx 00 5 x Resp: 0 c) lim + lnx cotg x Resp: 0 d) lim lnx e x Resp: 0 e) lim xe x e x Resp: 0 f) lim + xp lnx, p > 0 Resp: 0 ( p ) g) lim x sen x i) lim Resp: p [ ln(+x) ] e x Resp: h) lim ( cos x ) x j) lim + (x senx)tgx Resp: Resp: /6 k) lim (e x +3x) /x Resp: e 4 n) lim + [ ] x +lnx Resp: + p) lim ln(+x ) x arctg x Resp: m) lim +xtg(x ) o) lim arctg(x ) ln(+3x ) Resp: Resp: /3 r) lim (+senx) senx Resp: e 6

7 ( ) xsen x+x s)lim e x +e x Resp: 3 u) lim ln x Resp: 0 e3x t) lim (tgxsecx sec x) Resp: x π + v) lim (+3x)/lnx Resp: e [ x) lim ln(x+3) x+4 ln(x+) x+4] Resp: y) lim +(senx)/lnx 43. Seja f uma função cuja derivada tem o gráfico esboçado na figura abaixo: (a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Para quais valores de x f tem um máximo ou mínimo local? (c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo? (d) Ache os pontos de inflexão de f. (e) Assumindo que f seja contínua e que f(0) = 0, esboce o gráfico de f. 44. Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem. a) f(x) = x 4 +x 3 + b) f(x) = x3 x c) f(x) = x x + e) f(x) = x x 4 d) f(x) = x3 x 3 + f) f(x) = ( 3 6 x ) e /x g) f(x) = 4x +x+ h) f(x) = 3 x 3 x i) f(x) = e x e 3x j) f(x) = x 3lnx x 45. (a) Esboce o gráfico de f(x) = x e x. (b) Determine, em função de k, o número de soluções da equação ke x = x. Resp: não há soluções se k < 0; uma solução se k = 0 ou k > 4 ; duas soluções se k = 4 ; três soluções e e se 0 < k < 4. e 46. (a) Ache o ponto de mínimo de f(x) = ex x no intervalo ]0,+ [. Resp: x 0 =. (b) Prove que ea+b ab e, a,b IR +. 7

8 47. Achar, caso existam, os valores máximo e mínimo de: (a) f(x) = senx cosx, x [0,π].Resp: ;. (b) f(x) = 3+x x 3, x. Resp: 7 8 ; (c) f(x) = x +lnx, x 4.Resp: 4;. (d) f(x) = 3 x 3 x, x. (cuidado!)resp: 3 3; 0. (e) f(x) = x 4 x 3, 0 x 3. Resp: 0; Mostre que a equação x 3 6x+c = 0 tem no máximo uma raiz no intervalo [-,]. 49. Suponha que f : [0,] IR seja contínua, f(0) = e que f(x) é um número racional para todo x [0,]. Prove que f(x) =, para todo x [0,]. 50. Seja f(x) = x 3 x +3x, para x 0. Mostre que é a única raiz de f em ]0,+ [, que f() > 0 e que f(/) < 0. Conclua que f(x) > 0 em ],+ [ e que f(x) < 0 em ]0,[. 5. Seja f : IR IR derivável e suponha que x 0 IR é o único ponto crítico de f. Prove que, se x 0 for ponto de mínimo local (máximo local) de f, então x 0 será o único ponto de mínimo (máximo) global de f. 5. Para que pontos da circunferência x +y = 5 a soma das distâncias a (,0) e (-,0) é mínima? Resp: (5,0) e (-5,0) 53. Achar os pontos da hipérbole x y = mais próximos de (0,). Resp: ( ± ) 5, 54. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se x é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando x = 3R. 55. Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eixo x, onde a base do retângulo está x apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y = x. Qual é o maior volume que tal + cilindro pode ter?resp: π Um arame de comprimento L deve ser cortado em pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos pedaços seja (a) máxima? (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é /3 da altura 3L do triângulo.resp: (a) Deve-se formar apenas um quadrado; (b) o lado do quadrado é (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em (a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado.resp: (a) ; (b) 4/π 8

9 58. Um canhão situado no solo é posto sob um ângulo de inclinação θ. Seja r o alcance do canhão, isto é, a distância entre o canhão e o ponto de impacto da bola. Então r é dado por r = v sen θ cos θ, g onde v e g são contantes. Para que ângulo o alcance é máximo?resp: θ = π Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio 3. Resp: altura: 4; raio:. 60. Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a. Determine o raio da esfera que maximiza e o que minimiza a soma de seus volumes. Resp: π ; π+. 6. Um muro de metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam uma na parede, e outra no chão do lado ( de fora do muro?resp: + 3 3/. 4) 6. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máxima. Resp: 63. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máxima capacidade. Resp: θ = π 6 9