(d) 1 x + 1 y = 1. (e) x 2 = x+y. (0, 1 2 ) (cardióide) (3, 1) (lemniscata)

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 4 a Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada Prof. Wellington D. Previero 1. Ache dy/dx diferenciando implicitamente. (a) x 3 + xy 2x = 1 (b) x 2 + y 2 = 100 (c) x 2 y + 3xy 3 x = 3 (d) 1 x + 1 y = 1 (e) x 2 = x+y x y 2. Questões conceituais (a) Descreva a diferença entre a forma explícita de uma função e uma equação implícita. Dê um exemplo de cada caso. (b) Use suas próprias palavras para descrever o procedimento para uma derivação implícita. 3. Use a diferenciação implícita para achar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. (a) x 2 + y 2 = (2x 2 + 2y 2 x) 2 (0, 1 2 ) (cardióide) (b) 2(x 2 + y 2 ) 2 = 25(x 2 y 2 ) (3, 1) (lemniscata) 1

2 4. A curva x 3 + y 3 = 3xy é chamada Fólio de Descartes. Em quais pontos do Fólio de Descartes a reta tangente é horizontal? 5. Ache dy/dx. (a) y = ln(2 + x) (b) y = ln x (c) y = ln x 3 7x 2 3 (d) y = x2 1+log x (e) y = e 7x (f) y = ex e x e x +e x (g) y = ln(1 xe x ) Roteiro Para Resolver Problemas de Taxas Relacionadas Passo 1: Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam. Passo 2: Identifique as taxas de variação que são conhecidas e a taxa de variação que é para ser encontrada. Passo 3: Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação é para ser encontrada com as quantidades cujas taxas de variação são conhecidas. Passo 4: Diferencie implicitamente ambos os lados desta equação em relação ao tempo e resolva para a derivada que dará a taxa de variação desconhecida. Passo 5: Calcule essa derivada em um ponto apropriado. 6. Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura de um tanque de um navio se espalha em forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o raio for de 60 pés? 7. Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e x a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que s decresce a uma taxa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião? 2

3 8. O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s = 50t 2, onde s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de pés. Calcule a taxa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento. 9. Na figura abaixo, uma bastão de conexão de 7 polegadas é acoplado a uma manivela cujo raio é de 3 polegadas. A manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de 200 rotações por minuto. Calcule a velocidade do pistão quando θ = π Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 pés. 11. Um tanque no formato de um cone está sendo esvaziado. A altura está variando a uma taxa de -0,2 metros por minuto e o raio está variando a uma taxa de -0,1 metro por minuto. Qual a taxa de variação do volume no instante em que o raio r = 1 metro e a altura h = 2 metros? 12. Um satélite está em órbita elíptica em torno da Terra. A sua distância r em milhas do centro da Terra é dada por r = , 12 cos θ onde θ é o ângulo medido do ponto da órbita mais próximo da superfície da Terra. (a) Ache a altura do satélite no perigeu (ponto mais próximo da superfície da Terra) e no apogeu (ponto mais distante da Terra), usando 3960 milhas para o raio da Terra. 3

4 (b) No instante em que θ for 120, o ângulo está crescendo a uma taxa de 2,7 /min. Ache a altura do satélite e a taxa segundo a qual a altura estará variando neste instante. Expresse a taxa em unidades de milhas/minuto. 13. O ponteiro do minuto de um certo relógio tem 4cm de comprimento. Começando do momento em que o ponteiro está apontando diretamente para cima, com que rapidez estará variando a área do setor que é varrido pelo ponteiro durante uma revolução. 14. As extremidades de um bastão móvel, de 1 metro de comprimento, têm coordenadas (x, 0) e (0, y) respectivamente. A função posição para a extremidade que se encontra no eixo x é x(t) = 1 2 sen ( πt 6 onde t é o tempo medido em segundos. (a) Calcule o tempo para o bastão completar um ciclo. (b) Qual o ponto mais baixo atingido pela extremidade do bastão que está sobre o eixo y? (c) Calcule a velocidade do extremo que está sobre o eixo y quando o extremo sobre o eixo x estiver no ponto ( 1 4, 0). ) 15. Os mecânicos de uma automotiva estão torneando um cilindro de 6 polegadas de profundidade para receber um novo pistão. A máquina usada aumenta o raio do cilindro em 0,001 polegada a cada 3 minutos. A que taxa o volume do cilindro aumentará quando o diâmetro for de 3,8 polegadas? 4

5 16. Você está filmando uma corrida de um lugar a 100 metros de distância da pista, seguindo um carro que se desloca a 140km/h. Quando o carro estiver exatamente na sua frente, a que velocidade o ângulo θ de sua câmera variará? E meio segundo depois? 17. Para as funções a seguir, ache os pontos críticos de f (se houver), encontre o(s) intervalo(s) aberto(s) onde a função seja crescente ou decrescente e aplique o Teste da Primeira Derivada para identificar todos os extremos relativos. (a) f(x) = 2x 2 + 4x + 3 (b) f(x) = x5 5x 5 (c) f(x) = x + 1 x (d) f(x) = x2 2x+1 x Use o gráfico de f para identificar o(s) intervalo(s) onde f é crescente ou decrescente e estime os valores de x para quais f tenha um máximo ou mínimo relativo. (a) (b) 19. Tossir força a traquéia a se contrair, o que afeta a velocidade v do ar que passa por ela. A velocidade do ar durante a tosse é v = k(r r)r 2, 0 r R onde k é uma constante, R é o raio normal da traquéia e r é o raio durante a tosse. Qual raio produzirá a velocidade máxima do ar? 20. A potência elétrica P, em watts, de um circuito de corrente direta com dois resistores conectados em paralelo é P = vr 1R 2 (R 1 + R 2 ) 2 onde v é a voltagem. Se v e R 1 permanecerem constantes, qual é a resistência R 2 que produzirá a potência máxima? 5

6 21. Encontre os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico da função. (a) f(x) = x 3 6x x (b) f(x) = x(x 4) 3 (c) f(x) = x x+1 (d) f(x) = x + 2 cos(x) x [0, 2π] 22. Nos ítens abaixo, ache: (a) os intervalos nos quais f é crescente; (b) os intervalos nos quais f é decrescente; (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima; (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo e (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. (a) f(x) = x 2 5x + 6 (b) f(x) = x2 x 2 +2 (d) f(x) = ln(x 2 + 1) (e) f(x) = cos(x) x [0, 2π] (c) f(x) = xe x2 23. Use qualquer método para achar os extremos relativos da função f. (a) f(x) = x 3 + 5x 2 (b) f(x) = x2 x 2 +1 (c) f(x) = ln(x 2 + 1) 24. A figura abaixo mostra o gráfico de f. Esboce o gráfico de f. (A resposta não é única). 25. A água está enchendo o vaso mostrado na figura, com taxa constante. 6

7 (a) Esboce o gráfico da profundidade d da água no vaso, em função do tempo. (b) Esta função tem máximo ou mínimo? Explique. (c) Interprete o ponto de inflexão do gráfico de d. Roteiro Para Esboçar Gráficos de Funções Passo 1: Determine o domínio da função. Passo 2: Determine as intersecções com os eixos. Passo 3: Determine as assíntotas verticais e horizontais. Passo 4: Determine os pontos críticos. Passo 5: Determine os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos extremos. Passo 6: Determine os intervalos em que a função é côncava para cima, para baixo e os pontos de inflexão. 26. Faça um esboço do gráfico das funções abaixo: (a) f(x) = x 4 3x 3 + 3x (b) y = 2x x 3 (c) y = x2 1 x 3 (d) y = x 1 x 2 4 (e) f(x) = 2x + 3x Ache os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem. (a) f(x) = 4x 2 4x + 1 [0, 1] (b) f(x) = 3x 4x 2 +1 [ 1, 1] 7

8 (c) f(x) = 2sen(x) cos(2x) [0, 2π] (d) f(x) = x 3 3x 2 (, + ) (e) f(x) = 4x 3 3x 4 (, + ) Roteiro Para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo: Passo 1: Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema. Passo 2: Ache uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada. Passo 3: Use as condições dadas no problema para eliminar variáveis, expresse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função de uma variável. Passo 4: Ache o intervalo de valores possíveis para esta variável a partir das restrições físicas do problema. Passo 5: Se aplicável, use as técnicas estudadas para obter o máximo ou mínimo. 28. Um fazendeiro tem 400 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 29. Uma folha de papelão quadrada de com 12 cm 2 é usada para fazer uma caixa aberta, retirando-se quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível? 30. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10m 3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10,00 por metro quadrado. O material para os lados custa R$ 6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres. 31. Um retângulo tem dois cantos inferiores sobre o eixo x e dois cantos superiores sobre a curva y = 16 x 2. Para esses retângulos, quais as dimensões daquele que tem a maior área? 8

9 32. (a) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a $100 por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares para x unidades for C(x) = x + 0, 0025x 2 e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro? (b) Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária? 33. Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma que a seção transversal é um trapézio com os lados igualmente inclinados. Se os lados da base, todos, tiverem um comprimento de 5m, como escolher o ângulo θ (0 θ π ) de forma que o volume seja o maior possível. (Sugestão: 2 para que o volume seja o maior possível, a área da seção transversal deve ser máxima) 34. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata? 35. O alcance R de um projétil disparado com velocidade inicia v 0 em um ângulo θ com a horizontal é R = v2 0sen2θ g onde g é a aceleração da gravidade. Ache o ângulo θ tal que o alcance seja máximo. RESPOSTAS 1. (a) 3 x2 +y 2 x (b) x y (c) 2xy 3y3 +1 x(x+9 y 2 ) 9 (d) y2 x 2 (e) x3 2 x 2 y+xy 2 +y x

10 2. 3. (a) y = x + 1 (b) y = 9 (x 3) x = 0 e x = (a) y = 1 2 x(2+ x) (b) y = 1 x (c) y = 3x2 14x (d) y = x 3 7x 2 3 2x 1+ln(x) x (1+ln(x)) 2 (e) y = 7e 7x (f) y = 4 (e x +e x ) 2 (g) y = 1 (ex e x ) 2 (e x +e x ) π pés 2 /s milhas por hora radianos por segundo polegadas por minuto π 0, 09 pés por minuto 11. 0, 2π metros por segundo 12. (a) 500 milhas e 1716 milhas. (b) 21,7 milhas por minuto π 15 cm2 por minuto 14. (a) 12 segundos (b) 1 2 3m (c) 5π 120 m/seg 17. (a) Pontos Críticos: x = 1; f é crescente em (, 1); f é decrescente em (1, ); x = 1 é ponto de máximo. 10

11 (b) Pontos Críticos: x = 1 e x = 1; f é crescente em (, 1) e (1, ); f é decrescente em ( 1, 1); x = 1 é ponto de máximo relativo e x = 1 é ponto de mínimo relativo. (c) Pontos Críticos: x = 1, x = 0 e x = 1; f é crescente em (, 1) e (1, ); f é decrescente em ( 1, 0) e (0, 1); x = 1 é ponto de máximo relativo e x = 1 é ponto de mínimo relativo. (d) Pontos Críticos: x = 3, x = 1 e x = 1; f é crescente em (, 3) e (1, ); f é decrescente em ( 3, 1); x = 3 é ponto de máximo relativo e x = 1 é ponto de mínimo relativo. 18. (a) f é crescente em (2, ); f é decrescente em (, 2); x = 2 é ponto de mínimo relativo. (b) f é crescente em (, 1) e (0, 1); f é decrescente em ( 1, 0) e (1, ); x = 1 e x = 1 são pontos de máximo relativo e x = 0 é ponto de mínimo relativo. 19. r = 2R Máximo quando R 2 = R (a) Ponto de Inflexão: x = 2; f é côncava para cima (2, ); f é côncava para baixo em (, 2). (b) Ponto de Inflexão: x = 2 e x = 4; f é côncava para cima (, 2) e (4, ) ; f é côncava para baixo em (2, 4). (c) Ponto de Inflexão: x = 1; f é côncava para cima (, 1) ; f é côncava para baixo em ( 1, ). (d) Ponto de Inflexão: x = π e x = 3π ; f é côncava para cima 2 2 ( π, 3π); f é côncava para baixo em (0, π) e ( 3π, 2π) (a) f é crescente em ( 5, ); f é decrescente em (, 5); f é 2 2 côncava para cima em (, ); Não há ponto de inflexão. (b) f é crescente em (0, ); f é decrescente em (, 0); f é côncava para cima em ( 6, 6); f é côncava para baixo em 3 3 (, 6 ) e ( 6, ); Ponto de inflexão: x = 6 e x = (c) f é crescente em (, ); f é côncava para cima em (0, ); f é côncava para baixo em (, 0); Ponto de inflexão: x = 0. 11

12 (d) f é crescente em (0, ); f é decrescente em (, 0); f é côncava para cima em ( 1, 1); f é côncava para baixo em (, 1) e (1, ) Ponto de inflexão: x = 1 e x = 1. (e) f é crescente em (π, 2π); f é decrescente em (0, π); f é côncava para cima em ( π 2, 3π 2 ); f é côncava para baixo em (0, π 2 ) e ( 3π 2, 2π) Ponto de inflexão: x = π 2 e x = 3π (a) Não há ponto extremos. (b) Ponto de mínimo: x = 0 (c) Ponto de mínimo: x = (a) (c) (b) (d) 27. (a) Valor máximo 1 em x = 0 e valor mínimo 0 em x = 1 2. (b) Valor máximo 3 5 em x = 1 e valor mínimo 3 5 em x = 1. (c) Valor máximo 3 em x = π 3 e valor mínimo 2 2 em x = 7π 6 e x = 11π. 6 (d) Não máximo e nem mínimo. (e) Valor máximo 1 em x = 1 e não há mínimo. 28. O terreno deve ter 100 metros de profundidade e 200 de extensão cm Para ter custo mínimo devemos ter que a largura da base deve medir 3 3 metros. O custo mínimo será de $

13 31. Para a área máxima, a base do retângulo deve medir b = e a altura h = (a) 7000 (b) Sim 33. θ = π O raio da lata deve ser r = π 100 e a altura h = = 2 π( π )2/3 π = 2r 13