MAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios

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1 MAT Cálculo I - POLI a Lista de Eercícios. Calcule a derivada indicada em cada caso: a) y se y = ; b) y se y = ( ) d ; c) ; d + ( d) d d 3 + ); e) d500 3 d 500 ( ).. Calcule dy por derivação implícita: d a) = y y 7 ; b) 4 y 3 3y = Determine a equação da reta tangente à curva dada, no ponto dado: a) y = 3 ( ) (,) (piriforme) b) 3 + y 3 = 4 ( 3 3, ) (astróide) c) ( + y ) = 5( y ) (3,) (lemniscata) d) y = (y + ) (4 y ) (0,-) (concóide de Nicomedes) Os gráficos das equações acima são respectivamente: Resp.: a) = y; b) y = 3 ( + 3 3); c) 9 + 3y = 40; d) y =. 4. Calcule os seguintes limites: ( ) (a) lim + (Resp.: e ) ( ) + 3 (b) lim + (Resp.: e ) ( ) + c, (c) lim c 0 c (Resp.: e c ) (d) lim 3)+4 ln( + ) +4 ] (Resp.: )

2 5. Seja y = f() dada por f() = 3 + ln, > 0 e = g(y) sua função inversa. (a) Calcule g (y) em termos de g(y). (b) Calcule g (). (Resp.: (b) /4) 6. Sejam f() = e + ln e h() = f (). Ache h (e). (Resp.: 7. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: +e ) (a) cosh = (e + e ) (l) f() = ( ) (b) senh = (e e ) (c) f() = e (e ) (d) f() = e + e (e) f() = e + e ( ) (m) f() = () + 3 (n) f() = ( + e ) ( ) (o) f() = ( + ) (p) f() = arctg (f) f() = ln(e + ) (q) f() = arcsen ( 3 ) (g) f() = (ln ) (r) f() = arcsen (e ) (h) f() = ln ( + + ) (s) f() = e arctg (i) f() = ln(ln ) (t) f() = tg (3) arctg (3) (j) f() = ln + (k) f() = π + π (u) f() = ln(arctg ) (v) f() = ( + cos ) sen 8. Usando princípios da física pode ser mostrado que, quando um cabo é pendurado entre dois postes, toma a forma de uma curva y = f(), que satisfaz a equação diferencial d y d = pg ( ) dy, + onde p é a densidade linear do cabo, g é a aceleração da gravidade T d e T é a tensão no cabo no ponto mais baio e o sistema de coordenada é apropriadamente escolhido. Verifique que a função y = f() = T pg cosh ( pg ) é a solução dessa equação T diferencial, onde cosh t = (e t + e t )/.

3 9. Use o TVM para provar as seguintes desigualdade: a) sen b sen a b a, a, b IR. b) a b a b, a, b IR, com a e b. c) ln a a b, a, b IR, com a e b. b d) b b a a > a a (b a), a, b IR com a < b. 0. Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade.. Esboce o gráfico de: (a) f() = (f) f() = (b) f() = (g) f() = (c) f() = 4 3 (h) f() = cos + sen 0 π (d) f() = (i) f() = sen j) f() = π. Esboce as curvas de equações: (a) 3 + y 3 = a 3, a > 0 (b) y = Seja f uma função definida em um intervalo (a, + ), a IR. Dizemos que a reta y = m+n é uma assíntota no infinito para f se [f() (m + n)] = 0 lim (a) Prove que a reta y = m + n é uma assíntota para f se, e somente se, m = f() lim e n = lim [f() m]. Observação: O que foi feito para + vale também para, com as necessárias adaptações. (b) Determine as assíntotas e esboce o gráfico de: (i) f() = 3 + (ii) f() =

4 (iii) f() = 3 3 (iv) f() = + (v) f() = 3 + (vi) f() = 3 ( ) 4. Mostre que a equação 3 + cos ( π 5. Mostre que + < + se > 0. ) = 0 tem eatamente uma raiz real. 6. Mostre que a equação c = 0 tem no máimo uma raiz no intervalo [-,]. 7. Prove as seguintes desigualdades: (a) > 3, > (b) e π > π e (c) tg b tg a > b a sempre que 0 < a < b < π (d) 3 3 < sen < 3! 3! + 5 5!, > 0 (e) (note que a igualdade vale apenas para = ) 8. Para que pontos da circunferência + y = 5 a soma das distâncias a (,0) e (-,0) é mínima? Resp.: (5,0) e (-5,0) 9. Achar os pontos da hipérbole y = mais próimos de (0,). ( ) 5 Resp.: ±, 0. Um muro de metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apoiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? Resp.: ( ) 3/.. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertital de modo a obter a máima capacidade. 4

5 Resp.: θ = π 6. Considere o gráfico da derivada f de uma função f. (Veja a figura abaio) (a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Para quais valores de f tem um máimo ou mínimo local? (c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baio? (d) Ache os pontos de infleão de f. (e) Assumindo que f seja contínua e que f(0) = 0, esboce o gráfico de f. 3. Seja f derivável em IR e seja g dada por g() = f(), 0. Suponha que p é ponto de máimo local de g. a) Prove que pf (p) f(p) = 0. b) Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa pela origem. 4. Determine a constante a tal que f() = + a tenha: (a) Um mínimo local em =. (b) Um mínimo local em = 3. (c) Mostre que f não terá máimo local para nenhum valor de a. Resp.: (a) 6 (b) Determine c para que a função dada tenha uma única raiz real. a) f() = c. b) f() = 3 + a. 5

6 6. Achar, caso eistam, os valores máimo e mínimo de: a) f() = sen cos, [0, π]. b) f() = 3 + 3,. c) f() = + ln, Seja f : IR IR uma função derivável até segunda ordem e seja a IR fiado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique: (a) Se f () > 0, para todo > a, então lim f() = +. (b) Se f () > 0 e f () > 0, para todo > a, então 8. Calcule os limites: (a) lim ln( ) tg π Resp. 0 (b) lim lim f() = +. ln 00 5 Resp. 0 (c) lim + ln cotg Resp. 0 (d) lim ln e Resp. 0 (e) (g) lim e e Resp. 0 (f) lim + p ln, p > 0 Resp. 0 ( ) p lim sen (i) lim Resp. p [ ln( + ) ] e Resp. (h) lim (k) lim (e + 3) / Resp. e 4 (l) lim + tg( ) (m) lim + [ + ln ] Resp. + ( cos ) (j) lim ( sen )tg Resp. + Resp. (n) lim arctg( ) ln( + 3 ) Resp. /3 Resp. /6 (o) lim ln( + ) arctg Resp. (p) lim( + sen) sen Resp. e (q) lim (tg sec sec ) Resp. π + 9. Esboce o gráfico de: 6

7 (a) f() = (b) f() = (c) f() = e (d) f() = ln { e / se 0 0 se = 0 (e) f() = ln (f) f() = e e 3 (g) f() = / h) f() = 3 ln 30. (a) Esboce o gráfico de f() = e. (b) Determine, em função de k, o número de soluções da equação ke =. 3. (a) Ache o mínimo de f() = e no intervalo (0, + ). Resp. =. (b) Prove que ea+b ab e, a, b IR +. c 3. Seja f() = com a > 0, abc 0. + ae b (a) Mostre que f é crescente no intervalo (, ) se abc > 0 e decrescente se abc < 0. (b) Mostre que o ponto de infleão de f ocorre em = ln a b. (c) Esboce o gráfico de f para a b > 0 e b < Para que números positivos a a curva y = a corta a reta y =? Resp.: a e /e. 34. Uma folha de papel retangular de 8,5 pol é colocada em uma superfície plana. Um dos vértices é colocado no lado maior oposto, como mostra a figura, e deiado lá enquanto se dobra e se marca a folha. O problema é tornar o comprimento do vinco o menor. Chamamos esse comprimento de L. Eperimente fazer isso com papel. a) Demonstre que L = 3 /( 8, 5). b) Que valor de minimiza L? Resp.: 5 8. c) Qual é o valor mínimo de L? Resp.:

8 35. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 36. Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade a + seja válida para todo número positivo? Resp.: a = 37. Uma pirâmide tem base quadrada e quatro faces triangulares com igual inclinação. Se a área total da base e das faces é dada, mostre que o volume é máimo quando a altura é vezes a aresta da base. 38. Um cilindro é gerado girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y =. Qual é o maior + volume que tal cilindro pode ter? Resp.: π Um arame de comprimento L deve ser cortado em pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos pedaços seja (a) máima? (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é /3 da altura do triângulo. Resp.: (a) Deve-se formar apenas um quadrado. 3L (b) o lado do quadrado é Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? Resp.: (a /3 + b /3 ) 3/ 4. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. 8

9 Resp.: 4. (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em (a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado. Resp.: (a) (b) 4/π 43. Uma corda PRS está presa em dois postes verticais PQ e ST, indo do topo de PQ a um ponto R no solo entre os postes e depois ao topo de ST, como mostra a figura. Prove que o menor comprimento de tal corda ocorre quando θ = θ. 44. Você foi contratado para construir um painel solar no nível do solo no eio leste-oeste entre dois prédios, conforme a figura a seguir. A que distância do prédio mais alto você deve colocar o painel para maimizar o número de horas que o painel ficará eposto à luz quando o sol passar perpendicularmente sobre o painel? Comece pela seguinte observação: θ = π arc cotg 60 Determine, então, o valor de que maimiza θ. 50 arc cotg. 30 9

10 45. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação θ. Seja r o alcance do canhão, isto é, a distânca entre o canhão e o ponto de impacto da bola. Então r é dado por f = v sen θ cos θ, onde v e g são contantes. Para que ângulo o alcance é máimo? g Resp.: θ = π Suponhamos que a velocidade da luz seja v no ar e v na água. Um raio de luz, partindo de um ponto P, acima da superfície da água, e chegando a um ponto P abaio da superfície, percorrerá o caminho que eigir o menor tempo. Mostrar que o raio cruzará a superfície no ponto Q do plano vertical que passa por P e P situado de modo que sen θ = sen θ, v v onde θ e θ são os ângulos indicados na figura. (Admita que o raio de luz estará sempre no plano vertical passando por P e por P, ortogonal à superfície da água.) 0