Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ
|
|
- Igor Mendes Barateiro
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) + ; e) ; f) ; g) 0; h) ; i) 0; j) ; k) + ; l) 0; p) ; q) a /b ; r) 0; s) ; t) 0; u) 0; v) /; w) + ; x) 0; y) ; z).. a) ; b) ; c) ; d) ; e) e; f) /e; g) e ; h) ; i) e; j) ; k) ; l) ; m) e ; n) e ; o) ; p) ; q); r) ; s) e ; t) ; u).. a) Aplicar a Regra de Cauchy para p =, e para calcular x p+ (p + )x p lim = lim = (p + ) 0 = 0, por hipótese de indução. x + e x x + e x b) como a) c) como a), notando que lim x 0 + x (ln x) p = lim x 0 + (ln x) p x. 4. lim x 0 + (sen x) x = e 0 = (é uma indeterminação do tipo transforme numa exponencial e use a Regra de Cauchy). Pela definição de limite segundo Heine, como 0, temos agora n lim n sen ( n = lim sen ) n n = lim x 0 + (sen x)x =. 5. a) Temos f () = e a a tangente ao gráfico no ponto é a recta b) a = π ; b =. c) Temos y = f() + f ()(x ) = π 4 (x ) = π 4 + x. { se x 0 f se x > 0 x + Para ver se f é de classe C, ou seja, se f é contínua: temos que f é contínua em R \ {0} (justifique). No ponto 0: lim f lim x 0 + x 0 + x + = = f (0). Logo f é contínua em 0 e portanto é de classe C.
2 d) f é decrescente em R, não tem extremos. e) lim x + f 0; lim x f +. O contradomínio é R + (justifique). x 6. a) lim x + f, lim x + f lim x + = 0. e +x b) f é diferenciável em R \ 0 com derivada dada por ( f ln ( x ) ) x = se < x < 0, x (x e x ) = e x (x x ) se x > 0. Temos f e(0) = 0 = f d (0), logo f é diferenciável em 0, com f (0) = 0. c) f é crescente em ], 0[ e em ]0, [, decrescente em ], + [, já que para < x < 0 temos f (x) > 0 e para x > 0, f e x x( x ) = 0 x = ± logo tem um zero em e como f muda de sinal, é ponto de extremo, um máximo. d) CD f =], f()] (justifique). e) f d (0) = lim f (x) f (0) x 0 + x f e (0) = lim x 0 + f (x) f (0) x = lim x 0 + e x ( x ) = e, = lim x f : R R definida por f x e x. x =. a) lim x + f lim x f 0 (note que a função é par). b) Temos f d (0) = f e(0) = e f não é diferenciável em 0. O domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e ) (xe x f = e x ( x ), se x > 0, ) ( xe x = e x (x ) se x < 0. c) f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. e são pontos de máximo, absolutos uma vez que f( ) = f(). 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f(x) > 0, para x 0. d) CD f = [0, e ].
3 8. f x + arctg x. a) lim x f, lim x + f +, b) f d (0) = f e(0) =, logo f não é diferenciável em 0. O domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos { f +, se x > 0, +x, se x < 0. +x c) f é crescente em ]0, + [. e f é decrescente em ], 0[, é ponto de máximo, relativo uma vez que lim x + f +. 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que lim x f. d) f(], 0]) = ], + π ]. 9. a) ϕ f (sen x) cos x, logo os possíveis extremos encontram-se em cos x = 0 ou f (sen x) = 0 sen x = 0 (já que f é estritamente crescente, logo só tem um zero). Do sinal de ϕ vemos que: cos x = 0: máximos locais, sen x = 0: mínimos locais. b) Tem infinitas soluções (T. Rolle aplicado a ϕ ). 0. Em + : y = mx + b é assíntota ao gráfico de f se m = f(x) lim x + x = lim x + arctg x x + x arctg x = + lim x + x b = lim f(x) mx = lim arctg x = π x + x +. Logo y = x+ π é assíntota à direita. Da mesma forma se vê que y = x π é assíntota à esquerda. A função é crescente em R, com f + > 0, e não tem pontos de extremo. + x Como f x, o gráfico de f tem concavidade para cima em ], 0[ e (+x ) para baixo em ]0, + [, sendo 0 um ponto de inflexão. (Esboce o gráfico, notando que x π < f(x) < x + π, ou seja, o gráfico está entre as assíntotas.). f x + ln(x + ) ln(x ), x > Temos que f é vezes diferenciável em ], + [ e f + x + x = x 5 (x ) f (x + ) + (x ) = 4x (x + ) (x ). =,
4 Monotonia, extremos: Como x > 0 para x >, temos que f (x) > 0 (x > 5 x < 5) x > x > 5, logo f é decrescente em ], 5[ e crescente em ] 5, + [, sendo 5 um ponto de mínimo, absoluto (f é contínua). Concavidades e pontos de inflexão: Temos f (x) > 0 para x >, logo f tem concavidade para cima no domínio, não existem pontos de inflexão. Assíntotas e contradomínio: Como lim x + f +, existe uma assíntota vertical à direita em x =. Assíntota oblíqua: f(x) lim x + x lim f(x) x x + = = + lim ln(x + ) x + x lim ln x + logo y = x é assíntota oblíqua à direita. Temos CD f = [f( 5), + [ (justifique). ( x + x ln(x ) = x, ) = ln() = 0, f x + ln(x + ) ln(x ). a) f x + x, D f = R \ {0} Temos f x, f 6 x 4. 4
5 f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em ; concavidade para cima no domínio; assíntota vertical à direita e esquerda em x = 0 já que lim x 0 f +, assíntota oblíqua à direita e à esquerda y = x; CD f = R. b) f (x )(x ), D f = R \ {, }. Temos f 4 x (x ) (x ), f (x 4x + 5) (x ) (x ). f crescente em ], [ e em ], [, decrescente em ], [ e em ], + [, ponto de máximo relativo em x = ; concavidade para cima em ], [ e em ], + [, concavidade para baixo em ], [, não há pontos de inflexão ; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = 0 à direita e esquerda; CD f =], ] ]0, + [. c) f x 4 x 9, D f = R \ {±}, f par. Temos f 0x (x 9), f 0(x + ) (x 9). f crescente em ], [ e em ], 0[, decrescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de máximo relativo em x = 0; concavidade para cima em ], [ e em ], + [, concavidade para baixo em ], [, não há pontos de inflexão ; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], 4/9] ], + [. d) f x x, D f = R \ {±}, f par. Temos f ( x), se x > 0 f ( x), se x > 0 ( + x), se x < 0,, se x < 0, ( + x) f não é diferenciável em 0: f d (0) =, f e(0) =. f decrescente em ], [ e em ], 0[, crescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de mínimo relativo em x = 0 (f é contínua e f muda de sinal); concavidade para baixo em ], [ e em ], + [, concavidade para cima em ], 0 e ]0, [, não há pontos de inflexão; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], [ [0, + [. e) f x e x, D f = R. Temos f x( x)e x, f (x 4x + )e x. f decrescente em ], 0[ e em ], + [, crescente em ]0, [, ponto de máximo relativo em e de mínimo absoluto em x = 0; concavidade para cima em ], [ e em ] +, + [, para baixo em ], + [, inflexões em ± ; assíntota horizontal y = 0 à direita; CD f = [0, + [. 5
6 f) f xe /x, D f = R \ {0}. Temos f e /x x x, f e/x x. f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em x = ; concavidade para cima em ], 0[, para baixo em ]0, +, não há pontos de inflexão; assíntota vertical x = 0 à direita (à esquerda: lim x 0 f 0), assíntota oblíqua à direita e à esuqerda y = x + ; CD f =], 0[ [e, + [. g) f ex+ x +, D f = R \ { }. Temos f ex+ (x + ), f ex+ (x + x + ). (x + ) (x + ) f decrescente em ], [ e em ], [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em x = ; concavidade para cima em ], + [, para baixo em ], [; assíntota vertical x = à direita e à esquerda, assíntota horizontal y = 0 à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. x h) f + ln x, D f = R + \ {/e}. Temos f ln x ( + ln x), f ln x x( + ln x). f decrescente em ]0, /e[ e em ]/e, [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em x = ; concavidade para cima em ]/e, e[, para baixo em ]0, /e[ e em ]e, + [, inflexão em x = e; assíntota vertical x = /e à direita e à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. ( ) x i) f arctg, D f = R \ {}. x Temos f (x ) + x, f (x ) ((x ) + x ) f decrescente em ], [ e em ], + [, não tem extremos; concavidade para cima em ]/, [ e em ], + [, para baixo em ], /[, ponto de inflexão em x = /; não tem assíntotas verticais (lim x = π/, lim x + = π/), assíntota horizontal y = π/4 à direita e à esquerda; CD f =] π/, π/[\{π/4}. j) f x + arctg x, D f = R \ {0}, f ímpar. Temos f x x +, f 4x (x + ). f decrescente em ]0, [ e em ], 0[, crescente em ], [ e em ], + [, pontos de minimo relativo em x = e de máximo relativo em x = ; concavidade para cima em ]0, + [, para baixo em ], 0[; assíntota oblíqua y = x à direita e à esquerda, não há assíntotas verticais (f(0 + ) = π, f(0 ) = π); CD f = ], π/] [ + π/, + [. 6
7 Ex.6.a) -.a) f x + x b) f (x )(x ) 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5.c) f x 4 x d) f x x 7
8 e) f x e x f) f xe /x g) f ex+ x + -,5 - -0,5 0 0,5,5,5, h) f x + ln x 8
9 ( ) x.i) f arctg x 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5.j) f x + arctg x. f arctg ( x ), x 0. a) f(0) = lim x 0 f π, lim x ± f 0 (f é par). b) f x x 4 +, x 0, e f (0) = 0, f () =, f(0) = π, f() = π logo, a recta 4 tangente em x = 0 é y = π, em x = é y = π (x ). 4 c) f é crescente em ], 0[ e decrescente em ]0, + [, tem um ponto de máximo em x = 0, absoluto (f é contínua em R). f (x4 ) (x 4 + ), concavidade para cima em ], / 4 [ e em ]/ 4, + [, concavidade para baixo em ] / 4, / 4 [, inflexões em ±/ 4. Assíntota horizontal y = 0 à direita e à esquerda. d) Contradomínio: CD f =]0, π/]. 9
10 ( ) + x 4. f arctg, x 0, e f(0) = π x. a) f é contínua em R (justifique), lim x ± = ±π/4., se x > 0, b) f x + ( + x), se x < 0, x + ( + x) f d (0) = f e(0) = logo f não é diferenciável em f arctg ( x ) c) f é crescente em R e decrescente em R +, tem ponto de máximo em x = 0 (é contínua e f muda de sinal), absoluto. (x + ), se x > 0, f (x + ( + x) ) (x + ), se x < 0, (x + ( + x) ) Concavidade para cima em R + e em ], [, concavidade para baixo em ], 0[, pontos de inflexão em x = e x = 0. Assíntotas horizontais em y = π 4 à direita e em y = π 4 à esquerda. d) Contradomínio: CD f =] π/4, π/].,5 0,5 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5-0,5 - ( ) + x f arctg x 0
Esboço de Curvas. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
Esboço de Curvas Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Roteiro para esboçar uma curva A. Verifique o domínio da função Exemplo: f(x) = 1 x {x x = 0} Roteiro para esboçar
Leia maisEsboço de Gráfico - Exemplos e Regras de L Hospital Aula 23
Esboço de Gráfico - s e Regras de L Hospital Aula 23 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 06 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 2010/11 2 a FICHA DE EXERCÍCIOS - PARTE 2
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBIOM, MEFT 1 o SEM. 010/11 a FICHA DE EXERCÍCIOS - PARTE I. Representação gráfica
Leia maisPara identificar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função analisamos o comportamento de sua primeira derivada.
O CONCEITO DE DERIVADA (continuação) Funções Crescentes e Decrescentes Existe uma relação direta entre a derivada de uma função e o crescimento desta função. Em geral, temos: Se, para todo x ]a, b[ tivermos
Leia maisGráficos. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
Gráficos Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc12010_2.html O que f nos diz sobre f? O que f nos diz sobre f? f (x) < 0 f (x) > 0 f(x) =x 2 f (x) =2x x>0 f (x) > 0 x
Leia mais4 Cálculo Diferencial
4 Cálculo Diferencial 1. (Eercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log2, e) sen cos tg, f) 2 (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen 2. 2. Derive:
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 18 Esboço de gráficos de funções [01] Verdadeiro ou falso? Se f : R R é uma função de classe C e f (p)
Leia maisMaterial de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1
Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 18 DE JUNHO Grupo I. Grupo II.
Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr. João Couto, n.º 7-A 1500- Lisboa Tel.: +51 1 71 90 / 1 711 0 77 Fax: +51 1 71 4 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia mais1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções
Leia maisAULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA
AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA As derivadas têm inúmeras aplicações. Com o estudo da primeira e da segunda derivada podemos esboçar o gráfico de uma
Leia maisAula 25. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Assíntotas, Esboço de Gráfico e Aplicações Aula 25 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 09 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia
Leia maisInstituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC238 Respostas da Prova de Final - 20/12/2013
Página de 8 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03 Questão : ( pontos) (a) Dado o gráfico da função f, esboce o gráfico da função
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 4. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 4 Universidade Portucalense Continuidade de uma função: Seja c um ponto pertencente ao domínio da função f. Dizemos que a função f é contínua em c quando lim f (
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I CDI I
Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa
Leia maisFFCLRP-USP Regra de L Hospital e Lista - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FFCLRP-USP Regra de L Hospital e Lista - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr. Jair Silvério dos Santos 1 Teorema de Michel Rolle Teorema 0.1. (Rolle) Se f : [a;b] R for uma função contínua em
Leia maisExercícios para as aulas TP
Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaTP0. Considere os gráficos correspondentes a duas funções reais de variável real: y y 5-0 4-5 4 3-3 - - 0 3 4 - Indique para cada uma delas: (a)
Leia maisx lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = )
Leia maisA Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função
A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada
Leia maisUniversidade do Algarve
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Licenciatura em Engenharia Informática Mestrado Integrado em Engenharia Eletrónica e Telecomunicações Primeira Frequência de Análise Matemática (versão A) 05/Novembro/0
Leia maisExercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011
Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes Introdução Neste teto apresentam-se os enunciados de conjuntos de eercícios para as aulas de problemas do curso
Leia maisMatemática I - 2 a Parte: Cálculo Diferencial e Integral real
Matemática I - 2 a Parte: Cálculo Diferencial e Integral real Ana Rita Martins Católica Lisbon 1 o Semestre 2012/2013 1 / 99 Funções Uma função é uma correspondência f entre dois conjuntos A e B, que a
Leia maisDERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL
DERIVAÇÃO de FUNÇÕES REAIS de VARIÁVEL REAL Derivada de uma função num ponto. Sejam f uma função denida num intervalo A R e a um ponto de acumulação de A. Cama-se derivada de f no ponto a ao ite, caso
Leia maisExercícios para as aulas PL
Eercícios para as aulas PL Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaPL0. Considere os seguintes gráficos de funções reais de variável real: A y B y 5 4 4 3 3-3 - - 3-3 4 5 - C D y y 4 3
Leia maisTEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. casos de ângulos retos e obtusos. Resolução de triângulos
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo
Leia maisGráficos de Funções Trigonométricas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções
Leia maisCÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO Grupo I
Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr. João Couto, n.º 27-A 500-236 Lisboa Tel.: +35 2 76 36 90 / 2 7 03 77 Fa: +35 2 76 64 24 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia maisLista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Seja f() = 5 + + 1. Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no
Leia maisP L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o
P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos
Leia mais, respetivamente. Sabe-se que uma das funções é par e a outra não é par nem ímpar. Identifique cada uma delas f x x e
mata O gráfico de uma função é, na maioria das vezes bastante útil para visualizar propriedades da função. Assim, de forma a podermos representar com rigor uma função, devemos fazer um estudo pormenorizado
Leia mais1 Definição de Derivada
Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o
Leia maisContinuidade de uma função
Continuidade de uma função Consideremos f : D f uma função real de variável real (f.r.v.r.) e a um ponto de acumulação de D f que pertence a D f. Diz-se que a função f é contínua em a se lim f x f a. x
Leia maisA derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18
A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS
Escolas João de Araújo Correia ORGANIZAÇÃO DO ANO LETIVO 16 17 GESTÃO CURRICULAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA A 11º ANO 1º PERÍODO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Leia maisVisto do Professor: Prof. Rafael D N X Laboratório de Informática para essa prova? Sim Não X
Disciplina: Cálculo 1 Identificação da Prova: Simulado Ex. Final Nota: Professor e Visto: Visto da Coordenação: Período: Data: Visto do Professor: Prof. Rafael D N X Laboratório de Informática para essa
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia mais5.1 Máximos e Mínimos
5. Máximos e Mínimos 5.A Se f (x) = x + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do x Valor Médio) no intervalo [; 8] : 5.B Seja f (x) = jx j : Mostre que não existe um número c
Leia maisCAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18
Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de
Leia maisFUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode
Leia maisConcavidade e o Teste da Derivada Segunda
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Concavidade e o Teste
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DO CADAVAL
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DO CADAVAL DEPARTAMENTO: PLANIFICAÇÃO ANUAL - ANO LETIVO: DISCIPLINA: Matemática A (12.º ano) Matemática e Ciências Experimentais 2015/2016 UNIDADE Tema 1 - Probabilidades e Combinatória
Leia maisCapítulo 6 - Derivação de Funções Reais de Variável Real
Capítulo 6 - Derivação de Funções Reais de Variável Real Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2010/2011 Matemática
Leia maisComecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y
. Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos:
Leia maisA Derivada. 1.0 Conceitos. 2.0 Técnicas de Diferenciação. 2.1 Técnicas Básicas. Derivada de f em relação a x:
1.0 Conceitos A Derivada Derivada de f em relação a x: Uma função é diferenciável / derivável em x 0 se existe o limite Se f é diferenciável no ponto x 0, então f é contínua em x 0. f é diferenciável em
Leia maisLista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade
Lista de Eercícios de Calculo I Limites e Continuidade ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em Determine: ) Dada a função f definida por:, se f ( ), se, se Esboce o gráfico de f e calcule
Leia maisInstituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I 2003/04
Ficha Prática nº Parte II. Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/04 Operações com funções. Composição de funções. Função Inversa. ) O gráfico
Leia maisFunções de duas (ou mais)
Lista 5 - CDI II Funções de duas (ou mais) variáveis. Seja f(x, y) = x+y x y, calcular: f( 3, 4) f( 2, 3 ) f(x +, y ) f( x, y) f(x, y) 2. Seja g(x, y) = x 2 y, obter: g(3, 5) g( 4, 9) g(x + 2, 4x + 4)
Leia mais0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.
Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/03 - Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. 0. Função Inversa Definição. Uma função f : A C é injetiva se f(x) f(y) para todo x y, x, y A. Seja f :
Leia mais1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?
MAT 001 1 ō Sem. 016 IMC UNIFEI Lista 4: Aplicações da Derivação 1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?.
Leia mais= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS - 008. - Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos
Leia maisEsboço de Gráficos (resumo)
Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x)
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12
Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -
Leia maisEquações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior a Um
Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior a Um 2.1 EDOs lineares homogéneas de ordem dois. Redução de ordem. Exercício 2.1.1 As seguintes equações diferenciais de 2 a ordem podem ser
Leia maisExercícios de exames e provas oficiais
Exercícios de exames e provas oficiais 1. Na figura abaixo, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f. Em qual das opções seguintes pode estar representada
Leia mais26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS
Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1),
Leia maisEscola Naval 2010 ( ) ( ) 8 ( ) 4 ( ) 4 (
Escola Naval 0 1. (EN 0) Os gráficos das funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) = x e g(x) = 5 x interceptam-se nos pontos A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)), a b. Considere os polígonos CAPBD
Leia maisSoluções abreviadas de alguns exercícios
Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.
Leia maisResolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)
R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a
Leia maisde h(x) = f(x) no sistema de coordenadas dado abaixo. Indique as intersecções com os eixos x e y, bem como assíntotas. b) Idem para g(x) = f(2x).
UFRGS Instituto de Matemática DMPA - Depto. de Matemática Pura e Aplicada MAT 01 353 Cálculo e Geometria Analítica I A Gabarito da 1 a PROVA fila A de setembro de 005 Questão 1 (1,5 pontos). Seja f uma
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança
Leia maisConcavidade e o Teste da Derivada Segunda. Concavidade e o Teste da Derivada Segunda. Definição de Concavidade:
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Definição de Concavidade:
Leia maisCÁLCULO I Aula 17: Grácos.
CÁLCULO I Aula 17: Grácos. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Grácos (1) Domínio - vericar sempre em que pontos a função está denida ou não está denida; (1) Domínio
Leia maisMaria do Carmo Martins. Novembro de /85
Funções Maria do Carmo Martins Novembro de 2013 1/85 Poema de Luís Soares Cada reta é um caminho interrompido Que curva No desconhecido. Nenhuma reta se traça Entre quem ama e quem não ama A geometria
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO BÁSICO DO CTC MAT1157 Cálculo a uma Variável A G3 13 de junho de 2011 (versão Ia)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO BÁSICO DO CTC PUC-RIO MAT1157 Cálculo a uma Variável A G3 13 de junho de 2011 (versão Ia) Início: 7:00 Término: 8:35 Nome: Matrícula: Turma: Questão Valor Grau Revisão
Leia maisMATEMÁTICA 3. Professor Renato Madeira. MÓDULO 4 Função injetora, sobrejetora, bijetora, par, ímpar, crescente, decrescente, limitada e periódica
MATEMÁTICA 3 Professor Renato Madeira MÓDULO 4 Função injetora, sobrejetora, bijetora, par, ímpar, crescente, decrescente, limitada e periódica SUMÁRIO 1. Funções monotônicas (crescente ou decrescente)
Leia maisLista Mínima de Exercícios - Esboço de Gráfico/Máximos e
Lista Mínima de Exercícios - Esboço de Gráfico/Máximos e Mínimos Exercício 1 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de f, onde
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ttp://www.professores.uff.br/jbortol/ 02 Modelando com Funções, Funções Elementares e Obtendo Gráficos
Leia maisEncontre um valor aproximado para 3 25 com precisão de 10 5 utilizando o método da bissecção.
1 a) Mostre que f (x) = x cos x possui uma raiz no intervalo [0, 1]. b) Prove que essa raiz é única. c) Sem executar o método, preveja o número de iterações que o algoritmo da bissecção utilizaria para
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de junho de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 14 17 de junho de 2011 Aula 14 Pré-Cálculo 1 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo
Leia maisBoa Prova! arcsen(x 2 +2x) Determine:
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME - Tarde Prova Estágio Data: 5 de setembro de 006. Professor(a):
Leia maisMAT Lista de exercícios
1 Curvas no R n 1. Esboce a imagem das seguintes curvas para t R a) γ(t) = (1, t) b) γ(t) = (t, cos(t)) c) γ(t) = (t, t ) d) γ(t) = (cos(t), sen(t), 2t) e) γ(t) = (t, 2t, 3t) f) γ(t) = ( 2 cos(t), 2sen(t))
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem
Leia maisCapítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)
Capítulo II Funções reais de variável real.1 Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder
Leia maisAplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções
Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS: Seja f uma f. r. v. r. definida num intervalo e D f. 1) f tem um mínimo local f ( ), em, se e só se f ( ) f ( ) para qualquer
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como
Leia maisCÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;
Leia mais(x 1) 2 (x 2) dx 42. x5 + x + 1
I - Integrais Indefinidas ā Lista de Cálculo I - POLI - 00 Calcule as integrais indefinidas abaixo. Para a verificação das resposta lembre-se que f(x)dx = F (x), k IR F (x) = f(x), x D f.. x7 + x + x dx.
Leia maisUNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1.
Leia maisA derivada (continuação) Aula 17
A derivada (continuação) Aula 17 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 08 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Teorema
Leia maisMódulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial
Módulo 1 Potenciação, equação exponencial e função exponencial 1. Potenciação e suas propriedades 1.1. Potência de expoente natural Potenciação nada mais é do que uma multiplicação de fatores iguais. Casos
Leia maisFunções exponenciais e logarítmicas
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática
Leia mais02) Estima-se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por
Matemática II 009. E-mails: damasceno104@yahoo.com.br damasceno1@uol.com.br damasceno1@hotmail.com Lista de exercícios 06 01) Considere a função a) b) c) d) e) 1 y = x 1 m = no ponto (0, ) 1 m = no ponto
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer
Leia maisREVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES
REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO
Leia maisComplementos de Cálculo Diferencial
Matemática - 009/0 - Comlementos de Cálculo Diferencial 47 Comlementos de Cálculo Diferencial A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste teto retende-se relembrar algumas de nições
Leia maisCOLÉGIO PAULO VI Departamento de Matemática
COLÉGIO PAULO VI Departamento de Matemática FICHA DE AVALIAÇÃO Duração: 90 min 27.05.2016 12º Ano Utilize apenas caneta ou esferográfica, de tinta azul ou preta. É permitido o uso de material de desenho
Leia maisJaime Carvalho e Silva. Princípios de Análise Matemática Aplicada. Suplemento
Jaime Carvalho e Silva Princípios de Análise Matemática Aplicada Suplemento 2002/2003 2 Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Contacto com o autor: jaimecs@mat.uc.pt Página de apoio: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index_aulas.html
Leia maisColectânea de Exercícios, Testes e Exames de Matemática, para Economia e Gestão
Colectânea de Exercícios, Testes e Exames de Matemática, para Economia e Gestão Bruno Maia bmaia@ual.pt a edição 4 A colectânea encontra-se protegida por direitos de autor. Todos os direitos de autor ou
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS DISCIPLINA
Leia maisMAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : REGIÕES DO PLANO, INTEGRAIS DUPLAS E VOLUMES : 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j).
MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXECÍCIOS : EGIÕES DO PLANO, INTEGAIS DUPLAS E VOLUMES (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d) (2) Fazer
Leia maisEscola Naval Gabarito Comentado PSAEN PROVA ROSA Elaborado por alunos do ITA: Caio Guimarães, Ishai Elarrat, Felipe Moraes
Escola Naval Gabarito Comentado PSAEN 006 - PROVA ROSA Elaborado por alunos do ITA: Caio Guimarães, Ishai Elarrat, Felipe Moraes. Seja x = base d d. Da figura: x h.ctg d d h.(ctg ctg ) h x d h.ctg (ctg
Leia maisO alvo principal deste Banco de Questões (extraído das avaliações escritas de turmas de Cálculo Unificado da Universidade Federal de Alagoas - UFAL)
Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Banco de Questões Cálculo 1 Organizadora: Prof a Natália Pinheiro Organizadora: Prof a Viviane Oliveira Maceió, Brasil 9 de Março de 2012 Apresentação
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de
Leia maisCálculo Diferencial e Integral 1 Lista de Exercícios Aplicação de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral 1 Lista de Exercícios Aplicação de Derivadas 1) Esboce o gráfico da função f(x) = x + e responda qual é a taxa de variação média dessa função quando x varia de 0 para 4?
Leia maisA. Funções trigonométricas directas
A. Funções trigonométricas directas As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são contínuas e periódicas nos respectivos domínios. Todas elas são funções não injectivas e, portanto, não possuem inversa.
Leia maisUniversidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1 MATERIAL EM CONSTRUÇÃO
Leia mais