Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de junho de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
|
|
- Vitorino Antunes Sequeira
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula de junho de 2011 Aula 14 Pré-Cálculo 1
2 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 2
3 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 3
4 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 4
5 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 5
6 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 6
7 Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 7
8 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 8
9 Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 9
10 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Aula 14 Pré-Cálculo 10
11 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 11
12 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 12
13 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 13
14 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 14
15 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 15
16 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 16
17 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 17
18 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 18
19 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 19
20 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 20
21 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 21
22 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 22
23 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 23
24 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 24
25 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 25
26 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 26
27 Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 27
28 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 28
29 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 29
30 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 30
31 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 31
32 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 32
33 Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 33
34 E potências irracionais? Aula 14 Pré-Cálculo 34
35 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 35
36 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 36
37 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 37
38 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 38
39 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 39
40 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 40
41 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 41
42 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 42
43 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 43
44 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 44
45 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 45
46 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 46
47 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 47
48 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 48
49 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de = = = = = = = = = = Aula 14 Pré-Cálculo 49
50 Transformações de Funções Aula 14 Pré-Cálculo 50
51 Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 51
52 Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 52
53 Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 53
54 Caso g(x) = f (x + c) Aula 14 Pré-Cálculo 54
55 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 55
56 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 56
57 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 57
58 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 58
59 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 59
60 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 60
61 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 61
62 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 62
63 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 63
64 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 64
65 Transformações de funções: g(x) = f (x + c) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 65
66 Moral Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 66
67 Caso g(x) = f (x) + c Aula 14 Pré-Cálculo 67
68 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 68
69 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 69
70 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 70
71 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 71
72 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 72
73 Transformações de funções: g(x) = f (x) + c (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 73
74 Moral Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 74
75 Caso g(x) = f (c x) Aula 14 Pré-Cálculo 75
76 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 76
77 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 77
78 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 78
79 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 79
80 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 80
81 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 81
82 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 82
83 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 83
84 Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 84
85 Transformações de funções: g(x) = f (c x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 85
86 Transformações de funções: g(x) = f (c x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 86
87 Moral Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < c < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 87
88 Caso g(x) = c f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 88
89 Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 89
90 Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 90
91 Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 91
92 Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 92
93 Transformações de funções: g(x) = c f (x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 93
94 Transformações de funções: g(x) = c f (x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 94
95 Moral Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < c < 1) verticalmente o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 95
96 Caso g(x) = f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 96
97 Transformações de funções: g(x) = f (x) Multiplicar uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-x o gráfico de f. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Aula 14 Pré-Cálculo 97
98 Caso g(x) = f ( x) Aula 14 Pré-Cálculo 98
99 Transformações de funções: g(x) = f ( x) Multiplicar a variável independente x de uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-y o gráfico de f. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Aula 14 Pré-Cálculo 99
100 Caso g(x) = f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 100
101 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 101
102 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 102
103 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 103
104 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 104
105 Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 105
106 Caso g(x) = f ( x ) Aula 14 Pré-Cálculo 106
107 Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 107
108 Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 108
109 Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 109
110 Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 110
111 Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 111
112 Exercício resolvido Aula 14 Pré-Cálculo 112
113 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 113
114 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 114
115 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 115
116 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 116
117 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 117
118 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 118
119 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 119
120 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 120
121 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 121
122 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 122
123 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 123
124 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 124
125 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 125
126 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 126
127 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 127
128 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 128
129 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 129
130 Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 130
Função par e função ímpar
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função par e função ímpar Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Função par Definição
Leia maisEscalas em Gráficos. Pré-Cálculo. Cuidado! Cuidado! Humberto José Bortolossi. Parte 4. Um círculo é desenhado como uma elipse.
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Escalas em Gráficos Parte 4 Parte 4 Pré-Cálculo 1 Parte 4 Pré-Cálculo 2 Cuidado! Cuidado! Um círculo
Leia maisFunções potência da forma f (x) =x n, com n N
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções potência da forma f (x) =x n, com n N Parte 08 Parte 8 Matemática Básica 1
Leia maisFunções da forma x elevado a menos n
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções da forma x elevado a menos n Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 Funções
Leia maisA função raiz quadrada
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função raiz quadrada Parte 6 Parte 6 Matemática Básica 1 Parte 6 Matemática Básica 2 A função
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo) de cada uma das funções indicadas abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 04 Transformações de gráficos de funções, função raiz quadrada, funções potência [01] Determine o domínio
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 28 de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 18 Esboço de gráficos de funções [01] Verdadeiro ou falso? Se f : R R é uma função de classe C e f (p)
Leia maisGMA LISTA DE EXERCÍCIOS
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 12 Funções da forma x elevado a α, funções: obtendo gráficos de
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 8 26 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 26 de abril de 200 Aula 8 Pré-Cálculo O que é uma função? Funções reais Uma função real f
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12
Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -
Leia maisInformática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior
Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 03 ATIVIDADE 01 (a) Sejam u = (a b)/(a + b), v = (b c)/(b + c) e w = (c a)/(c
Leia maisFunções. Matemática Básica. O que é uma função? O que é uma função? Folha 1. Humberto José Bortolossi. Parte 07. Definição
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 07 Aula 9 Matemática Básica 1 Aula 9 Matemática Básica 2 O que é uma
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I A Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 03 Operações com funções: soma, diferença, produto, quociente, composição
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. [01] Determine o domínio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 06 Função raiz quadrada, funções da forma y = f(x) = a 2 x 2, funções potência [01] Determine o domínio
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo 1 Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisO domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem.
QUESTÕES-AULA 33 1. Determine quais das funções abaixo são pares, quais são impares e quais não são pares nem impares. Justifique as suas respostas. (a) g : [ 3, 3] R, x x 3 (b) h : ( 3, 3) R, x x 3 x
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte de novembro de 2013
Folha 1 Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 16 13 de novembro de 2013 Parte 16 Cálculo I -A- 1 Aproximações lineares (afins)
Leia maisEstudo de funções. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática.
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Estudo de funções Continuidade Consideremos as funções: f : R R g : R R x x + x x +, x 1
Leia maisCONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS
MATEMÁTICA I CONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Parte 2 Limites Infinitos Definição
Leia maisDisciplina: Cálculo I Lista 02 Professor: Damião Júnio Araújo Semestre Explique com suas palavras o significado da equação.
Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo I Lista 02 Professor: Damião Júnio Araújo Semestre 208. Aluno:. Explique
Leia maisCÁLCULO I. Lista Semanal 01 - Gabarito
CÁLCULO I Prof. Tiago Coelho Prof. Emerson Veiga Questão 1. Esboce as seguintes regiões no plano xy: (a) 0 < x 6. A região representa todas os pontos onde x assume valores entre 0 e 6, sendo aberto em
Leia maisCÁLCULO I. Lista Semanal 01 - Gabarito
CÁLCULO I Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz Questão 1. Nos itens abaixo, diga se o problema pode ser resolvido com seus conhecimentos de ensino médio (vamos chamar de pré-cálculo) ou se são necessários
Leia maisGMA LISTA DE EXERCÍCIOS. Funções poligonais, funções da forma x elevado a n, função raiz n-ésima
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 12 Funções poligonais, funções da forma x elevado a n, função raiz
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 6 29 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 6 29 de março de 2010 Aula 6 Pré-Cálculo 1 Implicações e teoria dos conjuntos f (x) =g(x) u(x)
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente
LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 07 Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente [01] Determine os números reais x,
Leia maisCálculo I. Lista de Exercícios Aulão P1
Cálculo I Lista de Exercícios Aulão P1 Lista Resolvida no Aulão Parte I: Revisão de Matemática 1. P1 2018.1 Exercício 1 Diurno (2,0) Resolva, dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://wwwprofessoresuffbr/hjbortol/ 09 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), funções monótonas,
Leia maisFunções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).
FUNÇÃO QUADRÁTICA Funções quadráticas Definição Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser definida por uma expressão analítica da forma ax 2 + bx + c, com a, b, c R e a 0 (ou seja, é toda
Leia maisHumberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo
PRIMEIRA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (a) (.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam
Leia maisFunção Exponencial, Inversa e Logarítmica
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 20/03/2013. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova.
Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Departamento de Matemática Antônio João Fidélis CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 0/03/013 É proibido o uso
Leia maisFunções. Pré-Cálculo. O que é uma função? O que é uma função? Humberto José Bortolossi. Parte 2. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função?
Leia maisQUESTÕES-AULA 37. (a) O período da função F (x) é T = 3 0 = 3. Dividimos a reta em intervalos da forma:
QUESTÕES-AULA 37 1. Considere a função f(x) = 4 x, 0 x < 3. 3 (a) Construa uma função periódica F (x) definida em todo o R, tal que F (x) = f(x) para todo x [0, 3). (b) Determine o período, a frequência
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Limite e Continuidade
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Limite e Continuidade Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor Idemauro
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) +
Leia maisApresentação do curso
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisCálculo Numérico Prof. Guilherme Amorim 24/10/2013. Aula 2 Erros e Aritmética de Ponto Flutuante
Cálculo Numérico Prof. Guilherme Amorim 24/10/2013 Aula 2 Erros e Aritmética de Ponto Flutuante Noções de Aritmética de Máquina Representação de Números... P = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 10 23 de maio de 2010 Aula 10 Pré-Cálculo 1 Funções injetivas Funções injetivas, sobrejetivas
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Parte 1. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte 1 Pré-Cálculo 1
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Apresentação do curso Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Profa. Dra. Andreia Adami deiaadami@terra.com.br Limite Limites infinitos: resultado é +
Leia maisAV1 - MA UMA SOLUÇÃO. d b =. 3q 2 = 2p 2,
AV1 - MA 11-01 Questão 1. Prove que se a, b, c e d são números racionais tais que a + b 3 = c + d 3 então a = c e b = d. A igualdade a + b 3 = c + d 3 implica que (a c) = (d b) 3. Suponha que tenhamos
Leia maisUniversidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3100 - Pré-cálculo Gabarito parcial da 11 a lista de eercícios 1. Crescente em [ 1, 1]. Crescente
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1 MATERIAL EM CONSTRUÇÃO
Leia maisFunções - Terceira Lista de Exercícios
Funções - Terceira Lista de Exercícios Módulo - Números Reais. Expresse cada número como decimal: a) 7 b) c) 9 0 5 5 e) 3 7 0 f) 4 g) 8 7 d) 7 8 h) 56 4. Expresse cada número decimal como uma fração na
Leia maisAula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos.
O teste da derivada segunda para extremos relativos. MÓDULO 2 - AULA 22 Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos. Objetivo: Utilizar a derivada segunda para determinar pontos de máximo
Leia mais( 5,2 ). Quantas soluções existem?
Escola Secundária com º ciclo D Dinis 0º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades Funções polinomiais Função módulo Considere as funções da família y = a(x b) Tarefa nº De que tipo de funções
Leia maisMAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas
MAT 0143 : Cálculo para Ciências Biológicas Aula 3/ Segunda 10/03/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo Aula 2 1 Informações gerais: Email: sylvain@ime.usp.br Site: o link do MAT 0143 na pagina seguinte
Leia maisNúmeros Racionais. MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro
Números Racionais MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro O que são números racionais? Alguma definição? Como surgiram? Relacionados a quais ideias ou situações? Representação
Leia maisCálculo Numérico. Prof. Sérgio Queiroz 03/04/2014. Aula 2 Erros e Aritmética de Ponto Flutuante
Cálculo Numérico Prof. Sérgio Queiroz 03/04/2014 Aula 2 Erros e Aritmética de Ponto Flutuante Slides elaborados pelo Prof. Guilherme Amorim. A eles foram acrescentadas pequenas modificações Noções de Aritmética
Leia maisTEMA 4 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 10.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 4 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess
FICHAS DE TRABALHO 10.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 4 FUNÇÕES Site: http://www.mathsuccess.pt Facebook: https://www.facebook.com/mathsuccess TEMA 4 FUNÇÕES 016 017 Matemática A 10.º Ano Fichas de Trabalho Compilação
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente
Leia maisAULA 1 Introdução aos limites 3. AULA 2 Propriedades dos limites 5. AULA 3 Continuidade de funções 8. AULA 4 Limites infinitos 10
Índice AULA 1 Introdução aos limites 3 AULA 2 Propriedades dos limites 5 AULA 3 Continuidade de funções 8 AULA 4 Limites infinitos 10 AULA 5 Limites quando numerador e denominador tendem a zero 12 AULA
Leia maisA função afim. Pré-Cálculo. A função afim. Proposição. Humberto José Bortolossi. Parte 5. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função afim Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 A função afim Proposição O gráfico
Leia maisREVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES
REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO
Leia maisCÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal 01. Questão 1. Esboce as seguintes regiões, no plano xy:
CÁLCULO I Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho Gabarito - Lista Semanal 01 Questão 1. Esboce as seguintes regiões, no plano xy: a) R = {x, y) y x} Solução: Note que a região R representa o conjunto
Leia maisInformática no Ensino da Matemática
Informática no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Lista de Exercícios 3 ATIVIDADE 1 (a) Sejam u =(a b)/(a + b), v =(b c)/(b + c) ew =(c a)/(c + a). Mostre
Leia maisInstituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016
Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Questão 1: (2 pontos) x (a) (0.4 ponto) Calcule o ite: 2 + 3 2. x 1 x 1 ( πx + 5 ) (b) (0.4 ponto) Calcule o ite:
Leia maisConjunto dos números irracionais (I)
MATEMÁTICA Revisão Geral Aula - Parte 1 Professor Me. Álvaro Emílio Leite Conjunto dos números irracionais (I) {... π; ; ; ; 7; π + } I =... Q Z N I Número pi ( π) Diâmetro Perímetro π =,14196897984664...
Leia maisMaterial Básico: Calculo A, Diva Fleming
1 Limites Material Básico: Calculo A, Diva Fleming O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi
GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ttp://www.professores.uff.br/jbortol/ 02 Modelando com Funções, Funções Elementares e Obtendo Gráficos
Leia maisSociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1
Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras
Leia maisROTEIRO DE ESTUDOS Recuperação Semestral Turma(s) Professor ADM1, INF1, MET1. Pollyanna Sette Etapa(s) Disciplina 1ª e 2ª
ROTEIRO DE ESTUDOS Recuperação Semestral Turma(s) Professor ADM, INF, MET Pollyanna Sette Etapa(s) Disciplina ª e 2ª Matemática CONTEÚDOS. CONJUNTOS (LISTAS e 2/ LIVRO: CAP. 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS (LISTAS
Leia maisCentro de Estudos Gilberto Gualberto Ancorando a sua aprendizagem LISTA FUNÇÕES
Questão 01 - A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, relaciona-se com seu preço por tonelada p, em reais, através da equação p = 2 000 0,5x. O custo de produção mensal em reais
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA SEGUNDA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, veremos que o sinal da derivada segunda de uma função dá informações sobre a concavidade do gráfico desta função.
Leia maisFunções e Limites - Aula 08
Funções e Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Março de 2013 Primeiro Semestre de 2013 Turma 2013104 - Engenharia de Computação Definição
Leia maisProcesso Seletivo Estendido 2016 FUNÇÕES LISTA FUNÇÕES - 1
Processo Seletivo Estendido 06 FUNÇÕES LISTA FUNÇÕES - Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR Esta lista foi inicialmente elaborada pelo prefessor Aleandre Trovon UFPR). A
Leia maisMATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 3 Números Racionais e Operações com Frações 1.INTRODUÇÃO Quando dividimos um objeto em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias delas
Leia maisLimite de uma função quando a variável independente tende a um número real a
Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Santos Alberto Enriquez Remigio 10 de abril de 2018 Notação Seja f uma função e y = f (x) sua regra de correspondência, então:
Leia maisFunções Exponenciais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Exponenciais
Leia maisJOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FUN COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA CÁLCULO
Leia maisCONJUNTOS EXERCÍCIOS DE CONCURSOS
CONJUNTOS EXERCÍCIOS DE CONCURSOS E0626 (IBEG Merendeira Prefeitura de Uruaçu GO). Sendo os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. I A
Leia maisSEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM. Nome legível: Assinatura:
SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [01] (2.0) Resolva a desigualdade 1 x 2 2 x 3 0 usando a
Leia maisLimites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013
Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Limites Prof. Ronaldo Carlotto Batista 7 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados
Leia maisQUESTÕES-AULA Determine se as funções dadas são inversa uma da outra: f(x) = x 4 4, g(x) = 4 x + 4. Se calcularmos (g f)(x) e (f g)(x) teremos,
QUESTÕES-AULA 36 1. Determine se as funções dadas são inversa uma da outra: f(x) = x 4 4, g(x) = 4 x + 4 Se calcularmos (g f)(x) e (f g)(x) teremos, e (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 4 4) = 4 x 4 4 + 4 x (f g)(x)
Leia maisMATEMÁTICA PARA TÉCNICOS
PETROBRAS INDICADA PARA TODOS CARGOS TÉCNICOS MATEMÁTICA PARA TÉCNICOS QUESTÕES RESOLVIDAS PASSO A PASSO PRODUZIDO POR EXATAS CONCURSOS www.exatas.com.br v3 ÍNDICE DE QUESTÕES MATEMÁTICA - CARGOS TÉCNICOS
Leia maisDerivadas. Derivadas. ( e )
Derivadas (24-03-2009 e 31-03-2009) Recta Tangente Seja C uma curva de equação y = f(x). Para determinar a recta tangente a C no ponto P de coordenadas (a,f(a)), i.e, P(a, f(a)), começamos por considerar
Leia maisNovas Tecnologias no Ensino da Matema tica
Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica (GMA0044) Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica Lista Humberto Jose Bortolossi ATIVIDADE O comando SimplificarExpress~ oestrigonome tricas[...] e usado para
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
[Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação
Leia maisMatemática: Funções Vestibulares UNICAMP
Matemática: Funções Vestibulares 015-011 - UNICAMP 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t,
Leia maisRevisão de Pré-Cálculo PÁRABOLAS. Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
Revisão de Pré-Cálculo PÁRABOLAS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Março, 2018 Direitos reservados. Reprodução
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA
Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva
Leia maisCálculo 1 - Fórmula de Taylor
Cálculo - Fórmula de Taylor e Esboço do Gráfico de Funções Reais Prof. Fabio Silva Botelho October 20, 207 Fórmula de Taylor, o caso geral. Derivadas de ordem mais alta Definition.. Seja f : (a,b R tal
Leia maisCENTRO UNIVERSITÁRIO DA SERRA DOS ÓRGÃOS CURSO DE MATEMÁTICA
1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DA SERRA DOS ÓRGÃOS CURSO DE MATEMÁTICA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS A PARTIR DE TRANSFORMAÇÕES ISOMÉTRICAS 1 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ISOMÉTRICAS
Leia maisSumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra
Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção
Leia maisSimulado AFA. 2. Sejam x e y números reais tais que: Então, o número complexo z = x + yi. é tal que z 3 e z valem, respectivamente: (D) i e 1.
Simulado AFA 1. Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são proficientes em inglês, realizou um exame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês,
Leia maisGráficos. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
Gráficos Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc12010_2.html O que f nos diz sobre f? O que f nos diz sobre f? f (x) < 0 f (x) > 0 f(x) =x 2 f (x) =2x x>0 f (x) > 0 x
Leia maisPolinômios. 1.Introdução 2.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Polinômios Prof.:
Leia maisConcavidade. Universidade de Brasília Departamento de Matemática
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Concavidade Conforme vimos anteriormente, o sinal da derivada de uma função em um intervalo nos dá informação sobre crescimento ou decrescimento
Leia maisMATEMÁTICA A - 11o Ano Funções - Derivada (extremos, monotonia e retas tangentes) Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - o Ano Funções - Derivada extremos, monotonia e retas tangentes) Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Temos que, pela definição de derivada num ponto, f ) fx)
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as
Leia maisINEQUAÇÕES ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1
ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOSTICOS INEQUAÇÕES Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I INEQUAÇÕES 1º GRAU Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 2 INEQUAÇÕES DE 1º 1
Leia mais4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais
MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 0º no de Matemática TEM Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Tarefa nº 5 FUNÇÕES LINERES E VRIÇÃO DE PRÂMETROS. Considere as seguintes
Leia maisFunções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição
Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I CDI I
Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa
Leia mais