O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem.

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1 QUESTÕES-AULA Determine quais das funções abaixo são pares, quais são impares e quais não são pares nem impares. Justifique as suas respostas. (a) g : [ 3, 3] R, x x 3 (b) h : ( 3, 3) R, x x 3 x (c) k : [, ] R, x x + x 3 3 (d) l : [ 1, 1] R, x x + 1 Solução (a) Temos que O domínio [ 3, 3] é simétrico em relação a origem. g( x) = ( x) 3 = x 3 = g(x). Destas condições segue que g é uma função par. (b) Temos que, O domínio ( 3, 3) é simétrico em relação a origem. h( x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = (x 3 x) = h(x). Destas condições segue que h é uma função impar. (c) Temos que, O domínio [, ] é simétrico em relação a origem. k( x) = ( x) +( x) 3 3 = x x 3 3 Concluimos que k não é função par nem impar. (d) Temos que, O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem. Temos que l(x) = 0 se e só se 0 x + 1 < 1 x < 1 x ] 1, 1 [ { k(x) = x + x 3 3 k(x) = x x

2 Também l(x) = 1 se e só se 1 x + 1 < 1 < x < 3 x [ 1, 1 ] [1, 1] Ou seja l(x) = { 1, se x [ 1, 1 ] [ 1, 1] 0, se x ] 1, 1 [ Segue dai que se x [ 1, 1] [ 1, 1], l( x) = l(x) = 1 e se x ] 1, 1 [, l( x) = l(x) = 0 Ou seja l(x) é uma função par.. Seja A R um conjunto tal que, x A x A e consideremos duas funções f, g : A R. Responda as seguintes perguntas com justificativas claras. Se f e g são pares, então f + g é par? E f g é par? Se f e g são impares, então f + g é impar? E f g é impar? O que você pode dizer quando f par e g é impar? Antes de responder pense um pouco na função constante de valor zero. Solução Seja x A. Então (f + g) : A R e (f g) : A R. Sendo f e g funções pares, tem-se que (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) Assim a soma de duas funções pares (f + g) é par. Também, (f g)( x) = f( x)g( x) = f(x)g(x) = (f g)(x) Assim o produto de duas funções pares (f g) é par. Sendo f e g funções impares, tem-se que (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) g(x) = (f + g)(x) Assim a soma de duas funções impares (f + g) é impar. Também, (f g)( x) = f( x)g( x) = f(x)[ g(x)] = (f g)(x) Assim o produto de duas funções impares (f g) é par.

3 Se f é par e g é impar, tem-se que, (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) g(x) { (f + g)(x) (f + g)(x) Assim, em geral a soma de uma função par e outra impar não é par nem é impar. Entretanto se f é par é g = 0 a soma (f + g) é par. Também, se f = 0 e g é impar a soma (f + g) é impar. 3. Determine o domínio de f, os zeros de f e estude o sinal de f nos casos: (a) f(x) = x 5x + 6. (b) f(x) = x 1 x 3 8x. (c) f(x) = x x. Solução (a) Para determinar o domínio, resolvemos a inequação x 5x+6 0. Temos que x 5x+6 = (x 5 ) 1 0 (x 5 ) 1 x 5 1 ou x 5 1 Concluimos assim que x ou x 3. Equivalentemente, Dom(f) = (, ] [3, + ) Para determinar os zeros de f resolvemos (x 5 ) 1 = 0 Resulta que (x 5 ) = 1 x 5 = ±1 x = ou x = 3 3

4 Para determinar o sinal de f observamos que x (, ] x x 5 1 (x 5 ) 1 f(x) = (x 5 ) 1 0 Também, x [3, ) x 3 x 5 1 (x 5 ) 1 f(x) = (x 5 ) 1 0 Concluimos que f(x) 0 em Dom(f) = (, ] [3, + ). Na seguinte figura, o gráfico da função f. (b) Temos que, f(x) = x 1 x 3 8x = (x 1)(x + 1) x(x )(x ) Assim o domínio é Dom(f) = R {0, ± }. Os zeros da função são os números x Dom(f) tais que f(x) = 0. Resulta que ± 1 são os zeros de f já que f(± 1) = 0

5 Para determinar o sinal de f resolvemos x 1 x 3 8x > 0 x 1 x 3 8x > 0 para determinar os intervalos onde f é positiva. Resulta que, x 1 > 0 e x 3 8x > 0 ou x 1 < 0 e x 3 8x < 0 x > 1 e x(x )(x ) > 0 ou x < 1 e x(x )(x ) < 0 Equivalentemente, (x < 1 ou x > 1) e ( < x < 0 ou x > ) ou ( 1 < x < 1) e (x < ou 0 < x < ) Então, f(x) > 0 se x (, 1) (0, 1) (, + ) Consequentemente, f(x) < 0 se x (, ) ( 1, 0) (1, ) E, como visto acima, f(x) = 0 se x = ± 1 (c) Para qualquer x R sempre existe f(x) = x x. Então Dom(f) = R. Para determinar os zeros de f(x) resolvemos f(x) = 0. Equivalentemente, resolveremos a equação x = x 5

6 Tem-se que, x = x x = x ou x = x + x x = 0 ou x + x 6 = 0 Resolvendo estas equações encontramos os zeros de f(x): x =, x = 1 17, x = , x = 3 Para determinar os intervalos onde f(x) > 0 resolvemos a inequação x > x. Tem-se que, x > x (x ) > (x ) (x ) (x ) > 0 (x x +)(x +x ) > 0 (x x )(x +x 6) < 0 x x > 0 e x + x 6 < 0 ou x x < 0 e x + x 6 > 0 Concluimos que, Consequentemente (x < 1 17 ou x > 1+ 17) e < x < 3 ou 1 17 < x < e (x < ou x > 3) f(x) > 0 se x (, 1 17 f(x) < 0 se x (, ) ( 1 17 e como visto acima, f(x) = 0 se x =, 1 17 ) ( , 3 ), ) ( 3, + ), , e x = 3 6

7 . Ache funções f p par e f i impar, tais que f = f p + f i, para f(x) = x 3 x 3 Esboce os gráficos de f, f p e f i. Solução Pelas fórmulas dadas no exercício 7 tem-se que, f p (x) = f i (x) = Assim, f(x) + f( x) f(x) f( x) = x3 x 3 + ( x) 3 ( x) 3 = x3 x 3 ( x) 3 + ( x) + 3 f(x) = x 3 x 3 = [ x 3] + [x 3 ] = f p (x) + f i (x) O gráfico destas funções aparece na figura, = x 3 = x 3 7

8 5. Determine o domínio de f, os zeros de f e estude o sinal de f nos casos: (a) f(x) = 1 + x(x 3). (b) g(x) = x 1 x. (c) h(x) = (x x ). (d) k(x) = x Determine o domínio e imagem para as funções (a) f(x) = x 1 x + 1 x (b) f(x) = x (c) f(x) = x 7. Determine a paridade das funções (a) f(x) = h( x ), sendo h qualquer função. (b) f : R {0} R, x x x + 1 x x x, x 1 (c) f(x) = 1 + x + 1 x, 1 < x < 1 x x, x 1 8. Sejam f e g funções tais que f é par e g é impar. Mostrar que f g é impar. 9. Duas funções f e g são iguais se elas possuem o mesmo domínio, i. e., Dom(f) = Dom(g) e f(x) = g(x) para todo x Dom(f). Determine se as funções, (a) f(x) = x e g(x) = x. (b) f(x) = (x 1)(x 6) e g(x) = x 1 x 6 (c) f(x) = x 7x, x [3, 6] e g(x) = x 7x, x [3, 5] (d) f(x) = (x 1)(x + ) (x 1) e g(x) = x + 8

9 (e) f(x) = x3 1 x 1 e g(x) = x + x + 1 são iguais. 10. Determine (f + g)(x), (f g)(x) e (f g)(x) se f(x) = { x + 1, se x 1 x, se x < 0 e g(x) = { 3x + 1, se x 8 x 3, se x > Sabendo que o domínio do quociente de duas funções f e g é Dom f/g = Dom(f) Dom(g) {x Dom(g) : g(x) = 0} determine o quociente das funções f(x) = { x + 1, se x [ 3, 0) x +, se x [0, ] e g(x) = { x + 1, se x [, ] x, se x (, 5] 1. Obter o gráfico da função f(x) = função g(x) = 1 dada na figura, x a partir do gráfico da (x ) 9