Disciplina: Cálculo I Lista 02 Professor: Damião Júnio Araújo Semestre Explique com suas palavras o significado da equação.

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1 Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo I Lista 02 Professor: Damião Júnio Araújo Semestre 208. Aluno:. Explique com suas palavras o significado da equação f(x) = 5. É possível que f seja uma função que possui 2 em seu domínio porém f(2) = 3? Justifique. 2. Qual o significado de f(x) = 3 e f(x) = 7? x x + Construa uma função (graficamente) com as características acima. O x f(x) existe? 3. O que significa x 3 f(x) = e f(x) =? + Construa uma função (graficamente) com as características acima. 4. Para o gráfico da função abaixo dada por g, dê o valor de cada quantidade, caso existam. Se não existirem, explique o por que. (a) t 0 (b) t 0 + (c) t 0 (d) t 2 (e) t 2 + (f) t 2 (h) t t + (i) t (j) t 4 + (k) t 4 (l) t 4 5. Dado que f(x) = 4, g(x) = 2, e h(x) = 0, encontre os ites abaixo, caso garantida a existência dos mesmos. Justifique em caso de não existência. Use as propriedades de ite para tal análise. (a) [f(x) + g(x)] (b) [f(x) 3 + g(x)] (c) [f(x) g(x)] (d) [f(x)/g(x)] (e) [f(x)/h(x)] (f) [g(x)h(x)/f(x)]

2 6. O que está de errado com a equação abaixo? = x + 3 Em vista disso, explique por que a equação possui uma leitura adequada. = (x + 3) 7. Usando as propriedades de ites, calcule, caso exista, o ite das seguintes expressões. (a) (b) x 2 x + 6 (c) x x 2 4 x 2 3x 4 (d) x 2 + 5x + 4 x 2 + 3x 4 (e) h 0 ( 5 + h) 2 25 h (2 + h) 3 8 (f) h 0 h x 2 x t 4 (h) t t 3 ( (i) t 0 t ) t 2 + t ( ) x (j) x 4 x Use uma calculadora para estimar o comportamento do valor da expressão x + 3x para valores muito próximos de 0. Use as propriedades de ites para mostrar que a sua estimativa está de encontro com o cálculo do seguinte ite, x + 3x. 9. Use o teorema do confronto para mostrar que (x2 cos(20πx)) = 0. Use algum programa de plotagem de gráficos (online) para ilustrar o que acontece com os gráficos de f(x) = x 2, g(x) = x 2 cos(20πx) e h(x) = x 2 próximos de Aplique o teorema do confronto para mostrar que [ x3 + x 2 sin π x = 0 ].. Se 4x 9 f(x) x 2 4x + 7 para x 0, encontre f(x). 2

3 2. Demonstre que + x e sin(π/x) = Encontre, quando existir o ite em cada caso abaixo. ( 2x + 2 (a) (c) x 6 x + 6 x ) x ( 2x (b) (d),5 2x 3 x 2 + x ) x 4. A função sinal, é denotada por sng (signal em inglês) é definida ao lado. Esboce o gráfico desta função e analise a existência de cada ite abaixo. se x < 0 sng(x) = 0 se x = 0 se x > 0 (a) sng(x) + (b) sng(x) (c) sng(x) 5. Do gráfico abaixo, responda: (d) sng(x) (e) sng( x ) (f) xsng(x) (a) Qual o domínio da função correspondente a este gráfico? (b) Em quais pontos a função é descontínua? (c) Em relação a estes pontos de descontinuidade quais são contínuos à direita? (d) E quais são contínuos à esquerda? 6. Suponha que f e g sejam contínuas tais que g(2) = 6 e [3f(x)+f(x)g(x)] = 36. Encontre f(2). 7. Explique por que a função é ou não descontínua no número a. Esboce o gráfico da função em torno deste valor. (a) f(x) = (b) f(x) = (c) f(x) = x2 x x 2 a = 2 se x 2 se x = 2 a = a = 2 3

4 x 2 x (d) f(x) = x 2 se x se x = x 2 x (e) f(x) = x 2 se x /2 se x = cos x se x < 0 (f) f(x) = 0 se x = 0 x 2 se x > 0 cos x se x < 0 f(x) = 0 se x = 0 x 2 se x > 0 a = a = a = 0 a = 0 8. Como você "removeria"a descontinuidade de f? Em outras palavras, coo covê definiria f(2) no intuito de tornar f contínua em 2? (a) f(x) = x2 (b) f(x) = x3 8 x Use a continuidade para calcular os ites. (a) 5 + x 5 + x 20. Mostre que f(x) = { sin x se x < π/4 cos x se x π/4 (b) x π sin(x + sin x) é contínua em (, ). 2. Encontre o valor do parâmetro κ para que a função abaixo seja contínua em (, ). { κ x 2 + 2x se x < 2 f(x) = x 3 κ x se x Se f(x) = x sin x, use o teorema do valor intermediário para mostrar que deve existir um número real c tal que f(c) = Usando teorema do valor intermediário, mostre que existe um número real θ tal que θ sin θ = Use o teorema do valor intermediário para concluir que existe raiz da equação dada no intervalo especificado. (a) x 4 + x 3 = 0 em (, 2) (b) sin x = x 2 x em (, 2) 25. O gráfico de uma função pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Quantas assíntotas horizontais pode ter um gráfico de uma função? Ilustre com gráficos cada situação. 26. Para a função f com o gráfico dado abaixo, responda. 4

5 (a) f(x) (b) f(x) x + (c) f(x) x (d) (e) f(x) f(x) (f) Equações assíntotas 27. Encontre o ite ou demonstre que não existe. (a) (b) (c) (d) t + 2x + 3 3x + 5 x 4 x x 2 2x t t t 2 t 3/2 + 3t 5 (e) (f) (h) sin 2 x x 2 + e 3x e 3x e 3x + e 3x + x 6 x 4 + e x + 2e x (i) (j) (k) (l) arctg(ex ) x + x 2 + 2x x4 + x 5 x Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as seguintes condições: f(x) = 0 x ± f(x) = f(2) = 0 f(x) = + x 3 f(x) = x Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais x = e x = 3 e por assíntota horizontal y =. 30. Use o teorema do confronto para determinar x f(x) para f(x) = sin x x. Analise no geogebra o gráfico de f. Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota? 5