Limites e continuidade: parte II

Transcrição

1 Cálculo diferencial e integral Limites e continuidade: parte II Thiago de Paula Oliveira 26 de Setembro de 208

2 2. Prove que os seguintes ites não existem. a) x d) x x2 + 9 x 2 + x b) x x + 2 x x e) x 3 2x 3 c) x 3 x f) x ln(x ) x 2. Calcule o valor dos ites das funções a seguir utilizando a definição de ites, a qual é dada por: f(x) = L se para todo ɛ > 0, existe um δ > 0, tal que f(x) L < ɛ sempre que 0 < x p < δ. x p a) x + 2 d) x x3 b) x 2 x2 + x e) x 6 x 2 4x + 4 c) x x f) x 3 + x 2 3. O modelo matemático de Henderson e Pabis é um dos modelos utilizados para predizer o fenômeno de secagem de aentos, sendo dado por f(t) = a.e kt em que os valores de f(t) representam a umidade do produto, adimensional; t é tempo de secagem; k é o coeficiente de secagem e a é uma constante qualquer. Calcule o valor do ite dessa função para: a) a =, k = 2 e t 5 b) a = 2, k = e t 5 c) a =, k = 2 e t 0 d) a = 2, k = e t 0 e) a =, k = 2 e t f) a = 2, k = e t g) Para os casos de a a f quais são as conclusões? Na prática, essas conclusões fazem sentido? 4. Curvas de crescimento são muito utilizadas nas áreas de biologia e ciências agrárias para quantificar, por exemplo, a massa de animais e vegetais e o crescimento populacional de microorganismos. Assim, supondo que o crescimeto populacional de uma determinada bactéria em função do tempo (t) pode ser descrita pela função de Gompertz dada por f(t) = ae e(b ct) (a) Assumindo que a = 3, b = 2 e c =. Calcule t 0 f(t), t 2 f(t), t f(t) (b) Qual é a interpretação dos valores desses ites?

3 3 5. Quais das seguintes funções são descontínuas? Prove utilizando ites laterais. a)f(x) = x + x b)f(x) = x2 x c)f(x) = x x + d)f(x) = x2 x 2 x 2 e)f(x) = x 2 f)f(x) = 2x x 2 g)f(x) = sec x h)f(x) = cosec x i)f(x) = tg x h)f(x) = e x2 j)f(x) = x 2, se x 0 2, se x = 0 x 3 + 3x l)f(r) = x 2 2, se 0 < x < 2 2 < x <, se x = 2 k)f(x) = sen x cos x 6. Utilizando as propriedades de ites mostre que a função h(x) = 3 x 4 é contínua à direita no intervalo x [4, ) 7. A força gravitacional que a Terra exerce sobre uma unidade de massa a uma distância d de seu centro é dado por f(d) = gmd r 2, se d < r gm d 2, se d r em que g é a constante gravitacional, m é a massa e r é raio da Terra. Pergunta-se: a função f(d) é contínua em d? 8. Seja a função f definida por f(x) = x2 + 2x, mostre que existe um valor c tal que f(c) = 50. x 9. Calcule o valor de a tal que f(x) seja contínua ax 2 2x 6, se x < 4 f(x) = 2x 3 + ax, se x 4 0. Calcule os valores de a e b tal que f(x) seja contínua f(x) = x 2 9 x 3, se x < 3 ax 2 + bx + 3, se 3 x < 6 4x + a b, se x 6

4 4. Prove que as função seno e cosseno são contínuas. Nota: para provar que essas funções são contínuas é preciso mostar que sen x = sen a ou cos x = cos a para qualquer a R. Se nós supormos x a x a que h = x a, então x = a + h. Fazendo h 0, temos e sen (a + h) h 0 cos (a + h). h 0 2. Calcule o valor dos ites das funções a seguir x 2 + a) + 2 b) x x x 2 c) e x d) x x3 e x x 3 + 5x g) 2x 3 x j) cos xe 2x k) e) x2 4x + 4 h) x2 + ax x x + 2 x2 + f) sen x sen 2 x i) x 2 e 2x e x l) x e 3x e 4x m) x 2 x (x ) 2 n) x 2π x 2 x cosec x o) x 2 + x Encontre as assíntotas verticais e horizontais, quando existirem, das funções abaixo. Cheque os resultados utilizando o Wolfram alpha. a)f(x) = 3ex e x 4 b)f(x) = x 2 d)f(x) = log x e)f(x) = 3 x c)f(x) = e x2 e x3 f)f(x) = log(x) + x ( ) x g)f(x) = log x j)f(x) = x3 x x 2 2x + 4 h)f(x) = x 3 x 2 i)f(x) = log x k)f(x) = ax5 + bx 4 e x l)f(x) = tg x + sen x 4. Determine uma função tal que ela possua assíntotas verticais em x = 2 e x = 2 e assíntota horizontal em y = O modelo de crescimento Malthusiano ou modelo de crescimento exponencial simples pode ser utilizado para explicar o crescimento populacional de espécies baseado em uma taxa constante de crescimento (r) ao longo do tempo (t). O modelo de crescimento Malthusiano tem a seguinte forma f(t) = P 0 e rt em que f(0) = P 0 é o tamanho populacional inicial, r é a taxa de crescimento e t é o tempo. Supondo que os valores dos parâmetros que determinam o crescimento populacional da cidade de Piracicaba a partir do ano 990 seja dado por P 0 = e r = Pergunta-se:

5 5 (a) Qual será o tamanho da população de Piracicaba ao nos aproximarmos dos anos 2000 (t = 0), 208 (t = 28) e 2040 (t = 50)? (b) Em que situação o modelo Malthusiano não deve mais ser utilizado para explicar o crescimento dessa população? 6. Em um estudo observacional, McDonald (985) contou a frequência de alelos no locus de manose-6- fosfato isomerase (Mpi) na espécie de crustáceo Megalorchestia californiana em diferentes latitudes (x). Essa espécie vive em praias arenosas da costa do Pacífico da América do Norte. Assim, o objetivo do pesquisador foi saber se diferentes locais levam a freqüências de alelos diferentes. Notou-se, então, que a frequência de alelos em função da latitude pode ser explicado pela função logística dada por: Supondo a = 7.64 e b = 0.7, responda: f(x) = ea+bx. () + ea+bx (a) Qual é a frequência de alelos nas latitudes 48, ( Port Townsend ), 37,8 ( San Francisco ) e 34,3 ( Santa barbara )? Quais são as possíveis conclusões? (b) Qual é a frequência de alelos quando nos aproximamos das latitudes 30, 40 e 50? (c) Existem assíntotas verticais e horizontais no gráfico de f(x)? 7. Considere a curva f(x) = x n, com n Z, e os seguintes casos: i) n = 0 ii) n < 0 e n par iii) n < 0 e n ímpar iv) n > 0 e n par v) n > 0 e n ímpar Para cada um desses casos calcule o valor dos seguintes ites: a) + xn b) xn c) x xn d) xn 6x 2 2x x 2 5x Mostre que 3x 2 = 2 e que + 2x 3 + x = Considere que f(x) = 3, g(x) = 0, h(x) = 4 e w(x) = determine, os ites x x x x abaixo, caso eles existam. Caso contrário justifique por quê o ite não existe. (a) x [f(x) 3g(x)] (d) x f(x) w(x) (g) x h(x)w(x) f(x) (b) x [4h(x) w(x)] (e) x h(x) g(x) (h) x f(x)g(x) (c) x f(x) + h(x) (f) x f(x)h(x) w(x) (i) x h(x)w(x) 20. (Stewart, 200) Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada ite. Caso não exista, explique por quê.

6 6 (a) x 2 [f(x) + g(x)] (d) f(x) x g(x) (b) x [f(x) + g(x)] (e) x 2 x 3 f(x) (c) f(x)g(x) (f) x 3 + f(x) 2. (Stewart, 200) Avalie o seguinte problema: (a) O que há de errado com a equação a seguir? justifique sua resposta. x 2 + x 6 x 2 (b) Em vista de (a), explique por que a equação está correta. x 2 + x 6 = (x + 3) x 2 x 2 x (Stewart, 200) Calcule os seguintes ites: (a) h 0 (x + h) 3 x 3 h (b) h 0 (x+h) 2 x 2 h (c) h 0 (3 + h) 3 h 23. (Stewart, 200) Mostre por meio de um exemplo que [f(x) + g(x)] pode existir mesmo que os x a ites f(x) e g(x) não existam. x a x a 24. (Stewart, 200) Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por T (w) = 0, w 2 + 2, 55w + 20 em que T é a temperatura em graus Celsius e w é a potência de entrada em watts. (a) Qual é a potência necessária para manter a temperatura em 200 C? (b) Se for permitida uma variação de ± C a partir dos 200 C, qual será o intervalo de potência permitido para a entrada? 25. Responda as questões abaixo:

7 7 (a) Do gráfico de f, identifique números nos quais f é descontínua e explique por quê. (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 26. Mostre que a função f = { x 2 /4, se x < 2 x, se x 2 é contínua para x (, ). 27. (Stewart, 200) Determine os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f. + x 2, se x 0 x +, se x (a) f (x) = 2 x, se 0 < x 2 (b) f (x) = (x 2) 2 /x, se < x 3, se x > 2 x 3, se x 3 x + 2, se x < 0 (c) f (x) = e x, se 0 x 2 x, se x > 28. Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Verificar o resultado por meio do SageMath ou do Wolfram Alpha. (a) f(x) = 2x 3 x (d) f(x) = x3 x x 2 6x + 5 (b) f(x) = (e) f(x) = ln x x x 2 3x 2 (c) f(x) = ex e x (f) f(x) = + x4 x 2 x 4

8 8 29. Determine o ite ou demonstre que não existe. (a) 2x + 3 (b) 3x + 5 x 4 (c) x x 2 x 2x 2 7 (d) (g) (j) (m) 2 3x 2 5x 2 + 4x ( 2x 2 + ) 2 (x ) 2 (x 2 + x) sen 2 x x x 2 + ( x2 + ax x 2 + bx) (e) (h) (k) (n) x + x 2 x x x 2x x 2 (f) 2x 3/2 + 3x 5 x 2 x4 + ( 9x2 + x 3x) (i) (l) 9x6 x x 3 + ( x + ) x 2 + 2x x x 4 3x 2 + x x2 + (o) x 3 x + 2 (p) (s) ( e x + 2 cos (3x) ) ( (q) x 4 + x 5) + x 6 (r) x x x 4 + arctan e 3x e 3x e x (ex ) (t) e 3x + e 3x (u) + 2e x 30. Use o Teorema do confronto para avaliar os seguintes ites: ( ) (a) x 2 3 sen x sen x sen 2 (b) (c) x 4x x (d) e x x ( sen (e) x) (g) x cosec x (h) x x 2 (i) ( ) (f) x 2 cos x x 3 + 4x 2 3. Determine x 4 f(x) se x 2 + f(x) 4x Determine x 3 f(x) se x 2 7 f(x) 3 x Determine x 5 g(x) se x 2 6x + 9 g(x) x. 34. Determine f(x) se x3 f(x) x Determine h(x) se x2 2x x 3 +4 h(x) e x.

9 9 36. Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas das funções a seguir: (a) f(x) = x3 + 2x 2 (b) f(x) = x 2 + 2x (c) f(x) = x3 x 2 + (d) f(x) = x 2 + (e) f(x) = x + x (f) f(x) = 3 6x 2 x 3 Referências Morettin, P. A.; Hazzan, S.; Bussab, W. O. Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade. Saraiva: São Paulo, Ed., Stewart, J. Cálculo: volume. Cengage Learning: São Paulo, Ed. 7, 204.

10 0 Respostas de alguns exercícios 3. (a) /e 0 (b) 2e 5 (c) /e 20 (d) 2e 0 (e) 0 (f) 4. (a) 3e e2 ; 3/e; 3 5. As funções referente as letras (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (i), (j), (k) e (l) não são contínuas. 7. Não é contínua em d. 9. a = 7/6 2. (a) 2 (b) (c) (d) (e) (f) oscila entre e (g) /2 (h) (i) 0 (j) 0 (k) 0 (l) (m) (n) (o) 3. Verificar pelo Wolfram Alpha 6. (a) 0, 63; 0, 2290; 0, 408 (b) 0.073; 0.305; (c) Verificar pelo Wolfram Alpha. 9. (a) 3 (b) (c) (d) 0 + (e) Não necessariamente esse ite existe. (f) 0 + (g) (h) 0 (i) 22. (a) 3x 2 (b) 2/x 3 (c) /9 27. (a) 0, esqueda (b) 0, direita;, esqueda 29. (a) 5 (c) /2 (e) (g) 4 (2) 3 (k) /6 (m) 2 (a b) (o) (q) (s) π/2 (u) /2 ( ) 30. (a) 2 x 2 sen 2 2 x e x (d) 0 0 (e) 0 x (g) x cosec x (b) 0 sen ( ) x 0 x (h) 0 x sen x 4x 0 (f) x 2 cos sen x (c) x ( ) x (i) 0 x 3 + 4x x 4 f(x) x 3 f(x) x 5 g(x) 4

11 34. f(x) h(x) i) Assíntota vertival: (a) x = 0 (b) não (c) não (d) não (e) x = 0 (f) não ii) Assíntota horizontal: (a) não (b) não (c) não (d) não (e) não (f) não iii) Assíntota oblíqua: (a) y = 2x (b) y = x + e y = x (c) y = x (d) y = x e y = x (e) y = x (f) y = x + 2