LIMITES. Tal número L será indicado por lim x p f(x). Suponhamos f definida em p. Então f é dita contínua em p se, e somente se, lim x p f(x) = f(p).

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1 Teoria LIMITES Definições Básicas: Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L em p se, para todo ɛ > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x D f, 0 < x p < δ f(x) L < ɛ. Tal número L será indicado por lim x p f(x). Suponhamos f definida em p. Então f é dita contínua em p se, e somente se, lim x p f(x) = f(p). Propriedades: Se lim x p f(x) = L 1 e lim x p g(x) = L 2, então 1. lim x p [f(x) + g(x)] = L 1 + L 2 2. lim x p f(x)g(x) = L 1 L 2 3. lim x p f(x) g(x) = L 1 L 2, desde que L 2 0 Limites Laterais: Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existe b tal que ]p, b[ D f. Definimos o limite lateral à direita de f em p, e indicamos por lim x p + f(x) = L, se e somente se, ɛ > 0, δ > 0 tal que p < x < p + δ f(x) L < ɛ. Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existe a tal que ]a, p[ D f. Definimos o limite lateral à esquerda de f em p, e indicamos por lim x p f(x) = L, se e somente se, ɛ > 0, δ > 0 tal que p δ < x < p f(x) L < ɛ. 1

2 Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[ estejam contidos em D f. Então, lim x p f(x) = L se, e somente se, lim x p + f(x) = lim x p f(x) = L. Limites no Infinito: Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]a, + [ D f. Definimos o limite de f no infinito positivo, e indicamos por lim x + f(x) = L se, e somente se, para todo ɛ > 0 dado, existe δ > 0, com δ > a, tal que x > δ L ɛ < f(x) < L + ɛ. Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ], a[ D f. Definimos o limite de f no infinito negativo, e indicamos por lim x f(x) = L se, e somente se, para todo ɛ > 0 dado, existe δ > 0, com δ < a, tal que x < δ L ɛ < f(x) < L + ɛ. Observação. As propriedades de limites vistas anteriormente continuam válidas para os casos x + e x. Limites Infinitos: Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que exista b tal que ]p, b[ D f. Definimos o limite infinito de f quando x tende a p pela direita, e indicamos por lim x p + f(x) = +, se e somente se, para todo ɛ > 0 dado, existe δ > 0, com p + δ < b, tal que p < x < p + δ f(x) > ɛ. Observação. Definições análogas seguem para os casos lim x p + f(x) =, lim x f(x) = +, lim x f(x) =, lim x p f(x) = +, lim x p f(x) =, lim x p f(x) = + e lim x p f(x) =. 2

3 Exercícios Fixação: 1. Calcule os limites abaixo. (a) lim x p 10 (b) lim x 2 (3x 2) x 2 1 (c) lim x 1 x 1 4x 2 1 (d) lim x 1 2 2x 1 2. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. (a) f(x) = (b) f(x) = 3. f(x) = x 3 se x 3 x 3 em p = 3 L se x = 3 x 5 se x 5 x em p = 5 L se x = 5 x 2 + x se x 1 x + 1 é contínua em 1? E em 0? 2 se x = 1 f(x + h) f(x) 4. Calcule lim h 0 sendo f dada por h (a) f(x) = 5 (b) f(x) = x 2 (c) f(x) = 3x + 1 (d) f(x) = 2x 2 + x 5. (a) O que há de errado com a equação a seguir? x 2 + x 6 = x + 3 x 2 (b) Em vista de (a), explique por que a equação x 2 + x 6 lim x 2 = lim x 2 (x + 3) x 2 está correta. 3

4 6. Calcule o limite, se existir. ( 5 + h) 2 25 (a) lim h 0 h 9 + h 3 (b) lim h 0 h x (c) lim x x 1 7. Calcule lim x 1 + f(x) e lim x 1 f(x), sendo f(x) = 8. Calcule lim x 0 + { x 2 se x < 1 2x se x > 1 x x e lim x x 0 x. O limite lim x x 0 x existe? 9. Calcule. x 1 (a) lim x 1 + x 1 f(x) f(1) (b) lim x 1 + onde f(x) = x 1 x 2 2x + 1 (c) lim x 2 + x A afirmação { x + 1 se x 1 2x se x < 1 lim x p f(x) = lim x p + f(x) f contínua em p é falsa ou verdadeira? Justifique. 11. Esboce o gráfico da função f(x) = 1 + x se x < 1 x 2 se 1 x < 1 2 x se x 1 e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x a f(x) existe. 12. Seja g(x) = x se x < 1 3 se x = 1 2 x 2 se 1 < x 2 x 3 se x > 2. (a) Determine as quantidades a seguir, se existirem. 4 } }.

5 i. lim x 1 g(x) ii. lim x 1 g(x) iii. g(1) iv. lim x 2 g(x) v. lim x 2 + g(x) vi. lim x 2 g(x) (b) Esboce o gráfico de g. 13. A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f(x) se lim x + f(x) = L ou lim x f(x) = L. Com base nisso, encontre as assíntotas horizontais de cada curva. (a) y = x2 1 x (b) y = 2x + 1 x 2 (c) y = 2x2 + x 1 x 2 + x A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim x a f(x) = ±, lim x a + f(x) = ±, lim x a f(x) = ±. Determine as assíntotas verticais. (a) y = x + 2 x + 3 (b) y = 2 x (x 1) 2 Aplicação: 1. A tarifa T cobrada para dirigir em um certo trecho de uma rodovia com pedágio é de R$ 5, 00, exceto durante o horário de pico (entre 7 da manhã e 10 da manhã e entre 4 da tarde e 7 da noite), quando a tarifa é de R$ 7, 00. (a) Esboce um gráfico de T como função do tempo t, medido em horas após a meia-noite. 5

6 (b) Discuta as descontinuidades da função e seu significado para alguém que use a rodovia. 2. A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é GMr se r < R R 3 F (r) = GM se r R r 2 onde M é a massa da Terra; R é seu raio; e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r? 3. Na Teoria da Relatividade, a fórmula da contração de Lorentz L = L 0 1 v2 c 2 expressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v em relação a um observador, onde L 0 é o comprimento do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim v c L e interprete o resultado. Por que é necessário o limite à esquerda? 4. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25l/min. A concentração de sal depois de t minutos (em gramas por litro) é C(t) = 30t t. O que acontece com a concentração quando t? 5. Sob certas condições, a velocidade v(t) de uma gota de chuva caindo no instante t é v(t) = v (1 e gt v ), onde g é a aceleração da gravidade. Encontre lim t + v(t) e interprete o resultado obtido. 6. Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é 6

7 m = m 0 1 v2 c 2 onde m 0 é a massa da partícula em repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v c? Por que o limite é lateral? 7

8 Respostas Fixação: 1. (a) 10 (b) 4 (c) 2 (d) (a) 2 3 (b) 2 3. Contínua em todos os pontos exceto em (a) 0 (b) 2x (c) 3 (d) 4x (a) Para x = 2, o lado esquerdo não está definido mas o lado direito sim. (b) As funções f(x) = x2 + x 6 e g(x) = x + 3 têm o mesmo x 2 limite em x = 2 embora tenham valores distintos nesse ponto. 6. (a) 10 (b) 1 6 (c) lim x 1 + f(x) = 2; lim x 1 f(x) = 1 8. lim x (a) 1 (b) 1 (c) 1 x x = 1; lim x x 0 x = 1; lim x x 0 x não existe. 10. Falsa, pois podemos ter lim x p f(x) = lim x p + f(x) f(p). 8

9 11. lim x a f(x) existe para todos os pontos exceto para a = (a) i. 1 ii. 1 iii. 3 iv. 2 v. 1 vi. Não existe. (b) 13. (a) y = 1 (b) y = 2 (c) y = (a) x = 3 (b) x = 1 Aplicação: 1. (a) (b) A função é descontínua às 7, 10, 16 e 19 horas. Nesses horários, o preço que o motorista irá pagar muda. 2. Sim. 3. lim v c L = 0, o que significa que o comprimento do objeto se contrai com o aumento de sua velocidade relativa ao referencial do repouso, anulando-se quando atinge a velocidade da luz. O limite à esquerda é necessário, pois a teoria da relatividade postula que nada no universo pode viajar acima da velocidade da luz. 4. A água do tanque atinge a concentração da água bombeada (30g/l). 5. lim t v(t) = v, o que significa que a gota de chuva tende para uma velocidade terminal, dada pela constante v. 6. A massa da partícula cresce conforme sua velocidade em relação ao referencial do repouso aumenta, tornando-se infinita ao atingir a velocidade da luz. Como a massa é uma medida da resistência de um corpo à aceleração, o resultado indica que a partícula não pode ser acelerada depois que atinge a velocidade da luz, em acordo com o fato de que nenhum objeto físico pode se mover além dessa 9

10 velocidade (por isso o limite lateral; além disso, para v > c a raiz se tornaria imaginária). 10