Elementos de Cálculo I - Notas de aulas 8 Limites e Continuidade Prof. Carlos Alberto S Soares

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Pedro Henrique Philippi Quintanilha
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1 Elementos de Cálculo I - Notas de aulas 8 Limites e Continuidade Prof. Carlos Alberto S Soares Neste momento do curso de Elementos de Cálculo 1, estamos interessados em rever algumas funções já estudadas no Ensino Médio de forma a desenvolver os importantes conceitos de ites e continuidade. Começaremos esboçando o gráfico de algumas funções, de forma a explorar o significado da expressão = l. (leia-se ite de quando x tende a x 0 é igual a l.) Exemplo 1 Seja f : R R a função = 3x + 1. É simples observar que o gráfico de f é o que se encontra esboçado abaixo. No caso desta função o que significa a expressão x 1 ou ainda (3x + 1)? x 1 Determinar x 1 é simplesmente verificar de qual número a imagem (y) se aproxima quando nos aproximamos de 1 no eixo x, isto é, podemos pensar que partimos de um certo ponto no eixo x e caminhamos em direção ao número 1. Durante o percurso, iremos observando o que está acontecendo com a imagem em cada passo, e continuamos de forma a nos aproximarmos cada vez mais de 1. A pergunta então é a seguinte: Pergunta 2 Existe um número do qual a imagem(y) se aproximará à medida que formos nos aproximando cada vez mais de 1, sem pensarmos em atingir o 1, mas nos aproximando cada vez mais? Observando a figura é fácil constatar que tal número existe e é igual a 4. Exemplo 3 Seja a função O que concluir neste caso sobre = { 2x 1 se x 2 x/2 + 1 se x < 2? x 2 Observe o gráfico de f esboçado abaixo e responda às perguntas a seguir. Pergunta 4 Existe um número do qual a imagem(y) se aproximará à medida que formos nos aproximando cada vez mais de 2 caminhando sempre à direita de 2? Pergunta 5 Existe um número do qual a imagem(y) se aproximará à medida que formos nos aproximando cada vez mais de 2 caminhando sempre à esquerda de 2? 1

2 As perguntas 4 e 5 acima evidenciam a noção de ites laterais, respectivamente, ite lateral à direita e ite lateral à esquerda ou ainda e x 2 + x 2 Connvença-se, através do gráfico, que = 3 e x 2 + = 2. x 2 Nsste caso, os ites laterais existem ( 2 e 3), mas o ite não ( conferir teorema 13 e observação 16 abaixo ). Observe que a função tem um salto no ponto x = 2, o que exemplifica uma função que não é contínua em x = 2. Informalmente uma função é dita contínua num ponto x 0 se não possui salto em x 0. Deixemos mais clara tal noção através de mais alguns exemplos. Exemplo 6 Seja a função Pede-se: = (a) Faça um esboço do gráfico de f { 2x 1 se x 1 x + 1 se x < 1 (b) Determine, se existirem, x 1 +, x 1 e x 1 (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em x = 2. (d) Determine, se existirem, x 0 +, x 0 e x 0 (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em x = 0 Solução: Em sala de aula! Exemplo 7 Seja a função x + 3 se x 1 = x 2 1 se 1 < x 2 3 se x > 2 Pede-se: (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine, se existirem, x 2 +, x 2 e x 2 (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em x = 2. (d) Determine, se existirem, x 1 +, x 1 e x 1 (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em x = 1 Solução: Em sala de aula! Admitiremos vários teoremas sobre ites sem demonstrção, mas vários deles, tais como o que vem logo abaixo, são de fácil aceitação. O objetivo de tais teoremas será nos permitir 2

3 o cálculo de certos ites sem a necessidade do gráfico. Vale notar que na realidade, utilizaremos o cálculo de ites para nos ajudar a esboçarmos os gráficos de algumas funções. Se estivéssemos interessados na demonstração dos teoremas a seguir, deveríamos apresentar o conceito de ites formalmente, visando uma definição, o que neste primeiro momento não nos parece interessante. Teorema 8 (Limite de uma função do primeiro grau ) Se f é uma função do primeiro grau, então = f(x 0 ) em outras palavras, se a e b são números reais, teremos (ax + b) = ax 0 + b. Ressaltamos que o teorema acima ainda é válido para funções constantes, isto é, k = k. Teorema 9 (Propriedades operatórias de ites) Sejam f e g funções tais que = l e x x0 g(x) = m. Então: l n (a) x x0 ( ± g(x)) = l ± m (b) x x0 (g(x)) = lm. Em particular, se n é um número natural teremos x x0 () n = (c) Se g(x) está bem definida e m = 0, teremos g(x) = l m (d) Se n é um número natural e n está bem definida teremos x x0 n = n l. Observação 10 (1)Quando trabalhamos com x x0 não estamos interessados no valor de f quando x = x 0, pode acontecer do ite existir ainda que x 0 não esteja no domínio de f. Esta situação será exemplificada abaixo. (2) Os teoremas acima ainda permanecem válidos se trocamos ite por ites laterais! Exemplo 11 Calcule os ites abaixo: (a) x 2 x 3 + 2x 2 1 (b) x 1 (e) h 0 (x+h) 3 x 3 h (f) x 1 2 8x 2 1 6x 2 5x+1 x 2 +1 x 4 +2x 2 (g) x x 9 x (c) x 2 4 x x 2 (d) x 2 x 2 x 2 x 2 2 (h) x 0 x x Uma situação que deve ser muito bem compreendida está descrita no teorema abaixo. Teorema 12 (Limite de uma função definida por várias sentenças) 3

4 Sejam f e g funções tais que existam x x0 e x x0 g(x). Então a função { se x x0 h(x) = g(x) se x > x 0 é tal que h(x) = x x0 e h(x) = x x0 g(x). x x + 0 Vale observar que, para efeito de determinação do ite, o resultado ainda seria válido se a função h fosse definida por { { se x < x0 se x < x0 h(x) = ou h(x) = g(x) se x > x 0 g(x) se x x 0 Teorema 13 (Sobre existência do ite e ites laterais) Seja f uma função definida à direita e à esquerda de x 0, não necessariamente em x 0. Existe x x0 se, e somente se, existem e são iguais os ites laterais. Nesta caso, teremos = x x + =. 0 Exemplo 14 1) Sendo = x determine: (a) x x 0 (b) x 0 + (c) x 0 x + 1 se x < 1 2) Sendo = x 2 se 1 x 1 determine: 1 x se 1 < x (a) x 1 (b) x 1 + (c) x 1 (d) x 1 (e) x 1 + (f) x 1 2x a se x < 3 3) Sendo = ax + 2b se 3 x 3 b 5x se 3 < x x 3 e x 3 existam. Formalizemos agora o conceito de função contínua. determine os valores de a e b tais que Definição 15 Uma função f será dita contínua num ponto x 0 se as três condições abaixo se verificam: (1) Existe f(x 0 ), isto é, x 0 pertence ao domínio de f (2) Existe x x0, isto é, x x0 é um número real (3) x x0 = f(x 0 ) Bem entendido, uma função será contínua em um número x 0 quando x tende a x 0 é igual ao valor de f em x 0. se o ite desta função Observação 16 (MUITO IMPORTANTE) 4

5 Vale salientar que, quando uma função está definida somente à esquerda de um número x 0, x x0 se reduzirá ao ite lateral à esquerda, isto é, neste caso teremos x x0 se, e somente se, e sendo este o caso teremos =. É claro que, quando a função estiver definida somente à direita de um número x 0, x x0 se reduzirá ao ite lateral à direita, isto é, neste caso teremos se, e somente se, x x0 x x + 0 e =. x x + 0 Em ambos os casos, os itens 2 e 3 na definição acima se reduzem aos respectivos ites laterais. Exemplo 17 1) Qual o domínio da função = x? Esta função é contínua em x = 0? Justifique! 2) Com os valores encontrados, a função do exemplo anterior, item 3, é contínua em x = 3? E em x = 3 { 3 x+a 3 a se x = 0 3) Dada = x, determine os valores de a e b tais que f seja b se x = 0 contínua em x = 0. 4) Em quais pontos as funções do exemplo anterior, itens 1 e 2, são contínuas? 5

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