Limite - Propriedades Adicionais

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1 Limite - Propriedades Adicionais Juliana Pimentel

2 Propriedades Adicionais do Limite Os próximos três teoremas são propriedades adicionais de limites. Teorema (Teste da Comparação) Se p D f D g e f (x) g(x) sempre que x (D f D g )\{p} e x está próximo de p e os limites de f e g quando x tende a p existem, então

3 Propriedades Adicionais do Limite Os próximos três teoremas são propriedades adicionais de limites. Teorema (Teste da Comparação) Se p D f D g e f (x) g(x) sempre que x (D f D g )\{p} e x está próximo de p e os limites de f e g quando x tende a p existem, então L f = lim x p f (x) lim x p g(x) = L g.

4 Propriedades Adicionais do Limite Os próximos três teoremas são propriedades adicionais de limites. Teorema (Teste da Comparação) Se p D f D g e f (x) g(x) sempre que x (D f D g )\{p} e x está próximo de p e os limites de f e g quando x tende a p existem, então L f = lim x p f (x) lim x p g(x) = L g. De fato: Dado ɛ > 0, para p x D f D g próximo de p e consequentemente L f L g. L f ɛ f (x) g(x) L g + ɛ

5 Teorema (do Confronto) Sejam f, g, h funções, p D = D f D g D h e suponha que f (x) g(x) h(x), para x próximo de p. Se então lim f (x) = L = lim h(x), x p x p

6 Teorema (do Confronto) Sejam f, g, h funções, p D = D f D g D h e suponha que f (x) g(x) h(x), para x próximo de p. Se então lim f (x) = L = lim h(x), x p x p lim g(x) = L. x p

7 Teorema (do Confronto) Sejam f, g, h funções, p D = D f D g D h e suponha que f (x) g(x) h(x), para x próximo de p. Se então lim f (x) = L = lim h(x), x p x p lim g(x) = L. x p De fato: Dado ɛ > 0, para p x D f D g D h próximo de p e o resultado segue. L ɛ f (x) g(x) h(x) L + ɛ

8 Exemplo As funções trigonométricas são contínuas.

9 Exemplo As funções trigonométricas são contínuas. Prova:

10 Exemplo As funções trigonométricas são contínuas. Prova: Para qualquer p, temos que ( x p ) ( x + p ) senx senp = 2sen cos 2 2 ( x p ) x p 2 sen 2 = x p. 2 2 Como lim (x p) = 0, pelo Teorema do Confronto temos que x p lim senx senp = 0, ou seja, lim senx = senp. Logo a função x p x p seno é contínua para todo p.

11 A prova da continuidade do cosseno é feita de ( maneira similar x + p ) ( x p ) utilizando a igualdade cos x cos p = 2sen sen. 2 2 A continuidade das outras funções trigonométricas seguem das propriedades do limite.

12 Exemplo Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0.

13 Exemplo Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0. Como 1 sen 1 x 1, multiplicando por x 2 temos

14 Exemplo Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0. Como 1 sen 1 x 1, multiplicando por x 2 temos x 2 x 2 sen 1 x x 2. Sabemos que

15 Exemplo Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0. Como 1 sen 1 x 1, multiplicando por x 2 temos x 2 x 2 sen 1 x x 2. Sabemos que lim x 0 x 2 = 0 = lim x 0 x 2. Então, pelo Teorema do Confronto,

16 Exemplo Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0. Como 1 sen 1 x 1, multiplicando por x 2 temos x 2 x 2 sen 1 x x 2. Sabemos que lim x 0 x 2 = 0 = lim x 0 x 2. Então, pelo Teorema do Confronto, lim x 0 x 2 sen 1 x = 0.

17 Exemplo Seja f : R R tal que f (x) x 2, x R. (a) Calcule, caso exista, lim x 0 f (x). (b) Verifique se f é contínua em 0.

18 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade:

19 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade: Corolário Suponha que lim x p f (x) = 0 e existe M R tal que g(x) M para x próximo de p. Então

20 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade: Corolário Suponha que lim x p f (x) = 0 e existe M R tal que g(x) M para x próximo de p. Então lim f (x)g(x) = 0. x p

21 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade: Corolário Suponha que lim x p f (x) = 0 e existe M R tal que g(x) M para x próximo de p. Então lim f (x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que lim x p f (x) = 0 lim x p f (x) = 0.

22 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade: Corolário Suponha que lim x p f (x) = 0 e existe M R tal que g(x) M para x próximo de p. Então lim f (x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que lim f (x) = 0 lim f (x) = 0.Prove que x p x p lim f (x) = L = lim f (x) = L e que não vale a volta. x p x p

23 Exemplo Calcule lim x 2 g(x), onde g : R R é dada por { x 0 1, x Q g(x) = 0, x Q. Exercício: Calcule (a) lim x 0 x sen 1 x ; (b) lim x 2 cos 1 x 0 x 2.

24 Exemplo (O Primeiro Limite Fundamental) sen x lim x 0 x = 1. Prova: Note que que para 0 < x < π 2 0 < sen x < x < tg x. vale a desigualdade 1 P T x A( OPA) < A(setorOPA) < A( OTA) -1 O A

25 Dividindo por sen x obtemos 1 < x sen x < 1 cos x e conseqentemente cos x < sen x < 1, pois cos x > 0 para x 0 < x < π 2.

26 Por outro lado, se π < x < 0, aplicando a desigualdade a x, 2 sen ( x) obtemos cos( x) < < 1. Daí x cos x < sen x x < 1, 0 < x < π 2. sen x Como lim cos x = 1, pelo Teorema do Confronto, lim x 0 x 0 x Exemplo sen 2 x Calcule lim x 0 x 2. sen 2 x lim x 0 x 2 sen x senx = lim x 0 x x = 1. = 1.

27 Teorema (Limite da composta) Sejam f e g duas funções tais que Im(g) D f e L D f. Se f for contínua em L onde lim x p g(x) = L, então lim f (g(x)) = f ( lim g(x) ) = f (L). x p x p Exemplo sen5x Calcule lim. x 0 x sen5x sen 5x lim = 5 lim x 0 x x 0 5x u=5x = 5 lim u 0 sen u u = 5.

28 Composta de contínuas é contínua Seja g : A B uma função definida em um intervalo aberto contendo a

29 Composta de contínuas é contínua Seja g : A B uma função definida em um intervalo aberto contendo a e seja f : B C uma função definida em um intervalo aberto contendo g(a).

30 Composta de contínuas é contínua Seja g : A B uma função definida em um intervalo aberto contendo a e seja f : B C uma função definida em um intervalo aberto contendo g(a).se g é contínua em a e f contínua em g(a) então

31 Composta de contínuas é contínua Seja g : A B uma função definida em um intervalo aberto contendo a e seja f : B C uma função definida em um intervalo aberto contendo g(a).se g é contínua em a e f contínua em g(a) então f (g(x)) é contínua em a.

32 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x =

33 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) =

34 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2.

35 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2. Exemplo 1 cos x Calcule lim x 0 x 2. 1 cos x lim x 0 x 2 (1 cos x) (1 + cos x) = lim x 0 x cos x 1 cos 2 x 1 = lim x 0 x cos x sen 2 x 1 = lim x 0 x cos x = 1 2.

36 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2. Exemplo 1 cos x Calcule lim x 0 x 2. 1 cos x lim x 0 x 2 = 1 cos 2 x 1 = lim x 0 x cos x sen 2 x 1 = lim x 0 x cos x = 1 2.

37 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2. Exemplo 1 cos x Calcule lim x 0 x 2. 1 cos x lim x 0 x 2 = 1 cos 2 x 1 lim x 0 x cos x sen 2 x 1 = lim x 0 x cos x = 1 2.

38 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2. Exemplo 1 cos x Calcule lim x 0 x 2. 1 cos x lim x 0 x 2 = 1 2.

39 Exemplo tg(2x) Calcule lim. x 0 x lim x 0 tg(2x) x sen(2x) 2 = lim x 0 2x cos(2x) = 2. Exemplo 1 cos x Calcule lim x 0 x 2. 1 cos x lim x 0 x 2 (1 cos x) (1 + cos x) = lim x 0 x cos x 1 cos 2 x 1 = lim x 0 x cos x sen 2 x 1 = lim x 0 x cos x = 1 2.

40 Exercício: Calcule 2x (a) lim x 0 sen(3x) ; tg(2x) (b) lim x 0 sen(3x).

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