Cálculo 1 A Turma F1 Prova VS

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1 Cálculo 1 A 017. Turma F1 Prova VS Nome (MAIÚSCULO): Matrícula: O IMPORTANTE É O RACIOCÍNIO, PORTANTO DEIXE-O TODO NA PROVA. RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS SERÃO DESCONSIDERADAS. (1) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de [1] y = 3 sen ( sen(x) ) no ponto com abscissa x = π. () Determine a função f sabendo que [1] e que f (1) = π. df dx = 1 x + 3 x (3) Considere a função [3] x 3 q(x) =. a) Determine seu domínio, sinal, interseções com os eixos, assíntotas, onde é crescente/decrescente, seus máximos/mínimos. b) Esboce seu gráfico. (4) Calcule o ite [] cos( x ) ln. (5) Mostre que a equação [] x 3 + e x = 0 tem exatamente uma raiz real (uma e somente uma). (6) Esboce o gráfico da função [1] y = 1 + cos(x + 44π) a partir do gráfico de y = cos(x), descrevendo e esboçando cada etapa detalhadamente. 1

2 GABARITO 1. A raiz cúbica é derivável exceto em 0 onde tem tangente vertical: isso corresponde a sen ( sen(x) ) = 0 = sen(x) = kπ,k Z ( π ) = > 1 = k = 0 e sen(x) = 0 = x = nπ,n Z = x = n π,n Z. Assim y = sen ( 3 sen(x) ) ( = sen ( sen(x) )) 1/3 é diferenciável (sendo composição de funções diferenciáveis) em todo ponto exceto x π Z. De fato, pela regra da cadeia sua derivada primeira é y = 4cos( sen(x) ) cos(x) 3 3 sen ( sen(x) ) que não está definida em x = π. Mas a tangente existe, pois neste ponto isso é a tangente é a reta vertical x = π. x π y = +, Gráfico de y = 3 sen ( sen(x) ).. Como a operação de derivação é linear, se f (x) = 1 x + 3 então podemos escrever x onde as duas funções g,h são tais que f = g + 3h g (x) = x 1, h (x) = x. Por exemplo tomemos g (x) = ln(x) e h(x) = x 1, de forma que f (x) = ln(x) 3x 1. Agora observamos que pode-se somar à f qualquer constante c R porque a derivada deste termo é igual a zero, então tomemos em geral f (x) = ln(x) 3x 1 + c para um número real c. A condição f (1) = π impõe ln(1) 3 + c = π = c = π + 3, e no final f (x) = ln(x) 3x 1 + π + 3.

3 3. A função q(x) = x 3 tem domínio Dom(q) = {x R x 3 0, 0} = (, 3] [ 3,+ ). Neste domínio q é contínua (mas descontínua em R!), então não tem assíntotas verticais. Interseções com os eixos: o gráfico intersecta o eixo x nos pontos soluções de q(x) = 0 x 3 = 0 x = ± 3, e não passa pelo eixo y (que fica fora do do domínio). Sinal: estudamos os sinais de numerador e denominador separadamente: Nos pontos de bordo do domínio: x < 3 x > 3 numerador + + denominador + q(x) + x 1 3 x q(x) = x ± x ± x x x = x ± x = ±1. Portanto y = 1 é assíntota horizontal direita e y = 1 é assíntota horizontal esquerda. A derivada q x + 3 (x) = () x 3 está definida em x > 3, onde é: - nula em x = 3 (ponto crítico), - positiva para x ( 3, 3) ( 3,+ ) (= q crescente) - negativa em (, 3) (= q decrescente). Portanto x = 3 é mínimo relativo (de fato, absoluto), e x = 3 é máximo relativo (notar que neste ponto q não é derivável: x q(x) = + = a tangente é vertical.) 3 Notar que vertical. Gráfico de y = q(x). x 3 q (x) = + = x (x), então em 3 +q ± 3 (q não é derivável e) a tangente é 4. O ite cos( x ) não existe. Porém, cos ( x ) [ 1,1] para qualquer x, então vamos utilizar o TEOREMA DO CONFRONTO em ln cos( x ) ln ln. 3

4 Como ln = ln logo cos( x ) ln = 0. = ln x 1 1 = ln 1 = 0, x 5. Consideramos a função t(x) = x 3 +e x = 0. Seu domínio é R e ela é contínua para todo x. Como t(0) = 1 > 0 e t( 1) = 1+ 1 < 0 (pois e > 1), pelo TEOREMA DE EXISTÊNCIA DE ZEROS t se anula em e um ponto x 0 ( 1,0). Isso é, a equação t(x) = 0 tem (ao menos) uma raiz real x 0. Para mostrar que tem exatamente uma raiz real, consideramos a derivada: t (x) = 3x +e x > 0 para todo x R (sendo 3x 0 e e x > 0). Segue-se que t é sempre crescente e não há pontos críticos. Assim, pelo TEOREMA DE ROLLE, não pode existir nenhum outro zero x 1 (diferente de x 0 ). Gráfico de y = t(x). Alternativamente, observe-se que as soluções de x 3 +e x = 0 são dadas pelas interseções entre os gráficos das funções a(x) = x 3 (vermelho) e b(x) = e x (azul) (ou x 3 e e x, pontilhados). Ambas estão definidas em R, a é crescente, a(x) = ±, x ± b é decrescente e negativa, b(x) =, b(x) = 0. x Necessariamente os gráficos se intersectam somente em um ponto (x 0, y 0 ) no terceiro quadrante. As funções a(x) = x 3 (vermelho) e b(x) = e x (azul). 4

5 6. Observamos em primeiro lugar que o cosseno é periódico de período π, então y = 1 + cos(x + 44π) = 1 + cos(x). O gráfico desta função é construído a partir do gráfico de y = cos(x): com as seguintes etapas: fazendo a reflexão no eixo x da parte negativa para obter y = cos(x) : fazendo a dilatação vertical de fator para obter y = cos(x) : fazendo a translação vertical de 1 para obter y = cos(x) 1: 5