3 A Reta Tangente Definição: Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo. curva y = f(x). A reta secante s é a reta que passa pelos pontos
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- Sérgio Rodrigues Furtado
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1 3 A Reta Tangente Definição: Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b) Sejam P(p, f(p)) e Q(x, f(x)) dois pontos distintos da curva y = f(x). A reta secante s é a reta que passa pelos pontos P(p, f(p)) e Q(x, f(x)) da curva y = f(x). O coeficiente angular reta secante s (inclinação da reta de s) pode ser calculado usando a seguinte equação: m PQ = f(p) f(x) p x Exemplo 1) Encontre o coeficiente angular reta secante s à parábola f(x) = x 2 nos pontos P(1, 1) e Q(2, 4). Suponhamos agora que, mantendo P(p, f(p)) fixo, Q(x, f(x)) se mova sobre a curva em direção a P(p, f(p)). À medida que Q(x, f(x)) vai se aproximando cada vez mais de P(p, f(p)), a inclinação da secante varia cada vez menos. Portanto para encontrar a tangente a curva gerada pelo gráfico da função f(x) em um ponto P(p, f(p)), temos que considera um ponto vizinho Q(x, f(x)), sendo x diferente de p. Então fazemos o ponto Q(x, f(x)) aproximar-se do P(p, f(p)), e assim fazemos com que o valor de x aproximar-se do valor de p. Assim o valor de m pq aproximasse do número m. Deste modo podemos dizer que a reta tangente é a posição-limite da reta secante s quando o ponto Q(x, f(x)) aproximasse do ponto P(p, f(p)). Definição: Dada uma curva y = f(x), seja P(p, f(p)) um ponto sobre essa curva. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P(p, f(p)) é dada por f(x) f(p) m = lim x p x p quando o limite existe. Se substituirmos p por h + x podemos escrever f(p + h) f(p) m = lim h 0 h Equação da reta tangente à curva no ponto P(p, f(p)) é dada por y = m(x p) + f(p) Exemplo 2) Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x 2 no ponto P(1, 1). Exercício 1) Encontre a inclinação da reta tangente à curva f(x) = x 2 2x + 1 no ponto x = 2. 2) Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = 2x no ponto x = 1. 3) Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = x no ponto x = 4. No Geogebra 4) Faça os gráficos da função f(x) = 3x e a reta que os contenha os pontos P(2, f(2)) e Q(a, f(a)). Faça a e reta tangente no ponto P(4, f(4)). 5) Faça os gráficos da função f(x) = x 2 e a reta que os contenha os pontos P(1, f(1)) e Q(a, f(a)). Faça a reta tangente no ponto P(1, f(1)).
2 4 A Derivada de uma Função Definição: Seja f uma função e (f: D R onde D R). A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f (x), tal que, seu valor em qualquer x D é dado por se este limite existir. dy dx = f(x + h) f(x) f (x) = lim h 0 h Exemplo 1) Dada f(x) = 5x 2 + 6x 1, encontre f (2). Exemplo 2) Dada f(x) = x, encontre f (4). = lim x p f(x) f(p) x p Regras de Derivação Derivada de uma Constante. Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f (x) = 0. Derivada de um monômio. Se n é um número inteiro positivo e f(x) = x n, então f (x) = nx n 1. Derivada do Produto de uma Constante por uma Função. Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = cf(x). Se f (x) existe, então g (x) = cf (x). Derivada de uma Soma. Sejam f e g duas funções e h a função definida por z(x) = f(x) + g(x). Se f (x) e g (x) existem, então z (x) = f (x) + g (x). Teorema 4.1 (Derivada de um Produto de funções): Sejam f e g funções e z a função definida por z(x) = f(x) g(x). Se f (x) e g (x) existem, então z (x) = f(x) g (x) + f (x) g(x). Teorema 4.2 (Derivada de um Quociente de funções): Sejam f e g funções e z a função definida por z(x) = f(x) g(x), onde g(x) = 0. Se f (x) e g (x) existem, então z (x) = f(x) g (x)+f (x) g(x) [g(x)] 2. Teorema 4.3: Se f(x) = x n onde n é um inteiro positivo e x 0, então f (x) = n x n 1. Reta Tangente Podemos dizer que o valor do coeficiente angular da reta tangente a curva determinada pelo gráfico da função f(x) é a derivada da função f(x) (que pode ser escrito assim m = f (x)). E assim a equação da reta tangente à curva no ponto P(p, f(p)) é dada por y = f (x)(x p) + f(p) Exercício 1) Encontre a inclinação da reta tangente à curva f(x) = x 2 2x + 1 num ponto x qualquer. 2) Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = 2x num ponto x qualquer. 3) Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = x num ponto x qualquer. No Geogebra 4) Trace o gráfico da função abaixo e faça a reta tangente no ponto P(a, f(a)). a) f(x) = 3x b) f(x) = x 2 c) f(x) = x 4 x 3 2x d) f(x) = x sen x e) f(x) = ln x
3 Máximos e Mínimos de Funções O gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos pontos de abscissas x 1, x 2, x 3 e x 4. Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos f(x 1 ) e f(x 3 ) são chamados máximos relativos e f(x 2 ) e f(x 4 ) são chamados mínimos relativos. Definição: A função f: D R tem um Mínimo relativo em c se, e somente se, existir um intervalo aberto (a, b) contendo c, tal que f(x) f(c) para todo x (a, b) D. Exemplo 1) A função f(x) = 3x 4 12x 2 tem um máximo relativo em c 1 = 0, pois existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) f(x) para todo x (a, b). Teorema 4.4: Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x (a, b) e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f (c) existe, então f (c) = 0. Definição: A função f: D R tem um Máximo relativo em c se, e somente se, existir um intervalo aberto (a, b) contendo c, tal que f(x) f(c) para todo x (a, b) D. Da proposição, podemos concluir que quando f (c) existe, a condição f (c) = 0 é necessária para a existência de um extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente. Isto é, se f (c) = 0, a função f pode ter ou não um extremo relativo no ponto c. O ponto c D tal que f (c) = 0 ou f (c) não existe, é chamado ponto crítico de f. Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto crítico. Definição: Dizemos que f(c) é o Máximo Absoluto da função f, se c D e f(x) f (c) para todos os valores de x no domínio de f. Dizemos que f(d) é o Mínimo Absoluto da função f, se d D e f(x) f (d) para todos os valores de x no domínio de f.
4 Teorema 4.5: Seja f: [a, b] R uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a, b]. Exemplos 1) A função f(x) = x 2 + 6x 3 tem um mínimo absoluto igual a 12 em c = 3, já que f( 3) = 12 f(x) para todos os valores de x D. 2) A função f(x) = x 2 + 6x 3 tem um mínimo absoluto igual a 6 em c = 3, já que f(3) = 6 f(x) para todos os valores de x D. Exercício no Geogebra 1) Trace o gráfico da função abaixo e faça a reta tangente no ponto P(a, f(a)). Analisando os gráficos, responda quais são os pontos máximos e mínimos de cada função. a) f(x) = 3x b) f(x) = x 2 c) f(x) = x 4 x 3 2x Teorema 4.6 (Teorema de Rolle): Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b). 3. f(a) = f(b) Então, existe um número c em (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema 4.7 (Teorema do Valor Médio): Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b). Então, existe um número c em (a, b) tal que f f(b) f(a) (c) = (b a) Teste Crescente/Decrescente (a) Se f (x) > 0 em um intervalo, então f é crescente nele. (b) Se f (x) < 0 em um intervalo, então f é decrescente nele. Exemplo 3) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e mínimos relativos da função f(x) = x 3 7x + 6.
5 Teorema 4.8 (Classificação dos pontos críticos): Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f (c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f em (a, b), temos: (i) Se f (c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em c. (ii) Se f (c) < 0, então f tem um valor máximo relativo em c. Exemplo: 4) Examine a curva f(x) = x 4 4x 3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva. 5) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função f(x) = (x 1) 3 tem concavidade voltada para cima ou para baixo. 6) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2500 m³. O material da base vai custar Cr$ 1200,00 por m² e o material dos lados Cr$ 980,00 por m². Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
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