CÁLCULO I Aula n o 12: Extremos Absolutos e Relativos. Método do Intervalo Fechado

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1 CÁLCULO I Aula n o 12: Extremos e Relativos. Método do Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 1 Extremos

3 Extremos Seja c um número no domínio de uma função f. Então f (c) é o (i) valor máximo absoluto de f em D se f (c) f (x) para todo x em D. (ii) valor mínimo absoluto de f em D se f (c) f (x) para todo x em D.

4 Figura: Gráfico da função f

5 Extremos Relativos O número f (c) é um (i) valor máximo local de f se f (c) f (x) quando x está próximo de c. (ii) valor mínimo local de f se f (c) f (x) quando x está próximo de c.

6 Exemplo O gráfico da função quadrática f (x) = x 2 4x + 3 é mostrado na figura abaixo:

7 Exemplo Observe o gráfico da função f (x) = x 3 3.

8 Observação Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que garante que toda função contínua definida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste intervalo.

9 Observação Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que garante que toda função contínua definida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste intervalo. Teorema do Valor Extremo Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em certos números c e d em [a, b].

10 O Teorema do Valor Extremo garante a existência de valores máximos ou mínimo absolutos no intervalo [a, b] mas não diz como encontrá-los. Graficamente nos pontos máximos e mínimos passa reta tangente e é paralela ao eixo dos x, isto é, f (c) = 0 e f (d) = 0. O teorema a seguir garante isso para funções diferenciáveis.

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12 Teorema (de Fermat) Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f (c) existir, então f (c) = 0 em [a, b].

13 Exemplo Extremos A função f (x) = x 3 tem derivada f (x) = 3x 2 e f (0) = 0, mas c = 0 não é máximo e nem mínimo. Observe graficamente:

14 Exemplo Extremos A função f (x) = x tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor não pode ser encontrado por considerar f (x) = 0 porque, f (0) não existe. Observe o gráfico:

15 Observação O exemplo 3 demonstra que, mesmo quando f (c) = 0, não é necessário existir um mínimo ou máximo em c, ou seja, a recíproca do Teorema de Fermat não é verdadeira. Já o exemplo 4 sugere que pode existir um valor extremo mesmo quando f (c) não existir.

16 Número Crítico Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou f (c) = 0 ou f (c) não existe.

17 Exemplo Encontre os pontos críticos de f (x) = x 2 4x + 3.

18 Exemplo Encontre os pontos críticos de f (x) = x 2 4x + 3. Exemplo Encontre os pontos críticos de f (x) = x + 1 x.

19 Teorema de Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.

20 Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]: 1 encontre os valores de nos números críticos de f em um intervalo aberto [a, b].

21 Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]: 1 encontre os valores de nos números críticos de f em um intervalo aberto [a, b]. 2 encontre os valores de f nas extremidades do intervalo [a, b].

22 Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]: 1 encontre os valores de nos números críticos de f em um intervalo aberto [a, b]. 2 encontre os valores de f nas extremidades do intervalo [a, b]. 3 o maior valor entre as etapas 1 a e 2 a é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

23 Exemplo Encontre os valores máximo e mínimos absoluto da função f (x) = x 3 3x no intervalo [ 12 ], 4.

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25 Exemplo Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f (x) = x 2 cos(x) no intervalo [ π, π].

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27 Na próxima aula... Extremos Teorema de Rolle;

28 Na próxima aula... Extremos Teorema de Rolle; Teorema do Valor Médio.