Mais Sobre Valores Extremos

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1 Mais Sobre Valores Extremos Aula

2 Plano da Aula Valores Extremos de Funções Teorema de Rolle Funções Crescentes e Decrescentes Teste de Primeira Derivada Exercícios Referências James Stewart Cálculo Volume I (Cengage Learning) George B. Thomas Cálculo Vol. I (Pearson)

3 Valores Extremos I Aula Anterior: Ponto Crítico definido como valor de x em que f (x) = 0 ou não definida. Os únicos locais (valores de x) em que a função f o pode ter valores extremos (locais ou globais) são Extremidades do domínio de f pontos críticos de f (x)

4 Valores Extremos II Cuidado: Ponto Crítico não significa valor extremo!!! Caso y = f (x) = x 3 no domínio [ 3, 3] f (x) = 3x 2 e f (x) = 0 caso x = 0 f (x) tem um valor extremo em x = 0?

5 Valores Extremos III y x A função y = x 3 tem um valor extremo em (0,0)?

6 Valores Extremos IV A primeira derivada da função y = f (x) = x (1/3) = 3 x é dado pelo 1 3 ( 1 ) x 2/3 = 1 3 ( ) 1 3 x 2 f (x = 0) não esta definido. x = 0 é um ponto crítico. A função não apresenta nenhum valor extremo nesse ponto.

7 Valores Extremos V y x A função y = x 1/3 tem um valor extremo em (x = 0, y = 0)?

8 Valores Extremos VI Nos exemplos anteriores: y = f (x) = x 1/3 em um intervalo aberto ao redor de x = 0 f (x = 0) = 0 e f (x > 0) > 0 e f (x < 0) < 0 Alguns pontos x ao redor do x = 0 tem valores f (x) > 0 e outros pontos tem valores f (x) < 0. Não consistente com o requerimento de ser um máximo (ou mínimo) local. A função y = f (x) = x 3 caso x = 0 é semelhante.

9 Valores Extremos VII As vezes um ponto crítico pode ser crítico por causa da primeira derivada não definida. Esse ponto também pode um valor extremo. Por exemplo a função y = f (x) = x 2/3 tem primeira derivada f (x) = 2 3 x 1/3. O valor f (x = 0) não é definida. Mas x = 0 é um mínimo absoluto de função f (x) = x 2/3

10 Valores Extremos VIII y x A função y = x 2/3 tem um valor extremo em (x = 0, y = 0)?

11 Valores Extremos IX A função y = f (x) = x (2/3) = 3 x 2 tem um mínimo absoluto e mínimo local em x = 0 porque para qualquer valor do x (positivo ou negativo) ao redor do zero os valores do f (x) são maior do que o valor f (0). O comportamento da função y = f (x) = x 3 ao redor do 0 é diferente. Por causa disso f (x) = x 3 não possui um mínimo local em x = 0 mas a função f (x) = x 2/3 possui um mínimo local em x = 0 (e também um mínimo global).

12 Valores Extremos X A função y = f (x) = x (2/3) = 3 x 2 tem um ponto crítico em x = 0 porque f (x) não existe em x = 0. A função y = f (x) = x 2 tem um ponto crítico em x = 0 porque f (x = 0) = 0 Em ambos casos o ponto crítico é um mínimo local e também um mínimo absoluto.

13 Valores Extremos XI Como determinar os valores máximo e mínimo absoluto de função f (x) = 10x(2 ln(x)) no intervalo fechado [ 1, e 2]? Os valores de f (x) nas extremidades são 20 e 0 A primeira derivada f (x) é igual (10 10 ln(x)) O domínio de f (x) é (0, ) abrange [ 1, e 2] f (Ponto Crítico) = f (e) = 10e; 10(e) > 0 10e > 20 Máximo Absoluto ocorre em x = e Mínimo Absoluto ocorre em x = e 2

14 Valores Extremos XII y x=e x A função y = f (x) = 10x(2 ln(x)) tem um valor extremo (máximo absoluto) em (e, f (e))

15 Teorema de Rolle I Suponha que y = f (x) seja contínua em todos os pontos do intervalo fechado [a, b] e é derivável em todos os pontos de (a, b). Se f (a) = f (b) então há pelo menos um número c em (a, b) no qual f (c) = 0

16 Teorema de Rolle II A equação x 3 + 3x + 1 = 0 não tem duas soluções distintos. Como comprovar? Vamos supor que f (x) = x 3 + 3x + 1 e f (a) = 0 e f (b) = 0 e a b. Segundo a teorema de Rolle existe um valor c em (a, b) tais que f (c) = 0. f (x) = 3x e f (x) > 0 independente do valor do x. Conclusão?

17 Teorema de Rolle III A equação y = x 2 4 = 0 tem raízes x = ±2 Segundo a teorema de Rolle há um valor c ( 2 < c < 2) tais que o valor de primeira derivada de função f (x) = x 2 4 em x = c é igual 0. É assim mesmo? Sim. f (x)=2x f (x)=0 = x=0 c=0 ( 2<c<2)

18 Teorema de Rolle IV A equação y = x 3 33x x = 0 tem raízes x = 0, 9 e 24 A primeira derivada de função f (x) = x 3 33x x é igual 3x 2 66x f (x) = 0 para x =? Esses resultados são consistentes com a teorema de Rolle? Sim 3x 2 66x+216=0 = x=4 ou x=18 0<4<9; 9<18<24

19 Funções Crescentes e Decrescentes I Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b) Se f (x) > 0 em cada ponto x em (a, b) então f e crescente em [a, b] Se f (x) < 0 em cada ponto x em (a, b) então f e decrescente em [a, b] A função f (x) = x 3 x é decrescente em [( 1/ 3), (1/ 3)]

20 Funções Crescentes e Decrescentes II Determine os ponto críticos de função f (x) = x 3 12x 5 e identifique os intervalos em que f e crescente e f é decrescente. f (x) = 3x 2 12 e f (x) = 0 caso x = ±2. f (x) < 0 = x < 2 f (x) > 0 = x > 2 f (x) é crescente no intervalo ( 2, 2)

21 Teste de primeira derivada para extremos locais I Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f e que f seja derivável em qualquer ponto de um interval que contenha c, exceto possivelmente no próprio ponto c. Deslocando-se ao longo desse intervalo da esquerda para a direita, 1. se f passa de negativa a positiva em c significa f possui mínimo local em c 2. se f passa de positiva a negativa em c significa f possui máximo local em c 3. se f não muda de sinal em c significa f não tem extremo local em c

22 Exemplo I f (x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = 0 caso x = 0 f (x) caso x < 0 é negativa f (x) caso x > 0 é positiva Então f (x) possui mínimo local em x = 0 Função decrescente caso x < 0 Função crescente caso x > 0

23 Exemplo II f (x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = 0 caso x = 0 f (x) caso x < 0 é positiva f (x) caso x > 0 é negativa Então f (x) possui máximo local em x = 0 Função decrescente caso x > 0 Função crescente caso x < 0

24 Exemplo III f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = 0 caso x = 0 f (x) caso x < 0 é positiva f (x) caso x > 0 é também positiva A sinal não muda, f não tem extremo local em x = 0 Função crescente

25 Exemplo IV f (x) = (x 2 3)e x f (x) = (x 2 + 2x 3)e x = (x + 3)(x 1)e x f (x) = 0 caso x = 3 ou x = 1 f (x) < 0 (0 < x < 1) e ; f (x) > 0 (x > 1) então mínimo local em x = 1 f (x) > 0 (x < 3) e f (x) < 0 ( 3 < x < 0) então máximo local em x = 3 Função decrescente ( 3 < x < 1) (os únicos pontos críticos)

26 Exemplo V y x f (x) = (x 2 3)e x (x = 3) (x = 1)

27 Exemplo VI Próximo Exemplo: f (x) = x 1/3 (x 4) f (x) = 4 3 x 1/3 4 3 x 2/3 f (x) = 4 3 (x ( 2/3) x x ( 2/3) ) = Se f (x) = 4(x 1) 3x (2/3) são x = 1 e x = 0. 4x ( 2/3) 3 (x 1) = os pontos críticos de f (x) 4(x 1) 3x 2/3 Caso x < 0 f (x) < 0 função decrescente Caso 0 < x < 1 f (x) < 0 função decrescente Caso x > 1 f (x) > 0 função crescente A função tem um mínimo local em x = 1

28 Exemplo VII y x f (x) = x 1/3 (x 4) (x = 0) (x = 1)

29 Exercícios I Mostre que as funções em seguir tem exatamente uma raiz (f (x) = 0) no intervalo dado Se há uma mudança no sinal nas extremidades do intervalo há pelo menos uma raiz pelo Teorema de Valor Intermediario. Se tem 2 (ou mais) raízes no intervalo, tem várias valores de x com f (x) iguais. Então pelo Teorema de Rolle 2 ou mais raízes significa pelo menos um valor do x no intervalo com f (x) = x 4 + 3x + 1 [ 2, 1] f (x)=0 f ( 2)>0 f ( 1)<0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f (x)=(4x 3 +3) f (x) sempre negativo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível f (x) = x 3 + 4/x (, 0) f ( )<0 f (0)>0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f (x)=(3x 2 8/x) f (x) sempre positivo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível f (x) = t t 4 (0,, ) f (0)<0 f ( )>0 Com certeza pelo menos uma raíz no intervalo. f (x)= 1 2 t t f (x) sempre positivo no intervalo, nunca igual 0. Mais que uma raiz impossível

30 Exercícios II Quais são os pontos críticos das funções cujas primeiras derivadas são dados abaixo f (x) = x 1/3 (x + 2) Pontos críticos x=0 x= 2 Crescente x>0 x< 2; Decrescente 2<x<0 f (x) = x 1/2 (x 3) Pontos críticos x=0 x=3 Crescente x>3 Decrescente 0<x<3 f (x) = 3 6/ x (x 0) Pontos críticos x=0 x=4 Crescente x>4 Decrescente 0<x<4 f (x) = x(x 1) Pontos críticos x=0 x=1 Crescente x>1 x<0; Decrescente 0<x<1 f (x) = (x 1)(x + 2) Crescente x>1 x< 2; Decrescente 2<x<1 Pontos críticos x=1 x= 2 Em quais intervalos são as funções acima crescente ou decrescente?