CÁLCULO I Aula 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada.

Transcrição

1 CÁLCULO I Aula 14:.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 1 2 3

3 Denição Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma (i) função crescente se x 1 < x 2 então f (x 1 ) f (x 2 ); (ii) função sempre crescente ou estritamente crescente se x 1 < x 2 então f (x 1 ) < f (x 2 ); (iii) função decrescente se x 1 < x 2 então f (x 1 ) f (x 2 ); (iv) função sempre decrescente ou estritamente decrescente se x 1 < x 2 então f (x 1 ) > f (x 2 );

4 Figura: Exemplo de uma função crescente.

5 Figura: Exemplo de uma função estritamente crescente.

6 Figura: Exemplo de uma função estritamente decrescente.

7 Figura: Exemplo de uma função estritamente decrescente.

8 Observe que existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma mesma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função com essa propriedade é a função quadrática, dada por f (x) = x , pois note que para x < 0 a função é decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráco de f.

9 Figura: Exemplo de uma função crescente e decrescente.

10 Teorema Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no aberto (a, b), então: (a) se f (x) > 0 para todo x (a, b), então f é crescente em [a, b]. (b) se f (x) < 0 para todo x (a, b), então f é decrescente nele em [a, b].

11 Exemplo Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f (x) = x 2.

12 Exemplo Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f (x) = x 2. Exemplo Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f (x) = x 3.

13 Exemplo Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f (x) = 3x 4 4x 3 12x

14

15 Exemplo Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f (x) = 4x x.

16

17 Teorema Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f. 1 Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c. 2 Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c. 3 Se f não mudar de sinal em c, então f não tem máximo ou mínimo local em c.

18 Exemplo Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f (x) = 2x 3 + 3x 2 36x e seus extremos relativos.

19 Figura: Gráco da função f (x) = 2x 3 + 3x 2 36x

20 Exemplo Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f (x) = x 2 e x e seus extremos relativos.

21 Figura: Gráco da função f (x) = x 2 e x

22 Exemplo Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f (x) = x x e seus extremos relativos.

23 Figura: Gráco da função f (x) = x x 2 + 1

24 Exemplo Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f (x) = x e seus extremos relativos, se existirem.

25 Figura: Gráco da função f (x) = x

26 Na próxima aula... Concavidade;

27 Na próxima aula... Concavidade; Ponto de Inexão;

28 Na próxima aula... Concavidade; Ponto de Inexão; Segunda.