Pelo gráfico, temos: f(x) 5 0 x 5 23 ou x 5 21 f(x). 0 x, 23 ou x. 21. f(x) Pelo gráfico, temos: Pelo gráfico, temos: f(x) 5 0 x 5 22

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M7 Função do o grau p. 0 Estude os sinais da função quadrática ƒ dada por: a) 5 x 8x c) 5 x 4x 4 b) 5 x x d) x x a) zeros de f: x 8x 5 0 x 4x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 a 5. 0 a concavidade está voltada para cima Pelo gráfico, temos: 5 0 x 5 ou x 5. 0 x, ou x., 0, x, b) zeros de f: x x 5 0 x x9 5 e x0 5 4 a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo Pelo gráfico, temos: 5 0 x 5 ou x 5. 0, x,, 0 x, ou x. c) zeros de f: x 4x (x ) 5 0 x 5 Pelo gráfico, temos: 5 0 x 5. 0 x d) zeros de f: x x , 0 (não existem raízes reais) a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo Pelo gráfico, temos:, 0, qualquer que seja x.

2 Resolva as inequações: a) x 7x 0 < 0 S 5 {x V < x < 5} b) 9x x. 0 S { x ς x } c) x 4x 5, 0 S 5 d) x 0x 5 < 0 S 5 {5} a) x 7x 0 < 0 zeros de f: x 7x (x 5)? (x ) 5 0 x9 5 5 e x0 5 5 S 5 {x V < x < 5} b) 9x x. 0 zeros de f: 9x x 5 0 x x 5 0 x 5 ( ) 4 x9 5 e x0 5 a 5 9, 0 a concavidade está voltada para baixo S x ς x c) x 4x 5, 0 zeros de f: 4 0 x 4x x 5 (não existem raízes reais) Não existem valores de x para, 0. S 5 d) x 0x 5 < 0 zeros de f: x 0x (x 5) 5 0 x 5 5 Não existem valores de x para, 0. S 5 {5} 5

3 Para quais valores do número real p a função definida por 5 (p )x x assume valores negativos para todo x real? p, 5 4 Para 5 (p )x x assumir valores negativos para todo x real, devemos ter, 0. Então, 5 9 4? (p ) 5 p 5, 0 p, Sendo ƒ uma função de variável real dada por 5 x 4x, é correto afirmar que: a) ƒ admite dois zeros reais distintos. b) é positivo para x maior que 000. c) é positivo somente para x no intervalo [, ]. d) é negativo qualquer que seja x real. e) é negativo somente para x no intervalo [, ]. 5 x 4x zeros de f: x x x (não existem raízes reais) a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo Portanto, é sempre negativa, qualquer que seja x real. 5 Seja S o conjunto dos números inteiros x tal que x, 5x, então: a) S é vazio. b) S tem um único elemento negativo. c) Existe uma infinidade de elementos de S maiores que 7. d) Existe uma infinidade de elementos positivos de S menores que. e) Existe somente um elemento positivo em S. x 5x, 0 zeros de f: x 5x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 Não há número inteiro entre e. S 5

4 Sendo 5 x px q e r um número real tal que f(r), 0, então: a) p é necessariamente menor que 4q. b) Pode-se ter p 5 4q. c) p pode ser menor que 4q. d) p 5 q e) p é necessariamente maior que 4q. 5 x px q Para f(r), 0, a única possibilidade é a da função ter dois zeros: f(r) < 0 Portanto, p 4q. 0 p. 4q 7 Sejam A 5 {x V x 5x. 0} e B 5 {x V x, 5x }. Determine o conjunto A B. {x V, x, } A 5 {x V x 5x. 0} zeros de f: x 5x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 B 5 {x V x, 5x } zeros de f: x 5x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 Fazendo A B, temos: A B A B A B 5 {x V, x, }

5 8 Determine x tal que, x x, x x. {x V x, ou x. } x x. 0 (I), x x, x x equivale ao sistema 5x x. 0 ( II) (I) zeros de f: x x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 S (I) 5 {x V x, ou x. } (II) a a concavidade está voltada para cima 4 0 zeros de f: 5x x 5 0 x 5 0 (não possui raízes reais) A função é sempre positiva; logo, S (II) 5 V. Fazendo S (I) S (II), temos: S (I) S (II) S (I) S (II) S 5 {x V x, ou x. }

6 x 9 5x 5x Resolva o sistema: x x, 0 CE x x x x 5 < 5 < 0 (.. I ) x x, 0 x? x II (I) zero de f: ( ), 0 ( ) { x ς x 0} (II) a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo zeros de f: x 5 0 ou x 5 0 Fazendo (I) (II), temos: (I) (II) (I) (II) 0 0 S x ς x 0

7 0 Determine o domínio da função ƒ dada por: a) f( x) 5 x x {x V x < 0 ou x > } b) f( x) 5 x 9 x 5x {x V < x < 5} c) f( x) 5 x 4 x {x V x > } a) Pelos dados, devemos ter: x x > 0. zeros de f: x x 5 0 x? (x ) 5 0 x9 5 0 e x0 5 D(f) 5 {x V x < 0 ou x > } 0 b) Pelos dados, temos o sistema x 9 > 0 ( I) x 5x > 0 ( II) (I) zeros de f: x 5 ou x 5 (II) a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo zeros de f: x 5 0 ou x Fazendo (I) (II), temos: (I) (II) 0 5 (I) (II) 5 c) Pelos dados, temos o sistema D(f) 5 {x V < x < 5} x 4 > 0 ( I) x. 0 ( II) (I) zeros de f: x 5 ou x 5 (II) A função é do o grau: a 5. 0 função crescente zero de f: x 5 Fazendo (I) (II), temos: (I) (II) (I) (II) D(f) 5 {x V x > }

8 Resolva as inequações-produto: a) (x x 5)(x ). 0 {x V, x, ou x. 5} b) ( x )(x x) > 0 {x V < x < ou 0 < x < } a) Sejam 5 x x 5 e 5 x. Estudando os sinais das funções, temos: 5 x x 5 a função é quadrática zeros de f: x x (x 5)? (x ) 5 0 x9 5 e x x a função é do o grau a 5. 0 função crescente zero de g: x 5 0 x 5 Fazendo?, temos: 5 5 S 5 {x V, x, ou x. 5} b) Sejam 5 x e 5 x x. Estudando os sinais das funções, temos: 5 x a função é quadrática a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo zeros de f: x 5 ou x 5 5 x x zeros de g: x 5 0 ou x 5 0 Fazendo?, temos: 0 0 S 5 {x V < x < ou 0 < x < }

9 Encontre a solução das inequações-quociente: a x ) x. 0 {x V x, 0 ou, x, } x b x 7 ) x x 0 { x ς x ou x ou x } a) Sejam 5 x x e 5 x. Estudando os sinais das funções, temos: 5 x x a função é quadrática zeros de f: x 5 0 ou x x a função é do o grau a 5, 0 função decrescente zero de g: x 5 Fazendo, temos: 0 0 S 5 {x V x, 0 ou, x, } b) Sejam 5 x 7x e 5 x ; 0 x ± Estudando os sinais das funções, temos: 5 x 7x a função é quadrática zeros de f: x 7x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 5 x a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo zeros de g: x 5 0 x9 5 e x0 5 Fazendo, temos: S x ς x ou x ou x

10 Para quais valores reais de x tem-se x 5 x 0 >? {x V 4 < x < ou < x, 4} x Desenvolvendo a inequação, temos: x 5x 0 x > x 5x 0 x > 0 x 5x > 0; x 0 x 4 x Sejam 5 x 5x e 5 x. Estudando os sinais das funções, temos: 5 x 5x a função é quadrática zeros de f: x 5x 5 0 (x )? (x ) 5 0 x9 5 e x0 5 x 5x 0 x > 0 x 5 x a função é quadrática a 5, 0 a concavidade está voltada para baixo zeros de g: x 5 0 x9 5 4 e x Fazendo, temos: S 5 {x V 4, x < ou < x, 4} 0

11 x 4 4 Determine o domínio da função f( x) 5. {x V < x, ou x > } x Pelo enunciado, devemos ter: x 4 0 x > com x. Sejam 5 x 4 e 5 x. Estudando os sinais das funções, temos: 5 x 4 a função é quadrática zeros de f: x x9 5 e x0 5 5 x a função é do o grau a 5. 0 função crescente zero de f: x 5 0 x 5 Fazendo, temos: D(f) 5 {x V < x, ou x > } 5 Determine m de modo que o domínio da função dada por f( x) 5 x 4x m seja o conjunto V dos números reais. m > 5 Para que exista, devemos ter: x 4x m > 0. Para que o domínio seja o conjunto dos números reais, devemos ter: < (m ), 0 4m 4 < 0 4m < 0 m > 5

12 Considere a função ƒ dada por f( x) 5 ( p ) x px p. Determine p de modo que ƒ esteja definida para todo p real. p 8 5 (p )x px p f está definida para (p )x px p > 0 Para que isso aconteça, devemos ter a concavidade da parábola voltada para cima e < 0. Então: p. 0 p. e p 4p(p ) < 0 p 4p 8p < 0 p 8p < 0 A concavidade da parábola dessa função está voltada para baixo, e os zeros são: p( p 8) 5 0 p 5 0 ou p Como p., temos p > 8.

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