Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
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- Salvador Lameira Melgaço
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1 1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está definida de R em R, e é uma função bijetora e inversível. São casos particulares da função afim: a) A função identidade: f x = x b) A função linear :f x = a. x, que é uma função cujo gráfico sempre passa pela origem c) A função constante : f x = b, onde o valor da função não depende da variação de x. O gráfico de uma função afim O gráfico de uma função afim será sempre uma reta no plano cartesiano. Exemplo: f x = 2x + 1
2 A inclinação da reta dada pelo gráfico da função f x = ax + b, ou seja, a tangente do ângulo (θ) formado entre o eixo da abscissas (x) e a reta será o próprio parâmetro a. Dizemos que a reta que representa o gráfico da função f x = ax + b tem inclinação positiva se a tangente do ângulo (θ) formado entre o eixo da abscissas (x) e a reta for positiva, e dizemos que a reta que representa o gráfico da função f x = ax + b tem inclinação negativa se a tangente do ângulo (θ) formado entre o eixo da abscissas (x) e a reta for negativa. Ou seja, dada f x = ax + b Se a > 0, então a inclinação é positiva. Se a < 0, então a inclinação é negativa. O coeficiente a da função f x = ax + b é chamado de coeficiente angular, e o coeficiente b é chamado de coeficiente linear. Construção do Gráfico de uma função afim Como o gráfico de uma função afim é uma reta, para construirmos o gráfico basta determinarmos dois pontos desta reta. Por conveniência podemos escolher os pontos da reta que interceptam os eixos x e y. Se x = 0, o gráfico da função intercepta o eixo y. Então, se f x = ax + b, temos que f 0 = b. Poranto o gráfico da função intercepta o eixo y em y = b. Logo, o ponto (0, b) é um dos pontos que compõem a reta procurada no plano cartesiano. Ainda, quando o gráfico da função intercepta o eixo x, significa que o valor da função f x = ax + b é zero. Então para encontrar o valor de x para o qual o gráfico da função intercepta o eixo x, basta encontrarmos o valor de x para o qual f x = ax + b = 0. Temos que
3 ax + b = 0 x = b a Logo, o ponto ( b, 0) é um outro pontos que compõe a reta procurada no plano a cartesiano. y x Zero da Função afim Chamamos de zero, ou raiz da função afim, o valo de x para o qual o valor da função se anula, ou seja, o valor de x para o qual y = f(x) = 0. Crescimento ou decrescimento da função afim Uma função é chamada de crescente em um determinado intervalo I, de números reais se toda vez que x 1 > x 2 também tivermos f x 1 > f(x 2 ) quando x 1 e x 2 forem elementos de I. Uma função é chamada de decrescente em um determinado intervalo I, de números reais se toda vez que x 1 > x 2 também tivermos f x 1 < f(x 2 ) quando x 1 e x 2 forem elementos de I. Se f(x) = ax + b então f(x) será crescente se a (o coeficiente angular) for positivo, e será decrescente se a for negativo. Estudo dos sinais da função afim Vimos que a função afim f x = ax + b, para a 0 possui um zero quando x = b a. Queremos estudar os sinais da função para os outros valores do domínio que não são zero da função. Teremos que :
4 1º Caso Se a > 0 f(x) será positiva se x > b a, e f(x) será positiva se x < b a, 2º Caso Se a < 0 f(x) será positiva se x < b a, e f(x) será positiva se x > b a, Ou seja f(x) terá sempre o mesmo sinal de a se x > b, e terá o sinal contrário de a a se x < b a. 2. Função Quadrática Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x 2 + b. x + c Com a 0, b e c números reais constantes é denominada função quadrática ou função polinomial do segundo grau. A função quadrática está definida de R em R, e não é uma função injetora e nem sobrejetora. Portanto também não é inversível. O gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função quadrática será sempre uma parábola no plano cartesiano. Exemplo: f x = x 2 2x 3
5 O gráfico da função f x = a. x 2 + b. x + c será uma curva que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo: Na expressão algébrica da função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c, é o parâmetro a o que determina a concavidade da parábola. Se a > 0, então a concavidade é para cima. Se a < 0, então a concavidade é para baixo. Raízes da Função Quadrática Chamamos de zero, ou raiz da função quadrática, os valores de x (se existirem) para os quais o valor da função se anula, ou seja, os valores de x para o quais y = f(x) = 0. Por exemplo: x = 1 e x = 3 são as raízes da função f x = x 2 2x 3, e nestes pontos a parábola intercepta o eixo x. Para encontrarmos as raízes da função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c, basta resolvermos a equação a. x 2 + b. x + c = 0. Sabemos que a equação a. x 2 + b. x + c = 0 pode ter: Duas raízes : neste caso a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos
6 Apenas uma raiz: neste caso a parábola tangencia o eixo x em apenas um ponto. Nenhuma raiz: neste caso a parábola não corta o eixo x em nenhum ponto. Pontos de Máximo e Mínimo da função quadrática e o vértice da parábola Quando a parábola que representa a função f x = a. x 2 + b. x + c tiver concavidade para cima (a > 0), então ela terá um ponto onde ocorre o valor mínimo da função f(x), que será chamado de ponto de mínimo da função. Quando a parábola que representa a função f x = a. x 2 + b. x + c tiver concavidade para baixo (a < 0), então ela terá um ponto onde ocorre o valor máximo da função f(x), que será chamado de ponto de máximo da função. O valor de x para o qual o valor de f(x) = a. x 2 + b. x + c é máximo ou mínimo será sempre dado por x v = b 2a O vértice da parábola será o ponto no plano cartesiano onde a parábola apresenta seu ponto de máximo ou mínimo e ocorrerá no ponto b b, f 2a 2a
7 Construção do Gráfico de uma função quadrática Para construirmos o gráfico de uma função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c determinamos alguns pontos pelos quais traçamos a parábola: As raízes da função quadrática, que definem os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. O ponto onde o gráfico de f x = a. x 2 + b. x + c intercepta o eixo y, que ocorre quando x = 0 e é dado por (0, c). O ponto de máximo ou mínimo da parábola (dependendo da concavidade) que ocorre quando x = b b b, e é dado por, f 2a 2a 2a. Por exemplo, para a função f x = x 2 2x 3 possui: Raízes em x = 1 e x = 3 Intersecção com o eixo y em y = 3 Ponto de mínimo em x = 2 = 1, e o vérice ocorre em 2 1, f(1) = (1, 4) Eixo de Simetria O gráfico de uma função quadrática tem um eixo de simetria que é uma reta vertical (paralela ao eixo y) que passa pelo vértice da parábola que representa a função no plano cartesiano.
8 Estudo dos sinais da função quadrática Se a função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c não possuir raízes, então a parábola que a representa estará totalmente acima do eixo x se o parâmetro a for positivo (e a concavidade for para cima), ou ela estará totalmente abaixo do eixo x se o parâmetro a for negativo (e a concavidade for para baixo). Se a função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c possuir apenas uma raíz, então, fora do seu vértice, a parábola que a representa estará totalmente acima do eixo x se o parâmetro a for positivo (e a concavidade for para cima), ou ela estará totalmente abaixo do eixo x se o parâmetro a for negativo (e a concavidade for para baixo). Se a função quadrática f x = a. x 2 + b. x + c possuir duas raízes distintas x 1 e x 2 (com x 1 < x 2 ) então: Se a > 0 o A função será negativa para valores de x entre x 1 e x 2, e positiva para valores de x menores do que x 1 e para valores de x maiores do que x 2. Se a < 0 o A função será positiva para valores de x entre x 1 e x 2, e negativa para valores de x menores do que x 1 e para valores de x maiores do que x 2.
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