CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
|
|
- Rubens Araújo da Silva
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função; Apresentar e utilizar o teste da primeira derivada para determinar extremos relativos. 1 Funções Crescentes e Decrescentes Segue a denição abaixo: Denição 1. Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma (i) função crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (ii) função sempre crescente ou estritamente crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) < f(x 2 ); (iii) função decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (iv) função sempre decrescente ou estritamente decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) > f(x 2 ); Seguem abaixo alguns exemplos. Figura 1: Exemplo de uma função crescente. 1
2 Figura 2: Exemplo de uma função estritamente crescente. Figura 3: Exemplo de uma função decrescente. Figura 4: Exemplo de uma função estritamente decrescente. Existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2
3 com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x ; note que para x < 0 a função é 2 decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráco de f. Figura 5: 2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento Uma das aplicações do Teorema do Valor Médio é demonstrar o teorema que nos permite obter os intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função. Tal resultado nos diz que podemos determinar esses intervalos apenas analisando o sinal de sua derivada. Teorema 1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), então: (a) se f (x) > 0 para todo x (a, b), então f é crescente em (a, b). (b) se f (x) < 0 para todo x (a, b), então f é decrescente em (a, b). Exemplo 1. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x Derivando a função, temos f (x) = 2x. Como f (x) = 2x > 0 para todo x > 0, então f(x) cresce no intervalo (0, + ). De forma análoga, como f (x) = 2x < 0 para todo x < 0, então f(x) decresce no intervalo (, 0). Exemplo 2. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x 3. Derivando a função, temos f (x) = 3x 2. Como x 2 0 para todo x, o intervalo de crescimento é R = (, + ). Desta forma não temos intervalo de decrescimento. Exemplo 3. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 3x 4 4x 3 12x Derivando a função, temos: f (x) = 12x 3 12x 2 24x = 12x(x 2)(x + 1). Para fazer o estudo do sinal, utilizamos o seguinte quadro Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3
4 Desse modo, f é decrescente em (, 1) (0, 2) e crescente em ( 1, 0) (2, + ). Observe gracamente: Figura 6: Gráco da função f(x) = 3x 4 4x 3 12x Exemplo 4. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 2 cos x + cos 2 x, x [0, 2π]. Note que f (x) = 2 sen(x) 2 cos(x) sen(x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4
5 Para estudar o sinal de f, podemos determinar os pontos em [0, 2π] tais que f (x) > 0 2 sen(x) 2 cos(x) sen(x) > 0 sen(x) + cos(x) sen(x) < 0 sen(x)(1 + cos(x)) < 0 Note que 1 + cos(x) 0 para todo x [0, 2π], logo, para que f (x) < 0, devemos obter os pontos nos quais o seno de x é negativo. Dessa forma, f (x) > 0 se π < x < 2π Analogamente, obtermos que f (x) < 0 se 0 < x < π E assim, temos que f é decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2π), como pode ser mostrado no gráco abaixo: Exemplo 5. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 4x x. Note que f (x) = 8x 1 x 2 = 8x3 1 x 2 Como x 2 > 0 para todo x R então o sinal de f é determinado pela função que está no numerador. Fatorando, temos que 8x 3 1 = (2x) = (2x 1)(4x 2 + 2x + 1) Como o segundo fator é um polinômio irredutível de grau 2 e com concavidade para cima, então podemos concluir que 4x 2 + 2x + 1 > 0 para todo x R. Logo, o sinal de f é( determinado ) pelo fator 2x 1 1 que pode ser entendido como uma reta que passa pelos pontos (0, 1) e 2, 0. Logo, o sinal de f e os intervalos de crescimentos são dados pelo quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5
6 ( Sendo assim, a função f decresce no intervalo (, 0) 0, 1 ) ( ) 1 e cresce no intervalo 2 2, +. Observe gracamente: Figura 7: Gráco da função f(x) = 4x x 3 Teste da Primeira Derivada Mostramos anteriormente que se f tem um máximo ou mínimo local em x = c, então c deve ser um número crítico de f, mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente, necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um certo ponto crítico. Teorema 2. Suponha que c seja um número crítico de uma função derivável f. 1. Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em x = c, então f tem um máximo local em x = c. 2. Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em x = c, então f tem um mínimo local em x = c. Exemplo 6. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x e seus extremos relativos. Derivando f, obtemos f (x) = 6x 2 + 6x 36 = 6(x 2)(x + 3). Os números críticos ocorrem quando f (x) = 0, logo x = 2 e x = 3. Fazendo o estudo do sinal de f : Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6
7 obtemos então que: f é crescente no intervalo (, 3) (2, + ) f é decrescente no intervalo ( 3, 2) Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que -3 é um ponto máximo relativo de f e 2 é um mínimo relativo. Os valores da função nestes pontos, isto é, f( 3) = 81 é dito um valor máximo relativo de f e f(2) = 44 um valor mínimo relativo. Veja um esboço do gráco de f abaixo: Figura 8: Gráco da função f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x Exemplo 7. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x 2 e x e seus extremos relativos. Calculando f, temos que f (x) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x x 2 e x = (2 x)xe x Logo, como f está denida para todo x R, então os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada. Desse modo, como e x > 0 para todo x R, apenas o fator (2 x)x determinará o sinal de f. Logo, utilizando o quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7
8 Desse modo, f é decrescente no intervalo (, 0) (2, + ) f é crescente no intervalo (0, 2) Pelo Teste da Primeira Derivada segue que 0 é mínimo local e 2 é máximo local. Gracamente, Figura 9: Gráco da função f(x) = x 2 e x Exemplo 8. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = extremos relativos. x x 2 +1 e seus Derivando f, temos que f (x) = (x) (x 2 + 1) x(x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 = x x 2 (x 2 + 1) 2 = 1 x2 (x 2 + 1) 2 Antes de estudarmos o sinal de f, notamos que (x 2 + 1) 2 > 0 para todo x R. Logo, apenas a função g(x) = 1 x 2 determinará o sinal de f. Dessa forma, utilizando o quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8
9 obtemos que f é decrescente no intervalo (, 1) (1, + ) f é crescente no intervalo ( 1, 1) Pelo Teste da Primeira Derivada segue que 1 é mínimo local e 1 é máximo local. Gracamente, Figura 10: Gráco da função f(x) = x x Exemplo 9. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x e seus extremos relativos, se existirem. Note que f (x) = 1 2 x Agora, note que em x = 0 a função f não está denida, porém,a função f está, pois f(0) = 0. Logo, x = 0 é um ponto crítico da função f. E, observe que f (x) > 0 para todo x > 0. Logo, a função f é estritamente crescente para x > 0. Como o teste da primeira derivada necessita do sinal de f antes e depois do ponto crítico, não podemos aplicá-lo nesse exemplo. Mas perceba que se a função f é estritamente crescente, então para todo x > 0 teremos que f(x) > f(0) e assim, constatamos que x = 0 é mínimo global da função f. Gracamente, podemos vericar esse fato no gráco da função raiz quadrada: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9
10 Figura 11: Gráco da função f(x) = x Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 10
Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada
Resumo: Estudo do Comportamento das Funções O que fazer? 1º - Explicitar o domínio da função estudada 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada 3º - Calcular a segunda
Leia maisFUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo
01 / 08 / 12 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Definição Resumo Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. Em que a é o coeficiente de x²; b
Leia maisFigura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis
1 4.1 Funções de 2 Variáveis Em Cálculo I trabalhamos com funções de uma variável y = f(x). Agora trabalharemos com funções de várias variáveis. Estas funções aparecem naturalmente na natureza, na economia
Leia maisAula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo:
Aula 5 5. Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática,
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental Objetivos da Aula Conhecer e aplicar o Teorema
Leia mais4.4 Limite e continuidade
4.4 Limite e continuidade Noções Topológicas em R : Dados dois pontos quaisquer (x 1, y 1 ) e (x, y ) de R indicaremos a distância entre eles por då(x 1, y 1 ), (x, y )è=(x 1 x ) + (y 1 y ). Definição
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Produtos Notáveis; Equações; Inequações; Função; Função Afim; Paridade;
Leia maisSe inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.
ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y =
Leia maisMicroeconomia. Prof.: Antonio Carlos Assumpção
Microeconomia Efeitos Renda e Substituição Prof.: Antonio Carlos Assumpção Efeito Renda e Efeito Substituição Uma queda no preço de um bem ou serviço tem dois efeitos: Substituição e Renda Efeito Substituição
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com
Leia maisOPERAÇÕES COM FRAÇÕES
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que
Leia maisA Derivada. 1.0 Conceitos. 2.0 Técnicas de Diferenciação. 2.1 Técnicas Básicas. Derivada de f em relação a x:
1.0 Conceitos A Derivada Derivada de f em relação a x: Uma função é diferenciável / derivável em x 0 se existe o limite Se f é diferenciável no ponto x 0, então f é contínua em x 0. f é diferenciável em
Leia maisExercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes
. (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto
Leia maisSeu pé direito nas melhores Faculdades
10 Insper 01/11/009 Seu pé direito nas melhores Faculdades análise quantitativa 40. No campeonato brasileiro de futebol, cada equipe realiza 38 jogos, recebendo, em cada partida, 3 pontos em caso de vitória,
Leia maisMatemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1)
Leia maisFunção Seno. Gráfico da Função Seno
Função Seno Dado um número real, podemos associar a ele o valor do seno de um arco que possui medida de radianos. Desta forma, podemos definir uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais que,
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 20
Álgebra Linear I - Aula 0 1 Matriz de Mudança de Base Bases Ortonormais 3 Matrizes Ortogonais 1 Matriz de Mudança de Base Os próximos problemas que estudaremos são os seguintes (na verdade são o mesmo
Leia maisA. Equações não lineares
A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)
Leia maisComecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y
. Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos:
Leia maisErros de Estado Estacionário. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1
Erros de Estado Estacionário Carlos Alexandre Mello 1 Introdução Projeto e análise de sistemas de controle: Resposta de Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário (ou Permanente) Diferença entre
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 205-2 a Fase Proposta de resolução GRUPO I. O valor médio da variável aleatória X é: µ a + 2 2a + 0, Como, numa distribuição de probabilidades de uma variável aleatória,
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares
Leia maisMódulo de Princípios Básicos de Contagem. Segundo ano
Módulo de Princípios Básicos de Contagem Combinação Segundo ano Combinação 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Numa sala há 6 pessoas e cada uma cumprimenta todas as outras pessoas com um único aperto
Leia maisUnidade 3 Função Afim
Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças Definição C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo
Leia maisRecorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 = 1 + 3 + 32 +
1 Introdução Comecemos esta discussão fixando um número primo p. Dado um número natural m podemos escrevê-lo, de forma única, na base p. Por exemplo, se m = 15 e p = 3 temos m = 0 + 2 3 + 3 2. Podemos
Leia mais= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.
VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 011 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como no lote existem em total de 30 caixas, ao selecionar 4, podemos obter um conjunto de 30 C 4 amostras diferentes,
Leia maisÁLGEBRA. Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora
1 ÁLGEBRA Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação
Leia maisÁLGEBRA. Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora
1 ÁLGEBRA Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação
Leia maisProbabilidade. Luiz Carlos Terra
Luiz Carlos Terra Nesta aula, você conhecerá os conceitos básicos de probabilidade que é a base de toda inferência estatística, ou seja, a estimativa de parâmetros populacionais com base em dados amostrais.
Leia maisAula 9. Superfícies de Revolução. Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π.
Aula 9 Superfícies de Revolução Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π. Fig. 1: Superfície de revolução S, geratriz C e eixo r contidos no plano π A superfície de revolução S de geratriz C
Leia mais1 Exercícios de Aplicações da Integral
Cálculo I (5/) IM UFRJ Lista 6: Aplicações de Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 9.5.5 Eercícios de Aplicações da Integral. Eercícios de Fiação Fi.: Esboce o gráco e calcule a área
Leia mais21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU
1 21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 1. O gráfico do trinômio y = ax 2 + bx + c. Qual a afirmativa errada? a) se a > 0 a parábola possui concavidade para cima b) se b 2 4ac > 0 o trinômio possui duas
Leia maisEsboço de Gráficos (resumo)
Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x)
Leia maisPARTE 11 VETOR GRADIENTE:
PARTE 11 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 11.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira
Leia maisProposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) 2ª fase. 19 de Julho de 2010
Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 65) ª fase 9 de Julho de 00 Grupo I. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é, existem tantas bolas roxas
Leia maisOptimização e Algoritmos (2004/2005)
Optimização e Algoritmos (2004/2005) Instituto Superior Técnico Engenharia Electrotécnica e de Computadores Série de Problemas 3 Regras de Armijo e Wolfe, Introdução às funções convexas Problema 1.[Regras
Leia maisCapítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta
Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam
Leia maisEquações Trigonométricas
Equações Trigonométricas. (Insper 04) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5. b) 4. c). d)
Leia maisTrigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2
Trigonometria Relação fundamental C b a A c B Sabemos que a = b + c, dividindo os dois membros por a : a b c = + a a a sen + cos = Temos também que: b c senα= e cosα= a a Como b tgα= c, concluímos que:
Leia maisÉ usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A
4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los
Leia maisEquação e Inequação do 2 Grau Teoria
Equação e Inequação do Grau Teoria Candidato segue um resumo sobre resolução e discussão de equações e inequações do grau. Bons Estudos! Equação do Grau Onde Uma Equação do Grau é sentença aberta do tipo
Leia maisALGORITMOS E PROGRAMAÇÃO. Andreza Leite Andreza.leite@univasf.edu.br
ALGORITMOS E PROGRAMAÇÃO Andreza Leite Andreza.leite@univasf.edu.br Estruturas de Controle de Fluxo Em alguns algoritmos, é necessário executar uma mesma tarefa por um número determinado ou indeterminado
Leia maisPrimeira Lista de Exercícios de Métodos Numéricos II Primeiro semestre de 2015
Primeira Lista de Exercícios de Métodos Numéricos II Primeiro semestre de 015 Introdução Antes de apresentar a lista, introduzirei alguns problemas já vistos em sala de aula para orientar e facilitar a
Leia maisProf. Neckel FÍSICA 1 PROVA 1 TEMA 2 PARTE 1 PROF. NECKEL POSIÇÃO. Sistema de Coordenadas Nome do sistema Unidade do sistema 22/02/2016.
FÍSICA 1 PROVA 1 TEMA 2 PARTE 1 PROF. NECKEL Cinemática 1D POSIÇÃO Sistema de Coordenadas Nome do sistema Unidade do sistema Reta numérica real com origem Crescimento para direita, decrescimento para esquerda
Leia maisCURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:
Leia maisQue algarismos devem ser colocados nos pontinhos da conta abaixo? ... 34 x 41... O. IS x 12 = 180 300-180 = 120
Que algarismos devem ser colocados nos pontinhos da conta abaixo?... 34 x 41... O Invente um problema que tenha como solução os cálculos abaixo: IS x 12 = 180 300-180 = 120 Em diversas situações do nosso
Leia maisAula 3 Função do 1º Grau
1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 3 Função do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação
Leia maisUniversidade Federal de Ouro Preto UFOP. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB. Departamento de Computação DECOM
Programação de Computadores I BCC 701 2012-02 Lista de Exercícios 02 Desvio do Fluxo de Execução - Parte A Exercício 01 Codifique um programa que faça a entrada de um número qualquer pelo teclado. A seguir
Leia maisAplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções
Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS: Seja f uma f. r. v. r. definida num intervalo e D f. 1) f tem um mínimo local f ( ), em, se e só se f ( ) f ( ) para qualquer
Leia maisNome: N.º: endereço: data: telefone: E-mail: PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2012. Disciplina: matemática
Nome: N.º: endereço: data: telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 01 Disciplina: matemática Prova: desafio nota: QUESTÃO 16 (UNESP) O gráfico a seguir apresenta dados
Leia maisMATEMÁTICA 32,2 30. 0 2 4 5 6 8 10 x
MATEMÁTICA 01. O preço pago por uma corrida de táxi normal consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a bandeirada, adicionada de R$ 0,25 por cada 100 m percorridos, enquanto o preço pago por uma corrida
Leia maisCinemática Bidimensional
Cinemática Bidimensional INTRODUÇÃO Após estudar cinemática unidimensional, vamos dar uma perspectiva mais vetorial a tudo isso que a gente viu, abrangendo mais de uma dimensão. Vamos ver algumas aplicações
Leia mais(a 2, b) = p 2 q 2. AV2 - MA 14-2011. Questão 1.
Questão 1. (1,5) Sejam a e b dois números naturais tais que (a, b) = pq, em que p e q são dois números primos distintos. Quais são os possíveis valores de (a) (a 2, b)? (b) (a 3, b)? (c) (a 2, b 3 )? Suponhamos
Leia maisMétodo do Lugar das Raízes
Método do Lugar das Raízes 1. Conceito do Lugar das Raízes 2. Virtudes do Lugar das Raízes (LR) pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 8 No projeto de um sistema de controle, é fundamental determinar
Leia maisAnálise e Resolução da prova de Agente de Polícia Federal Disciplina: Raciocínio Lógico Professor: Custódio Nascimento
Análise e Resolução da prova de Agente de Polícia Federal Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Análise e Resolução da prova de Agente / PF Neste artigo, farei a análise das questões
Leia maisPlano de Aula. O Winplot é um programa que permite criar gráficos de duas dimensões (2D) e três dimensões (3D), através de equações.
Plano de Aula Aluno(a): Escola: Colégio Estadual Dona Isabel Disciplina: Matemática Conteúdo: Funções Assunto: Funções do 1º e 2º Graus Público alvo: 1º Ano EM Duração: 4 a 6 h/a Objetivo: Ao final da
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L NOTAS DA VIGÉSIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, abordaremos a técnica de integração conhecida como frações parciais. Esta técnica pode ser utilizada para
Leia maisAplicações Diferentes Para Números Complexos
Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferentes Para Números Complexos Capítulo II Aplicação 2: Complexos na Geometria Na rápida revisão do capítulo I desse artigo mencionamos
Leia maisAula 4 Função do 2º Grau
1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 4 Função do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega GABARITO 46) f(x) = x 2 + x + 1 www.professorlucianonobrega.wordpress.com 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função
Leia maisAula 01 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Aula 1_Teoremas da Análise de Circuitos.doc. Página 1 de 8
ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL ZONA SUL CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA II. CIRCUITOS ELÉTRICOS Aula 0 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS Prof. Marcio Leite Página de 8 0 TEOREMA DA ANÁLISE DE CIRCUITOS.0 Introdução
Leia maisFísica Experimental III
Física Experimental III Unidade 4: Circuitos simples em corrente alternada: Generalidades e circuitos resistivos http://www.if.ufrj.br/~fisexp3 agosto/26 Na Unidade anterior estudamos o comportamento de
Leia maisMicroeconomia. Maximização da Utilidade Função Utilidade Cobb-Douglas. Prof.: Antonio Carlos Assumpção
Microeconomia Maimização da Utilidade Função Utilidade Cobb-Douglas Prof.: Antonio Carlos Assumpção Escolha por Parte do Consumidor O consumidor escolhe uma combinação de bens (cesta de consumo) que irá
Leia maisIntrodução ao determinante
ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld
Leia maisSolução Comentada Prova de Matemática
18. Se x e y são números inteiros maiores do que 1, tais que x é um divisor de 0 e y é um divisor de 35, então o menor valor possível para y x é: A) B) C) D) E) 4 35 4 7 5 5 7 35 Questão 18, alternativa
Leia maisNotas de aula de Lógica para Ciência da Computação. Aula 11, 2012/2
Notas de aula de Lógica para Ciência da Computação Aula 11, 2012/2 Renata de Freitas e Petrucio Viana Departamento de Análise, IME UFF 21 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Ineficiência das tabelas de verdade
Leia maisTECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega
1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma
Leia maisActividade de enriquecimento. Algoritmo da raiz quadrada
Actividade de enriquecimento Algoritmo da raiz quadrada Nota: Apresenta-se uma actividade de enriquecimento e de um possível trabalho conjunto com as disciplinas da área de informática: os alunos poderão
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 04 GABARITO COMENTADO 40 40 ) Sabendo que O B M = 40 O B = B M M = O, 40 O B+ M = 46 + M = 46 M 46M + 40 =
Leia mais2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.
Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos,
Leia maisResolução de circuitos usando Teorema de Thévenin Exercícios Resolvidos
Resolução de circuitos usando Teorema de Thévenin Exercícios Resolvidos 1º) Para o circuito abaixo, calcular a tensão sobre R3. a) O Teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de
Leia maisUNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1
ANÁLISE GRÁFICA UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 0.. Introdução Neste capítulo abordaremos princípios de gráficos lineares e logarítmicos e seu uso em análise de dados. Esta análise possibilitará
Leia maisPUC-Rio Desafio em Matemática 15 de novembro de 2008
PUC-Rio Desafio em Matemática 5 de novembro de 2008 Nome: Assinatura: Inscrição: Identidade: Questão Valor Nota Revisão.0 2.0 3.0 4.0 5a.0 5b.0 6a.0 6b.0 7 2.0 Nota final 0.0 Instruções Mantenha seu celular
Leia maisLista de Exercícios 04 Estruturas de Dados Homogêneas - Vetores
Instituto de Ciências Eatas e Biológicas ICEB Lista de Eercícios 04 Estruturas de Dados Homogêneas - Vetores 1) Escreva um programa que armazene em um vetor todos os números inteiros de 0 a 50. Após isso,
Leia maisCalculando seno(x)/x com o interpretador Hall.
Calculando seno(x)/x com o interpretador Hall. Problema Seja, por exemplo, calcular o valor do limite fundamental f(x)=sen(x)/x quando x tende a zero. Considerações Fazendo-se a substituição do valor 0
Leia maisLFG MAPS. 2 - ( Prova: CESPE - 2012 - Polícia Federal - Agente da Polícia Federal / Contabilidade Geral / Contabilidade -
Escrituração Contábil 05 questões Noções Gerais; Escrituração Contábil ) Considere os eventos de I a V listados abaixo. I aquisição de veículo à vista para uso na atividade operacional II baixa de bem
Leia maisGeometria Diferencial de Curvas Espaciais
Geometria Diferencial de Curvas Espaciais 1 Aceleração tangencial e centrípeta Fernando Deeke Sasse Departamento de Matemática CCT UDESC Mostremos que a aceleração de uma partícula viajando ao longo de
Leia maisUniversidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800)
Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática Teorema de Jacobson Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800) Campinas - SP 2013 1 Resumo Nesta monografia apresentamos a
Leia maisPressuposições à ANOVA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Estatística II Aula do dia 09.11.010 A análise de variância de um experimento inteiramente ao acaso exige que sejam
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios
Leia maisFunções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior
Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
Leia maisCircuitos de Comunicação. Prática 1: PWM
Circuitos de Comunicação Prática 1: PWM Professor: Hélio Magalhães Grupo: Geraldo Gomes, Paulo José Nunes Recife, 04 de Maio de 2014 SUMÁRIO Resumo 3 Parte I PWM - Teoria 3 Geração do PWM 5 Parte II Prática
Leia maisComandos de Desvio 1
Programação de Computadores I UFOP DECOM 2014 1 Aula prática 3 Comandos de Desvio 1 Sumário Resumo Nesta aula você irá resolver problemas que requerem uma decisão com base em um teste, ou condição. Para
Leia maisQuestão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.
Questão Se Amélia der R$,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do
Leia mais5. Derivada. Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x 0, então a derivada de f
5 Derivada O conceito de derivada está intimamente relacionado à taa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por eemplo, da determinação da taa de
Leia maisCapítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1
Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas
Leia maisProfessor (a): William Alves. Disciplina: Matemática
J+C Roteiro de Recuperação ª Etapa Professor (a) William Alves Disciplina Matemática º Ano Ensino Fundamental Objetivo Resolver problemas que envolvam caracterização, a representação e operações com números
Leia maisEsbo»cando gr a cos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas
Aula 7 Esbo»cando gr a cos: zeros no denominador e retas ass ³ntotas Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»c~oes cont ³nuas em R, com derivadas primeira e segunda tamb em cont ³nuas. Nesta
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes
Equações básicas Uma análise de qualquer problema em Mecânica dos Fluidos, necessariamente se inicia, quer diretamente ou indiretamente, com a definição das leis básicas que governam o movimento do fluido.
Leia maisCDI-II. Derivadas de Ordem Superior. Extremos. ; k = 1,2,...,n.
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Pro. Gabriel Pires CDI-II Derivadas de Ordem Superior. Extremos 1 Derivadas de Ordem Superior Seja : D R n R, deinida num
Leia maisFÍSICA EXPERIMENTAL 3001
FÍSICA EXPERIMENTAL 3001 EXPERIÊNCIA 1 CIRCUITO RLC EM CORRENTE ALTERNADA 1. OBJETIOS 1.1. Objetivo Geral Apresentar aos acadêmicos um circuito elétrico ressonante, o qual apresenta um máximo de corrente
Leia maisEstruturas de Repetição
Estruturas de Repetição Lista de Exercícios - 04 Algoritmos e Linguagens de Programação Professor: Edwar Saliba Júnior Estruturas de Repetição O que são e para que servem? São comandos que são utilizados
Leia maisEsboço de Curvas. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
Esboço de Curvas Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Roteiro para esboçar uma curva A. Verifique o domínio da função Exemplo: f(x) = 1 x {x x = 0} Roteiro para esboçar
Leia maisPlanos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins
Planos e Retas Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Na geometria, um plano é determinado se
Leia maisO Plano. Equação Geral do Plano:
O Plano Equação Geral do Plano: Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (figura ao lado). Como n π, n é ortogonal a todo vetor
Leia mais1.2. Recorrendo a um diagrama em árvore, por exemplo, temos: 1.ª tenda 2.ª tenda P E E
Prova de Matemática do 3º ciclo do Ensino Básico Prova 927 1ª Chamada 1. 1.1. De acordo com enunciado, 50% são portugueses (P) e 50% são espanhóis (E) e italianos (I). Como os Espanhóis existem em maior
Leia maisLABORATÓRIO DE CONTROLE I SINTONIA DE CONTROLADOR PID
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE I Experimento 6: SINTONIA DE CONTROLADOR PID COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCENTES: Lucas Pires
Leia maisAula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU.
Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia maisAvaliação de Empresas Profa. Patricia Maria Bortolon
Avaliação de Empresas RISCO E RETORNO Aula 2 Retorno Total É a variação total da riqueza proporcionada por um ativo ao seu detentor. Fonte: Notas de Aula do Prof. Claudio Cunha Retorno Total Exemplo 1
Leia mais