CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 05: Limite e Continuidade

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Limite e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do ite para calcular o ite de uma função; Denir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráco; 1 Velocidade Instantânea Considere o seguinte problema: Eemplo 1. Uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, em Toronto, 450 m acima do solo. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade da bola após 5 segundos. De acordo com a Lei de Galileu, temos que a posição da bola s(t), medida em metros, e em função do tempo t, medido em segundos é dado pela equação: s(t) = 4, 9t A diculdade encontrada em encontrar a velocidade após 5 segundos, está em tratarmos de um único instante, t = 5, e não de um intervalo de tempo. Com isso, tentaremos aproimar a quantidade desejada pelas velocidade médias calculados em intervalos de tempo cada vez menores e próimos de t = 5. Sendo assim, basta utilizar a fórmula: s(t) s(5) t 5 E obtemos a seguinte tabela: Intervalo de Tempo(t) Velocidade Média(m/s) 5 t 6 53, 9 5 t 5, 1 49, 49 5 t 5, 05 49, 45 5 t 5, 01 49, t 5, , 0049 E a partir desses dados, conseguimos notar que sempre que os intervalos de tempo em torno de t = 5 cam cada vez menores, temos que as velocidades médias se aproimam de velocidade 49m/s. Então, esperamos que eatamente em t = 5 segundos, a velocidade seja cerca de 49m/s. Denimos a velocidade instantânea no instante t 0, como sendo o número real para o qual o valor das velocidades médias se aproimam, sendo essas calculadas em intervalos de tempo cada vez menores, começando em t 0. No caso do nosso eemplo, a velocidade instantânea da bola, no instante t = 5, é de 49m/s. Dizer que tomamos intervalos de tempo cada vez menores e próimos de um instante t 0, pode ser escrito como t t 0 (Lê-se: t tende a t 0 ). Na próima seção, utilizaremos as noções discutidas aqui para determinar o ite de uma função. 1

2 Limite de Uma Função Conforme visto na seção anterior, podemos conjecturar sobre o valor da velocidade instantânea de um objeto, vericando para qual valor as velocidades médias tendem em intervalos de tempo cada vez menores. Podemos também aplicar esse raciocínio para encontrar um número real L para o qual uma função f() se aproima, quando tende a um número p. Vamos considerar o seguinte eemplo: Eemplo. Se tende a 1, os valores de f() = 1 1 se aproimam de algum número real? Inicialmente podemos notar que a função f não está denida em = 1. Mas assim como no problema da velocidade instantânea, podemos tentar calcular os valores que a função assume em pontos próimos de 1 e obter alguma informação sobre o comportamento da função. Desse modo, obtemos as seguintes tabelas: f() 0, 9 1, 9 0, 99 1, 99 0, 999 1, 999 0, , 9999 f() 1, 1, 1 1, 01, 01 1, 001, 001 1, 0001, 0001 Observando os valores encontrados nas tabelas, podemos sugerir que quando se aproima de 1 então os valores de f() se aproimam de, e assim, escrevemos: Eemplo 3. Qual o valor de ( 5 + 6)? 1 1 = Utilizando as seguintes tabelas f() 0, 9, 31 0, 99, , 999, , 9999, f() 1, 1 1, 71 1, 01 1, , 001 1, , , podemos observar que quando se aproima de 1, f() assume valores muito próimos de. Desse modo, podemos intuir que ( 5 + 6) = Eemplo 4. Estime o valor de 1 1. Observe que a função f() = 1 não está denida em = 1. Então, como zemos antes, 1 vamos considerar pontos próimos de 1. E assim, obtemos as seguintes tabelas: f() 0, 9 0, , 99 0, , 999 0, , , f() 1, 1 0, , 01 0, , 001 0, , , Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri

3 e, através delas podemos intuir que 1 1 = 1 E esse fato pode ser conrmado pelo gráco da função f. Figura 1: Gráco da função f() = 1 1 Eemplo 5. Faça uma estimativa para 0 sen. Primeiramente, note que f() = sen f( ) = sen( ) é par, pois = sen = sen = f() Logo, utilizando o fato de f() ser par e uma calculadora, construímos a seguinte tabela: Desse modo, podemos inferir que E essa armação pode ser vista pelo gráco de f f() ±1, 0 0, ±0, 5 0, ±0, 4 0, ±0, 3 0, ±0, 0, ±0, 1 0, ±0, 05 0, ±0, 01 0, ±0, 005 0, ±0, 001 0, sen = 1 0 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3

4 Figura : Gráco da função f() = sen Dessa forma, podemos propor uma denição "intuitiva"de ite, como segue: Denição 1 (Denição Intuitiva (Imprecisa) de Limite ). Suponha que f() esteja denido quando está próimo de p (Isso signica que f está denido em algum intervalo aberto que contenha p, eceto possivelmente no próprio p). Então escreveremos: e diremos f() = L a "o ite de f() quando tende a p é L" se pudermos tornar os valores de f() arbitrariamente próimos de L (tão próimos de L quanto quisermos), tornando sucientemente próimo de p (por ambos os lados de p), mas não igual a p. Observação 1. Podemos também utilizar a notação para representar que L = f(). f() L se p Veremos no eemplo a seguir que esta denição proposta NÃO é adequada para o que queremos, sendo necessária uma denição que eija "um pouco mais"do comportamento da função. ( π ) Eemplo 6. Analise sen. 0 ( π ) Note que f() = sen não está denida em = 0. Então, procedendo como anteriormente, utilizamos a seguinte tabela f() 1 0 0, 1 0 0, , , , Dessa forma,pela denição que propusemos, teríamos que 0 sen ( π ) = 0. Mas observe a tabela a seguir: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4

5 f() /101 0, /1001 0, / , / , f() /103 0, /1003 0, / , / , Logo, pela denição 1, também teríamos que ( π ) ( π ) sen = 1 e sen 0 0 = 1, pois encontramos até innitos ponto próimos de 0 cujas imagens são iguais a 1 e 1. Pensando nisso, devemos encontrar uma denição mais precisa de ite de uma função. Sendo assim, considere o seguinte eemplo: Eemplo 7. Seja Determine 3 f(). f() = { 1 se 3 6 se = 3 Para determinarmos o ite pedido, notamos intuitivamente que se tomarmos próimo de 3, mas 3, temos que f() = 5. Porém, buscamos um modo de vericar essa armação, e assim tornar 3 mais precisas as frases " sucientemente próimo de p" e "f() arbitrariamente próimo de L" contidas na denição 1. Sendo assim,devemos nos fazer a seguinte pergunta: "Quão próimo de p, dever estar para que f() dira de L por menos uma quantidade pré-ada?" Trazendo para o nosso eemplo, "Quão próimo de 3, dever estar para que f() dira de 5 por menos uma quantidade pré-ada?" Essa "quantidade pré-ada" será representada pela letra grega ε (épsilon). Quando falamos de proimidade de dois números, falamos de distância entre eles, que é justamente o módulo da diferença entre os mesmos, ou seja, nossa indagação pode ser reescrita como o seguinte problema: Fiado um ε > 0 arbitrário, é possível encontrar um número δ > 0 tal que todo D f que satisfaça a desigualdade 0 < p < δ garanta que f() L < ε? Reescrevendo para o nosso eemplo, Fiado um ε > 0 arbitrário, é possível encontrar um número δ > 0 tal que todo D f que satisfaça a desigualdade 0 < 3 < δ garanta que f() 5 < ε? A partir desse momento, vamos analisar o eemplo dado. Suponha que ε = 0, 1. Ou seja nosso questionamento agora é: eibir δ > 0 tal que 0 < 3 < δ f() 5 < 0, 1 Armamos que δ = 0, 05 serve ao nosso propósito. De fato: 0 < 3 < 0, 05 0, 05 < 3 < 0, 05 0, 1 < ( 3) < 0, 1 0, 1 < ( 1) 5 < 0, 1 ( 1) 5 < 0, 1. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5

6 Mas e se tomássemos ε = 0, 01? Armamos que δ = 0, 005 serviria ao nosso propósito (Verique!). E se ε = 0, 001? (Conjecture você e verique). Observe no entanto, que, para respondermos positivamente à questão principal, precisaríamos garantir que, dado um ε > 0 arbitrário, é possível eibir um δ > 0 (que certamente dependerá de ε) que garanta que 0 < 3 < δ f() 5 < ε Armamos então que, dado um tal ε > 0 arbitrário, basta que tomemos δ = ε! De fato, observe que: 0 < 3 < ε ε < 3 < ε ε < 6 < ε ( 1) 5 < ε como gostaríamos. A questão que se coloca agora é como sabíamos (ou suspeitávamos) que δ = ε serviria ao nosso propósito. Estimar um tal δ geralmente é uma tarefa difícil, mas no caso deste nosso eemplo, uma simples manipulação algébrica nos dá a indicação. Observe: ( 1) 5 < ε 6 < ε. 3 < ε 3 < ε Então encontramos que δ = ε servirá! Desse modo, podemos denir ite mais precisamente através da seguinte denição: Denição (Limite de Uma Função). Seja f uma função denida em um intervalo aberto que contenha o número p, eceto possivelmente no próprio p. Então, dizemos que o ite de f quando tende a a é L e escrevemos f() = L se sempre que tomarmos valores para sucientemente próimos de p, mas não iguais a p, pudermos tornar os valores de f() tão próimos de L quanto quisermos isto é, dado um número ε > 0 eiste um número δ > 0 (que certamente dependerá de ε) tal que Se D f, 0 < p < δ então f() L < ε Um fato importante a ser destacado na Denição é a frase: " for sucientemente próimo de p, mas não igual a p", pois f nem sequer precisa estar denida em p para que se tenha o ite L e o eemplo ilustra esse fato, pois o que importa é o comportamento de f próimo ao ponto p. Nos grácos abaio podemos destacar três situações em que o ite L de f, quando tende a p, eistirá: Figura 3: A função f está denida em p e f(p) = L Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 6

7 Figura 4: A função f está denida em p, mas f(p) L Figura 5: A função f não está denida em p, mas possui ite Podemos também reformular a denição em notação de intervalos, pois 0 < p < δ δ < p < δ, p δ < < p + δ, p p Mostrando que pertence ao intervalo aberto (p δ, p + δ) mas p. E f() L < ε ε < f() L < ε L ε < < L + ε Mostrando que f() pertence ao intervalo aberto (L ε, L + ε). Desse modo, podemos reescrever a denição como Denição 3. A epressão f() = L signica que para qualquer ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que se D f e (p δ, p + δ), p então f() (L ε, L + ε). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 7

8 Figura 6: Limite de uma função. Eemplo 8. Vamos mostrar que c = c (O ite da função constante é a própria constante). Vamos utilizar o procedimento. Note que f() c = c c = 0 < ε para qualquer ε > 0, logo, podemos escolher δ como sendo qualquer número real positivo. Eemplo 9. Vamos mostrar que = p. Iniciaremos conjecturando a cerca do δ. (i) Conjectura sobre o valor de δ. Suponha que eiste δ tal que se 0 < p < δ então f() p < ε. Sendo assim, f() a = p < ε Assim, escolheremos δ = ε. (ii) Vericação do Valor de δ. Se δ = ε, então 0 < p < ε. Logo, 0 < p < ε f() p < ε Contudo, provar a eistência de ites pela denição não é um trabalho muito fácil na maioria das vezes e necessita de resultados mais elaborados, além de que foge ao objetivo de um curso inicial de cálculo 1. Pensando nisso, eibiremos nas próimas seções alguns resultados que podem facilitar o cálculo de ites..1 Propriedades de Limites Teorema 1. Supondo c uma constante e que os ites eistam, então: a f() e g() a Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 8

9 1. [f() ± g()] = f() ± g() (O ite da soma é a soma dos ites). [cf()] = c f() (O ite do produto por uma constante é a constante vez o ite da função); 3. [f().g()] = f() g() (O ite do produto é o produto dos ites); f() f() 4. Se g() 0 e g() 0 então g() = ites). Vamos analisar alguns eemplos: (O ite do quociente é o quociente dos g() Eemplo 10. Utilizando as propriedades dos ites, verique que = p, para qualquer p R. Sabemos pelo eemplo 9 que = p. Logo, tomando f() = e g() =, segue da propriedade (4) que = ( ) = = p.p = p Eemplo 11. Verique que ( ) =. Sabemos que Segue que = = 4, =, 10 = 10. ( ) = ( 3 ) (Propriedade 1) ( ( ) = 3 ) (Propriedade 3) = =. Eemplo 1. Calcule Note que g() = para todo D g. Observe também que E que, Então, 5 1 = 5 1 = 5 ( 5) 1 = 5 1 = = = 5 ( 5) + = = = = 4 6 = Até agora, os os valores de f() coincidiram com f(p), e os métodos para calcular ite apresentados até agora utilizam muito esse fato. Contudo, eistem eemplos em que o ite eiste mesmo que a função não esteja denida no ponto p (Veja o eemplo ). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 9

10 Eemplo 13. Retomemos ao eemplo. Sabemos que f() = 1 não está denida em = 1 e 1 intuitivamente, sugerimos que f() =, porém é necessário vericarmos essa armação. Para isso, notamos um padrão na tabela apresentada no mesmo eemplo: f() 0, 9 1, 9 = 1 + 0, 9 0, 99 1, 99 = 1 + 0, 99 0, 999 1, 999 = 1 + 0, 999 0, , 9999 = 1 + 0, 9999 f() 1, 1, 1 = 1 + 1, 1 1, 01, 01 = 1 + 1, 01 1, 001, 001 = 1 + 1, 001 1, 0001, 0001 = 1 + 1, 0001 o que sugere alguma relação entre as funções f e g() = + 1. Observando os dois grácos Figura 7: Gráco da função f() = 1 1 Figura 8: Gráco da função g() = + 1 podemos notar que nos pontos próimos de 1 as duas funções assumem os mesmos valores, isto é, f() = g() para próimos de 1. A diferença está no fato de que g está denida em = 1 e (1 + ) = 1 + = =. Então, o ite de g coincide com o ite que sugerimos ser o de f. Isto se dá pelo seguinte teorema Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 10

11 Teorema. Sejam f e g duas funções. Se eistir δ > 0 tal que f() = g() para a δ < < a + δ, a e se g() eistir, então f() também eistirá e a a f() = g(). a a Isto é, quando a função f não estiver denida no ponto p, mas eistir uma função g que seja igual a f nos pontos vizinhos de p e que possua ite quando tende a p, então o ite de f quando tende a p eiste e coincide com o ite de g quando tende a p. Eemplo 14. Calcule: 4. Note que não podemos utilizar o teorema 1, pois = 0 Então vamos tentar utilizar o Teorema. Desse modo, devemos encontrar uma função g() tal que f() = g() em todo ponto próimo de, tal que g() eista. Pela denição da função f, notamos que f() = 4 = ( )( + ) Como consideramos pontos próimos, mas diferentes de, então temos que 0. Dessa forma, podemos fazer: 4 = ( )( + ) = +, Logo, considerando g() = +, temos que f() = g() para todos os pontos próimos de, eceto o. Sabemos que ( + ) = 4. Então, pelo Teorema, temos que 4 = + = 4 3 Funções Contínuas Denição 4. Uma função f : R R é contínua em p R se f() = f(p) Observação. Para que f seja contínua em p, devem ser satisfeitas as seguintes condições: (1) f está denida em p; () f() eiste e; (3) f() = f(p). Eemplo 15. As funções f, g : R R dada por f() = c e g() = são contínuas em todo a R. Seja a um número real qualquer. Então f() = c = c = f(a) a a E também g() = = a = g(a) a a Logo, as funções constante e identidade são contínuas Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 11

12 Observação 3. Uma função é contínua se ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Gracamente, podemos reconhecer o gráco de uma função contínua como sendo um gráco que possamos traçá-lo em cada intervalo do seu domínio "sem tirar o lápis do papel". Se f não atende a Denição 4 em um ponto p de seu domínio, então é chamada descontínua em p. Gracamente, podemos reconhecer que uma função é descontínua em p se o seu gráco apresenta "furos"e "saltos"nesse ponto, tais como os grácos dos seguintes eemplos: Figura 9: Gráco de uma função descontínua(1) Figura 10: Gráco de uma função descontínua() Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 1

13 Figura 11: Gráco de uma função descontínua(3) Teorema 3. As seguinte funções são contínuas: (i) Polinomiais; (ii) Racionais; (iii) Eponenciais; (iv) Trigonométricas; (v) Potências; (vi) Logarítmicas. Eemplo 16. Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (5 6 + ); ; 1 e ; 0 sen ; cos ; 4π 0 5 ; ln. 5 Utilizando o teorema 3, sabemos que todas essas funções são contínuas, isto é, os valores dos ites coincidirão com os valores das funções nos pontos, portanto (a) = = = 10 (b) Fazendo f() = , temos que = 5 0. Logo, 3 D f. Dessa forma, = = 33 5 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 13

14 (c) 1 e = e ( 1) = e 1 = e (d) 0 sen = sen 0 = 0 (e) (f) (g) cos = cos(4π) = 1 4π 0 5 = 5 10 ln = ln 5 = ln 5 5 = ln Operações com Funções Contínuas O resultado dessa seção é de grande importância para efetuarmos cálculos com funções contínuas. Teorema 4. Sejam f, g : I R funções contínuas em a I e considere c uma constante. Então, (i) f + g é contínua em a e a (f + g)() = f(a) + g(a); (ii) f g é contínua em a e a (f g)() = f(a) g(a); (iii) cf é contínua em a e a (cf)() = cf(a); (iv) fg é contínua em a e a (fg)() = f(a)g(a); (v) Se além disso, g(a) 0 então f g ( ) f é contínua em a e () = f(a) a g g(a) Os seguintes eemplos ilustram bem a utilização do teorema 4. Eemplo 17. Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) ; + ln 6 sen 5 16 cos π e (tg + sec ); 3 ( 6)(3 5)( 10). ; ; (a) Escrevendo onde h() = = f() g() f() = 6 + e g() = Podemos entender f() e g() como soma de funções: dadas por f() = f 1 () + f () + f 3 () e g() = g 1 () + g () + g 3 () Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 14

15 f 1 () = f () = 6 f 3 () = g 1 () = 3 g () = 4 g 3 () = 5 Note que as funções f 1 (), f (),f 3 (), g 1 (), g () e g 3 () são contínuas. Então, pelo Teorema 4 (i) temos que f() e g() são contínuas. Sendo assim, e Como g( ) 0 então, segue do item (v) que f() = ( ) 6.( ) + = 18 g() = ( )3 4.( ) + 5 = 5 f() h() = g() = 18 5 Os próimos ites serão calculados diretamente, sem eplicitar todos os passos do cálculo. (b) Considere h() = + ln + 6 sen 16 = f() g() Noter que f() e g() são funções contínuas, pois são soma e diferença de funções contínuas. Agora, note que g(5) = = 5 80 = 55 0 Logo, pelo teorema 4 (v), temos que + ln + 6 sen 5 = 5 + ln 5 6 sen 5 5 ln 5 6 sen = (c) Observe que h() = cos + 1 f() 1 g() em que f() = cos + 1 e g() = 1. Note que f() e g() são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Agora, como então, segue do teorema 4(v) que g(0) =.0 1 = 1 0 cos cos = = = 0 (d) Consideremos h() = e (tg + sec ) = f().g() onde f() = e e g() = (tg + sec ). Como f() e g() são contínuas, então segue do teorema 4(iv)que (e) Note que podemos escrever π e (tg + sec ) = e π (tg(π) + sec(π)) = e π (0 + 1) = e π p() = ( 6)(3 5)( 10) = f()g()h() em que f() = 6, g() = 3 5 e h() = 10. Note que f(), g() e h() são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Logo, segue do teorema 4(iv) que 3 ( 6)(3 5)( 10) = (3 6.3)(3.3 5)(3 10) = ( 9).4.( 7) = 5 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 15

16 Eemplo 18. Calcule os seguintes ites: (a) (b) (c) ; 3 3 ; (a) Nossa intenção é utilizar o teorema, pois 3 = 0 3 Logo, para pontos próimos de 3, mas 3, temos f() = 3 3 = = = 3 ( ) ( 3) 3 ( + 3) ( 3) Desse modo, pelo Teorema E pelo Teorema 4, 3 1 = = (b) Utilizaremos o Teorema. Sendo assim, = ( 3 ) 3 ( 3 ) 3 3 = 3 ( 3 3 )(( 3 ) ( 3 ) )) 1 = ( 3 ) ( 3 ) 1 = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 16

17 (c) Utilizando os teoremas e 4, obtemos que Agora, note que 1 ( 1)( ) = ( + 3) ( 5) 1)( ) = ( 1)( ) = ( 1)( ) = ( 1) = 1 ( = ( ) ( 1) = 1 ( 1)( + 1) 1 = + 1 = 1 E = = 5 = 5 Logo, 1 5 = Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções.1 a.5 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios das.1 a.5 do livro teto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 17