CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 16: Problemas de Otimização Objetivos da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para resolução de problemas. 1 Problemas de Otimização Nessa aula mostraremos algumas aplicações do cálculo de máimos e mínimos relativos. Eemplo 1. A reação do organismo à( administração de um medicamento é frequentemente representada C por uma função da forma R(D) = D 2 2 D ), onde D é a dose e C (uma constante) é a dose máima 3 que pode ser administrada. A taa de variação de R em relação à variável D é chamada sensibilidade. Determine o valor de D para o qual a sensibilidade é máima. Solução: Note que R (D) é a função sensibilidade. Logo, denotaremos por S(D) = R (D), e temos que ( ) CD S = R 2 (D) = D3 = CD D Agora, derivando a função sensibilidade, temos que S (D) = C 2D O ponto crítico de S é quando D = C. Agora, note que 2 S (D) = 2 < 0 Logo, pelo Teste da Segunda Derivada temos que D = C 2 é o máimo local de S. Eemplo 2. Determine dois números e y tais que a diferença entre eles seja igual 100 e o produto seja o mínimo possível. Solução: Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos Logo, definimos a função y = 100 y = 100 f =.y Note que podemos escrever f() = ( 100) = Sendo assim, vamos achar os pontos críticos da função f. Derivando f, temos que f () = Logo, o ponto crítico dessa função é encontrado, fazendo f () = 0, e logo, descobrimos que = 0. Calculando a segunda derivada obtemos que f () = 2, logo, f (0) = 2 > 0, logo, pelo teste da segunda derivada, = 0 é um mínimo da função f. Desse modo, temos que y = 100 = = 0. Portanto, os números procurados são 0 e 0. 1

2 Eemplo 3. O maior constituinte do corpo humano é a água, que é muito eficiente na dissolução de sais minerais, devido ao fato de suas moléculas combinarem com íons dando origem a íons hidratados. A presença de íons de hidrogênio em soluções aquosas (H + e OH ) é tal que à uma temperatura constante de 2 C tem-s que [H + ][OH ] = Para que concentração de H +, a soma [H + ] + [OH ] é mínima? Solução: Para facilitar nossos cálculos, utilizaremos as notações = [H + ] e y = [OH ]. Note que essa questão se assemelha a anterior, pois, precisamos determinar um valor para tal que a soma + y seja mínima e o produto y = Dessa última igualdade, podemos determinar que y = Logo, obtemos a função que queremos minimizar, dada por: f() = Desse modo, calculamos a derivada de f e temos que Logo, note que f () = Agora, note que f () = = = 1 2 = = 10 7 f () = e que f (10 7 ) = = 107 > 0. Então, pelo teste da Segunda Derivada, = 10 7 é o mínimo da função f. Eemplo 4. Determine o ponto sobre a reta y = que está mais próimo da origem. Solução: Queremos determinar o ponto mais próimo da origem. Isso significa que queremos encontrar o mínimo da função distância entre um ponto da reta y = e a origem (0, 0). Vamos determinar a função distância. Sabemos que a distância entre dois pontos A(a 1, a 2 ) e B(b 1, b 2 ) é dada por d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 ) Para o nosso eemplo, consideraremos A(, y) um ponto sobre a curva y = e B(0, 0). podemos escrever a função distância como sendo Então, d(a, B) = ( 0) 2 + (y 0) 2 = 2 + y 2 como y = 2 + 3, então d() = 2 + (2 + 3) 2 = = Note que achar os mínimos da função d() é o mesmo que encontrar os mínimos da função d 2 (). Logo, devemos encontrar o mínimo da função f() = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Derivando e calculando os seus pontos críticos, obtemos que f () = Assim, o único ponto crítico de f é = 6. Note que f () = 10 > 0 para todo R. Então, pelo teste da segunda derivada, = 6 é mínimo da função f, e portanto, da função d(). Agora, basta determinarmos o valor de y, que é encontrado substituindo = 6 y = 3 (. Enfim, o ponto desejado é 6, 3 ). na equação da reta e obtemos que Eemplo. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Solução: Note que para minimizar o custo do metal utilizado na fabricação dessa lata, devemos minimizar a quantidade de metal utilizada na confecção da mesma, ou seja, minimizar a área total da lata. Sabemos da geometria espacial que a área total de um cilindro é dada por A = 2r 2 + 2rh (1) Como a equação acima depende de r e h, devemos escrever uma em função da outra para que possamos trabalhar com uma única variável. Para isso, note que o volume da lata deve ser de 1L = 1000 cm 3 e sabemos que o volume dessa lata é dado por V = r 2 h 1000 = r 2 h Então, podemos escrever h = Dessa forma, a equação (1) pode ser reescrita como r2 ( ) 1000 A(r) = 2r 2 + 2r r 2 = 2r r Agora, para determinar as dimensões da lata que minimizam a área, precisamos encontrar o valor do raio que minimiza. Dessa forma, devemos determinar os pontos críticos de A(r) e determinar o ponto de mínimo relativo, utilizando o Teste da Segunda Derivada. Sendo assim, note que Desse modo, Calculando agora A (r), temos que Logo, note que A (r) = 4r 2000 r 2 A (r) = 0 4r 2000 r 2 = 0 4r = 2000 r 2 r 3 = 00 r = 3 00 A (r) = r 3 ( ) A 3 00 = ( ) 3 = = 12 > Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Sendo assim, r = 3 00 é um mínimo relativo de A(r). Logo, temos que h = 1000.( 00 ) 2 3 = Eemplo 6. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do rio (de 100 metros de largura) um barco com velocidade máima de 10 km/h; de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máima de 1 km/h. Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possível. = 2r Solução: Marcaremos na margem que contém o ponto C, um ponto D como mostra na figura abaio. E denotaremos por a distância desse ponto D ao ponto B. Vamos analisar cada parte do trajeto. Note que na primeira parte do trajeto, que será de barco, podemos traça o seguinte triângulo retângulo A DB Convertendo 100 m = 0, 1 km e denotando por d a distância entre A e B, segue do teorema de Pitágoras que d 2 = 2 + (0, 1) 2 d = 2 + (0, 1) 2 Utilizando o fato que tempo = distância velocidade temos que o tempo gasto nessa parte do percurso é dado por T 1 () = 2 + (0, 1) 2 10 Agora, na segunda parte do percurso, temos que a distância percorrida de B até C é dada por 10. Logo, o tempo gasto nessa etapa é dado por T 2 () = 10 1 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4 (2) (3)

5 Utilizando (2) e (3), temos que o tempo gasto no percurso total é dado por T () = 2 + (0, 1) 2 10 Agora, determinando os pontos críticos de T, T () = Dessa forma, fazendo T () = 0, temos que (0, 1) 2 = 1 1 Convertendo para metros, temos que (0, 1) = (0, 1) 2 = = 2 + (0, 1) = 2 + (0, 1) = (0, 1) = (0, 1) 2 2 = 4 (0, 1) = = = 2 Agora, determinando a função T, notamos que.10 = 2 = = 40 m T () = 0, (0, 1) 2 > (0, 1) 2 0 km Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, = 40 m a direita de D é o ponto que minimiza o tempo do percurso. Eemplo 7. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja. Determine r e h para que o volume seja máimo. Solução: Sabemos que o volume do cilindro circular reto é dado por V c = r 2 h e o volume da semiesfera é dado por V s = 1 2 V esfera = 2 3 r3. Então, o volume do sólido em questão é dado por V = r 2 h r3 (4) Como argumentamos em eemplos anteriores, vamos escrever a epressão em função de uma variável apenas. Para isso, notemos que a área da superfície desse sólido é de. Então, como a área total desse Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

6 sólido é a soma da área da superfície da semiesfera, da área lateral do cilindro e a área apenas da sua base inferior, segue que a área total é dada por A = 1 2 4r2 + 2rh + r 2 = 3r 2 + 2rh Então, isolando o termo h, temos que Assim, podemos reescrever (4) como h = 3r2 2r V (r) = r 2 ( 3r 2 2r ) r3 () = 6 (3r r3 ) Dessa forma, V (r) = 6 (3 3r2 ) Para encontrar os pontos críticos de V (r), fazemos V (r) = 0 6 (3 3r2 ) = 0 3 3r 2 = 0 3r 2 = 3 r 2 = 1 r = 1 Então o ponto crítico de V é r = 1. Agora, calculando a função V (r) obtemos que V (r) = 6 ( 6r) = r < 0 pois os valores de r são sempre positivos. Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, r = 1 é o raio que maimiza o volume. E sendo assim, temos também que h = = 1 Eemplo 8. Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo I = E R + r e P = I2.R. Supondo r constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada seja máima? Solução: Inicialmente, precisamos determinar a função cujo máimo desejamos encontrar. Utilizando as funções dadas no enunciado da questão, podemos deduzi-la por P = ( ) E 2 R = RE2 R + r (R + r) 2 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Agora, calculando a derivada de P, obtemos que P (R) = (RE2 ) (R + r) 2 RE 2 [(R + r) 2 ] = E2 (R 2 + 2Rr + r 2 ) RE 2 [2(R + r).1]) = E2 R 2 + 2E 2 Rr + E 2 r 2 2E 2 R 2 2E 2 Rr = E2 (r 2 R 2 ) = E2 (r R)(r + R) = E2 (r R) (R + r) 3 Agora, observe que o único ponto crítico de P é se R = r, pois para que P (R) = 0, temos que obter que E 2 (r R) = 0 R = r Dessa forma, para confirmar que ponto crítico em questão é um etremo, devemos utilizar um dos testes apresentados na aula anterior. Contudo, nesse eemplo só poderemos utilizar o teste da Primeira Derivada, pois o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo. De fato, observe que P (R) = ( E 2 ) (r R) (R + r) 3 = E 2 ( (r R) (R + r) 3 ) = E 2 (r R) (R + r) 3 (r R)[(R + r) 3 ] (R + r) 6 = E 2 1.(R + r)3 (r R)(3(R + r) 2.1) (R + r) 6 2 R r + 3r + 3R = E = 2E2 (R 2r) E, desse modo, temos que P (r) < 0. Logo, pelo teste da segunda derivada, temos que R = r é máimo da função P. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.7 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios da seção 4.7 do livro teto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7