Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real

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1 Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Carla Montorfano João César Guirado João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco

2 Apresentação O propósito deste teto é apresentar, de maneira concisa, conceitos e resultados do Cálculo Diferencial e Integral Aqui serão estudados ites e continuidade de funções reais de uma variável real e suas principais propriedades O teto está escrito em linguagem precisa e esclarecedora Precisa, porque a Matemática não pode ser construída sem o devido rigor, na linguagem e na lógica de suas proposições; esclarecedora, porque desejamos evitar o aparecimento de definições e nomenclaturas desnecessárias, que dificultem o caminhar do estudante durante a leitura desta obra Este é o segundo de uma série de quatro volumes que tratarão dos seguintes assuntos: conjuntos numéricos e funções; ites e continuidade; derivadas e aplicações; integrais e aplicações Visando a complementação dos tetos, será criada uma página na Internet, na qual serão apresentados eemplos adicionais, biografias, fatos históricos e curiosidades inerentes ao Cálculo, bem como serão propostos mais eercícios e bibliografias, para permitir ao estudante aprofundar seus estudos em nível de graduação

3 Sumário Limites 4 Definição de Limite 7 Propriedades dos Limites Limites Infinitos 0 Propriedades dos Limites Infinitos Limites no Infinito 5 Assíntotas 8 Assíntota Vertical 8 Assíntota Horizontal 0 O Limite Fundamental Continuidade 4

4 Introdução O conceito de ite de uma função f é um dos mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral No século XVIII, o conceito de ite foi abordado intuitivamente, ou seja, verificando que o valor de f em, f( ), tende para um determinado número L, quando tende para um número a Isso é equivalente a afirmar que quanto mais próimo de L estiver o valor f( ), mais próimo de a estará A grande questão envolvida nesta definição é o significado da palavra próimo, pois dependendo da situação o que é próimo para alguns pode não ser para outros Vejamos: na Física é comum os astrônomos medirem a proimidade em anos-luz; na Biologia, em determinadas situações, a proimidade se estabelece apenas 6 quando o resultado de uma mensuração está próimo do valor eato L, ou seja, se estiver a 0 cm de L Assim, para evitar ambigüidades, é preciso formular uma definição de ite, com o rigor que a matemática eige, e sem utilizar a palavra próimo Conforme veremos, isso é garantido empregando na definição, epsilon ( ε ) e delta ( δ ), introduzida por Cauchy e Weierstrass, pois esta é precisa e aplicável a qualquer situação A importância do estudo de ites é que podemos passar da taa média de variação ao conceito mais útil de taa instantânea de variação Limites Imaginemos um objeto pontual movimentando-se sobre uma reta orientada, sujeito a uma lei de movimento = ( ) s s t que fornece a posição s do objeto a cada instante de tempo t Consideremos que s seja medido em centímetros, que t seja medido em segundos e que o início do eperimento seja feito no instante t = 0 Algumas perguntas pertinentes ao movimento do objeto podem ser feitas: Como obter a velocidade do objeto num dado instante de tempo? Qual é o significado da velocidade do objeto num instante de tempo? Vamos particularizar nosso problema para obtermos algumas respostas Considere um objeto que se movimenta segundo a lei s( t) = 6t 5t t No instante inicial t =0 o objeto encontra-se na posição s (0) = ; no instante t =, o objeto encontra-se na posição s () = 6 5 = Então, após segundos do início do movimento o objeto volta a ocupar a posição inicial Pergunta-se: Qual é a velocidade do objeto precisamente no instante t =? Qual é o significado da velocidade instantânea? No ensino médio conseguíamos calcular a velocidade média de um objeto entre dois instantes de tempo quando conhecíamos sua lei de movimento e trabalhávamos com a equação v = v0 at, da velocidade de um objeto sujeito a um movimento retilíneo uniformemente acelerado, onde v 0 é a velocidade inicial do objeto e a sua aceleração Mas não éramos alertados que a velocidade da equação não era uma velocidade média, mas sim uma velocidade instantânea Tentaremos responder as questões levantadas acima através de aproimações Para isso, vamos considerar o intervalo de tempo [, ] Nos instantes t = e t = o objeto está, respectivamente, nas posições s () = 5 e s () =

5 s(0) s() s() 0 5 A velocidade média neste intervalo de tempo é dada por v m s() s() = Para t [, ] a velocidade média é de cm/s Como o instante t = pertence ao intervalo [, ], podemos, inicialmente, tomar a velocidade no instante t = como sendo v () = cm/s Por outro lado, a epressão v = v0 at nos fornece, no intervalo entre t = e t =, uma velocidade não constante, pois a 0 Assim, pode ocorrer que no instante t = a velocidade instantânea esteja longe do valor v () = cm/s Se considerarmos um intervalo de tempo de menor amplitude que [, ], mas que contenha t =, poderemos aproimar melhor a velocidade no instante t = Vamos considerar o intervalo [,;,8] Neste caso, a velocidade média será: v m s(,8) s(,) = =,6 cm/s,8, Como a velocidade média no intervalo de tempo [, ;,8] é igual a,6 cm/s é compreensível que a velocidade no instante t = esteja mais próima desse valor que de cm/s será: Para melhorar nossa aproimação, tomemos o intervalo [,4 ;,6] Neste caso, a velocidade média v m s(,6) s(,4) = =,64 cm/s,6,4 Podemos continuar considerando intervalos da forma [ δ, δ] com o valor de δ assumindo números positivos cada vez menores, como, por eemplo: δ = 0, 4; δ = 0,; δ = 0,; δ = 0,05 etc Procedendo dessa maneira definimos uma função f( δ ) que calcula a velocidade média no intervalo [ δ, δ], dada por s( δ) s( δ) f( δ) = δ Observe que os três valores da velocidade média calculados anteriormente são os valores de f quando δ assume os valores ; 0,8 e 0,6, respectivamente Intuitivamente, percebemos que quanto menor o valor de δ, mais a velocidade média no intervalo [ δ, δ] estará se aproimando do valor da velocidade instantânea em t = Utilizando uma calculadora científica podemos verificar os cálculos mostrados na seguinte tabela:

6 δ (s) Velocidade média (cm/s) - 0, -,99 0,0 -,9999 0,00 -, ,000 -, A partir do valor δ = 0,000 a calculadora científica de dez dígitos começa a arredondar os cálculos, indicando como resultado o valor f( δ ) = Na verdade, de modo intuitivo, calculamos o ite da velocidade média do objeto em intervalos do tipo [ δ, δ], quando δ se aproima de zero por valores maiores que zero Ou equivalentemente, calculamos o ite da função f( δ ) quando δ tende a zero pela direita s( δ) s( δ) Ao prestarmos atenção à epressão que define a função f, f( δ) =, observamos δ que a função não está definida para δ = 0 Assim, não podemos substituir o valor " δ = 0" na epressão da função Esse tipo de situação ocorre com freqüência no Cálculo Por eemplo, ao procurar o domínio de uma função verificamos que a mesma não está definida num determinado ponto Em razão disso, podemos perguntar: o que ocorre com os valores da função para pontos próimos do ponto onde a função não está definida? 4 Eemplo : Consideremos a função f definida por f( ) = Como Dom f = {}, não podemos calcular o valor da função no ponto = Porém, podemos estudar o comportamento da função nas proimidades deste ponto A tabela a seguir apresenta alguns valores de f ( ) para valores de próimos de f() f() 0,9 4,9, 5, 0,99 4,99,0 5,0 0,999 4,999,00 5,00 0,9999 4,9999,000 5,000 0, ,99999,0000 5,0000 0, ,999999, , , , , , , , , , , , , , O que ocorre com ( ) f quando se aproima de por valores maiores que? E por valores menores que? Diante das respostas a tais questões, percebemos que o valor da função f está próimo de 5, quando está bem próimo de

7 caso, escrevemos Quando isto ocorre dizemos que eiste o ite de f( ) quando tende a e é igual a 5 Neste f( ) = 5 Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 5 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de por valores menores que? Neste caso, o que ocorre com os valores de f() quando está bem próimo de? Esse processo de aproimar a variável independente de um número c e observar o comportamento da variável dependente, verificando se esta tende a um número real L, chama-se cálculo de ites Com isso, no primeiro eemplo, dizemos que os ites laterais à direita e à esquerda eistem e são iguais e, portanto, eiste o ite de f() quando tende para No eemplo, tais ites laterais são diferentes e, portanto, dizemos que não eiste o ite de f() quando tende a O cálculo de ites é um processo imprescindível no desenvolvimento do Cálculo A princípio, ainda no século XVII, ele era compreendido e utilizado sem uma definição matemática formal Newton e Leibniz faziam uso de cálculos de ites e suas propriedades para definir derivadas e integrais, mas nunca utilizaram a definição que aqui apresentamos, pois essa definição formal só foi aprimorada em meados do século XIX com a influência de matemáticos que iniciaram o uso do rigor na Análise Dentre esses matemáticos, citamos com destaque Augustin Cauchy ( ) e Karl Weierstrass (85 897) Definição de Limite Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b), e L Dizemos que o ite lateral à direita de f( ) no ponto c é igual a L, cuja notação é f( ) = L, se dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) L < ε sempre que 0 < c < δ c Para ilustrar essa definição, tomemos a função g : {4} tal que g( ) = A função não está definida no ponto = 4mas isso não nos impede de pesquisarmos o comportamento de g quando se aproima de 4 pela direita Mediante o uso de substituições, verificamos que quanto mais próimo de 4

8 estiver a variável, mais próimo de 9 estará o valor g( ) Isso nos sugere que o ite de g( ) = quando tende a 4 pela direita é 9 Esse valor 9 é epresso na definição com a letra L Então, dada uma quantidade positiva ε devemos ser capazes de eibir uma outra quantidade positiva δ tal que se tomarmos um número (4,4 δ), então o valor g( ) (9,9 ε) (9 ε,9 ε) y 9 ε ε δ 4 4 δ Se a quantidade positiva ε for igual a, deveremos ser capazes de eibir δ tal que para todo (4, 4 δ) seja verdadeiro que g( ) (8,0) Se construirmos e observarmos o gráfico de g podemos eibir δ = Assim, para todo (4, 4 ) concordamos que g( ) (8,0) Se a quantidade positiva ε for igual a, deveremos ser capazes de eibir δ tal que para todo (4, 4 δ) seja verdadeiro que g( ) (8,5, 9,5) Podemos eibir δ =, ou mesmo um δ menor que 4 este, tal que para todo (4, 4 ) tem-se g( ) (8,5, 9,5) 4 Percebemos que para qualquer quantidade positiva ε, por menor que ela seja, conseguiremos eibir uma quantidade positiva δ, por eemplo δ = ε, tal que se (4, 4 δ), então g( ) (9 ε, 9 ε)

9 y 9 ε g() δ Mas o raciocínio anterior não é uma demonstração formal de que essa demonstração observemos que Logo, dado ε > 0 ( ) = 9 Para realizar 4 g( ) 9 = 9 = 8 = ( 4) = 4, se tomarmos ε δ = teremos ε ε ε (4,4 ) 0 < 4 < 4 < ( 4) < ε 9 < ε g( ) 9 < ε Essa relação dinâmica entre uma quantidade positiva e tão pequena quanto se queira ε e a quantidade eibida δ é que é o âmago da definição de ite e está escrita na forma: Dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) L < ε sempre que 0 < c < δ Percebemos que qualquer outro valor menor que ε pode ser eibido como δ Vejamos como fica a demonstração de que ( ) = 9, se eibirmos 4 Dado ε > 0 se tomarmos ε δ = teremos 5 ε δ = 5 ε ε ε (4, 4 ) 0 < 4 < 4 < ( 4) < < 9 < g( ) 9 < 5 ε ε ε ε De maneira análoga definimos o ite lateral à esquerda

10 Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b), e L Dizemos que o ite lateral à esquerda de f( ) no ponto c é igual a L, cuja notação é f( ) = L, se dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) L < ε, sempre que δ < c < 0 c A definição anterior significa que os valores da função f se aproimam de L quando tende a c por valores menores que c Eemplo : Sejam f( ) = e o ponto c = Vamos mostrar que f( ) = 4 Para isso, é necessário que, para um dado ε > 0 arbitrário, encontremos um valor 0 sempre que δ < < 0 Mas ε ( ) ( ) 4 = 6 = = δ > tal que ocorra ( ) 4 < ε Por outro lado, δ < < 0 0< < δ Assim, temos < δ e, portanto, tomando δ =, temos ( ) ε 4 < ε sempre que < < 0 y 4 ε y = 4 f () 4 - ε 0 - δ δ Eercício : Demonstre, usando a definição, que ( ) = 4 Agora estamos em condição de definir o ite de uma função f Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b), e L Dizemos que o ite de f( ) no ponto = c é igual a L se eistem os ites laterais à direita e à esquerda de c e, além disso, são iguais Equivalentemente, temos: dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) L < ε, sempre que 0 < c < δ Notação: f( ) = L c

11 É importante observar que: O ite de uma função f no ponto c não diz nada sobre f( c ); mais do que isso, a função f não precisa sequer estar definida em = c, ou seja, o ponto c não precisa pertencer ao domínio da função f A condição 0 < c < δ indica que c ; Se f( ) ou f( ) não eistirem, então não eiste f( ) Porém, esta não é c c c a única situação em que o ite da função não eiste em = c, pois a eistência do ite pode depender da forma com que se aproima de c Isso ocorre, por eemplo, com a função de Dirichelet apresentada no eemplo a seguir Eemplo : Considerando a função f( ) = e o ponto c = do eemplo, podemos concluir que f( ) = 4 Eemplo 4: Dada f( ) = 4, vamos calcular f( ) Para essa função temos Dom f = {} Ao tentarmos uma simples substituição de por no polinômio do numerador obtemos o valor 0, o que significa que o número é uma raiz desse polinômio Assim, 4 = ( )( 4) Portanto, como no cálculo do ite a variável assume valores diferentes de, temos que ( )( 4) f( ) = = ( 4) = 5 Eemplo 5: A função de Dirichelet definida por algum de seu domínio, f( ) =, não possui ite em ponto Para demonstrar que este ite não eiste, vamos nos aproimar do ponto = c de duas formas diferentes: quando c por valores racionais e quando c por valores irracionais Vejamos: c Logo, Se c, como é denso em, podemos escolher valores de racionais que se aproimam de f( ) = = c c Por outro lado, como o conjunto dos números irracionais também é denso em, se escolhermos irracionais que se aproimam de c, obtemos c c De (I) e (II) segue que f( ) não eiste c (I) f( ) = ( ) = (II)

12 e Eercício : Calcule, se possível, os ites: k( ), k( ), k( ), k( ), k( ) 4 k( ), considerando a função k( ) cujo gráfico está esboçado na figura a seguir Se não for possível calcular os ites, justifique-os y , < Eercício 4: Considere a função h( ) =, 5, > Calcule, se possível, os ites contrário, justifique h( ), h( ), h( ), 0 h( ) 00 e 0 h( ) Caso A definição de ite utilizando ε e δ é de grande importância teórica e torna precisa a noção de estar próimo O seguinte resultado estabelece que quando o ite eiste, ele é único Teorema (unicidade do ite): Seja f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b) Se f( ) = L e f( ) = L, então L = L c L L Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que L L Seja ε = Por definição, eistem δ > 0 e δ > 0, tais que c < c < δ f L < ε e 0 c δ f( ) L 0 ( ) = tem-se, para 0 < c < δ, que Tomando δ min { δ, δ } < < < ε L L = L f( ) f( ) L L f( ) f( ) L < ε ε = L L

13 Mas isto é absurdo, logo L = L Eemplo 6: Seja f( ) temos f( ) = k c = k uma função constante Vamos mostrar que, para qualquer número c, De fato, dado ε > 0 podemos eibir δ > 0 assumindo qualquer valor, por eemplo, δ = Se 0 < c < δ =, então f( ) k = k k = 0 < ε Perceba que, como f( ) k < ε independe do particular valor numérico de δ, podemos tomar qualquer δ > 0 que teremos a desigualdade desejada Dessa forma, f( ) = k, para todo c Assim, se tivermos, por eemplo, f( ) = π, então f( ) = π c Eemplo 7: Se m e b são constantes, com m 0 e f( ) = m b, vamos mostrar que f( ) = m c b, para qualquer número c c 0 < c < δ Pela definição, dado ε > 0 devemos eibir δ > 0, tal que f( ) ( mc b) < ε sempre que Como ( ) ( ) ( ) ( ) ε δ =, obtemos que m f mc b = m b mc b = m b mc b = m c = m c, tomando ε ε 0 < c < m c < m m( c) < ε m b mc b < ε f( ) ( mc b) < ε m m Eercícios 5 Mostre que, no eemplo 7, podemos tomar o valor f( ) = mc b c δ = ε m para demonstrar que 6 Demonstre que se f( ) = 7 8, então f( ) = 6 Propriedades dos Limites A partir dessa seção, sempre que possível, não utilizaremos a definição para obter ite de funções Vamos, assim, apresentar e demonstrar algumas propriedades que nos permitirão tornar o cálculo de ites um procedimento mais simples

14 Proposição: Sejam f e g duas funções definidas em um intervalo ( a, b ) eceto possivelmente em c ( a, b) Se f( ) = L e g ( ) = L, então: c c a) [ f( ) g( )] L L c = ; b) [ k f( )] = k L, k ; c c) [ f( ) g( )] L L c = ; ( ) d) f L =, desde que L c g ( ) 0; L e) n f( ) = n L, se n é um número natural ímpar; c f) n f( ) = n L, se n é número natural par não-nulo e L 0 c Demonstração: As demonstrações dos itens e e f serão feitas após as demonstrações de alguns resultados de continuidade de função a) Por hipótese, dado ε > 0 eistem δ > 0 e δ > 0 tais que ε 0 < c < δ f( ) L < e Então, tomando δ = min{ δ, δ}, temos que ε 0 < c < δ g( ) L < ε ε 0 < c < δ ( f( ) g( )) ( L L) f( ) L g( ) L < = ε Assim, [ f( ) g( )] = L L b) c (i) Se k =0, então k f( ) = 0; (ii) Se k 0, por hipótese, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que ε 0 < c < δ f( ) L < k Então, utilizando esse valor de δ obtemos as implicações < c < f L < ε k f L k k f k L k < ε 0 δ ( ) ( ) k ( ) < ε Assim, c) [ k f ( )] = k L, k c (i) Demonstremos primeiramente o caso particular, onde f( ) = L e h ( ) = 0 implicam c c que [ f( ) h( )] = 0 c

15 Por hipótese, dado ε = eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ f( ) L < Disso deduzimos f = f L L f L L < L, sempre que 0 < c < δ que ( ) ( ) ( ) Então, podemos escrever que 0 < c < δ f( ) h( ) = f( ) h( ) < ( L ) h( ) Como estamos admitindo que h ( ) = 0, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que c ε 0 < c < δ h( ) 0 < L Tomando δ = min{ δ, δ} segue que ε 0 < c < δ f( ) h( ) L 0 = f( ) h( ) < ( L ) = ε Ou seja, [ f( ) h( )] = 0 L c (ii) Usando o item a, temos [ g( ) L] = 0 e, pelo resultado provado, para h( ) = g( ) L, temos f( )[ g( ) L] = 0 c 0 < M < L c Usando os itens a e b, temos L [ f ( ) L ] = 0 E, finalmente, podemos escrever c ( ) ( ) [ f( ) g( )] = [ f( ) g( ) L L f( ) L L L ] = c c ( ) = f( )[ g( ) L ] [ L f( ) L ] [ L L ] = 0 0 L L c c c Assim, [ f( ) g( )] = L L c d) Basta provar que = c g( ) L L L Por hipótese, dado ε = eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ g( ) L < L Dessa maneira, 0 < c < δ L = L g( ) g( ) L g( ) g( ) < g( ) L L Então, 0 < c < δ L < g( ) < g( ) < g( ) L Conseqüentemente, L g( ) 0 < c < δ = = g( ) L < g( ) L, onde g( ) L g( ) L L g( ) M Novamente, por hipótese, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que Tomando δ = min{ δ, δ} teremos M 0 < c < δ < g( ) L < ε = ε g( ) L M M M 0 < c < δ g( ) L < ε

16 Portanto, = c g( ) L Podemos calcular os ites mais rapidamente, utilizando apenas as propriedades anteriores pois Eemplo 8: Seja h( ) = Então, utilizando as propriedades temos que ( ) ( ) = = 9 6 = 6 h( ) = 6, 4 Eemplo 9: Seja h( ) = Então, h( ) = = Mas h( ) não pode ser calculado mediante o uso das propriedades porque o ite do denominador da epressão de h( ), quando tende a, é zero Eemplo 0: Seja ( ) g( ) 4 = Então, ( ) ( ) g( ) =, pois g ( ) = 4 = 4 = 4 = 8 = Como conseqüência da proposição anterior obtemos os seguintes resultados: Corolário: a) n n fi( ) = fi( ), se c c i = i = f ( ) eiste, para cada i n; c i b) n n fi( ) = fi( ), se c c i = i = f ( ) eiste, para cada i n; c c) Se f é uma função polinomial, então f( ) = f( c) ; i c p( ) d) Se f é uma função racional da forma f( ) = com q( c) 0, então q( ) p( c) f( ) = c q( c) h( ) = 5 Eemplo : Seja h( ) = 5 Pelo item c do corolário anterior temos Eemplo : Seja h( ) = Pelo item d do corolário anterior temos h( ) = 0

17 Proposição: Sejam f e g funções definidas num intervalo aberto ( a, b ), tais que f( ) = g( ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b) Se g ( ) = L, então f( ) = L c c Demonstração: Dado ε > 0, eiste δ > 0 tal que 0 < c < δ g( ) L < ε Mas, por hipótese, f( ) = g( ), para c Logo, tomando o mesmo δ anterior podemos escrever 0 < c < δ f( ) L = g( ) L < ε, ou seja, f( ) = L c Eemplo : O item d do corolário anterior não é válido quando q( c ) = 0 Apesar disso, se p( c ) = 0 podemos estudar o comportamento de f quando tende a c De fato, quando q( c ) = 0 temos m q( ) divisível por ( c ), ou seja, q( ) = ( c) h( ) onde h( c) 0 e m Temos também n p( ) = ( c) k( ) onde k( c) 0 e n Temos três casos a considerar: n = m: neste caso, temos k( c) f( ) =, pois c h( c) ( c) k( ) k( ) f( ) = = m ( c) h( ) h( ) n, c e h( c) 0 n > m: neste caso, temos f( ) = 0, pois c n ( c) k( ) nm k( ) f( ) = = ( c) m ( c) h( ) h( ) n < m: neste caso o ite não eiste e será estudado mais adiante com detalhes, c O próimo teorema necessita de um conceito muito importante, que pertence a um ramo da matemática chamado Topologia, a saber, o conceito de vizinhança de um ponto c Chamamos de vizinhança de um ponto c, qualquer intervalo aberto contendo esse ponto Teorema: Toda função que possui ite num ponto c é itada numa vizinhança do ponto c Este teorema é bem intuitivo, pois quando se aproima do ponto c, f( ) se aproima de um número L Então, deve eistir uma vizinhança V do ponto c, tal que f( ) algum valor real positivok k, para todo V e para Demonstração: Por hipótese, tomemos f( ) = L Assim, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que, c para pontos c no intervalo ( c δ, c δ), a distância entre o valor f( ) e o número L fica menor que ε, isto é, f( ) L < ε Devemos mostrar que eiste um intervalo ( c λ, c λ) tal que ( c λ, c λ) implica em f( ) k, para algum valor real positivo k Ora, tomando λ = δ teremos 0 < c < λ f( ) = ( f( ) L) L f( ) L L < ε L Como o valor f( c ), caso eista, pode ser diferente de L, tomemos k = ma { L, f( c) } ε Assim, para ( c λ, c λ ) temos f( ) k Eemplo 4: Dada a função 4, < 5 f( ) = π, = 5 0 6, > 5, vamos calcular f( ) 5 f( ) = ( 4) = e 5 5 f( ) = ( 0 6) = 5 5

18 Como f( ) = f( ) =, temos que f( ) = 5 5 A função f é itada em intervalos abertos que contêm = 5 Seguindo o raciocínio da demonstração do teorema anterior, dado, por eemplo, ε = 0, 5 eiste δ > 0 tal que se 5 e (5 δ,5 δ), então ( ) < 0,5 se (5 δ, 5 δ ), então f( ) < π 5 f Então, tomando ( ) k = ma{ 0,5 ; π } = π podemos escrever: Veja pelo esboço do gráfico de f mostrado a seguir, que esta função é itada em intervalos que contêm o ponto = 5 y 0 5 -π -4 Eemplo 5: A afirmação Se uma função f é itada numa vizinhança do ponto c, então eiste f( ) é falsa c, < 0 Considere a função f( ) = Esta é uma função itada em toda a reta, pois, 0 f( ), Mas f( ) = = e f( ) = = e, portanto, não eiste f( ) Um outro resultado importante é dado a seguir Teorema (Confronto ou Sanduíche): Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b ) Suponha que f( ) g( ) h( ), ( a, b), eceto possivelmente em = c Se f( ) = h( ) = L, então g ( ) = L c c c Demonstração: Como f( ) = h( ) = L, dado ε > 0 eiste δ > 0, tal que se 0 < c < δ, então Segue que c c f( ) L < ε e h( ) L < ε L ε < f( ) < ε L e L ε < h( ) < ε L

19 Portanto, para ( a, b ) tal que 0 < c < δ, tem-se L ε < f( ) g( ) h( ) < ε L Desta forma, g( ) L < ε, para ( a, b ) sempre que 0 < c < δ, ou seja, g ( ) = L c Corolário: Sejam f e g uma funções definidas num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b) Se f( ) 0 c = e g é itada, então [ f g ] ( ) ( ) = 0 c O teorema do confronto também vale para ites laterais e sua demonstração será deiada como eercício Eemplo 6: Sabendo que sen < <, para todos os valores de próimos de 6 cos sen( ) zero, segue do teorema do confronto que =, pois = e 0 cos( ) 0 6 = 0 Eercícios 7 Calcule 5 9, 9 indicando as propriedades utilizadas 8 Calcule os seguintes ites: a) 5 b) ( 8) c) 8 d) (4 ) e) 0 7 f) h, > 0 h h 0 9 Para cada função f definida a seguir calcule f( ) e f( ) e esboce o gráfico de f, a) f( ) =, > b) 5, f( ) = 4, > 5, 0 Dada f( ) =, encontre 4, > esboço do gráfico de f f( ), mostre que f( ) f() e trace um Nos itens a seguir, encontre os ites indicados, se eistirem Caso não eistam, justifique Esboce o gráfico de cada função

20 a), < f( ) =, =, > f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( ) ; 0 f( ) e f( ) b) f( ) = 0, t = t, t < t, t > f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( ) ; 0 f( ) e f( ) 4 t c) f( t) = t f( t) ; t 0 f( t) t 0 e f( t) t 0 Limites Infinitos esboçados a seguir Considere as funções definidas por y f( ) = e g( ) = y Seus respectivos gráficos estão 0 Graf f Graf g Façamos um estudo do comportamento de f nas proimidades do ponto = 0 e do comportamento de g nas proimidades do ponto =, mediante alguns cálculos f( ) f( ) g( ) g( ) -0, 0 0, 0,9 0, 0-0,0 00 0,0 00,99 00,0 00-0, ,00 000, , , , , ,

21 -0, , , , , , , , Observamos, pelo quadro anterior, que quando se aproima de 0 pela esquerda ( 0 ) os valores da função f se tornam arbitrariamente grandes ( f( ) ) Analogamente, quando se aproima de 0 pela direita ( 0 ) os valores da função f também se tornam arbitrariamente grandes ( f( ) ) Neste caso, dizemos que o ite de f( ) no ponto = 0 é mais infinito e denotamos por f( ) =, mas, lembrando que f( ) não eiste 0 Já para a função g, quando se aproima de, tanto pela esquerda ( ), quanto pela direita ( ), os valores da função decrescem iitadamente ( g( ) ) Neste caso, dizemos que o ite de g( ) no ponto = é menos infinito e denotamos por g( ) não eiste 0 g( ) =, mas, lembrando que Utilizamos os símbolos " " e " " para ilustrar uma tendência, um comportamento eplosivo, um aumento modular iitado Esses símbolos não são números reais A maneira precisa de definirmos esse tipo de tendência de crescimento iitado de uma função nas proimidades de um ponto está dada na seguinte definição Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b) Dizemos que f( ) = (respectivamente, ) se, para cada M > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) c > M (respectivamente, f( ) < M ) sempre que 0 < c < δ Note que f( ) = e f( ) = apenas indicam o comportamento da função numa vizinhança do ponto c c c Eemplo 7: Para ilustrar a definição considere f( ) = Verificamos intuitivamente que quando tende a 0, o valor f( ) tende a Pela definição, se nos for apresentado, por eemplo, o número M = 0 devemos eibir um valor δ > 0 tal que se 0 e ( δ, δ), então f( ) deve ser maior que 0 Para esse valor de M ( M = 0) podemos eibir δ = Verificamos que se 0 0 < < > 0 f( ) > 0 Se nos for apresentado o número M = 7 basta eibir δ = 0 7 Verificamos que 0 < < > 7, ou seja, f( ) > 7 De maneira geral, conseguimos 7 mostrar que a definição está satisfeita para qualquer número positivo M apresentado, por maior que ele seja Basta eibir δ = e verificamos que 0 < < δ = > M, ou seja, f( ) > M M M

22 Eemplo 8: Considere a função p( ) = Intuitivamente percebemos que quando se 4 aproima de, pela esquerda ou pela direita, a epressão do denominador se aproima de zero mediante números positivos e, portanto, o quociente de por esses números positivos, e cada vez menores, tem um comportamento eplosivo para Mas esse raciocínio não prova que p( ) = É preciso mostrar que a definição anterior está satisfeita Se nos for apresentado, por eemplo, o número M = 0, devemos eibir δ > 0 tal que 0 < < δ p( ) < 0 Nesse caso basta eibir δ = e teremos 0 0 < < < < > 0 > 0 < Se nos for apresentado o número M = 57π, eibimos δ = Nesse caso teremos 57π 0 < < 0 < < 57π 57π > 57π > 57π < 57π 4 4 Em geral, se nos for apresentado um número M > 0, tão grande quanto possa ser tomado, eibimos δ = e teremos M 0 < < 0 < < M M M > > M < M 4 4 Dessa forma, 4 = Eemplo 9: Considere, agora, a função eqüilátera de centro na origem: 7 y f( ) = cuja representação gráfica é a hipérbole 0

23 Observando o gráfico, percebemos que f( ) = e 0 que o ite de f( ) quando tende a zero não eiste f( ) = Neste caso, dizemos 0 Propriedades dos Limites Infinitos Vamos estudar as principais propriedades dos ites infinitos que permitirão calcular uma grande quantidade desses ites com maior rapidez As demonstrações das propriedades enunciadas serão deiadas como eercícios para o leitor Propriedade : Se n *, então: a) 0 n = ; b) 0 n, n par =, n ímpar Eemplo 0: Se f( ) = temos 6 f( ) = e 0 f( ) = Portanto, = eiste Eemplo : Se f( ) = temos f( ) = e 0 f( ) = Portanto, 0 0 não Propriedade : Se f( ) = e g ( ) = k, k, então c c a) [ f( ) ± g( )] = ; c b), k 0 [ f( ) g( )] = > c, k < 0 Eemplo : Sejam f( ) = e então [ f( ) g( ) ] = e [ f( ) g( ) ] g( ) =, Temos = f( ) = e g( ) =, Eemplo : Sejam f( ) = e g( ) = Temos 8 f( ) g( ) f( ) g( ) = 0 [ ] = e [ ] 0 f( ) = e 0 g( ) =, então 0

24 0 Eemplo 4: Sejam [ f g ] f( ) ( ) ( ) não eiste Basta verificar que g( ) = Temos f( ) =, 0 0 = e g( ) = Temos g( ) 0 f( ) =, 0, > 0 f( ) g( ) =, < 0 ( ) ( ) = = 0 = e [ f g ] 0 0 g( ) = 0 e 0 Considere agora f( ) = e Assim, quando k = 0, no item (b) da propriedade, nada se pode concluir a respeito do ite de f( ) g( ), quando tende a c Analogamente, temos a seguinte propriedade Propriedade : Se f( ) = e g ( ) = k, k, então c c a) [ f( ) ± g( )] = ; c b), k > 0 [ f( ) g( )] = c, k < 0 Pode-se construir eemplos análogos aos anteriores para ilustrar essa propriedade No item b, se k = 0 nada se pode concluir sobre o ite de f( ) g( ), quando tende a c Propriedade 4: Se f( ) = k e g ( ) = 0, onde k, então c c a) Se k > 0 e g( ) tende a zero, por valores positivos, então b) Se k > 0 e g( ) tende a zero, por valores negativos, então c) Se k < 0 e g( ) tende a zero, por valores positivos, então d) Se k < 0 e g( ) tende a zero, por valores negativos, então f( ) = ; c g ( ) f( ) = ; c g ( ) f( ) = ; c g ( ) f( ) = c g ( ) Eemplo 5: Seja f( ) = e g( ) = Temos que g( ) se aproima de zero apenas por valores positivos Logo, f( ) = 4 e g( ) = 0, onde f( ) = = g( )

25 Eemplo 6: Seja f( ) = e g( ) g( ) se aproima de zero apenas por valores negativos Logo, = Temos que f( ) = e g( ) = 0, onde 0 f( ) = = g( ) Eemplo 7: Seja f( ) = e 5 g( ) = Temos que onde g( ) se aproima de zero apenas por valores positivos Logo, f( ) = e g( ) = 0, f( ) = = g( ) 5 Eemplo 8: Seja = e ( ) f( ) 5 onde g( ) se aproima de zero apenas por valores negativos Logo, g( ) = Temos que f( ) = e g( ) = 0, ( ) f( ) 5 = = g( ) Propriedade 5: Se f( ) = ±, então c = 0 c f( ) Logo, Eemplo 9: Seja ( ) f( ) = = = 0 f( ) ( ) Temos que f( ) = = = ( ) ( ) É importante observar que as cinco propriedades anteriores também são válidas se considerarmos os ites laterais, quando c ou c Eercício : Calcule os seguintes ites: a) sen t cos t b) t t c) t 0 t t Limites no Infinito Na seção anterior estudamos comportamentos eplosivos de funções f quando a variável independente,, se aproima de algum número real c que pode ou não pertencer ao domínio de f Estamos interessados agora em analisar o comportamento de uma função, cujo domínio contenha um intervalo da forma ( a, ) ou (, b), quando a variável independente aumenta sua magnitude indefinidamente, quer com sinal positivo ou com sinal negativo

26 Analisemos os casos particulares onde as funções f e h são dadas por h( ) = Os esboços dos gráficos estão ilustrados a seguir 5 f( ) = e y y Graf f Graf h Façamos uma eploração numérica do que ocorre com f( ) quando de aumenta indefinidamente Façamos também os cálculos de h( ) quando o módulo de aumenta indefinidamente, mas possui sempre sinal negativo f( ) h( ) 0 0, , , , , , Observando os dados apresentados na tabela acima, percebemos que os valores de f( ) se aproimam de zero quando tende a, e que os valores de h( ) se aproimam de quando tende a Mas essas considerações numéricas ou a análise do esboço de gráficos não são uma maneira rigorosa de epressar os comportamentos de funções Assim como foi feito na seção Limites Infinitos, daremos a definição com o rigor matemático necessário que epressa esses comportamentos Definição: Sejam f uma função definida em ( a, ) (respectivamente, em (, b) ) e L Dizemos que f( ) tende a L quando tende a (respectivamente, ), se dado ε > 0 eiste um

27 número M > 0 tal que f( ) L < ε sempre que > M (respectivamente, < M ) Denotaremos por f( ) = L (respectivamente, f( ) = L ) Eemplo 0: Vamos mostrar que menor que ele seja, devemos eibir M > 0 ( > M ), então o valor da epressão = 0 De fato, se nos for dado um número ε > 0, por, suficientemente grande, tal que se estiver à direita de M deve estar próimo de 0, distando dele no máimo ε unidades Estudaremos uma situação particular onde nos é dado o número ε = 0, 0 Nesse caso, tomando M = 00, teremos > , 0 < 00 < Vamos supor que nos seja dado o número ε >0 muito menor que o anterior, por eemplo ε = 0 Nesse caso, basta tomar M = 0 e teremos > 0 < 0 0 < 0 Ora, dado o número ε > 0, por menor que seja ele, tomando o número > < ε 0 < ε ε M =, temos ε Assim mostramos que = 0 Eercício : Mostre, utilizando a definição, que = 5 Propriedade: a) = 0, ± n * n ; b) Se m e b são constantes, então ( ), m < 0 m b = b, m = 0, m > 0 Eemplo : = 0 e = 0 7 7

28 Eemplo : ( 9) = e ( 9) = Eemplo : 5 = 5 = 5 = Os ites no infinito têm propriedades análogas às propriedades de ites vistas nas seções anteriores Eercício 4: Calcule os seguintes ites: a) b) c) d) 9 Assíntotas Assíntota Vertical A idéia de ites laterais infinitos possibilita introduzir o conceito de assíntota vertical do gráfico de uma função Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ), eceto possivelmente em = c, c ( a, b) Dizemos que a reta = c é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das seguintes condições ocorrer: a) f( ) = b) f( ) = c) f( ) = d) f( ) = c c c c Geometricamente, a assíntota vertical do gráfico de uma função f é a reta paralela ao eio Oy que passa pelo ponto ( c,0) A figura a seguir ilustra o gráfico da função h( ) = e sua assíntota vertical, 5 a reta de equação = 5

29 y 0 5 f( ) Caso a função seja racional, isto é, da forma F( ) =, onde f e g são funções polinomiais, as g( ) assíntotas verticais de seu gráfico, caso eistam, ocorrem em valores de c tais que g( c ) = 0 Eemplo 4: Dadas as funções abaio definidas, vamos verificar se seus gráficos possuem assíntotas verticais a) 6 f( ) = 4 ; b) f( ) = ( ) ; c) f( ) = ; ( ) d), < 0 f( ) =, 0 ; e) f( ) = ; f) f( ) = Para determinar as assíntotas verticais, pela definição, calculemos os seguintes ites: a) = b) ( ) = e assim, por definição, a reta = 4 é uma assíntota vertical do gráfico de f ; e assim, por definição, a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f ; c) ( ) = e assim, por definição, a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f ; d) f( ) = = e, assim, por definição, a reta = 0 é uma assíntota vertical do 0 0 gráfico de f ; e) = 0 e assim, por definição, a reta = 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f ; f) Como assíntota vertical ( )( ) = = ( ) =, o gráfico de f não possui

30 Assíntota Horizontal A idéia de ite no infinito permite definir assíntota horizontal do gráfico de uma função cujo domínio contém um intervalo do tipo ( a, ) ou (, b) Definição: Dizemos que a reta y = k é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, se f( ) = k ou f( ) = k Geometricamente, a assíntota horizontal do gráfico de uma função f é a reta paralela ao eio O que passa pelo ponto (0, k ) A figura anterior ilustra o gráfico da função h( ) = e sua assíntota 5 horizontal, a reta de equação y = Eemplo 5: Dadas as funções abaio definidas, vamos verificar se seus gráficos possuem assíntotas horizontais a) f( ) = ; b) f( ) = ; c) f( ) = 7 5 ; d), < f( ) =, ; e) 5 f( ) = Para determinar as assíntotas horizontais, por definição, devemos calcular os seguintes ites: a) = e = Assim, por definição, a reta y = é uma assíntota horizontal do gráfico de f ; b) = 0 e = 0 horizontal do gráfico de f ; Assim, por definição, a reta y = 0 é uma assíntota c) = e = Assim, por definição, o gráfico de f tem a reta y = como assíntota horizontal; 5 d) f( ) = = e f( ) = = 0 Assim, por definição, as retas y = e y = 0 são assíntotas horizontais do gráfico de f ;

31 5 e) = horizontal e 5 = Assim o gráfico de f não possui assíntota Eercícios 5 Determinar, caso eistam, as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções definidas a seguir: a) f( ) = 5 ; b) 4 f( ) = ; c) f( ) = ; d) 5 5 f( ) = ; e), < 0 f( ) =, 0 6 Dê um eemplo de função que possua duas assíntotas horizontais diferentes O Limite Fundamental As indeterminações ocorrem também quando trabalhamos com funções trigonométricas Para estas situações o resultado a seguir ajuda a resolver muitas delas sen = 0 π De fato, tomemos, inicialmente, 0 < < Na figura a seguir, P I é um arco de medida de uma circunferência de raio ; PQ e TI são perpendiculares ao eio horizontal

32 y P T - O Q I Denotaremos por ABC um triângulo com vértices A, B e C Temos que Área do IOP < Área do setor circular IOP < Área do IOT () Como OI = OP = segue que Área do IOP = PQ OI = PQ () Área do setor circular IOP = Área do Por outro lado, sabemos que: OP = () IOT = IT OI = IT (4) sen = PQ = PQ (5) OP IT tg = = IT (6) OI Substituindo (),(), (4),(5) e (6) em () obtemos sen < < tg que é equivalente a < sen < cos, ou seja, sen cos < < (7)

33 π Como 0 < <, temos que 0 < sen < e como a função F( ) = é crescente, para > 0, temos que 0 < sen <, ou ainda, sen < = Dessa desigualdade e da igualdade 4 cosθ trigonométrica sen θ = segue que cos = sen > Assim, obtemos que 4 Utilizando (7) e (8), obtemos Como 0 cos > (8) = e sen π < <, para 0 < < =, segue do Teorema do Confronto que 0 0 sen = sen Aqui tomamos > 0, entretanto, a função f( ) = é uma função par, pois sen( ) sen sen sen f( ) = = = = f( ), 0 Portanto, temos também que = 0 sen Logo, = 0 saber, Eiste um outro ite bastante importante, cuja eistência não será demonstrada neste teto, a = e O número irracional e transcendente e obtido com o cálculo desse ite é denominado número de Napier ou número de Euler e tem como valor aproimado,788 Eercício 7: Calcule os ites a seguir: a) h 0 sen( h) h b) 0 sen c) d) e) 5 6 f) ( ( a) ) g) 9 h) i)

34 j) 9 k) 6 l) 5 4 m) 4 n) o) p) s) 5 v) sen π π q) sen(4 ) t) 0 sen( ) ) 0 4 r) u) w) 0 5 sen ( ) cos( π ) 5 y) z) Continuidade Assim como o conceito de ite desempenha papel importante, o conceito de continuidade é fundamental na matemática e em outras ciências, e é uma das idéias centrais do Cálculo Como a representação gráfica de uma função tem a vantagem de transmitir informações locais e globais sobre o comportamento da função em um dado intervalo, vamos ver qual é a característica gráfica que eplicita o desejado conceito intuitivo de continuidade de uma função num ponto Nas ilustrações a seguir apresentamos três gráficos: o de uma função f e o de uma função g e o de uma função h, definidas em toda a reta real y y y Graf f Graf g Graf h Percebemos que nas proimidades do ponto de abscissa = 5 o gráfico de g e o gráfico de h apresentam uma particularidade que não eiste no gráfico de f : f( ) = f( ) = f(5) ; g( ) = 8 e g( ) = 6; 5 h( ) = h( ) = 6 = h(5)

35 As funções que apresentam comportamento similar ao da f, ou seja, f( ) = f( ) = f( c) são chamadas de contínuas no ponto = c, e são o objeto de estudo nesta seção c c Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ) e c ( a, b) Dizemos que f é contínua no ponto = c se, f( ) = f( c) c Uma definição equivalente a essa, utilizando ε e δ, é apresentada a seguir contínua em ( a, b) Definição: Sejam f uma função definida num intervalo aberto ( a, b ) e c ( a, b) Dizemos que f é = c se dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que f( ) f( c) < ε sempre que c < δ para O primeiro passo agora é provar que as duas definições apresentadas são equivalentes Isto é, toda função que é contínua segundo uma definição também é contínua segundo a outra definição Vamos inicialmente provar que a segunda definição implica na primeira definição De fato, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que se ( c δ, c δ) ( a, b) tem-se f( ) f( c) < ε Como eiste ( c δ, c δ) ( a, b) = I, pois I é um intervalo, temos que f( ) f( c) < ε Assim, por definição, tem-se f( ) = f( c) * c Agora, vamos mostrar que a primeira definição implica na segunda definição Suponha que a função f não satisfaça a segunda definição Então, eiste ε > 0 tal que para cada k podemos obter ( a, b) com c < e f( ) f( c) ε Desse modo, obtemos k k um conjunto de pontos de ( a, b ) cujos elementos se aproimam de c, sem que a função, nesses pontos, se aproime de f(c) Isso contradiz a hipótese k k Se a função for definida num intervalo fechado [ a, b ], ainda é possível definir continuidade nos etremos desse intervalo como segue Definição: Seja f uma função definida num intervalo fechado[ a, b ] Dizemos que f é : a) contínua à esquerda no ponto = b se, e somente se, f( ) = f( b) b b) contínua à direita no ponto = a se, e somente se, f( ) = f( a) a Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado [ a, b ] se ela for contínua em todos os pontos do intervalo aberto ( a, b ), e contínua à direita em = a e à esquerda em = b Quando uma função não for contínua em um dos pontos de seu domínio diremos que ela é descontínua nesse ponto A continuidade de uma função em um ponto é uma propriedade local da função

36 As funções g e h cujos gráficos foram eibidos no início desta seção são descontínuas em = 5 A função g é descontínua em = 5 porque não eiste o g( ) e a função h é descontínua em = 5, pois embora eista h( ) 5, seu valor é diferente de h (5) 5 Eemplo 6:Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia de a 9 R$ 0,0 de 0 a 49 R$ 0,08 50 ou mais R$ 0,06 Um estudante de matemática apresentou uma função que associa a cada número de cópias n o valor a ser pago: f : é dada por 0,0 n, n 9 f( n) = 0,08 n, 0 n 49 0,06 n, n 50 Consideremos agora a função F dada por 0,0, 0 < 0 F( ) = 0,08, 0 < 50 0,06, 50 que coincide com a função f quando os valores de são números naturais O esboço do seu gráfico é apresentado a seguir F() 4,0,0,0,

37 Observe que o gráfico não é contínuo Veja, por eemplo, tirar 0 ou 50 cópias é mais vantajoso do que tirar 9 ou 49, respectivamente Para que a função deie de provocar tais distorções, a tabela deve ser reformulada de modo a se definir uma nova função G :, tal que seu gráfico não apresente saltos ou depressões A função G :, pode ser dada por 0,0, 0 < 0 G( ) = 0,08 0,40, 0 < 50 0, 06, 40, 50 Agora a função G é contínua em seu domínio Deiamos para o leitor a verificação desta afirmação Eercícios 8 Prove que a função 5 f( ) = 6 é contínua para todo 9 Dada a função 8, 0 f( ) =, determine seus pontos de descontinuidade, se eistirem, = Estude a continuidade da função 5, =, < < 0 f( ) =, 0 < 0, = Eemplo 7: A função f( ) = sen é contínua em = 0 De fato, queremos mostrar que Assim, sen = sen 0 = 0 Como 0, temos que sen = 0 sen sen sen = = = 0 = 0 = sen Logo, f é contínua em =0 sen Eemplo 8: A função f( ) = cos é contínua em = 0 De fato, como cos = sen para valores de próimos de 0, segue que ( ) cos = sen = sen = = = cos0 Logo, f é contínua em =0

38 cos Eemplo 9: Vamos mostrar que = 0 0 De fato, ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) cos cos = = = sen sen sen = = = 0 = 0 0 cos 0 0 cos ( ) Logo, cos = 0 0 Eemplo 40: A função f( ) = sen é contínua Queremos mostrar que sen = senc, para todo c c De fato, fazendo a mudança de variável = t c, temos que Logo, c Eercícios c t 0 t 0 ( ) ( ) sen = sen t c = sen tcosc sen ccost = ( t c ) ( senc cost ) = sen cos = t 0 t 0 = cosc sen t senc cos t = cosc 0 senc = senc t 0 t 0 sen = senc Portanto, a função seno é contínua em Mostre que a função f( ) = cos é contínua Calcule os ites a seguir: a) d) tg 0 ; b) ; e) π tg t 0 cos t 0 t 4 tg ( ) 4 ; c) ; f) 0 cos 0 cos ; Propriedades: Sejam f e g funções definidas no intervalo [ a, b ] Se f e g são contínuas em c [ a, b], então: (a) f g, f g e f g são funções contínuas em c ; (b) f / g é função contínua em c, se g( c) 0

39 A demonstração dessas propriedades segue das propriedades de ites Essas propriedades possibilitam afirmar que uma função é contínua ou não sabendo apenas se as partes que a compõem são ou não contínuas Vejamos alguns eemplos a a Eemplo 4: A função De fato, a função identidade y( ) 5 f( ) = é contínua em todos os pontos de seu domínio = é contínua em qualquer ponto a, pois y( ) = = a = y( a ) A função constante y( ) = também é contínua em todo a, pois y( ) = = = y( a) Pelo item a da propriedade anterior as funções a a y( ) y( ) 5 =, y( ) =, = e y( ) = são contínuas em qualquer ponto a Novamente, mediante o uso do item a, 5 concluímos que as funções y( ) = e y( ) = são contínuas em qualquer ponto a Utilizando, agora, o item b, concluímos que a função f é contínua em todos os pontos de que não sejam zeros de y( ) =, ou seja, f é contínua em todos os pontos do conjunto {,} = Dom f Eercícios Demonstre os seguintes teoremas: a) Se f é um polinômio, então f é contínua para b) Se f é uma função racional, então f é contínua em todos os pontos onde não se anula o denominador 4 Dadas as funções definidas por y = f( ) a seguir, verifique se f é contínua nos pontos = a e = b indicados a) 7, < f( ) = 6,, ( a =, b = ) 4, > b), < f( ) = 4,, ( a =, b = ), > 5 Mostre que as funções trigonométricas tg, sec, cotg e cossec são contínuas Falta-nos, até esse momento, um resultado acerca da continuidade de uma composição de funções que enunciaremos e demonstraremos a seguir

40 Proposição: Sejam as funções f :[ a, b] e g :[ c, d] com Im f [ c, d] Se f é contínua em 0 [ a, b] e g é contínua em y0 = f( 0), então a função composta ( g o f ):[ a, b] é contínua em 0 Demonstração: A função go f está definida no ponto 0 [ a, b] e ( go f )( 0) = g( f( 0)) = g( y0) Precisamos mostrar que ( go f ) é contínua em 0, isto é, que dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que se 0 < δ, então ( go f )( ) ( go f )( 0) < ε Como g é contínua em y 0, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que se y y0 < δ, então g( y) g( y0) < ε Como f é contínua em 0, para o δ > 0, que eiste da continuidade de g, eiste < δ, então f( ) f( 0) < δ Agora, como f( ) f( 0) < δ, então δ > 0 tal que se 0 podemos concluir que g( f( )) g( f( 0)) < ε Isto é, ( go f ) é contínua em 0 Apresentaremos a seguir os enunciados de dois teoremas que são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, porém suas demonstrações serão omitidas neste teto Teorema (do Valor Intermediário): Se f é uma função contínua em [ a, b ] e se f( a) f( b), então para todo k entre f(a) e f(b) eiste pelo menos um c ( a, b) tal que f( c) = k Eemplo 4: Considere a função f( ) = 5 definida no intervalo [,] Como esta função é contínua neste intervalo e, além disso, f ( ) = e f () = 4, o teorema acima garante que, qualquer que seja o número k, escolhido entre e 4, eiste um número c, entre e, tal que f( c) = k, isto é, a equação c 5 = k tem solução no intervalo (, ) qualquer que seja o número k entre e 4 Por eemplo, se escolhemos k = 0, observamos que f ( 5) = 0 e 5 (, ) Teorema (do Anulamento ou de Bolzano): Se f é uma função contínua em [ a, b ] e se f( a ) e f( b ) têm sinais contrários, então eiste pelo menos um c ( a, b) tal que f( c ) = 0 Eemplo 4: A função f( ) = 6 tem pelo menos uma raiz entre e De fato, como f é contínua em [, ] e f () = e f () = 4, eiste pelo menos um c (, ) tal que f( c ) = 0 Teorema (Conservação de sinal): Seja f uma função contínua em = c, c ( a, b) tal que f( c ) > 0 Então, eiste δ > 0 tal que se ( c δ, c δ), então f( ) > 0 Demonstração: Como f é contínua em c ( a, b), dado ε > 0, eiste δ > 0 tal que se c < δ, então f( ) f( c) < ε, ou seja, ε < f( ) f( c) < ε Assim, se c < δ tem-se f( c) ε < f( ) < f( c) ε Tomando ε f( c) tem-se que 0 < f( ) < f( c) ε Portanto, f( ) > 0, para todo satisfazendo c < δ Eercício 6: Enuncie e demonstre o teorema da conservação de sinal, considerando f( c ) < 0

41 Teorema (Continuidade da função inversa): Seja f uma função crescente e contínua em [ a, b ] Se a imagem de f é o intervalo [ c, d ], onde c = f( a) e d = f( b), então a função inversa f :[ c, d ] [ a, b] é crescente e contínua Demonstração: Vamos mostrar inicialmente que Im f = [ c, d ] Como f é crescente, temos que f( a) < f( b) Além disso, como f é contínua, segue do Teorema do Valor Intermediário que para todo f( a) < y < f( b), eiste um único ( a, b) tal que y = f( ) Tomando f( a) = c e f( b) = d, temos o desejado Mostremos agora que f é crescente em [ c, d ] Como < Seja = ( ) e ( ) f está definida em [ c, d ], tomemos y, y [ c, d] tal que y y f y = f y Para demonstrar o desejado, devemos mostrar que < Suponhamos que Como f é crescente, tem-se que f( ) f( ), isto é, y y, o que é uma contradição Logo, < e assim f é crescente em [ c, d ] Para concluir a demonstração, mostremos que f é contínua em [ c, d ] Queremos mostrar que: () () () 0 f ( y) = f ( y ), se y0 ( c, d) ; y y y c f ( y) = f ( c ); y d f ( y) = f ( d ) 0 Vamos demonstrar (): Seja 0 ( a, b) tal que f( 0) = y 0 (eiste, pois Im f = [ c, d ] e y0 ( c, d )), ou equivalentemente, = f ( y ) Assim, devemos mostrar que dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que 0 0 ( ) ( 0) < sempre que 0 f y f y ε δ > 0 de modo que y y < δ Como a função f é contínua, podemos escolher ( y δ, y δ ) ( f( ε), f( ε) ) Para isto, basta tomar δ = min{ f( 0) f( 0 ε); f( 0 ε) f( 0)} Porém, y y < δ y δ < y < y δ f( 0 ε) < y < f( 0 ε ) Como f é crescente, podemos escrever: ( ( ε) ) ( ) ( ( ε )) 0 0 f f < f y < f f ( ) ε ( ) ( ) 0 0 f y < f y < f y ε Logo, ε ( ) 0 < f y < ε f ( y) f ( y ) < ε f ( y) = f ( y ), se y0 ( c, d) Demonstraremos, agora, (), ou seja, que y y contínua em c Dado ε > 0, devemos mostrar que eiste δ > 0 tal que 0 f f ( y) f ( c) < ε sempre que 0 < y c < δ Como a função f é contínua e crescente, podemos escolher δ > 0 de modo que ( c, c δ ) ( a, f( a ε) ) para isto, basta tomar por eemplo, δ = f( a ε) c Porém, é