CÁLCULO I. Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 21: Problemas de Otimização Objetivos da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para resolução de problemas envolvendo máimos e mínimos. 1 Problemas de Otimização Nessa aula mostraremos algumas aplicações do cálculo de máimos e mínimos relativos. Eemplo 1. Determine dois números e y tais que a diferença entre eles seja igual 100 e o produto seja o mínimo possível. Solução: Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos y = 100 y = 100 Logo, denimos a função f =.y Note que podemos escrever f() = ( 100) = Sendo assim, vamos achar os pontos críticos da função f. Derivando f, temos que f () = Logo, o ponto crítico dessa função é encontrado, fazendo f () = 0, e logo, descobrimos que = 0. Calculando a segunda derivada obtemos que f () = 2, logo, f (0) = 2 > 0, logo, pelo teste da segunda derivada, = 0 é um mínimo da função f. Desse modo, temos que y = 100 = = 0. Portanto, os números procurados são 0 e 0. Eemplo 2. O maior constituinte do corpo humano é a água, que é muito eciente na dissolução de sais minerais, devido ao fato de suas moléculas combinarem com íons dando origem a íons hidratados. A presença de íons de hidrogênio em soluções aquosas (H + e OH ) é tal que à uma temperatura constante de 2 C tem-s que [H + ][OH ] = Para que concentração de H +, a soma [H + ] + [OH ] é mínima? Solução: Para facilitar nossos cálculos, utilizaremos as notações = [H + ] e y = [OH ]. Note que essa questão se assemelha a anterior, pois, precisamos determinar um valor para tal que a soma + y seja mínima e o produto y = Dessa última igualdade, podemos determinar que y = Logo, obtemos a função que queremos minimizar, dada por: f() = Desse modo, calculamos a derivada de f e temos que f () =

2 Logo, note que Agora, note que f () = = = 1 2 = = 10 7 f () = e que f (10 7 ) = = 107 > 0. Então, pelo teste da Segunda Derivada, = 10 7 é o mínimo da função f. Eemplo 3. Determine o ponto sobre a reta y = que está mais próimo da origem. Solução: Queremos determinar o ponto mais próimo da origem. Isso signica que queremos encontrar o mínimo da função distância entre um ponto da reta y = e a origem (0, 0). Vamos determinar a função distância. Sabemos que a distância entre dois pontos A(a 1, a 2 ) e B(b 1, b 2 ) é dada por d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 ) Para o nosso eemplo, consideraremos A(, y) um ponto sobre a curva y = e B(0, 0). podemos escrever a função distância como sendo Então, d(a, B) = ( 0) 2 + (y 0) 2 = 2 + y 2 como y = 2 + 3, então d() = 2 + (2 + 3) 2 = = Note que achar os mínimos da função d() é o mesmo que encontrar os mínimos da função d 2 (). Logo, devemos encontrar o mínimo da função f() = Derivando e calculando os seus pontos críticos, obtemos que f () = Assim, o único ponto crítico de f é = 6. Note que f () = 10 > 0 para todo R. Então, pelo teste da segunda derivada, = 6 é mínimo da função f, e portanto, da função d(). Agora, basta determinarmos o valor de y, que é encontrado substituindo = 6 y = 3 (. Enm, o ponto desejado é 6, 3 ). na equação da reta e obtemos que Eemplo 4. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do rio (de 100 metros de largura) um barco com velocidade máima de 10 km/h; de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máima de 1 km/h. Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possível. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 2

3 Solução: Marcaremos na margem que contém o ponto C, um ponto D como mostra na gura abaio. E denotaremos por a distância desse ponto D ao ponto B. Vamos analisar cada parte do trajeto. Note que na primeira parte do trajeto, que será de barco, podemos traça o seguinte triângulo retângulo A DB Convertendo 100 m = 0, 1 km e denotando por d a distância entre A e B, segue do teorema de Pitágoras que d 2 = 2 + (0, 1) 2 d = 2 + (0, 1) 2 Utilizando o fato que tempo = distância velocidade temos que o tempo gasto nessa parte do percurso é dado por T 1 () = 2 + (0, 1) 2 10 Agora, na segunda parte do percurso, temos que a distância percorrida de B até C é dada por 10. Logo, o tempo gasto nessa etapa é dado por T 2 () = 10 1 Utilizando (1) e (2), temos que o tempo gasto no percurso total é dado por (1) (2) T () = 2 + (0, 1) Agora, determinando os pontos críticos de T, T () = (0, 1) Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 3

4 Dessa forma, fazendo T () = 0, temos que (0, 1) 2 = 1 1 Convertendo para metros, temos que = (0, 1) 2 = = 2 + (0, 1) = 2 + (0, 1) = (0, 1) = (0, 1) 2 2 = 4 (0, 1) = = = 2 Agora, determinando a função T, notamos que.10 = 2 = = 40 m T () = 0, (0, 1) 2 > (0, 1) 2 0 km Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, = 40 m a direita de D é o ponto que minimiza o tempo do percurso. Eemplo. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja π. Determine r e h para que o volume seja máimo. Solução: Sabemos que o volume do cilindro circular reto é dado por V c = πr 2 h e o volume da semiesfera é dado por V s = 1 2 V esfera = 2 3 πr3. Então, o volume do sólido em questão é dado por V = πr 2 h πr3 (3) Como argumentamos em eemplos anteriores, vamos escrever a epressão em função de uma variável apenas. Para isso, notemos que a área da superfície desse sólido é de π. Então, como a área total desse sólido é a soma da área da superfície da semiesfera, da área lateral do cilindro e a área apenas da sua base inferior, segue que a área total é dada por A = 1 2 4πr2 + 2πrh + πr 2 = 3πr 2 + 2πrh Então, isolando o termo h, temos que h = 3r2 2r (4) Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 4

5 Assim, podemos reescrever (3) como V (r) = πr 2 ( 3r 2 2r = π 6 (3r r3 ) ) πr3 Dessa forma, V (r) = π 6 (3 3r2 ) Para encontrar os pontos críticos de V (r), fazemos V (r) = 0 π 6 (3 3r2 ) = 0 3 3r 2 = 0 3r 2 = 3 r 2 = 1 r = 1 Então o ponto crítico de V é r = 1. Agora, calculando a função V (r) obtemos que V (r) = π 6 ( 6r) = πr < 0 pois os valores de r são sempre positivos. Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, r = 1 é o raio que maimiza o volume. E sendo assim, temos também que h = = 1 Eemplo 6. Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo I = E R + r e P = I2.R. Supondo r constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada seja máima? Solução: Inicialmente, precisamos determinar a função cujo máimo desejamos encontrar. Utilizando as funções dadas no enunciado da questão, podemos deduzi-la por ( ) E 2 P = R = RE2 R + r (R + r) 2 Agora, calculando a derivada de P, obtemos que P (R) = (RE2 ) (R + r) 2 RE 2 [(R + r) 2 ] = E2 (R 2 + 2Rr + r 2 ) RE 2 [2(R + r).1]) = E2 R 2 + 2E 2 Rr + E 2 r 2 2E 2 R 2 2E 2 Rr = E2 (r 2 R 2 ) = E2 (r R)(r + R) = E2 (r R) (R + r) 3 Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

6 Agora, observe que o único ponto crítico de P é se R = r, pois para que P (R) = 0, temos que obter que E 2 (r R) = 0 R = r Dessa forma, para conrmar que ponto crítico em questão é um etremo, devemos utilizar um dos testes apresentados na aula anterior. Contudo, nesse eemplo só poderemos utilizar o teste da Primeira Derivada, pois o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo. De fato, observe que ( E P 2 ) (r R) (R) = (R + r) 3 ( ) (r R) = E 2 (R + r) 3 = E 2 (r R) (R + r) 3 (r R)[(R + r) 3 ] (R + r) 6 = E 2 1.(R + r)3 (r R)(3(R + r) 2.1) (R + r) 6 2 R r 3r + 3R = E = 2E2 (R r) E, desse modo, temos que P (r) = 0. Logo, devemos utilizar o teste da primeira derivada. Agora, observando a função P, notamos que E 2 > 0, então, os termos que determinarão o sinal de P são r R e (R + r) 3. Note que o primeiro termo é um polinômio do primeiro grau com variável R e raiz em R = r. E, o segundo é um polinômio do terceiro grau, com variável R e possui raiz em R = r(note que esse ponto não pertence ao domínio da função P ). Logo, obtemos o seguinte quadro de sinais: Logo, pelo teste da primeira derivada, temos que R = r é o máimo da função P. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.7 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios da seção 4.7 do livro teto. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6