Índice. AULA 5 Derivação implícita 3. AULA 6 Aplicações de derivadas 4. AULA 7 Aplicações de derivadas 6. AULA 8 Esboço de gráficos 9

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2 Índice AULA 5 Derivação implícita 3 AULA 6 Aplicações de derivadas 4 AULA 7 Aplicações de derivadas 6 AULA 8 Esboço de gráficos 9 Derivadas Vol. 2 2

3 AULA 5 EXERCÍCIOS Derivação implícita A derivação implícita é a última ferramenta no cálculo de derivadas. Até agora trabalhamos sempre com funções onde y está definido como função explícita de x, ou seja, funções que podem ser escritas na forma y = f(x), como 3 y = x ou y = xsen(x), por exemplo. Porém, podemos ter funções onde isso não acontece, funções que são definidas implicitamente por uma relação entre x e y, como x 2 + y 2 = 25 por exemplo. Para derivar funções assim, não precisamos isolar as variáveis, basta utilizar a deivação implícita. Vejamos como isso acontece com um exemplo. Se x 2 + y 2 = 25, encontre dy dx. Temos que encontrar a derivada de y em relação a variável x. Basta derivar os dois lados da igualdade, multiplicando cada derivada por uma fração, onde o numerador e o denominador são dados por: d(variável que foi derivada) d(variável relacionada a derivação) Assim temos: 2x dx dy + 2y dx dx = 0 2x + 2y dy dx = 0 Basta dy dx nessa equação, pois é exatamente o que buscamos: 2y dy dx = 2x dy dx = 2x 2y dy dx = x y 1 a 5 - Encontre dy dx por derivação implícita 1) x 3 + y 3 = 1 2) x 2 y 2 + xsen(y) = 4 3)4 cos(x) sen(y) = 1 4) e x y = x y 5) e y cos(x) = 1 + sen(xy) 1) y = x2 y 2 GABARITO 2) y = 2xy2 sen(y) 2x 2 y + xcos(y) 3) y = tg(x)tg(y) ) 4) y = y(y ex y y 2 xe x y 5) y = ey sen(x) + ycos(xy) e y cos(x) xcos(xy) ANOTAÇÕES EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre dy dx por derivação implícita onde x 2 + xy y 2 = 4 Derivadas Vol. 2 3

4 AULA 6 Aplicações de derivadas Primeira derivada A partir de agora, vamos aplicar o conceito de derivada na análise de funções. Inicialmente, veremos como determinar quais os intervalos onde uma função é crescente e quais os intervalos onde ela é decrescente. Quem nos fornecerá essa informação é o sinal da primeira derivada da função. > 0, f é crescente Se f (x) { < 0, f é decrescente = 0, temos um ponto crítico f (2) = = 3 f (4) = = 9 Assim, como em zero a derivada é negativa, a função é decrescente de menos infinito até 1, entre 1 e 3 a função é crescente pois a derivada em 2 é positiva, e de 3 até mais infinito a função é decrescente, já que a derivada em 4 é negativa. Máximos e mínimos relativos Observe o gráfico a seguir: Pontos críticos são pontos onde a derivada da função é zero (a reta tangente a função no ponto é totalmente horizontal, paralela ao eixo x) ou não existe. Nesses pontos, e somente neles, a derivada pode mudar de sinal. Entre dois pontos críticos, ou em intervalos que vão de um ponto crítico até ± a derivada não muda de sinal, ou seja, a função mantém o comportamento. Portanto, determinamos primeiro quais são os pontos críticos da função, igualando a primeira derivada a zero, em seguida indicamos os intervalos onde a função é crescente ou decrescente de acordo com o sinal da derivada. Existem máximos e mínimos absolutos e Exemplo: máximos e mínimos relativos. Note que o ponto mais alto da curva é o ponto em x 1, esse ponto Dada a função f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 5, é denominado de máximo absoluto, da mesma determine onde a função é crescente ou maniera que o ponto mais baixo, em x 2 é ponto decrescente. de mínimo absoluto. Porém os pontos em x 3 e x Inicialmente derivamos a função: 5, considerando suas redondezas, também são pontos de máximo, esses pontos são f (x) = 3x x 9 chamados de máximos relativos. Analogamente, temos em x Agora, fazendo f (x) = 0, temos: 4 um ponto de mínimo relativo, pois é o ponto mínimo de suas redondezas. 3x x 9 = 0 Mas como encontrar um ponto de máximo ou de mínimo em uma função? Simples, As raízes da equação, que são os pontos encontrando os pontos críticos, mas cuidado, críticos, são 1 e 3. Por fim, basta tomarmos um pontos críticos são candidatos a serem pontos valor arbitrário em cada intervalo para de máximos e mínimos. Pode acontecer de um observarmos o sinal da derivada nesse ponto crítico não ser ponto nem de máximo nem intervalo. Escolhendo 0 (um valor menor que 1), de mínimo, casos onde a derivada não existe ou depois 2 (um valor entre 1 e 3) e 4 (um valor quando ela não muda de sinal no ponto crítico, maior que 3), calculamos o valor da derivada aí temos um ponto de inflexão, o que veremos nesses pontos e assim temos o comportanto da melhor mais a frente. função em cada intervalo. As derivadas nesses Encontrados os pontos críticos da função, pontos são dadas por: basta observar o que acontece com a função f (0) = = 9 quando passa pelos pontos críticos. Se ela vem crescente antes do ponto crítico e passa a ser Derivadas Vol. 2 4

5 descrescente após o ponto crítico, esse ponto é um ponto de máximo relativo. Analogamente, se a função for decrescente antes do ponto crítico e crescente após o ponto crítico, temos um ponto de mínimo relativo. O máximo absoluto será o maior máximo relativo assim como o mínimo absoluto será o menor entre os mínimos relativos. Exemplo: Encontre os pontos de máximo ou de mínimo da função f(x) = x 3 3x + 2. O primeiro passo é encontrar os passos críticos: Fazendo f (x) = 0: f (x) = 3x 2 3 3x 2 3 = 0 3x 2 = 3 x 2 = 1 x = ±1 Escolhendo x = -2, x = 0 e x = 2 encontramos o sinal da derivada em cada intervalo. f ( 3) = 3( 2) 2 3 = 9 f (0) = = 3 f (2) = = 9 O estudo do sinal dessa função é: Como a função vem crescente até -1 e passa a ser decrescente após -1, temos um ponto de máximo. Se x é -1, encontramos y na função: f(x) = x 3 3x + 2 f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 2 = 5 O ponto (-1, 5) é um ponto de máximo. No outro ponto crítico, a função chega decrescente e passa crescente em 1, logo, temos um ponto de mínimo, basta determinar a coordenada y: f(x) = x 3 3x + 2 f(1) = = 0 O ponto (1, 0) é um ponto de mínimo. EXERCÍCIOS 1 a 3 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 1) f(x) = x 2 6x + 7 2) f(x) = x3 3 2x2 + 3x + 2 3) f(x) = x 4 + 2x Ache p e q de modo que a função f(x) = x 3 + px 2 + qx + 3 tenha máximos relativos em x = 1 e x = Mostre que o vértice de uma função do 2º grau do tipo f(x) = ax 2 + bx + c é o ponto ( b 2a, (b2 4ac) ). 4a GABARITO 1) Crescente para x > 3 Decrescente para x < 3 2) Crescente para x < 1 ou x > 3 Decrescente para 1 < x < 3 3) Crescente para x < 1 ou 0 < x < 1 Decrescente para 1 < x < 0 ou x > 1 4) p = 6 e q = 9 5) Basta encontrar o ponto crítico da função. f(x) = ax 2 + bx + c f (x) = 2ax + b f (x) = 0 2ax + b = 0 x = b 2a Agora calculamos o valor da função nesse ponto: f ( b 2 ) = a ( b 2a 2a ) + b ( b 2a ) + c f ( b 2a ) = b2 4a b2 2a + c f ( b 2a ) = b2 2b 2 + 4ac 4a f ( b 2a ) = (b2 4ac) 4a Derivadas Vol. 2 5

6 AULA 7 Aplicações de derivadas Derivada segunda A segunda derivada de uma função, que é encontrada derivando-se duas vezes a função, nos determina sua concavidade. Isso é muito útil pois conhecendo a concavidade em um ponto crítico sabemos se esse ponto é de máximo ou de mínimo sem precisar analisar se a função é crescente ou decrescente antes e depois do ponto crítico, como fizemos na aula passada. A concavidade é dada pelo sinal da segunda derivada: > 0, f é côncava para cima < 0, f é côncava para baixo Se f (x) { = 0, temos um possível ponto de inflexão Para o ponto suspeito ser de fato um ponto de inflexão, o sinal da derivada segunda deve mudar quando passa por esse ponto, ou seja, a concavidade da função deve mudar no ponto. Problemas sobre máximos e mínimos A teoria de máximos e mínimos permite resolver diversos problemas que envolvem otimização, ou seja, problemas onde precisamos encontrar valores máximos ou mínimos. Para resolver estes problemas, devemos inicialmente intepretar a situação para converter o problema de otimização em um problema matemático, determinando a função a ser maximizada ou minimizada, aí basta encontrar os máximos ou mínimos. Exemplo 1: Determine as dimensões de um retângulo de área 100 m 2 de modo que seu perímetro seja mínimo. Resolução: Sejam x e y as dimensões do retângulo e P seu perímetro. Dá área do retângulo, sabemos que: y = 100 x O perímetro nos fornece a outra relação: P = 2x + 2y Substituindo y, temos: P = 2x x P = 2x x Essa é a função que dá o perímetro do retângulo em função da dimensão x, está modelado o problema. Basta encontrar o mínimo da função, pois queremos que o perímetro seja mínimo. Determinando os pontos críticos da função: P = x 2 P = x 2 = 0 2 = 200 x 2 2x 2 = 200 x 2 = 100 x ± 10 Logo, x = 10 m, pois não podemos ter uma dimensão negativa. Basta calcular a segunda derivada da função nesse ponto, se for maior que zero, a função é côncava para cima e o ponto é de mínimo. P = 400 x 3 P (10) = = 0,04 Concluímos que nesse ponto a curva é côncava para cima, dessa maneira temos o ponto mínimo que buscamos na função. Como x = 10, encontramos y na relação da área do retângulo: xy = 100 xy = y = 100 Podemos agora isolar uma das dimensões, y = 10 y por exemplo: Derivadas Vol. 2 6

7 As dimensões do retângulo são 10 m e 10 m, ou seja, o retângulo é um quadrado cujo perímetro vale = 40 m. Exemplo 2: Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6280 m 3. Sabendo que o preço da chapa de aço é de R$ 50,00 por metro quadrado e π = 3,14, determine as dimensões do raio da base a da altura do cilindro para que o custo na produção seja mínimo. Determine também qual é o custo mínimo r 2 = 12,56r 12,56r 3 = r 3 = 1000 r = 10 m Agora calculamos a segunda derivada nesse ponto: A = r ,56 A (10) = ,56 Resolução: O volume de um cilindro é dado por: V = πr 2 h Onde r é a medida do raio da base e h é a altura do cilindro. Logo, temos: 6280 = 3,14r 2 h h = ,14r 2 h = 2000 r 2 A outra relação é a área total do cilindro, dada por: A = 2πrh + 2πr 2 Substituindo h encontramos a função que fornece a área total do cilindro em função da medida do seu raio: A = 2 3,14r 2000 r ,14r 2 A = r + 6,28r 2 Basta encontrar o ponto mínimo dessa função, pois ela nos dá a medida da superfície total do cilindro, e queremos que essa superfície seja a menor possível para que o agricultor gaste o mínimo de material. Então, buscamos os pontos críticos: A = r 2 A = 0 0 = r ,56r + 12,56r Observamos que A (10) > 0, assim, a função nesse ponto é côncava para cima e o ponto é um ponto de mínimo, confirmando que encontramos o que buscamos. O raio deve ser de 10 m para que a área total seja mínima. Se o raio deve ser 10 m, basta encontrar a altura com a relação do volume: h = 2000 r 2 h = = 20 m A primeira parte do problema está respondida, o raio da base do cilindro deve ser de 10 m e a altura de 20 m. Para obter o custo mínimo, é só calcular quantos metros quadrados de chapa de aço é necessário para construir o cilindro em sua área total mínima (é o valor da função A quando r = 10) e multiplicar esse valor por 50. A = r A(10) = ,28r 2 + 6, A(10) = A(10) = 1884 m 2 O custo mínimo será de = reais. Derivadas Vol. 2 7

8 EXERCÍCIOS GABARITO 1 Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 2 Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo (medido em unidades apropriadas) é Y = kn 1 + N 2 1) 10 e 10 2) 01 3) 300 m e 600 m 4) 4000 cm 3 5) x = y = 100 cm ANOTAÇÕES onde k é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção? 3 - Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 4 - Se 1200 m 2 de material estiverem disponíveis para a construção de uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. 5 - A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semicírculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitem a maior entrada de luz. Adote π = 3,14. Derivadas Vol. 2 8

9 Esboço de gráficos AULA 8 Esboçar à mão o gráfico de uma função qualquer não é tarefa simples, mas os limites e as derivadas nos ajudam muito com esse problema. O roteiro a seguir, visa fornecer as informações necessárias para fazer um esboço que mostre os aspectos mais importantes da função. Para fazer um bom gráfico, devemos ter os seguintes elementos: Domínio da função; Pontos de intersecções com os eixos; Assíntotas horizontais e verticais; Pontos críticos, intervalos onde a função é crescente ou decrescente e pontos de máximo ou mínimo; Concavidade e pontos de inflexão. Exemplo: Esboçe a curva y = x4 4 3x x + 5 Seguindo nosso roteiro: 1) O domínio da função é o conjunto dos números reais, assim a curva é contínua. 2) Para encontrar os pontos de intersecção com os eixos, calculamos o valor da função quando x é zero (é o valor onde a curva corta o eixo y), na sequência fazemos y = 0, resolvendo a equação para obter x (os valores onde a curva corta o eixo x). Se x = 0: y = y = 5 Já temos o ponto (0, 5). Agora, se y = 0: 0 = x4 4 3x x = x4 6x 2 + 8x x 4 6x 2 + 8x + 20 = 0 É uma equação difícil de resolver, nesse caso podemos omitir esse passo sem encontrar as raízes da função, não é imprescindível. 3) Assíntotas horizontais e verticais. Lembrese de nossas aulas sobre limites, assíntota vertical de uma curva y = f(x) é a reta x = a, quando uma das seguintes condições é satisfeita: lim x a f(x) = lim x a + f(x) = lim x a f(x) = lim x a + f(x) = Já a assíntota horizontal de uma curva y = f(x), é a reta y = L, onde lim x ± f(x) = L. Em nossa função aqui do exemplo, não temos nenhuma assíntota. Em geral, as assíntotas são necessárias quando há restrições no domínio da função. 4) Intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, encontramos a primeira derivada da função, em seguida igualamos a derivada a zero para obter os pontos críticos. y = x4 4 3x x + 5 Fazendo y = 0: y = x 3 3x + 2 x 3 3x + 2 = 0 Lembrando que toda equação do 3º grau é da forma ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, utilizamos as Relações de Girard para chegar nas raízes x 1 + x 2 + x 3 = b a = 0 x 1 x 2 x 3 = d a = 2 As raízes são 2, 1 e 1. Agora encontramos o valor da função para cada raiz, obtendo os pontos críticos. Se x = 2: y = ( 2)4 4 Se x = 1: 3( 2)2 2 y = 1 + 2( 2) + 5 y = y = 23 4 = 5,75 Os pontos críticos são ( 2, 1) e (1, 5,75). Derivadas Vol. 2 9

10 Os intervalos onde devemos analisar se a função é crescente ou decrescente são x < 2, 2 < x < 1 e x > 1. Para isso, observamos o sinal da primeira derivada para qualquer valor em cada intervalo, podemos utilizar x = 3, x = 0 e x = 2. y ( 3) = ( 3) 3 3( 3) + 2 = 16 y (0) = (0) 3 3(0) + 2 = 2 y (2) = (2) 3 3(2) + 2 = 4 Como y ( 3) < 0, y (0) > 0 e y (2) > 0, a função é decrescente para x < 2, crescente para 2 < x < 1 e crescente para x > 1. Concluímos ainda, que em x = 2 temos um ponto de mínimo da função e em x = 1, mesmo sendo ponto crítico, não é ponto nem de máximo nem de mínimo da função, pois a derivada primeira não troca o sinal quando passa por ele. Veremos melhor esse ponto na sequência. 5) Concavidade e pontos de inflexão. Essas informações são dadas pela segunda derivada da função. Como y = x 3 3x + 2, temos y = 3x 2 3. Os pontos de inflexão são obtidos igualando a segunda derivada a zero. 3x 2 3 = 0 3x 2 = 3 x 2 = 1 x = ±1 Se x = 1, a coordenada y será y = ( 1)4 4 3 ( 1) ( 1) + 5 = 1,75 Se x = 1, já temos o ponto, é um dos pontos críticos. Logo, os pontos de inflexão são ( 1, 1,75) e (1, 5,75). Analisamos agora o sinal da segunda derivada antes e depois de cada ponto de inflexão, ou seja, para x < 1, 1 < x < 1 e x > 1. Podemos escolher x = 2, x = 0 e x = 2. y ( 2) = 3( 2) 2 3 = 9 y (0) = 3(0) 2 3 = 3 y (2) = 3(2) 2 3 = 9 Como y ( 2) > 0, y (0) < 0 e y (2) > 0, em x = 1 temos um ponto de inflexão onde a concavidade da curva muda de cima para baixo nesse ponto, e em x = 1 a curva muda a concavidade de baixo para cima. Podemos agora fazer um esboço da curva. Sabemos que ela vem decrescente de menos infinito até 2 com concavidade para cima, chega no ponto de mínimo ( 2, 1) e passa a ser crescente com convidade para cima até o ponto de inflexão ( 1, 1,75) onde continua crescente mas a convidade passa a ser para baixo. Chega no ponto de intersecção com o eixo y e vai até o ponto de inflexão (1, 5,75) onde a concavidade da curva muda para cima. O esboço fica mais ou menos assim: Derivadas Vol. 2 10

11 EXERCÍCIO RESOLVIDO REFERÊNCIAS Faça um esboço do gráfico da função f(x) = x2 + 1 x 2 4 GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning. Derivadas Vol. 2 11