V = π 3 r2 h Por semelhança de triângulos, é verdade que: r h = R H r = R H h Portanto, o volume pode ser escrito em termos h :

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 140 (Cálculo I - 017/II Exercícios Resolvidos e Comentados - Taxas Relacionadas 10 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o nível da água em função da profundidade h. Com que velocidade a água sobe no instante em que h = 0? ( Figura 1: Tanque na forma de cone invertido Devemos ser capazes de escrever a taxa de variação da profundidade h em termos da vazão k, do raio R e da altura H. Temos que o volume de água no tanque, em um dado instante, é o volume do cone destacado em azul na Figura 1 que é dado por: V = π 3 r h Por semelhança de triângulos, é verdade que: r h = R H r = R H h Portanto, o volume pode ser escrito em termos h : Assim: V = π 3 ( R H h h = πr 3H h 3 k = = πr H h Pela gura, vemos que h + h = H o que implica no seguinte: Derivando em relação ao tempo e lembrando que a altura H do cone não varia, + = 0 e h = H h. Logo ( k = πr (H h H = πr 1 h H 1

2 Portanto: = k 1 πr ( 1 h H ( = k πr h=0 1 Duas vias se cortam num ponto A fazendo um ângulo de 60 graus. Dois automóveis estão localizados a 160m de A. Um deles se afasta de A a 100km/h e o outro se aproxima de A a 50km/h. Qual a razão de mudança da distância entre os dois veículos? Figura : Duas vias que se cruzam em A Temos que obter uma expressão que relacione a taxa de variação da distância entre os automóveis 1 em termo de suas velocidades = 100km/h e = 50km/h (o sinal negativo expressa o fato que o automóvel está se aproximando de A, ou seja, l diminui com o tempo e da distância deles até o ponto A, l 1 = l = 160m. Pela lei dos cossenos: l = l 1 + l l 1 l cos 60 = l 1 + l l 1 l Derivando em relação ao tempo: Logo: l = l l ( 1 l + l 1 = 1 1 l 1 l 1 + l l 1 l + l 1 Simplicando um pouco mais: ( = 1 l 1 l l 1 + l l 1 l ( 1 + l l 1 ( ] 1 l + l 1 ] Substituindo os valores fornecidos pelo problema obtemos: = 5km/h Atenção com as unidades!

3 14 Um corpo M se move a razão de 5m/s ao longo de um pátio circular. Uma luz L localizada em um dos extremos do diâmetro e perpendicular a este, projeta a sombra de M sobre a parede circular que cerca o pátio. Quão rápido se move a sombra ao longo da parede quando M se encontra a R/m do centro do pátio? Figura 3: Pátio circular de raio R e centro C. Luz L iluminando o corpo M com sua sombra S projetada na parede Pela gura, vemos a sombra S do corpo M sendo projetada na parede do pátio circular. Denotemos o arco OS descrito pela sombra por l e a distância do corpo até o centro CM por x. Devemos obter uma dx relação entre a taxa de variação do arco e a velocidade do corpo M. O triângulo SCL é isóceles, portanto os ângulos ĈLS e ĈSL π são iguais e valem 4 θ, para que a soma dos ângulos internos do triângulo seja 180 graus, ou seja, π rad. Olhando agora para o triângulo CLM vemos que: tan ( π 4 θ = CM CL = x R Da relação do arco de circunferência temos que: OS l = θr Portanto, ( π x = R tan 4 l R ( dx π = tan 4 l R dx ( π = R sec 4 l R ] = 1 ( 1 R ( x ] 1 + R 3

4 Onde usamos a identidade 1 + tan α = sec α. Por m, obtemos a relação desejada: = 1 + ( x R ] dx Assim, ( x= R = 8m/s Onde usamos dx = 5m/s supondo que o corpo esteja se movendo em direção ao centro da esfera, pois nessa situação x diminui com o tempo. 16 O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem num dado instante de tempo 10m e 0m, respectivamente. Se o diâmetro aumenta a uma razão de 1m/min, qual variação da altura manterá o volume do cilindro constante? Sendo o diâmetro e a altura do cilindro D e H, respectivamente, o volume do cilindro é: V = π ( D H = π 4 D H dd dh Devemos encontrar uma relação entre a taxa de variação do diâmetro e a variação da altura. Sendo o volume constante, temos que: = π 4 ( HD dd + D dh = 0 dh = H D Ou seja, a altura diminui a uma taxa de 4 metro por minuto dd = 4m/min 18 Determinar a taxa de variação do ângulo agudo θ formado pelas diagonais de um retângulo se o lado maior y cresce a razão de 4cm/s em uma direção e o outro lado ( x permanece constante e igual a 10cm, θ no instante em que o lado que cresce mede 17cm, (Sug.: tan = x y Sabemos que tan d tan ( θ ( θ = x y ] = d e que x é constante, logo: ( ( x θ sec y 1 dθ = x ( dy θ y 1 + tan ] 1 dθ = x dy y 1 + ( ] x y 1 dθ = x dy y dθ = x dy x + y 0.06rad/s 4

5 Figura 4: Ângulo formato pelas diagonais de um retângulo Figura 5: Tanque semiesférico de raio R. Questão 0. 0 Se enche de água um tanque semiesférico de raio R a razão de, 5m 3 /min. Qual a rapidez que o nível de água está subindo quando a água está a 5m do centro da esfera? Quando a altura da água, medida a partir do chão, é h o volume de água no interior do tanque é dado por: V = π 3 h (3R h = πrh π 3 h3 Logo a taxa com que o volume de água cresce é dada por: = πrh πh = π (h Rh = π (h Rh + R R = π (R h R ] = π R (R h ] Portanto, = 1 1 π R (R h ] Com os dados fornecidos pelo problema, temos: = 1, 5 π R 5] m/min 5

6 Uma piscina tem 50m de comprimento, 5m de largura e uma profundidade de 3m na parte mais profunda e 1m na parte menos profunda. O fundo da piscina tem um formato retangular. É bombeada água dentro da piscina a uma taxa de 10m 3 /min. Nos instantes em que o nível da água for de h = 1m e h = m, qual a velocidade de elevação do nível da água? Figura 6: Piscina inclinada. OBS.: Desenho fora de escala Note que o volume de água na piscina é metade do volume do paralelepípedo de lados l, h e 5. Por semelhança de triângulos, temos também que h l = 50 l = 5h. O volume de água é, portanto: Assim, V = 1 l h 5 = 1 65 (5h h 5 = h = 65h = 1 65h = = 65h 15h Por m, calculamos para os valores de h desejados: ( ( h=1 h= = 4 15 m/min = 1 15 m/min 6