Problemas de Otimização

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Problemas de Otimização Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Problemas de Otimização 1.Resolução de problemas de otimização 2.Eemplos

3 1. Resolução de problemas de otimização Uma das aplicações mais comuns do Cálculo é a determinação de valores ótimos (máimos ou mínimos). Antes de delinear um método geral para resolver problemas de otimização, apresentamos um eemplo. 3

4 1. Resolução de problemas de otimização Eemplo 1: Determinação do Volume Máimo Um industrial deseja construir uma caia aberta de base quadrada e área de superfície de 108 polegadas quadradas, conforme a figura a seguir. Que dimensões darão uma caia com volume máimo? 4

5 1. Resolução de problemas de otimização 5

6 1. Resolução de problemas de otimização Solução: Como a base da caia é quadrada, o volume é V = 2 h Equação fundamental Esta equação é chamada equação fundamental porque dá a fórmula da grandeza a ser otimizada. 6

7 1. Resolução de problemas de otimização A área da superfície da caia é: S = (área da base) + (área dos quatro lados) = + 4 h Equação secundária Como devemos otimizar V, é conveniente epressar V como função de uma única variável. Para isto, resolvamos a equação secundária em relação a h em termos de, obtendo h =

8 1. Resolução de problemas de otimização Substituindo na equação fundamental, teremos: V = h = = Função de uma única variável

9 1. Resolução de problemas de otimização Antes de achar que valor de dá um valor máimo para V, devemos determinar o domínio viável da função, isto é, que valores de têm sentido no problema. Como deve ser não-negativo e a área da base (A = 2 ) é, no máimo, 108, podemos concluir que o domínio viável é 0 < < 108 Domínio viável Aplicando as técnicas descritas anteriormente, podemos determinar que esta função tem um máimo absoluto quando = 6 polegadas e h = 3 polegadas. 9

10 1. Resolução de problemas de otimização Ao estudar o Eemplo 1, é importante compreender a questão básica formulada. Alguns estudantes têm dificuldades com problemas de otimização porque se apressam em resolvê-los utilizando uma fórmula padronizada. Por eemplo, no Eemplo 1, devemos ter em mente que há infinitas caias abertas com 108 polegadas quadradas de área de superfície. 10

11 1. Resolução de problemas de otimização Devemos começar a resolver o problema perguntando que forma básica parece dar o volume máimo. A caia deve ser alta, cúbica ou achatada? Podemos mesmo tentar calcular alguns volumes, conforme a figura a seguir, para ver se intuímos quais devem ser as dimensões ótimas. 11

12 1. Resolução de problemas de otimização (6, 108) V = Volume

13 1. Resolução de problemas de otimização Lembre-se de que você só estará em condições de começar a resolver um problema de otimização quando o tiver identificado claramente. Uma vez entendido o que se pede, pode-se então começar a cogitar de um método para resolver o problema. 13

14 1. Resolução de problemas de otimização Há várias etapas na resolução do Eemplo 1. A primeira consiste em esboçar um diagrama e atribuir símbolos a todas as grandezas conhecidas e a todas as grandezas desconhecidas. A segunda etapa é escrever uma equação fundamental para a grandeza a ser otimizada. Estabelece-se então uma segunda equação, que usamos para reescrever a equação fundamental como função de uma única variável. Finalmente, aplica-se o cálculo para determinar o valor ótimo. Essas etapas acham-se esquematizadas a seguir. 14

15 1. Resolução de problemas de otimização Diretrizes para Resolver Problemas de Otimização 1. Atribuir símbolos a todas as grandezas dadas e a todas as grandezas a serem determinadas. Quando cabível, fazer um diagrama. 2. Estabelecer uma equação fundamental para a grandeza a ser maimizada ou minimizada. 3. Reduzir a equação fundamental a uma equação com uma única variável independente; isto pode envolver a utilização de uma equação secundária que relacione as variáveis independentes da equação fundamental. 4. Determinar o domínio viável da equação fundamental, isto é, determinar os valores para os quais o problema tem sentido. 5. Aplicar o cálculo para o achar o valor máimo ou mínimo desejado. 15

16 1. Resolução de problemas de otimização Nota: Ao aplicar a Etapa 5, recorde que, para determinar o máimo ou o mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado, devemos comparar os valores de f em seus pontos críticos com os valores de f nas etremidades do intervalo. O maior desses valores é o máimo procurado, e o menor deles é o mínimo. 16

17 Eemplo 2: O produto de dois números positivos é 288. Minimize a soma do segundo número com o dobro do primeiro. Solução 1. Sejam o primeiro número, y o segundo e S a soma a ser minimizada. 2. Como desejamos minimizar S, a equação fundamental é S = 2 + y Equação fundamental 17

18 3. Como o produto dos dois números é 288, temos a seguinte equação secundária: y y = 288 Equação secundária 288 = Com este resultado, podemos escrever a equação fundamental como função de uma variável. S 288 = 2 + Função de uma variável 18

19 4. Como os números são não-negativos, o domínio viável é > 0 Domínio viável 5. Para achar o máimo de S, comecemos determinando seus pontos críticos. ds 288 = 2 Achar a derivada de S 2 d = 2 Igualar a derivada a = 144 Simplificar = ± 12 Pontos críticos 19

20 Escolhendo o valor positivo de, podemos concluir, pelo Teste da Derivada Primeira, que S é decrescente no intervalo (0, 12) e crescente no intervalo (12, ), conforme mostra a tabela seguinte. Portanto, = 12 dá um mínimo e os dois números são 288 = 12 e y = = 24 20

21 Intervalo 0 < < < < Valor de Teste = 11 = 13 Sinal de ds/d ds/d < 0 ds/d > 0 Conclusão S é decrescente S é crescente 21

22 S = Soma (12, 48)

23 Eemplo 3: Ache os pontos do gráfico de y = 4 2 que estão mais próimos de (0, 2). Solução 1. A figura a seguir indica que há dois pontos à distância mínima do ponto (0, 2). 2. Pede-se minimizar a distância d. Assim, com a Fórmula da Distância, obtemos uma equação fundamental. 2 2 d = ( 0) + ( y 2) Equação fundamental 23

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25 3. Recorrendo à equação secundária y = 4 2, podemos escrever a equação fundamental como função de uma única variável d = + (4 2) Substituir y por = Simplificar Como d é mínima quando a epressão sob o radical o é, simplificamos o problema achando o valor mínimo de 4 2 f ( ) =

26 4. O domínio de f é toda a reta real. 5. Para achar o mínimo de f(), determinemos primeiro os pontos críticos de f. ' 3 f ( ) = 4 6 Achar a derivada de f 3 0 = 4 6 Igualar a derivada a = 2 (2 3) Fatorar 3 3 = 0,, Pontos críticos

27 Pelo Teste da Derivada Primeira, podemos concluir que = 0 dá um máimo relativo, enquanto que 3 2 e 3 2 dão mínimo. Logo, no gráfico de y = 4 2, os pontos que estão mais próimos do ponto (0, 2) são: , e,

28 3,0 4 2 d = ,5 2,0 Distância 3 7, 2 4 1,5 1,0 0,5 3 7, 2 4 0,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 28

29 Eemplo 4: Uma página retangular deve conter 24 polegadas quadradas de impressão. As margens superior e inferior têm cada uma 1 ½ polegada de largura. As duas margens laterais têm cada uma 1 polegada. Quais devem ser as dimensões da página para que seja utilizada a quantidade mínima de papel? Solução 1. A figura a seguir eibe um diagrama da página. 29

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31 2. Chamando A a área a ser minimizada, a equação fundamental é A = ( + 3) ( y + 2) Equação fundamental 3. A área impressa, interior às margens, é dada por 24 = y Equação secundária Resolvendo esta equação em relação a y, vem y = 24 31

32 Levando este valor na equação fundamental, obtemos: A 24 = ( + 3) + 2 Equação fundamental = ( + 3) = 72 = Simplificar 32

33 4. Como deve ser positivo, o domínio viável é > Para achar o área mínima, começamos determinando os pontos críticos de A. da 72 = 2 Achar a derivada de A 2 d 72 0 = 2 Igualar a derivada a = 36 = ± 6 Pontos críticos 33

34 Como = -6 não pertence ao domínio viável, basta considerarmos o ponto crítico = 6. Pelo Teste da Derivada Primeira, decorre que A é mínimo quando = 6. Assim, as dimensões da página devem ser y + 3 = = 9 polegadas = + 2 = 6 polegadas 6 34

35 ( 6, 54) Área A =